偏導數(shù)的定義及其計算法

§8.2偏導數(shù)一、偏導數(shù)的定義及其計算法二、高階偏導數(shù)一、偏導數(shù)的定義及其計算法

類似地

可定義函數(shù)z

f(x

y)在點(x0

y0)處對y的偏導數(shù)

偏導數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)z

f(x

y)在點(x0

y0)的某一鄰域內(nèi)有定義

若極限存在

則稱此極限為函數(shù)z

f(x

y)在點(x0

y0)處對x的偏導數(shù)

記作>>>一、偏導數(shù)的定義及其計算法偏導數(shù)的定義偏導數(shù)的符號

如果函數(shù)z

f(x

y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(x

y)處對x的偏導數(shù)都存在

那么f(x

y)對x的偏導數(shù)是x、y的函數(shù)

這個函數(shù)稱為函數(shù)z

f(x

y)對x的偏導函數(shù)(簡稱偏導數(shù))

記作偏導函數(shù)一、偏導數(shù)的定義及其計算法偏導數(shù)的定義偏導數(shù)的符號偏導函數(shù)偏導函數(shù)的符號>>>偏導函數(shù)

偏導數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù)例如

三元函數(shù)u

f(x

y

z)在點(x

y

z)處對x的偏導數(shù)定義為其中(x

y

z)是函數(shù)u

f(x

y

z)的定義域的內(nèi)點

偏導數(shù)的求法求函數(shù)對一個自變量的偏導數(shù)時

只要把其它自變量看作常數(shù)

然后按一元函數(shù)求導法求導即可

偏導函數(shù)討論

下列求偏導數(shù)的方法是否正確？

例1

求z

x2

3xy

y2在點(1

2)處的偏導數(shù)

解

例2

求z

x2sin2y的偏導數(shù)

解

解

證

例3

例4

證

本例說明一個問題

偏導數(shù)的記號是一個整體記號

不能看作分子分母之商

例5

已知理想氣體的狀態(tài)方程為pV=RT(R為常數(shù))

求證偏導數(shù)的幾何意義

fx(x0

y0)

[f(x

y0)]x

fy(x0

y0)

[f(x0

y)]y

z

f(x

y0)z

f(x0

y)

是截線z

f(x

y0)在點(x0

y0)處的切線Tx對x軸的斜率

是截線z

f(x0

y)在點(x0

y0)處的切線Ty對y軸的斜率

偏導數(shù)的幾何意義偏導數(shù)與連續(xù)性

對于多元函數(shù)來說

即使各偏導數(shù)在某點都存在

也不能保證函數(shù)在該點連續(xù)

例如但函數(shù)在點

并不連續(xù)

在點(0

0)

有fx(0

0)

0

fy(0

0)

0

提示：提示：當點P(x

y)沿直線y

kx趨于點(0

0)時

有因此函數(shù)f(x

y)在(0

0)的極限不存在

當然也不連續(xù)

二、高階偏導數(shù)二階偏導數(shù)

如果函數(shù)z

f(x

y)的偏導數(shù)fx(x

y)、fy(x

y)也具有偏導數(shù)

則它們的偏導數(shù)稱為函數(shù)z

f(x

y)的二階偏導數(shù)

函數(shù)z

f(x

y)的二階偏導數(shù)有四個

其中fxy(x

y)、fyx(x

y)稱為混合偏導數(shù)

類似地可定義三階、四階以及n階偏導數(shù)

解

此例中兩個混合偏導數(shù)是相等的

那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導數(shù)必相等

定理