2024全國初中數(shù)學高中自招競賽試題 因式分解（解析版）

專題05因式分解

學校:姓名：班級:考號：

一、填空題

1.(2024.全國?八年級競賽)若x=l,則

1+X+X。+X)+x(l+x)2+X。+x)3+…+X。+x)x'3+XI+X)20"=.

【答案】22M5

【分析】本題考查了提取公因式法，整式化簡求值，熟練掌握提取公因式法是解答本題

的關(guān)鍵.將所求代數(shù)式反復提取公因式(X+D,得到(I+X產(chǎn)'，再將X=1代入即得答案.

【詳解】解：當X=1時，

原式=(1+x)[l+X+A(1+X)+X(1+X)2+A(1+x)3+…+X(1+X嚴2+X(1+X嚴。

—(1+x)-[l+x+x(l+X)+x(l+x)~+x(l+x)‘+…+x(l+X嚴"+x(]+x)-0i~]

=(l+x)

二22015

故答案為：2235.

2.(2024?全國.七年級競賽)若“、6是正整數(shù)，且756a=3,則。的最小值是.

【答案】98

【分析】本題主要考查了因式分解、有理數(shù)乘方等知識點，掌握因式分解的應(yīng)用是解題

的關(guān)鍵.

先將756因式分解，然后表示出a的最小值即可解答.

【詳解】解：：756=33x2^x7,156a=b3,

.上一_二

**a-756-33x22x7；

■?ainin=2x7"=98.

故答案為98.

3.(2024全國?八年級競賽)已知“、人為正整數(shù)，且滿足ab+a+b=2011,則滿足條件

的有序?qū)崝?shù)對(。，方)的組數(shù)是.

【答案】4

【分析】本題主要考查因式分解的應(yīng)用，將必+0+8+1=2012變形為

(a+l)(ft+1)=22X503,

根據(jù)人人為正整數(shù)得a+122,6+122,再分類討論即可求解

【詳解】解：?.5+4+6+1=2012,

.,.（a+l）（/,+l）=22x503,

又“、匕為正整數(shù)，

.*.?+1>2,Z?+l>2,

J+1=2J。+1=4p+l=503p+l=1006/

"p+l=1006，'[/7+l=503，j6+1=4'[b+\=2'共。組，

即有序?qū)崝?shù)對（。，力共有4組.

4.（2024?全國?八年級競賽）設(shè)/+2〃_1=0,h4-2b2-1=0,且1-加工（），則

翻+/-3°+1￡1

2at------------'

【答案】-1

【分析】本題考查了分式的化簡求值，將/+2〃-1=0與64-2/一1=0的差進行因式分

解，得到R+⑹（〃-從+2）=0,推出〃與匕的關(guān)系，并判斷其是否滿足1一他、0,最

后將其代入產(chǎn)「J中化簡求解，即可解題.

【詳解】解：（4+2。-1）一（/-?2-1）=0,（。+從）（。一/+2）=0,

若a-加+2=0,則〃=a+2,

貝Ijl—a"=l_a（a+2）=_（/+2a_l）=0,矛盾.

所以a+〃=0,

即從=一〃，

所以

/,2,°,\2015（o,'2015z..\2OI5,x2OI5

cib+h2-3ci+1?-a2-〃-3〃+1a2+2a+2a-1?（2aj1

、2aJt2<7JI2aJ\2a）

故答案為：-1.

5.（2024?全國?八年級競賽）若加=”+2015,〃2=m+2015（，〃/〃），則田-2如?+/的

值為.

【答案】-2015

【分析】本題考查整式的化簡求值，利用〃=〃+2015與〃2=膽+2015（加工”）的差，結(jié)

合平方差公式進行因式分解，得出，"+"=-1,將加-2〃皿+”3變形為含〃?+〃的式子，

再將機+〃=-1代入式子，即可解題.

試卷第2頁，共17頁

【詳解】解：由題知，/_〃2=〃_6，

則m+n=-\,

又M—2mn+n3=m^m2—〃)—〃(〃？一〃，=2015(m+H)=—2015.

故答案為：—2015.

6.(2024?全國?八年級競賽)已知多項式/+7而+M2—50+43。—24分解因式后能夠變

成兩個含有。、匕的一次因式的乘積，則實數(shù)2的值為.

【答案】-18

【分析】本題考查了因式分解，多項式乘以多項式，二元一次方程組的求解，根據(jù)因式

分解結(jié)合多項式乘以多項式可得加+〃=7①，攵②，3〃-8利=43③，利用加減消

元法求解二元一次方程組得到團，〃的值，即可求出最后結(jié)果.

【詳解】解：/+7而+加一5〃+43。-24可分解為(。+加2+3)(。+)必-8),

.,.(a+/?/%+3)(a+8)

=a?+inab+3。+nab+mnb1+3nb—8a—8mb-24

=a2+[m+ri)ab+nmb1-5々+(3〃一8m)人一24,

cr+lab+kb1—5a+43Z?-24,

:.m+n=l?,mn=k②,3〃-8M=43③,

③一3x①得：一8m—=43—3x7,解得：m=-2,

將相=一2代入①得：n=9,

;.k=mn=-18,

故答案為：-18.

7.(2024?全國?八年級競賽)已知：x=2012r+801,y=2012r+803,z=2012r+805,

則J+y2+/一肛一片_ZX=.

【答案】12

【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，先求出兀-y=-2,y-z=-2,X-Z=-49

再根據(jù)完全平方公式把原式因式分別為g[(x-y)2+(y-z)2+(z-x)]，據(jù)此代值計算

即可.

【詳解】解：Vx=2012r+801,y=20⑵+803,z=20⑵+805,

x-y=-2,y-z=-2,x-z=-4

x2-I-y2+z2-xy-yz-zx

222

^^(%-2xy+/)+i(/-2yz+2)+1(x-2xz+z2

=1(4+4+16)

=12,

故答案為：12.

8.(2024?全國?八年級競賽)分解因式：1-病-/+2〃m=

【答案】+

【分析】本題考查了分組分解法進行因式分解，利用添括號把1-病-〃2+2〃機后三項放

一起，得到1-(1-2,W〃+/),利用完全平方公式進行因式分解，得到1_(機-”)2,再

利用平方差公式因式分解即可求解，掌握分組分解法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：原式=1一(，〃一〃)2,

=(1+加一”)(1一加+〃),

故答案為：｛\+m-ri)[\-m+n).

9.(2024.全國?七年級競賽)若|2x-3|+(y-2)2=O,則/_2孫+y2=.

【答案】-J-/0.25

4

【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出x=T，y=2.再把字母的值代入f—2孫+y2=(x—y)2

進行求解即可，此題考查了求代數(shù)式的值、完全平方公式和非負數(shù)的性質(zhì)，求出字母的

值是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：V|2x-3|+(y-2)2=0,|2x-3|>0,(y-2)2>0,

A|2x-3|=O,(y-2)2=O,

2x—3=0,y—2=0,

.3

??%==92.

x2-2xy+y1

=(x_y『

試卷第4頁，共17頁

1

~4f

故答案為：—

4

10.（2024?全國?八年級競賽）已知一43c的三邊為a、b、c,且滿足4-?+,=―J~-

abco-b+c

則JSC的形狀為.

【答案】等腰三角形

【分析】本題考查因式分解，等腰三角形的判定，先將分式變形得出

止宏型=，^，得出%=[（.—〃）+c][ab—c（a—6）],再進行因式分解，進而

得出〃=6或6=°,即可得出答案.

1111

【詳解】V----1-=-----

abca-b+c

.hc-ac+ab1

,?-------=-----

abca-b+c

abc=[(a-Z?)+c]["-c(a-b)]

ab^a-b]-c^a-by+abc-c2(a-b),

(a-/?)[(aZ?-ac)+(bc-c2)]=0,

/.(tz-Z?)(Z?-c)(6f4-c)=0,

??a—bWcb=c.

故答案為：等腰三角形.

11.（2024?全國?八年級競賽）已知/+從=2,/+/=10。3,則多項式

{ax+by）2+（bx-ay）2的值為.

【答案】2006

【分析】本題考查了整體代入求多項式的值，整式的混合運算，分組法因式分解等知

識.先將（公：+。），）2+（公—砂尸進行計算得至I」//+//+//+。29，再利用分組因式

分解得到（/+用（f+力，整體代入即可求解.

【詳解】解：（儀+b）2+（以-砂＞

=a2x2+b2y2+2abxy+b2x2+cry2-2abxy

=a2x2+b2x2+b2y2+a2y2

=*2（a2+從）+y2+）

=（。2+/;2）卜2+力

=2x1003

=2006.

12.（2015?全國?八年級競賽）若”為整數(shù)，且J〃2+9〃+30是自然數(shù),則〃=.

【答案】-14或-7或—2或5

【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，解二元一次方程組，設(shè)J”2+9〃+30=P（P

為非負整數(shù)），貝IJ可推出（2〃+9）2+39=4獷，進而得至iJ（2p+2”+9）（2p—2〃—9）=39,

再由題意可得2P+2〃+9和2P-2〃-9都是整數(shù)，再由39=-lx（-39）=lx39,由此得

2p+2〃+9=lj2p+2〃+9=39j2p+2〃+9=3、j2p+2〃+9=13

2p-2n-9=39^[2p-2n-9=\[2/7-2n-9=l3^（2/?-2n-9=3,解方程組

即可得到答案.

【詳解】解：設(shè)J/+9〃+30=p（P為非負整數(shù)）,

/+9〃+30=p2,

：.4/+36〃+120=4/

.,.（2n+9）2+39=4p2,

,2

..4/r-（2/I+9）=39,

（2p+2〃+9）（2p-2〃-9）=39,

，都為整數(shù)，

2/?+2〃+9和2。-2〃-9都是整數(shù),

39=1x39=3x13

j2p+2〃+9=l、J2P+2〃+9=39j2p+2〃+9=3j2p+2〃+9=13

（22-2〃-9=39或12p-2〃-9=l或12p-2〃-9=13或12p-2〃-9=3

〃=10p=;°或…或〃二4

解得14或

n=-ln=-2

二〃=一14或-7或—2或5,

故答案為：-14或-7或—2或5.

22

13.（2024?全國?九年級競賽）分解因式：a-b-2a+l=

試卷第6頁，共17頁

【答案】(a-\+b)(a-1-b)

【分析】先分組，得至U(“2-24+1)-62,運用完全平方公式變形得到(a-1)?-從，再根

據(jù)平方差公式分解因式.

［詳解］a2-b2-2a+\=(a2-2a+l)-b2=(a-l)2-/?2=(a-l+&)(?-l-Z?),

故答案為：(a—l+b)(a—1—力.

【點睛】此題考查了因式分解，把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分

解，因式分解常用的方法有：提公因式法，公式法，十字相乘法，分組分解法，因式分

解必須分解到每個因式都不能分解為止.

14.(2024?全國?八年級競賽)正整數(shù)以6滿足必+a+8=90,則而=.

【答案】72

【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用，根據(jù)條件可得(。+1)僅+1)=91,然后由a、6為正

整數(shù)，可得。+1>1且6+1>1,進而求出a,b的值，代入求值即可.

【詳解】解：?.,"+a+A=9O,

ab+a+b+l=9i,即(a+l)(6+l)=91,

又,：a、b為正整數(shù)，

且b+l>l

.J67+1=7p+l=13

,力+1=13，［*+1=7'

［a=6(a=12

解得：,［?；騆￡,

\b=\2［b=6

ab=6xl2=72>

故答案為：72.

15.(2024?全國?八年級競賽)分解因式：2/-12/丫+18孫2=.

【答案】2x(x-3y)2

【分析】本題主要考查提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式2x,再運用完全

平方公式進行分解因式即可求解，掌握分解因式的方法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：2x3-12x2y+18xy2

=2x(x2-6孫+9y2)

=2x(x-3>,)2,

故答案為：2x(x-3y)2.

二、單選題

16.(2024.全國?八年級競賽)若、=,20072+20072*ZQQG+2008'，則關(guān)于"的說法正

確的是().

A.是正整數(shù)，而且是偶數(shù)B.是正整數(shù)，而且是奇數(shù)

C.不是正整數(shù)，而是無理數(shù)D.無法確定

【答案】B

【分析】設(shè)"=2007,將根號下的整式通過加添項湊成完全平方式，去掉根號，再根據(jù)

整式的性質(zhì)進行判斷正負性和奇偶性，本題考查了運用完全平方公式分解因式，解題的

關(guān)鍵是：熟練掌握完全平方公式，及加添項的分解因式技巧.

【詳解】設(shè)”=2007,

a=J/+〃2++

=++2〃(”+1)+["(”+1)了

=++1)+[〃(〃+1)丁

=++了

=1+?(?+1)

"("+1)是偶數(shù)，

.?.1+〃(”+1)是奇數(shù)，選項B符合題意，

故選：B.

17.(2024?全國?九年級競賽)任意正整數(shù)”都能夠分解成兩個正整數(shù)的乘積，若相乘的

這兩個正整數(shù)之差的絕對值最小，則分別記為。、b(a<b),并規(guī)定/(〃)=￡.例如：

71q

/(6)=§，/(7)=],/(12)=1,現(xiàn)有下列說法：

①42)=4；②〃24)=J；③若〃是一個完全平方數(shù)，則/(〃)=1；④若〃是一個完全

立方數(shù)，即〃是正整數(shù))，則/(〃)=;.其中正確的有().

A.1個B.2個C.3個D.4個

試卷第8頁，共17頁

【答案】B

【分析】此題主要考查了完全平方數(shù)，分解因數(shù)，新定義的理解和應(yīng)用，掌握分解因數(shù)

的方法是解本題的關(guān)鍵.

①將2分解因數(shù)，進而找出2的兩個因數(shù)即可得出結(jié)論；

②將24分解因數(shù)，進而找出24的兩個因數(shù)即可得出結(jié)論；

③根據(jù)題意找出n的符合題意的分解即可得出結(jié)論；；

④利用“相乘的這兩個正整數(shù)之差的絕對值最小”舉出反例，進而確定此說法錯誤即可.

【詳解】解：①：2=lx2,,/⑶毛，此說法正確；

②24可以分解成1x24,2x12,3x8或4x6,因為24-1>12-2>8-3>6-4,所以4x6是24

的符合題意的分解，所以〃24）V，故錯誤；

③Q〃是一個完全平方數(shù)，

設(shè)〃=X2（尢>0）,

???XXX是〃的符合題意的分解，則此說法正確；

④若〃是一個完全立方數(shù)，即〃="（“是正整數(shù)），a是正整數(shù)，如64=43=8x8,

Q11

”64）44,則〃〃）=上不一定成立，此說法錯誤.

ooa

綜上所述，有兩個正確，

故答案為：B.

18.（2024?全國?八年級競賽）三位數(shù)次的平方的末三位數(shù)恰好是詼，這樣的三位數(shù)

abc有（）

A.0個B.1個C.2個D.多于2個

【答案】C

【分析】本題考查分解因式的應(yīng)用，掌握提取公因式分解是解題的關(guān)鍵.

【詳解】由題意知（而丁-/=忘（而-1）是1000的倍數(shù)，

V1000=8x125,（abc\abc-l）=l,

，（1）8整除次且125整除（次-1）；（2）125整除次且8整除（五-1）,

由（1）得正=376，由（2）得正=625，

，共有兩個，

故選C.

19.（2024?全國?八年級競賽）已知實數(shù)"人〃、p滿足，”2-2p=7,川-6%=—17,

p2+2n=-l,則心+〃+〃的值等于().

A.2B.4C.3D.5

【答案】C

【分析】本題考查了因式分解的完全平方公式，代數(shù)式求值，熟練掌握完全平方公式是

解答本題的關(guān)鍵，先將三式相加，并移項配方成三個完全平方式，即可得到答案.

【詳解】將m2-2p=7,tv-6m=-17,p?+2〃=-1三式相加，

得m2一2p+tr-6m+/?2+2/?=7—17-1

整理得nr—6m+9+n2+2〃+1+p?-2p+1=0

BP(w-3)2+(/?+l)2+(p-l)2=0

.?.6=3,n=—[,〃=1,

..m+n+p=3.

20.(2024?全國?八年級競賽)己知在中，b、c是三邊的長，且

a2—12b2-c2+4ab+8bc=0，刃H么----的值是().

a+c

1Q

A.-B.!C.-D.1

424

【答案】B

【分析】本題考查完全平方公式，平方差公式因式分解，根據(jù)完全平方公式變形得出

(4+26)2-(46-C)2=0,得出(a+27?+4b-c)(a+2人一46+C)=0,求出a—4+C=0,

再代入求值即可得出答案.

【詳解】解：.°2-12〃-,2+4,活+8公=0,

:.(a2+4ab+4b2)-(l6b2-8bc+c2)=0,

(a+2Z?)2-(4Z>-c)2=0,

(a+2^+4b-c)(a+?-4b+c)=0,

a+h-c>0,

：.a+6b-c^0,

:.a-2b+c=0,

b_1

----=.

a+c2

故選：B.

21.(2024?全國?八年級競賽)已知〃、〃、c分另ij是ABC的三邊，貝ij(病+〃-/了-4//

試卷第10頁，共17頁

為()

A.正數(shù)B.負數(shù)C.零D.無法確定

【答案】B

【分析】本題主要考查了因式分解，三角形三邊的關(guān)系，先利用平方差公式和完全平方

公式把原式分解因式得到(a+Hc)(a+匕-8-c),再根據(jù)三角形中，任

意兩邊之差小于第三邊，任意兩邊之和大于第三邊推出(/+〃—4/"<o即可得

到答案.

【詳解】解：(a2+b2-c2^-4a2b2

=(/+b2+2ab-c2^a2+b2-2ab-c2^

=[(a+0)2-c2][("b)2-c1

=(a+b+c)(q+A-c)("6+c)(a-/7-c),

,?"、b、c分別是，ABC的三邊，

a+b+c>09a+h—c>0,a+c—/?>0,a—b—c<0,

:.(〃+Z?+c)(Q+b-c)(〃-b+c)(〃-Z?-c)<0,

(〃2+人2-c2y一4〃2匕2<Q

故選：B.

22.(2024?全國?八年級競賽)若多項式/+即+12因式分解得(x+3)(x+〃)，則6+〃=

()

A.8B.9C.10D.11

【答案】D

【分析】本題考查了因式分解的定義和多項式的乘法運算.根據(jù)因式分解的定義，列出

等式，利用等式性質(zhì)分別求出機和〃的值，再求解即可.

【詳解】解：由已知，

(X+3)(X+H)=X2+(3+〃)X+3〃=%2+〃ZX+12

故可得，3+〃=6,3〃=12,

n=4,m=3+n=l,

.**w+n=4+7=11,

故選：D

三、解答題

23.(2024.全國?八年級競賽)有〃(“W2且為整數(shù))支乒乓球隊進行單循環(huán)賽，每支參

賽隊同其他各隊都進行一場比賽.如果用q和仿分別表示第/?(i=L2,3,,〃)支球隊

在整個賽程中勝與負的局數(shù)

求證：a\+匹+L+“：=bf+b；+L+b~.

【答案】見解析

【分析】本題考查了等式證明問題，利用平方差公式進行因式分解，作差比較是非常常

用的方法.找出比賽規(guī)則下隱含的條件且q+的++凡=4+仇++b?

是證題的關(guān)鍵.

【詳解】證明：???比賽沒有平局，且所有球隊勝的總場數(shù)與負的總場數(shù)相等，

cij+bj=〃-1,4+/++。〃=4+4++b”.

.?.才一環(huán)=3+1)3—])=(〃T)(q一1),

：(4+域+.+d)_(b]2+&+)

=儂_加儂智)++(a”f)

=(4+偽)(4一偽)+(%+?(生一4)+,+(?！?2)(。"一々)

=(〃-1)(4-偽)+(〃-1)(%-4)++(〃-。(4,-勿)

-1)[4_〃+%_,++an-bn]

=(〃-乳4+/+-+an-bt-b2----仇]

=(n-l)[(a1+a2+--+a)n-(Z?1+Z?2+--+&?)]

=0；

:.af+a^++a；=〃：+,++8.

24.(2024.全國.九年級競賽)中國古代數(shù)學家秦九韶和古希臘數(shù)學家海倫分別提出了一

般三角形面積的計算方法：

①S=J；a2h2-j-cj；?S=Jp(/?-a)(/?-Z>)(p-c).

(其中a、從c?為三角形的三邊長，p=為面積)

試卷第12頁，共17頁

2

/a2+t1r2-c2

⑴請證明:=Jp(p_a)(p_b)(p_c)；

,2-

(2)如圖，線段MV=6,點8在MN上，且MB=4,點A是線段MB上一點，分別以A、8

為圓心，40、8N的長為半徑畫圓，A和-8交于點P,直接寫出R4B的面積的最

【答案】(1)見解析

⑵G

【分析】本題考查了乘法公式的應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).

(1)對被開方數(shù)的字母因式利用乘法公式變形即可完成；

(2)設(shè)/W=a,則PA=4-“，利用S=Qp(p_a)(p_b)(p_c)表示出面積,再利用二

次函數(shù)知識即可求解.

【詳解】(1)證明：a2b2-[a+b~C

-TIN

222222

=-[ab+a+b-c}(八a+b-c

4-一^L

1(a+b)2-c2c2-(a-b)2

=-X-------------------------X----------------------------

422

1(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)

=-x------------------------------------------x---------------------------------------------

422

a+b+ca+b-cc+a-bc+b-a

=,**t

2222

..a+h+c

?P-~，

Aa+b-c=2p-2ac+a-b=2p-2b,c+b-a=2p-2a,

.a+h+ca+h-cc+a-hc+h-a

??--------------------------------------------

2222

=p(p-c)(p-b)(p-a),

=Qp(P-a)(p-b)(p-c)；

⑵解：設(shè)AB="，則PA=MB-AB=4-a,PB=BN=MN—MB=2,

/.p=gMN-3,

5=j3(3-a)(3-2)[3-(4-明

-丁3(-a，+4a-3)

=V-3(a-2)2+3.

而對于-3(a-2>+3,當a=2時，它有最大值3,

，S有最大值G；

故答案為：6

25.(2024?全國?八年級競賽)在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：

(l)-2x3+2y/6x2y-3xy2；

⑵a,+a2-6;

(3)4(6+1)，-4/-8/T.

【答案】(l)-x(缶-網(wǎng)2

⑵(a++3)

⑶(2/+47?+1丫

【分析】本題考查了實數(shù)范圍內(nèi)的因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解答本題的關(guān)

鍵.

(1)先提取公式因，再利用完全平方公式的方法進行因式分解即可；

(2)利用完全平方公式和平方差公式的方法進行因式分解即可；

(3)利用完全平方公式的方法進行因式分解即可.

【詳解】(1)解：-2x3+2\Jbx2y-3xy2

=-x(2x2-2y/6xy+3y2)

=-x(應(yīng)x)-2y/6xy+^>/3y^

=-x(>/2x->/3y)；

(2)a4+a2-6

=("-2)(a2+3)

=+-+3)；

試卷第14頁，共17頁

（3）4（6+1）**-4〃-8b—3

=4（/?+l）4-4（/?+l）2+l

=[23+1）2-1『

=（2/+46+1）2.

XXX

26.（2024?全國?八年級競賽）己知。+++

m~+1m~+1+1

ahc111sd

SLabc=6,求一+---F------------的值.

becaababc

【答案】y

【分析】本題考查了分式化簡求值，根據(jù)題意得出a-b=-l,6-c=-l,c-a=2是解題關(guān)

鍵.

【詳解]解：依題意得：a-b^-\,b-c=-\,c-a=2,

目_ti,礦+Z?~+c~—be—cci—ab

原式=---------------------

abc

二2〃2+2b2+2c2-2bc-2ca-2ab

2abc

（6f-/?）2+（Z?-c）2+（＜?—〃1

2abc

_（T）2+（T）2+22

2x6

一萬.

532

27.（2024?全國?八年級競賽）設(shè)a,b,c,d都是正整數(shù)，B^a=b\c=d,c-a=339

求d+Z?的值.

【答案】5937或375

【分析】本題主要考查了幕的乘方、因式分解的應(yīng)用、解方程組等知識點，靈活運用相

關(guān)知識成為解題的關(guān)鍵.

設(shè)/=/=m2O,c3=d2=