正交變換的應(yīng)用及數(shù)學(xué)方法論意義1

正交變換的應(yīng)用及數(shù)學(xué)方法論意義1聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）指導(dǎo)教師:趙峰2012年原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明:所提交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下,獨(dú)立進(jìn)行研究取得的成果.除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外,論文中不含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過(guò)的研究成果,也不包含為獲得聊城大學(xué)或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位證明書而使用過(guò)的材料.對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體,均已在文中以明確方式標(biāo)明.本人承擔(dān)本聲明的相應(yīng)責(zé)任.學(xué)位論文作者簽名:日期指導(dǎo)教師簽名:日期PAGEIIPAGE15引言隨著近代數(shù)學(xué)的發(fā)展,數(shù)學(xué)的各學(xué)科間的相互滲透顯得越來(lái)越重要,特別是代數(shù)的方法運(yùn)用更為突出,在現(xiàn)行的數(shù)學(xué)分析教材中,某些內(nèi)容也注意到代數(shù)的方法的運(yùn)用,但還需進(jìn)一步加強(qiáng),將數(shù)學(xué)分析與代數(shù)方法結(jié)合,是解決問(wèn)題的途徑之一,更是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要內(nèi)容，有利于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)的能力。我們?cè)诖髮W(xué)中學(xué)習(xí)了許多數(shù)學(xué)變換，接觸了數(shù)學(xué)中的正交變換、仿射變換、攝影變換等，它們?cè)跀?shù)學(xué)中的應(yīng)用非常的廣泛，正交變換在數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)等學(xué)科中的解題有著很重要的應(yīng)用。本文重點(diǎn)討論了正交變換化二次標(biāo)準(zhǔn)型的方法進(jìn)行歸納整理，以及利用正交變換解決一類多元函數(shù)積分問(wèn)題，給出了利用正交變換求積的一種簡(jiǎn)單方法。把正交變換巧妙的應(yīng)用到多元函數(shù)的積分中去,解決了多元函數(shù)積分中的一些應(yīng)用難題,找到了線性代數(shù)與微積分的新切點(diǎn).使得積分解題變得簡(jiǎn)單和靈巧。正交變換的定義正交變換是歐式空間中一類重要的線性變換——保持向量的內(nèi)積不變的變換。定義設(shè)AEndR(V)是歐幾里得空間的線性變換，A稱為正交變換,如果它保持向量的內(nèi)積不變，也就是說(shuō)對(duì)任意的，都有（因?yàn)檎痪仃囀强赡娴?，所以正交變換是可逆的，由定義不難看出正交變換實(shí)際就是一個(gè)歐式空間到它自身的同構(gòu)映射，因而正交變換的乘積與正交變換的逆變換還是正交變換，在標(biāo)準(zhǔn)正交基下，正交變換與正交矩陣對(duì)應(yīng)，因此正交矩陣的乘積與正交矩陣的逆矩陣也是正交矩陣。如果A是正交矩陣，那么有AA-1=E,可知|A2|=1，或者|A|=1.因此，正交變換的行列式等于+1或者等于-1.行列式等于+1的正交變換通常稱為旋轉(zhuǎn)或者稱為第一類的；行列式等于-1的正交變換稱為第二類的。在三維空間中，detA=1的幺正矩陣把左手坐標(biāo)系變換到右手坐標(biāo)系；detA=-1的幺正矩陣則把右手坐標(biāo)系變換到左手坐標(biāo)系。2、正交變換的性質(zhì)2.1歐氏空間V的一個(gè)線性變換是正交變換的充分且必要條件是：對(duì)于V中任意向量，，(),()=<,>.2.2設(shè)V是一個(gè)n維歐氏向量空間，σ是V的一個(gè)線性變換。如果σ是正交變換，那么σ把V的任意一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基仍舊變成V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。反過(guò)來(lái)，如果σ把V的某一標(biāo)準(zhǔn)正交基仍舊變成V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么σ是V的一個(gè)正交變換。2.3設(shè)是歐氏空間V的一個(gè)線性變換，于是下面四個(gè)命題是相互等價(jià)的：（1）是正交變換（2）保持向量長(zhǎng)度不變，即;（3）保持向量間的距離不變，即,（4）若是標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么也是標(biāo)準(zhǔn)正交基，在任意標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣。2.4正交變換不改變向量的夾角，即方向不改變。2.5若為正交矩陣，則且仍為正交矩陣，正交變換的逆變換仍為正交變換。2.6正交變換的雅克比矩陣行列式值之絕對(duì)值等于1即若為正交變換，則.證據(jù)正交變換性質(zhì)與Jacobi行列式之定義知定理2.6成立。3、正交變換法化二次標(biāo)準(zhǔn)型在許多理論和實(shí)際研究中常常會(huì)遇到二次型問(wèn)題,二次型通常都是先化為標(biāo)準(zhǔn)型再進(jìn)行求解的。常見(jiàn)的化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法有拉格朗日配方法、合同變換法和正交變換法等。正交變換法由于具有保持幾何形狀不變的優(yōu)點(diǎn)而備受青睞。3.1正交變換法化二次標(biāo)準(zhǔn)型的一般步驟：寫出A的特征方程|E-A|=0，求出A的全部特征值。對(duì)于各個(gè)不同的特征值，求出齊次線性方程組（E-A）=0的基礎(chǔ)解系，即解空間的一個(gè)基底（但不一定是標(biāo)準(zhǔn)正交基），然后把它們施密特正交化。把上述求得的n個(gè)兩兩正交的單位特征向量作為矩陣T的列向量，X=TY就是二次型X-1AX化為標(biāo)準(zhǔn)型1y1+2y2+…+nyn的正交變換。正交的線性變換可以是一個(gè)實(shí)二次型變成平方和1y12+2y22+…+nyn2，其中平方項(xiàng)的系數(shù)1，2，…n就是矩陣A的特征多項(xiàng)式全部的根。（ijij,ij=ji,A=(ij)n*n)用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的問(wèn)題，一般總是由特征方程求特征值要解帶參數(shù)的行列式，而且只有先求出特征值方可由方程組求特征向量，進(jìn)而再用復(fù)雜的施密特正交化法求出正交變換陣，非常繁瑣．所以，用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的新方法研究引起了廣泛的興趣。3.2正交變換在二次標(biāo)準(zhǔn)型中的應(yīng)用下面的幾個(gè)例題通過(guò)討論構(gòu)造正交對(duì)稱矩陣P,由X=PY化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,主要結(jié)果有:(1)如何從中線性無(wú)關(guān)向量組出發(fā)巧秒構(gòu)造正交單位向量組(2)如何構(gòu)造正交對(duì)稱矩陣,滿足由X=PY化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。來(lái)介紹正交變換在高等代數(shù)中的廣泛應(yīng)用。例1用正交變換法將二次型=12+322+622+812-413+423化為標(biāo)準(zhǔn)型，并寫出所作的正交變換。解：先寫出二次型的矩陣：A=解特征方程|A-|==-（-7）2（+2）=0求得A的全部特征值為：1=2=7；3=-2.當(dāng)1=2=7時(shí)，解齊次線性方程組（A-7E）X=0，可得其基礎(chǔ)解析為：1=，2=將1，2正交化1=1=，2=2-=再單位化，得:,當(dāng)=-2時(shí)，解齊次方程組（A+2E）=0，可得其基礎(chǔ)解系為：=單位化得：由于與，一定正交，因此以作為列向量得正交矩陣：T=令X=TY，X-1AX=7y12+7y22-2y32于是二次型通過(guò)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)型為：12+7y22-2y32例2、用正交變換化二次型=++++為標(biāo)準(zhǔn)形，并求所作的正交變換.解:二次型的矩陣,求出的特征值為:由==可得特征值，其次，求屬于-1的特征向量把代入得（1）求得基礎(chǔ)解系為把它正交化，得再單位化，得再求屬于8的特征向量，把代入（1）式，可得基礎(chǔ)解系再單位化得因此正交矩陣為，作非退化線性替換,得出二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為=正交變換具有保持線段的長(zhǎng)度不變的特點(diǎn)，它是對(duì)坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)、平移，既不改變坐標(biāo)軸的其他形狀，所以用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，具有保持幾何形狀不變的優(yōu)點(diǎn)，最大限度的保證了函數(shù)圖形的幾何特征。例3、已知f(x1,x2,x3)=2x12+5x22+5x32+4x1x2-4x1x3-8x2x3求一個(gè)正交變換X=PY，將該二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型。解：（1）二次型所對(duì)應(yīng)的矩陣為A=由可得A的特征值為當(dāng)時(shí)求解方程組得基礎(chǔ)解系，對(duì)其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)正交化得，當(dāng)時(shí)求解方程組得基礎(chǔ)解系單位化得于是可得正交矩陣P=（，，）=作非退化線性替換,得出二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為以上例題采用綜合多種知識(shí)，使化標(biāo)準(zhǔn)型的運(yùn)算大為化簡(jiǎn)，用該方法解決了二次型的標(biāo)準(zhǔn)形及正交變換矩陣同步求解問(wèn)題，尤其是對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣的相同特征值對(duì)應(yīng)的不正交特征向量的初等變換正交化法，簡(jiǎn)潔實(shí)用。用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，具有保持幾何特性不變的優(yōu)點(diǎn)，這種方法無(wú)論在理論上還是實(shí)際應(yīng)用中都是化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的重要方法。4、正交變換在積分中的應(yīng)用將數(shù)學(xué)分析與代數(shù)方法結(jié)合，是解決問(wèn)題的途徑之一，更是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要內(nèi)容．在多元函數(shù)積分中，選擇恰當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q十分關(guān)鍵．由于正交變換保持變換前后的向量?jī)?nèi)積不變從而保向量的長(zhǎng)度與夾角不變，所以，正交變換這種剛體變換有著廣泛的應(yīng)用．4、1在多元積分學(xué)中的應(yīng)用選擇適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，不但可以簡(jiǎn)化計(jì)算，收到事半功倍之效；而且可以解決不用變量替換方法無(wú)法解決的問(wèn)題。如計(jì)算若要用直角坐標(biāo)系計(jì)算，則會(huì)遇到積分但無(wú)法用初等函數(shù)來(lái)表示，計(jì)算便無(wú)法進(jìn)行下去。此題若用極坐標(biāo)來(lái)計(jì)算，易于得出結(jié)果。由此可見(jiàn)，變量替換在多元函數(shù)積分學(xué)中的重要作用。在積分的計(jì)算中，變量替換是經(jīng)常采用的方法。采用正交變換，可以兼顧積分區(qū)域和被積函數(shù)兩方面的特點(diǎn)。例1進(jìn)行適當(dāng)變量替換，化二重積分為一重的。分析因?yàn)槠渲?若令有，（考慮用正交變換）解：設(shè)（)為二維空間的一個(gè)向量，把單位向量擴(kuò)充成一個(gè)二階正交變換A，作正交變換由于（矩陣的轉(zhuǎn)置）仍是正交矩陣，且行列式.于是變換的雅克比行列式為由（1）知再注意到正交變換不改變向量的長(zhǎng)度，于是==即。此題的解法利用了正交變換（距離、角度、面積等是正交變換的不變量）的性質(zhì),在不改變積分區(qū)域的情況下,簡(jiǎn)化被積函數(shù)。這類問(wèn)題在積分計(jì)算中經(jīng)常遇到，如果能適當(dāng)?shù)夭捎谜蛔儞Q的性質(zhì),將給這些積分的計(jì)算帶來(lái)方便，選用了正交變換兼顧被積函數(shù)、積分區(qū)域的特點(diǎn)，較用其它變換來(lái)解要簡(jiǎn)便很多。在函數(shù)求極值問(wèn)題上，用正交變換可使條件極值問(wèn)題變得清晰，而且經(jīng)變換后又可能給出其幾何說(shuō)明。例2、求函數(shù)在條件上的最大值和最小值是多少。解：已知條件=1可以表示為，表示為的特征值為1和5，取令則而因此題目可以轉(zhuǎn)化為：在條件時(shí)，求的最大值和最小值就可以了。當(dāng)時(shí)最大值為1，當(dāng)時(shí)最小值為。正交變換后是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。問(wèn)題就是在這橢圓上求出一點(diǎn)使其到原點(diǎn)的距離平方為最大和最小。4.2.重積分在正交變換下形式不變性。多元函數(shù)積分中的換元法是計(jì)算積分的重要的方法,換元的目的使得被積函數(shù)簡(jiǎn)單或者是積分區(qū)域簡(jiǎn)化,但換元有它的隨意性,并存在一定的難度，因此引入新的積分變量時(shí)必須要同時(shí)考慮被積函數(shù)和積分區(qū)域的特點(diǎn),而對(duì)于多元函數(shù)的重積分應(yīng)用正交變換是一種較為簡(jiǎn)便的方法。例：對(duì)于上連續(xù)函數(shù),有證明:若，原式=等式顯然成立，因此可設(shè),把單位向量擴(kuò)充成一正交矩陣作正交變換而，變?yōu)?，由上式得于是由三重積分變數(shù)替換公式得：所以===此例說(shuō)明用正交變換的方法去處理重積分的某些問(wèn)題是卓有成效的，并且不受空間維數(shù)的限制，可見(jiàn)正交變換兼顧了積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點(diǎn)。較用其他變換的證法來(lái)得簡(jiǎn)便。更重要的是這種方法有一般性利于推廣,有利于進(jìn)一步學(xué)習(xí)的需要，如在曲面積分中的應(yīng)用。4.3正交變換在曲面積分中的應(yīng)用曲面積分中，通過(guò)正交變換進(jìn)行變量替換使得非平面曲面上的積分化為二維空間的曲面積分。這一應(yīng)用使得積分解題變得簡(jiǎn)便的靈巧。設(shè)光滑曲面S：在正交變化之下變成曲面則對(duì)于S上的連續(xù)函數(shù)有此式說(shuō)明了第一曲面積分在正交變換下形式不變性。例:證明普阿松公式，其中S是單位球面。分析若等式顯然成立，否則令因?yàn)槿袅顒t有（則考慮用正交變換）證明：以單位向量擴(kuò)充成一個(gè)三階正交矩陣A。作正交變換，即A是第一行為的3階正交矩陣，則在A的作用下，因所以=即S在A下的象仍為單位球面，于是于是有再令因此求得所以=利用正交變換的剛體變換性質(zhì)，可證明第一類曲面積分和重積分在正交變換下的不變性．因而可將其應(yīng)用于簡(jiǎn)化多元函數(shù)積分計(jì)算．正交變換的此類應(yīng)用充分體現(xiàn)了一般化、代數(shù)化、模型化的數(shù)學(xué)方法論．正交變換的數(shù)學(xué)方法論意義5、1.一般化一般化就是從考慮一個(gè)對(duì)象,過(guò)渡到考慮包含該對(duì)象的一個(gè)集合,或者從考慮一個(gè)較小的集合過(guò)渡到去考慮一個(gè)包含該較小集合的更大集合.運(yùn)用一般化策略解決問(wèn)題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察、分析解決問(wèn)題的特征,從中找出能使問(wèn)題一般化的因素,以便把特殊命題拓廣成包含這一特殊情況的一般問(wèn)題,而且要注意比較一般化后的各種命題,以選擇最佳一般命題,它的解決包含著特殊問(wèn)題的解決.一般化的解題策略之所以成功,就在于一般化命題中的關(guān)系和規(guī)律更容易看清楚.從以上各例的證明中可以看出，正交變換的一部分就已經(jīng)決定了結(jié)論的正確性,但直接證明困難很大,而作為整個(gè)正交變換的結(jié)果,卻是較為顯而易見(jiàn)的.5.2代數(shù)化代數(shù)化使得對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象性質(zhì)的研究變成了對(duì)數(shù)量的分析、討論和求解,從而把定性研究階段推進(jìn)到定量研究階段,代數(shù)化使得空間的幾何結(jié)構(gòu)數(shù)量化,實(shí)現(xiàn)了對(duì)抽象空間圖形的研究,使人們對(duì)形的認(rèn)識(shí)從靜態(tài)發(fā)展到動(dòng)態(tài).代數(shù)化把推理程序機(jī)械化,促進(jìn)了定理的機(jī)器證明.文章中的正交變換就是這樣的例子.5.3.模型化模型化就是根據(jù)問(wèn)題的有關(guān)信息確定某種特定的映射關(guān)系構(gòu)想出數(shù)學(xué)模型,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)學(xué)模型的數(shù)理機(jī)制的研究,從而達(dá)到解題目的的一種方法.當(dāng)解決一個(gè)問(wèn)題比較困難時(shí),可以通過(guò)構(gòu)造該數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型,將數(shù)學(xué)問(wèn)題化歸為一個(gè)已經(jīng)能解決的,或比較容易解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題加以解決,即所謂化歸型數(shù)學(xué)建模,這是一個(gè)數(shù)學(xué)方法論的過(guò)程,是在兩個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之間進(jìn)行的.實(shí)現(xiàn)化歸型數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵是找到一個(gè)合適的映射,使生疏化成熟悉，復(fù)雜化成簡(jiǎn)單，抽象化成直觀，含糊化成明朗，正交變換正是起到了這個(gè)作用.從數(shù)學(xué)方法論的角度來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)變換主要是一種化歸的思想，就是采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化，把待解決或未解決的問(wèn)題通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程，歸結(jié)到一類已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問(wèn)題中去，最終求獲原問(wèn)題解答的一種手段和方法。也可以說(shuō)就是問(wèn)題的規(guī)范化、模式化?；瘹w在數(shù)學(xué)研究中幾乎無(wú)處不在，化歸的基本功能是：生疏化成熟悉，復(fù)雜化成簡(jiǎn)單，抽象化成直觀，含糊化成明朗。結(jié)語(yǔ)綜上所述,正交變換之所以能夠在數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)揮極其重要的作用,是因?yàn)樗蠑?shù)學(xué)發(fā)展的代數(shù)化潮流,集合了數(shù)學(xué)方法論中豐富的數(shù)學(xué)思想,使用正交變換的方法去處理重積分的某些問(wèn)題是卓有成效的,并且不受空間維數(shù)的限制.因而得到了在很多領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用.如在物理學(xué)上、幾何上、概率論上等學(xué)科有著廣泛應(yīng)用的前景。文中應(yīng)用正交變換化二次標(biāo)準(zhǔn)型，以及在各種積分、曲面積分等中的應(yīng)用,恰恰是在正交變換作用下獲得的具有數(shù)學(xué)美的產(chǎn)物.參考文獻(xiàn)[1]張禾瑞,郝炳新.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,1999.[2]王琳．用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)型方法研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，1990，30(3)：31—33．[3]汪慶麗．用矩陣的初等變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形[J]．新疆教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2001，17(2)：22—24[4]華東師大數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(下冊(cè))[M].北京:高等教育出版社,2001(第3版)：305—306[5]姚允龍.高等數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)方法導(dǎo)引[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,1988.[6]楊仲華.正交變換在數(shù)分