牛頓力學討論課答案

討論課1—牛頓力學2013.21

1.

質點沿曲線由A

B運動，表示位矢，下列各式分別代表什么？并在圖中標出。=位移的大小=路程=末、初位矢大小之差òòò)()()()()()(BABABArrrdddrr解ΑΒO22.絞車以恒定的速率v0收繩，問：（1）繩上各點速度相同嗎？hx

v0岸船繩（2）船速

v=v0cos

嗎？答（1）：v0岸..ABP.P

...A

B

t+

tt如圖示，在

t內繩上P、A、B點的位移不同，

因而繩上各點速度必然不同。3答（2）：由圖有：t+

t

r

xh

v0P.P

tx絞車收繩的速率：船速：

～04

3.

一質量為m的小球按如圖懸掛方式平衡。A圖的上端為繩索，B圖的上端為彈簧?，F剪斷水平繩索，兩種情況下，剪斷瞬間小球所受拉力各多大？為什么？θ(A)θ(B)解5剛性繩索k

，剪斷瞬間繩索形變

l雖無限小，但k

l

可取某有限值，保證小球沿圓周切線方向運動。瞬間靜止，法向加速度為零，因此：彈簧的k值有限，剪斷瞬間形變

l無限小，則k

l無限小，合力幾乎與剪斷前相同，因此：θ彈簧：θ繩索：l6

4.

Fvmv=const.皮帶Mf驅動力m磚塊f

下列說法是否正確？（2）F的功+f

的功=m獲得的動能（3）F的功+f

的功=0（4）F的功=m獲得的動能的過程中，應該有：vm=0vm=v磚塊m：（1）f

對M的功=f對m的功的負值7解（1）錯。

m與M間有相對位移，f和f

的作用點位移不同。二者之和不為零。（2）錯。

F與f

不是作用在m上。（3）對。M勻速，動能不變。可見（2）錯。（4）錯。F作用在M上。85.S

和

S系都是慣性系

2）在S

和S系中彈簧振子的機械能是否守恒？SS

在S

和S系中擺球m的機械能是否守恒？S

OmS1）91）S

系：機械能守恒，只有保守內力作功。機械能不守恒2）S系：機械能守恒S

系：墻壁對彈簧的力的作用點有位移，

外力的功和參考系有關，因此機械能是否守恒與參考系有關。外力的功不為零，機械能不守恒。S系：不垂直于106.分析下列情況的守恒量：（3）球與連桿球的碰撞懸點（2）兩質點構成的彈簧振子水平面光滑（1）錐擺A機械能、動量以及對任一定點的角動量都守恒機械能守恒機械能是否守恒取決于碰撞性質對O角動量守恒動量不守恒對A角動量不守恒一般動量不守恒對O點角動量守恒11動量不守恒對A點：ΑmgTrAro

角動量不守恒對O點：

角動量守恒（1）機械能守恒解無外力。機械能、動量以及對任一定點的角動量守恒。

水平面光滑（2）12能量是否守恒取決于碰撞性質。對O點力矩為零，故對O點系統(tǒng)角動量守恒。碰撞中過懸點軸對桿可能有橫向力，外力不為零，動量不守恒。（3）懸點131、功能關系是否成立？

7.一內壁光滑的環(huán)狀細管繞豎直軸均勻轉動。管內小球自頂端無初速滑下。2、設小球到圖示位置時速度為v'，有人列式如下試判斷此式的正誤，并說明理由。在圓環(huán)參考系中考慮小球的運動：14圓環(huán)系為非慣性系。質點受科氏力和慣性離心力，必需考慮它們做的功。在圓環(huán)系中，小球＋地球機械能不守恒！1、考慮慣性力做功后，功能關系仍成立。解答：科氏力與速度垂直，不做功。但慣性離心力做功。2、所列式錯誤。v'fI15

8.斜拋一物體，考慮空氣阻力，并設阻力大小與速率成正比，比例系數為k.已知物體質量為m，初速度為v0.求：物體到達最高點時的速度。解受力分析直角坐標系分量形式：列方程：mg

kvvyx16得上升時間：最高點速度：解y向方程：因最高點

vy=0，解x向方程：則：17

9.兩根長度分別為l1和

l2的繩豎直懸掛兩個質量分別m1

,m2

的小球，突然打擊球1，使之獲得水平速度v0,求該瞬時兩繩中的張力。

v0l1l2m1m21、關于m1列方程(O點慣性系)m1作半徑為l1的圓周運動，在打擊m1的瞬時，其法向加速度為a1n,法向力為T1;它還受到重力m1g和下面繩的拉力T2。（m2

靜止）解對m1、m2分別列方程

v0l1m1o18對m1列豎直方向的方程：在打擊m1的瞬時，m2作半徑為l2的向左圓周運動，瞬時速率也是v0。設其法向加速度為a'2n,法向力為T2

v0l1m1

l1l2m1m2v02、關于m2列方程（以m1為參考系，非慣性系，加速度a1n向上）它除受到重力m2g外，還受到向下的慣性心力。19

l1l2m1m2v0對m2列豎直方向的方程：即聯(lián)立（1）（2）兩式，得張力為檢驗：特例v0=0時是否正確？2021分析：機械能守恒？有人說兩小孩系統(tǒng)動量守恒，對嗎？角動量守恒？m1m2(不爬)(爬)

10.如圖示，兩個同樣重的小孩，各抓著跨過滑輪的繩的一端。起初都不動，然后右邊的小孩用力向上爬繩，左邊的小孩只抓住繩但不爬動。忽略滑輪、繩的質量和軸的摩擦。設他們的起始高度相同，問哪個小孩先到達滑輪？22對“m1+m2

”系統(tǒng)：把小孩看成質點，以滑輪中心O點為參考點?！嘟莿恿渴睾?

ROm1m2外力：兩小孩同時的到達滑輪！滿足條件：設角動量向內為正23角動量定理設（爬繩的小孩較輕）.

ROm1m2爬繩的小孩（輕）先到。

若

，誰先到達？24若m2>m1（爬繩的小孩較重）結論：無論誰爬繩，總是輕的小孩先到！

以上結論也可直接由力和加速度的關系得到（課后自己完成）。仍是輕的小孩先到。前面各關系式中僅不等號反向，即25球D作用力

（A+B）質心運動；解

分析（A+B）的運動球D對質心作用力矩

（A+B）繞質心轉動。求：碰后（A+B）和球D的運動；

11.

一長度為l的輕質細桿，兩端各固結一個小球，平放在光滑水平面上，開始時靜止。另一小球，以垂直于桿身的初速度v0與桿端的A球作彈性碰撞。設三球質量同為m。AlBv0D碰撞前如果小球與A球作完全非彈性碰撞（碰后粘在一起），結果如何？26設碰撞后：D球速度為v'.(A+B)質心速度為vc，轉動角速度為

.

系統(tǒng)：A+B＋D1、水平無外力，動量守恒。2、彈性碰撞，動能不變。①②AlBv'Dvc碰撞后（質心動能）（繞質心轉動動能）27碰撞后：D、A球角動量為零,B球角動量為3、選擇碰撞前A球的位置作為定點（稱為O點）碰撞前：(D+A+B)角動量為零關于O點列角動量守恒：，角動量守恒：③

AlBv'DvcO（也可關于三個球的質心列角動量守恒）28

4、①②③式聯(lián)立解出碰撞后：D球靜止，(A+B)平動＋轉動。

如果小球以垂直于桿身的初速度v0，與桿端的A球碰撞后粘在一起共同運動，結果為29

12.在靜止的圓柱體上繞有繩索，繩兩端掛大、小兩個桶，其質量分別為M=1000kg和m=10kg。繩與圓柱體之間的靜摩擦系數為

=0.05，繩的質量可以忽略。試問為使兩桶靜止不動，繩至少需要繞多少圈？Mm

30

將繩分割成小段，由力平衡條件列微分方程，積分。分析一小段繩的受力思路：連續(xù)體張力問題?！居懻摗磕Σ亮Φ姆较颍繅毫?？摩擦力張力壓力張力31列平衡狀態(tài)牛頓方程切向：法向：32設得33

13.

赤道上有一高度為h

的樓，一物體由樓頂自由下落時，由于地球自轉的影響，物體將落在樓根的東側，這一現象稱為落體東移。適當地取近似，計算物體著地點與樓根的距離。h

ROs34取近似1：物體下落時水平速度不變物體下落時間（自由落體）：物體著地點與樓根的距離：水平速度差：誤差很大。35取近似2：R很大，物體與地面的速度差近似沿水平方向，但隨時間變化。h

ROy0t=036近似3：取樓高對地球半徑之比的一級近似。物體自由下落后，只受地心引力，物體關于地心O點角動量守恒。（2）在地球系（非慣性系）中求解（1）在慣性系中求解37

物體自由下落后，只受地心引力，物體關于O點角動量守恒。地球（樓）的角速度下落物體的角速度物體落地點的偏角為0yhy

RO

t

t（1）在慣性系中求解：38

在y=h附近做展開39落體東移的距離為40物體自由下落，除受地心引力，還受科氏力fc作用。因vx<<vy，則近似取fc

沿x方向（2）在地球系（非慣性系）中求解：0yh

ROx

vfc物體的運動可看成：自由落體＋fc作用橫向加速41

14.把一根單位長度的質量為

的均勻柔軟的繩子懸吊起來，下端剛好觸及地面，繩子自靜止釋放自由下落。求：當繩子下落的長度為z時，地面受到繩子的壓力。你能想到幾種解法？42解法1質點動量變化定理取豎直向下為y軸，t=0時刻繩上端為坐標原點。設t時刻已有長度為y的繩子落地，經過dt

時間又有質元dm落地。繩子柔軟均勻，dm只受重力和地面的作用，落地前的速度:用N1表示dm對地面的