平面直角坐標(biāo)系與一次函數(shù)、反比例函數(shù)（基礎(chǔ)鞏固）-2021年中考數(shù)學(xué)一輪基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)和鞏固提升訓(xùn)練

平面直角坐標(biāo)系與一次函數(shù)、反比例函數(shù)一基礎(chǔ)鞏固

【知識梳理】

考點(diǎn)一、平面直角坐標(biāo)系

1.平面直角坐標(biāo)系

平面內(nèi)兩條有公共原點(diǎn)且互相垂直的數(shù)軸構(gòu)成了平面直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)對

應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對叫做這點(diǎn)的坐標(biāo).在平面內(nèi)建立了直角坐標(biāo)系，就可以把“形”(平面內(nèi)的點(diǎn))

和“數(shù)”(有序?qū)崝?shù)對)緊密結(jié)合起來.

2.各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)、坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)

點(diǎn)P(x,y)在第一象限O尤>0,y>0；

點(diǎn)P(x,y)在第二象限-x<0,y>0；

點(diǎn)P(x,y)在第三象限<=>%<0,y<0；

點(diǎn)P(x,y)在第四象限=無>0,y<0；

點(diǎn)P(x,y)在x軸上Oy=0,x為任意實(shí)數(shù)；

點(diǎn)P(x,y)在y軸上U>%=0,y為任意實(shí)數(shù)；

點(diǎn)P(x,y)既在x軸上，又在y軸上。x,y同時(shí)為零，即點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,0).

3.兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

點(diǎn)P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上Ox與y相等；

點(diǎn)P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上Ox與y互為相反數(shù).

4.和坐標(biāo)軸平行的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

位于平行于x軸的直線上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同；

位于平行于y軸的直線上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同.

5.關(guān)于x軸、y軸或原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

點(diǎn)P與點(diǎn)P'關(guān)于x軸對稱O橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；

點(diǎn)P與點(diǎn)P'關(guān)于y軸對稱o縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；

點(diǎn)P與點(diǎn)P'關(guān)于原點(diǎn)對稱o橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù).

6.點(diǎn)P(x,y)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離

(1)點(diǎn)P(x,y)到x軸的距離等于|y|；

(2)點(diǎn)P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于國；

(3)點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離等于.

7.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離公式

如果直角坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點(diǎn)4(王，%\B(X2,y2),那么A、B兩點(diǎn)的距離為：

AB=&1-v)2+(M-％)2.

兩種特殊情況：

(1)在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，x軸或平行于左軸的直線上的兩點(diǎn)A&,力夙聲，y)的距離

222

為：AB=7(^1-x2)+(y-y)=7(^1-^2)=|七一芍I

⑵在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，y軸或平行于y軸的直線上的兩點(diǎn)夙%,名)的距離

為：川=小一城+(%一乃)2=J(必一%)2=卜1一刃

方法指導(dǎo)：

(1)注意：x軸和y軸上的點(diǎn)，不屬于任何象限；

(2)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對，當(dāng)時(shí)，(a,b)和(b,a)是兩個(gè)不同點(diǎn)的坐

標(biāo).

考點(diǎn)二、函數(shù)

1.函數(shù)的概念

設(shè)在某個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x、y,如果對于x在某一范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，y

都有唯一確定的值與它相對應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)，x叫做自變量.

2.自變量的取值范圍

對于實(shí)際問題，自變量取值必須使實(shí)際問題有意義.對于純數(shù)學(xué)問題，自變量取值應(yīng)保

證數(shù)學(xué)式子有意義.

3.表示方法

⑴解析法；⑵列表法；⑶圖象法.

4.畫函數(shù)圖象

(1)列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應(yīng)值；

(2)描點(diǎn)：以表中每對對應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)；

(3)連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點(diǎn)用平滑的曲線連接起來.

方法指導(dǎo)：

(1)在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量，數(shù)值保持不變的量叫做常量；

(2)確定自變量取值范圍的原則：①使代數(shù)式有意義；②使實(shí)際問題有意義.

考點(diǎn)三、幾種基本函數(shù)(定義一圖象一性質(zhì))

1.正比例函數(shù)及其圖象性質(zhì)

(1)正比例函數(shù)：如果y=kx(k是常數(shù)，kWO),那么y叫做x的正比例函數(shù).

(2)正比例函數(shù)y=kx(kWO)的圖象：

過(0,0),(1,K)兩點(diǎn)的一條直線.

蝮經(jīng)過一、三象限直蟀由二、四象限

(3)正比例函數(shù)y=kx(kWO)的性質(zhì)

①當(dāng)k>0時(shí)，圖象經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大;

②當(dāng)k<0時(shí)，圖象經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小.

2.一次函數(shù)及其圖象性質(zhì)

(1)一次函數(shù)：如果y=kx+b(k,b是常數(shù)，kWO),那么y叫做x的一次函數(shù).

(2)一次函數(shù)y=kx+b(kWO)的圖象

系數(shù)特征圖象特征不經(jīng)過的圖例

象限

b>0直線從左直線與y軸在X軸上

k>0到右取向的交點(diǎn)方四21x

上方向Ux

0

b<0M(o,b)在X軸下

二|M

方

直線從左直線與y軸在X軸上y

b>0到右取向的交點(diǎn)方三X

k<0下的方向-1y

——x

b<0M(o,b)在X軸下—M|

方

(3)一次函數(shù)尸kx+b(kWO)的圖象的性質(zhì)

一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過(0,力點(diǎn)和(_2,0)點(diǎn)的一條直線.

k

①當(dāng)k〉0時(shí)，y隨x的增大而增大;

②當(dāng)k〈0時(shí)，y隨X的增大而減小.

(4)用函數(shù)觀點(diǎn)看方程(組)與不等式

①任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax+6=0(a,6為常數(shù)，aWO)的形式，所以解一元

一次方程可以轉(zhuǎn)化為：一次函數(shù)/="才+灰次，6為常數(shù)，4W0),當(dāng)y=0時(shí)，求相應(yīng)

的自變量的值，從圖象上看，相當(dāng)于已知直線y=Ax+6,確定它與x軸交點(diǎn)的橫坐

標(biāo).

_y=k,x+b,

②二元一次方程組1?對應(yīng)兩個(gè)一次函數(shù)，于是也對應(yīng)兩條直線，從“數(shù)”

y=k2x+b2

的角度看，解方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時(shí)兩個(gè)函數(shù)值相等，以及這兩個(gè)函數(shù)值

是何值；從“形”的角度看，解方程組相當(dāng)于確定兩條直線的交點(diǎn)的坐標(biāo).

③任何一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化ax+6>0或ax+力<0(a、6為常數(shù)，aWO)的形式，

解一元一次不等式可以看做：當(dāng)一次函數(shù)值大于0或小于0時(shí)，求自變量相應(yīng)的取值

范圍.

方法指導(dǎo)：

(1)當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例；

(2)確定一個(gè)正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式y(tǒng)=(kWO)中的常數(shù)k.

確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+Z?(k/0)中的常數(shù)k和b.

解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法.

(3)直線yi=kix+bi與直線yz=k2x+b?(ki#0,k，0)的位置關(guān)系.

①kiWkzOyi與yz相交；

kk

②<i2Oyi與y2相交于y軸上同一點(diǎn)(0,bi)或(0,b)；

山=%2

③1Oyi與y2平行；

也。b2

④1與y?重合.

也=匕2

3.反比例函數(shù)及其圖象性質(zhì)

（1）定義：一般地，形如y=K（左為常數(shù)，k手o）的函數(shù)稱為反比例函數(shù).

X

k

三種形式：y=—（kWO）或y=kxt（kWO）或xy=k（k#0）.

x

（2）反比例函數(shù)解析式的特征：

①等號左邊是函數(shù)y,等號右邊是一個(gè)分式.分子是不為零的常數(shù)左（也叫做比例系數(shù)

k）,分母中含有自變量x,且指數(shù)為1；

②比例系數(shù)女工0；

③自變量x的取值為一切非零實(shí)數(shù)；

④函數(shù)y的取值是一切非零實(shí)數(shù).

（3）反比例函數(shù)的圖象

①圖象的畫法：描點(diǎn)法

列表（應(yīng)以0為中心，沿。的兩邊分別取三對或以上互為相反的數(shù)）；

描點(diǎn)（由小到大的順序）；

連線（從左到右光滑的曲線）.

②反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，y=-（左為常數(shù)，左力0）中自變量XHO,函數(shù)

X

值ywO,所以雙曲線是不經(jīng)過原點(diǎn)，斷開的兩個(gè)分支，延伸部分逐漸靠近坐標(biāo)軸，

但是永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交.

③反比例函數(shù)的圖象是軸對稱圖形（對稱軸是y=x和y=-％）和中心對稱圖形（對

稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)）.

④反比例函數(shù)y=七（左#0）中比例系數(shù)左的幾何意義是：過雙曲線y=K（左H0）

XX

上任意點(diǎn)引X軸、y軸的垂線，所得矩形面積為限.

（4）反比例函數(shù)性質(zhì)：

y='(4w0)

函數(shù)

X

k的符

k>0k<0

號

4

4

圖像

①X的取值范圍是X/0,①x的取值范圍是xW0,

y的取值范圍是yw0；y的取值范圍是yw0；

性質(zhì)②當(dāng)k〉0時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別②當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分

在第一、三象限.在每個(gè)象限內(nèi)，y別在第二、四象限.在每個(gè)象限內(nèi)，y

隨X的增大而減小.隨X的增大而增大.

(5)反比例函數(shù)解析式的確定:

利用待定系數(shù)法(只需一對對應(yīng)值或圖象上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出左)

(6)“反比例關(guān)系”與“反比例函數(shù)”：

成反比例的關(guān)系式不一定是反比例函數(shù)，但是反比例函數(shù)y=七中的兩個(gè)變量必成反

x

比例關(guān)系.

(7)反比例函數(shù)的應(yīng)用

反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義，如下圖，過反比例函數(shù)y=K(左/0)圖像上

X

任一點(diǎn)P(x,y)作X軸、y軸的垂線PM,PN,垂足為M、N,則所得的矩形PMON的面

積S=PM*PN=|y|?忖=|xy|.

k

?：、=_,xy-k,5=|Z:|.

x

(8)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題

k

若正比例函數(shù)y=尤%(41W0),反比例函數(shù)y=二■(左2。0)，則

x

當(dāng)左總<。時(shí)，兩函數(shù)圖象無交點(diǎn);

當(dāng)人/2>0時(shí)，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn),

坐標(biāo)分別為(

由此可知，正反比例函數(shù)的圖象若有交點(diǎn)，兩交點(diǎn)一定關(guān)于原點(diǎn)對稱.

方法指導(dǎo)：

(1)用待定系數(shù)法求解析式(列方程［組］求解)；

(2)利用一次(正比例)函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象求不等式的解集.

【基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練】

、選擇題

下列圖形中的曲線不表示y是x的函數(shù)的是(

2.直線y=2x+2沿y軸向下平移6個(gè)單位后與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(-4,0)B.(-1,0)C.(0,2)D.(2,0)

3.若正比例函數(shù)y=(l-2m)x的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(xi,yi)和點(diǎn)B(X2,y2),當(dāng)xi<X2時(shí)，

yi>y2,則m的取值范圍是()

11

A.m<0B.m>0C.m<—D.m>—

22

k.

4.已知正比例函數(shù)y=匕wO)與反比例函數(shù),。0)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)

為(-2,-1),則它的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(2,1)B.(-2,-1)C.(-2,1)D.(2,-1)

5.若直線尸kx+b經(jīng)過一、二、四象限，則直線尸bx+k不經(jīng)過第()象限.

6.反比例函數(shù)圖象上有三個(gè)點(diǎn)(修，必)，(%2，為),區(qū)，為)，其中

<x2<0<x3,則yx,y2,y3的大小關(guān)系是（

A.B?乃<乃<乃C?乃<乃<乃D?必<為<必

二、填空題

7.已知y與x+1成正比例，當(dāng)x=5時(shí)，y=12,則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是.

8.從-2,T,1,2這四個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)不同的數(shù)作為一次函數(shù)y=kx+b的系數(shù)k,b,

則一次函數(shù)

y=kx+b的圖象不經(jīng)過第四象限的概率是.

9.已知直線y=-2x+m不經(jīng)過第三象限，則m的取值范圍是.

10.過點(diǎn)P(8,2)且與直線y=x+l平行的一次函數(shù)解析式為.

11.如圖，點(diǎn)人(*1,以)、8(乂2,丫2)都在雙曲線>>=—(X>0)上，且x、-X]=4,升-y?=2；

X

分別過點(diǎn)A、B向X軸、y軸作垂線段，垂足分別為C、D、E、F,AC與BF相交于G點(diǎn)，四

邊形FOCG的面積為2,五邊形AEODB的面積為14,那么雙曲線的解析式為.

12.在直角坐標(biāo)系中，直線y=x+l與y軸交于點(diǎn)A,按如圖方式作正方形AiBCCkABCG、

A3B3c3c2…，Ai,Az、A3…在直線y=x+l上，點(diǎn)Ci、C2、C3…在x軸上，圖中陰影部分三角形的

三、解答題

13.已知一次函數(shù)y=(3-k)x-2k2+18.

(1)k為何值時(shí)，它的圖象經(jīng)過原點(diǎn)？

(2)k為何值時(shí)，它的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,-2)?

(3)k為何值時(shí)，它的圖象平行于直線y=-x?

(4)k為何值時(shí)，y隨x的增大而減小？

14.某企業(yè)信息部進(jìn)行市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：

信息一：如果單獨(dú)投資A種產(chǎn)品，則所獲利潤yA(萬元)與投資金額x(萬元)之間存在正

比例函數(shù)關(guān)系：%=kx,并且當(dāng)投資5萬元時(shí)，可獲得利潤2萬元；

信息二：如果單獨(dú)投資B種產(chǎn)品，則所獲利潤yB(萬元)與投資金額x(萬元)之間存在二

次函數(shù)關(guān)系：yB=ax2+bx,并且當(dāng)投資2萬元時(shí)，可獲利潤2.4萬元；當(dāng)投資4萬元時(shí)，可

獲利潤3.2萬元.

(1)請分別求出上述的正比例函數(shù)表達(dá)式與二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如果企業(yè)同時(shí)對A、B兩種產(chǎn)品共投資10萬元，請你設(shè)計(jì)一個(gè)能獲得最大利潤的投

資方案，并求出按此方案能獲得的最大利潤是多少.

15.小張騎車往返于甲、乙兩地，距甲地的路程y(km)與時(shí)間x(h)的函數(shù)圖象如圖所示.

(1)小張?jiān)诼飞贤Ａ鬶,他從乙地返回時(shí)騎車的速度為km/h.

(2)小李與小張同時(shí)從甲地出發(fā)，按相同路線勻速前往乙地，小李到乙地停止，途中小

李與小張共同相遇3次.請?jiān)趫D中畫出小李距甲地的路程y(km)與時(shí)間x(h)的函數(shù)的大致圖

象.

(3)小王與小張同時(shí)出發(fā)，按相同的路線前往乙地，距甲地的路程y(km)與時(shí)間x(h)的

函數(shù)關(guān)系為y=12x+10,小王與小張?jiān)谕局泄蚕嘤鰩状?？請你?jì)算出第一次相遇的時(shí)間.

16.如圖，已知反比例函數(shù)y=%的圖象與一次函數(shù)y=ax+b的圖象相交于點(diǎn)A(1,4)

x

和點(diǎn)B(n,-2).

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;

(2)當(dāng)一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值時(shí),

答案與解析

一、選擇題

1.【答案】C；

【解析】考查函數(shù)的定義.

2.【答案】D；

【解析】直線y=2x+2沿y軸向下平移6個(gè)單位后解析式為y=2x+2-6=2x-4,

當(dāng)y=0時(shí)，x=2,

因此與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（2,0）,故選：D.

3.【答案】D；

【解析】本題考查正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，因?yàn)楫?dāng)xiVxz時(shí)，yI>yz,說明y隨x的

增大而減小，

所以故正確答案為D.

2

4.【答案】A；

【解析】通常我們求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法是將兩個(gè)函數(shù)解析式聯(lián)立方程組，來求交點(diǎn)坐標(biāo)

所以需要先通過待定系數(shù)法求出正比例函數(shù)>=320）與反比例函數(shù)

>=壇（左2/0）的

X

解析式，將（-2,-1）代入兩個(gè)函數(shù)解析式求得勺=工,鼠=2

2

1

y=-Xc_r_2

,解得「=一或廣，,另一交點(diǎn)坐標(biāo)為（2,1）

_2ly=-i[y=l

yv—~

IX

5.【答案】B；

【解析】?..直線y=kx+b經(jīng)過一、二、四象限，對于直線丫4乂+L

b>0

k<Q,

.?.圖像不經(jīng)過第二象限，故應(yīng)選B.

b>0

6.【答案】B；

[解析】該題有三種解法：解法①，畫出y=g的圖象，然后在圖象上按匹</<0<與

x

要求描出三個(gè)已知點(diǎn)，便可得到%,當(dāng)，%的大小關(guān)系;解法②，特殊值法，將三個(gè)已知點(diǎn)（自

變量X選特殊值）代入解析式，計(jì)算后可得到％,為，0，%的大小關(guān)系；解法③，根據(jù)反比例

函數(shù)的性質(zhì)，可知y“yz都小于0,而y3>0,且在每個(gè)象限內(nèi)，y值隨x值的增大而減小，

xi<x2,...yzVyiCO.故>2<M<%，故選B.

二、填空題

7.【答案】y=2x+2；

【解析】設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=k(x+1).

,當(dāng)x=5時(shí)，y=12,

A12=(5+1)k,.\k=2.

；.y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=2x+2.

8.【答案】—；

6

【解析】

k:-2-112

/1\/|\/1\/1\

bl2-11-221-2-12-2-11

一次函數(shù)圖象不經(jīng)過第四象限的概率是」.

6

9【答案】m》0；

【解析】提示：應(yīng)將y=-2x+m的圖像的可能情況考慮周全.

10.【答案】y=x-6；

【解析】設(shè)所求一次函數(shù)的解析式為y=kx+b.

,直線y=kx+b與y=x+l平行，/.k=l,

/.y=x+b.將P(8,2)代入,得2=8+b,b=-6,.,?所求解析式為y=x-6.

n.【答案】y=--,

X

【解析】本題考查反比例函數(shù)的面積不變性，由四邊形F0DB的面積二四邊形E0CA的面

積二k,又因?yàn)槲暹呅蜛E0DB的面積二四邊形F0DB的面積+四邊形E0CA的面積-四邊形F0CG的面

積+三角形ABG的面積，所以14=2k-2+4,因此k=6.

12.【答案】2.；

【解析】???直線y=x+l,當(dāng)x=0時(shí)，y=l,當(dāng)y=0時(shí)，x=-1,

AOAi=l,0D=l,

AZ0DAi=45°，

：.NA2A1B尸45

A2BI=AIBI=1,

,-.Si=lxiXl=l,

22

VA2Bi=AiBi=l>

.-=2：

1

/.S2=lx(2)=2'

2

同理得：A3c2=4=2。，…,

23

S3=lx(2)=2

2

n-1z2n-3

.\sn=lx(2)=2

2

13.【答案與解析】

解：(1)圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則它是正比例函數(shù).

'—2左2+18=0,

3—kw0,

???當(dāng)k=-3時(shí)，它的圖象經(jīng)過原點(diǎn).

(2)該一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,-2).

.\-2=-2k2+18,且3—kW0,

/.k二土410

.?.當(dāng)k=±Ji6時(shí)，它的圖象經(jīng)過點(diǎn)(o,-2)

(3)函數(shù)圖象平行于直線y=-x,

3-k--1,

/.k=4.

...當(dāng)k=4時(shí)，它的圖象平行于直線x=r.

(4):隨x的增大而減小，

.\3-k<0.

/.k>3.

.?