2022-2023學(xué)年江西省撫州市樂安縣高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3江西省撫州市樂安縣2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，且，則（）A. B.-1 C.0 D.-2〖答案〗B〖解析〗因?yàn)樗?，故選：B.2.根據(jù)教育部的規(guī)定，從2021年9月1日以來，全國(guó)各地的中小學(xué)都開展了課后延時(shí)服務(wù)．各個(gè)學(xué)校都及時(shí)安排老師參加課后延時(shí)服務(wù)工作，學(xué)校要求張老師在每個(gè)星期的周一至周五要有三天參加課后延時(shí)服務(wù)．若張老師周五一定參加課后延時(shí)服務(wù)，則他周四也參加課后延時(shí)服務(wù)的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)事件A為張老師“周五參加課后延時(shí)服務(wù)”，事件B為張老師“周四參加課后延時(shí)服務(wù)”，則，，故．故選:A．3.在等差數(shù)列中，已知，則（）A.4 B.6 C.8 D.10〖答案〗D〖解析〗由得，所以，所以.故選：D4.數(shù)列，滿足，，則的前10項(xiàng)和為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)閿?shù)列，滿足，，所以，所以，的前10項(xiàng)和為：，故選：B.5.利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法調(diào)查大學(xué)生的性別與愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)是否有關(guān)，通過隨機(jī)詢問名不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，利用列聯(lián)表，由計(jì)算可得.0100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828參照附表，得到的正確結(jié)論是（）A.有以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”B.有以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”〖答案〗B〖解析〗由于對(duì)照表中數(shù)據(jù)得出有0.005的幾率說明這兩個(gè)變量之間的關(guān)系是不可信的，即有1?0.005=99.5%的把握說明兩個(gè)變量之間有關(guān)系故選：B6.已知等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，，，則（）A. B. C.或 D.或〖答案〗C〖解析〗設(shè)等差數(shù)列公差為，則，解得：；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，.綜上所述：或.故選：C.7.已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，且=，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)為（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗B〖解析〗依題意，，又=，于是得，因此，要為整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)是正整數(shù)，而，則是32的大于1的約數(shù)，又32的非1的正約數(shù)有2，4，8，16，32五個(gè)，則n的值有1，3，7，15，31五個(gè)，所以使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)為5.故選：B8.設(shè)函數(shù).若不等式對(duì)恒成立，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由不等式對(duì)恒成立，即為，即對(duì)恒成立，設(shè)，由，可得在上遞增，且，當(dāng)時(shí)，；，，作出的圖象，再設(shè)，可得表示過，斜率為的一條射線（不含端點(diǎn)），要求的最大值，且滿足不等式恒成立，可得的最大值，由于點(diǎn)在軸上移動(dòng)，只需找到合適的，且切于點(diǎn)，如圖所示：此時(shí)，即的最大值為.故選：D二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.下列四個(gè)數(shù)列中的遞增數(shù)列是（）A.1，，，，…B.，，，…C.，，，，…D.1，，，…，〖答案〗CD〖解析〗對(duì)于A，數(shù)列1，，，，…為遞減數(shù)列，故不符合題意；對(duì)于B，數(shù)列，，，…為周期數(shù)列，且，故不符合題意；對(duì)于C，數(shù)列，，，，…為遞增數(shù)列，故符合題意；對(duì)于D，數(shù)列1，，，…，為遞增數(shù)列，故符合題意.故選：CD.10.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為，在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為，若在區(qū)間上恒成立，則稱在區(qū)間上為凸函數(shù)．則下列函數(shù)中，為區(qū)間上的凸函數(shù)的是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，，，，顯然在區(qū)間恒有，所以不為凸函數(shù).對(duì)于B選項(xiàng)，，，，顯然在區(qū)間恒有，所以為凸函數(shù).對(duì)于C選項(xiàng)，，，，顯然在區(qū)間恒有，所以不為凸函數(shù).對(duì)于D選項(xiàng)，，，，顯然在區(qū)間恒有，所以為凸函數(shù).故選:BD..11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)為，滿足，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且，則（）A. B.C.在處取得極小值 D.無極大值〖答案〗BCD〖解析〗設(shè)，則，可設(shè)，則，解得，故，即，令，則，故在上單調(diào)遞增，∴，即，則，A錯(cuò)誤；∵，令，解得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，在處取得極小值，無極大值，B、C、D均正確故選：BCD.12.阿基米德（公元前287年——公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，不僅在物理學(xué)方面貢獻(xiàn)巨大，還享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號(hào)．拋物線上任意兩點(diǎn)A、B處的切線交于點(diǎn)P，稱為“阿基米德三角形”．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過A、B兩點(diǎn)的直線的方程為，關(guān)于“阿基米德三角形”，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.點(diǎn)P的坐標(biāo)為 D.〖答案〗ABD〖解析〗設(shè)，，聯(lián)立，可得，解得或，不妨設(shè)，，則，，故，，，A項(xiàng)正確；又因?yàn)?，所以，故直線PA的斜率為，直線PA的方程為，即，同理可得直線PB的方程為，，所以，B項(xiàng)正確；聯(lián)立，可得，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為，C項(xiàng)錯(cuò)誤；易知點(diǎn)F的坐標(biāo)為，，，所以，D項(xiàng)正確．故選：ABD.第II卷（非選擇題）三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為，則展開式中常數(shù)項(xiàng)為___________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)榈恼归_式中各項(xiàng)系數(shù)和為，所以，即．所以的常數(shù)項(xiàng)為．故〖答案〗：8014.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn﹣1是an和Sn的等比中項(xiàng)，設(shè)，則數(shù)列{bn}的前100項(xiàng)和為_____.〖答案〗〖解析〗依題意，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，以此類推，猜想，.下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，成立.假設(shè)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，，，，，，所以假設(shè)成立.所以對(duì)任意，，.（證畢）所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.故〖答案〗為：15.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.〖答案〗〖解析〗，，令，得，而因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，故.故〖答案〗為：16.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．〖答案〗，〖解析〗因?yàn)椋O(shè)，定義域，，所以為奇函數(shù)，，所以單調(diào)遞增，不等式，即為，即，所以，即，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，．故〖答案〗為：，．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知點(diǎn)P在圓上，點(diǎn)，．（1）求點(diǎn)P到直線AB距離的最大值；（2）當(dāng)∠PBA最小時(shí)，求線段PB的長(zhǎng)．解：（1）直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，故圓與直線相離，點(diǎn)到直線距離的最大值為；（2）當(dāng)直線與圓相切時(shí)，最小，由勾股定理可得，此時(shí)線段的長(zhǎng)為18.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線的方程.（2）若直線為曲線的切線，且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).解：（1）.所以在點(diǎn)處的切線的斜率，∴切線的方程為；（2）設(shè)切點(diǎn)為，則直線的斜率為，所以直線的方程為：，所以又直線過點(diǎn)，∴，整理，得，∴，∴，的斜率，∴直線的方程為，切點(diǎn)坐標(biāo)為.19.如圖，已知三棱柱中，，四邊形是菱形.（1）求證：平面；（2）若，求二面角的正弦值.解：（1）由四邊形是平行四邊形，，得四邊形是矩形，則由，，，、面，得面，又面，則由四邊形是菱形，得由，，，、面，得面（2）由（1）可知，面，又面，得面面由四邊形是菱形，，得是正三角形.取、的中點(diǎn)分別為、，連，，則，.由面面，面面，面，得面以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示則，，面的一個(gè)法向量為設(shè)面一個(gè)法向量為由，令，得設(shè)二面角的大小為，則又，則故二面角的正弦值為.20.已知拋物線C：的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為2，圓：（1）若第一象限的點(diǎn)P，Q是拋物線C與圓的交點(diǎn)，求證：點(diǎn)F到直線PQ的距離大于1；（2）已知直線l：與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，，若點(diǎn)N，G關(guān)于x軸對(duì)稱，且M，A，G三點(diǎn)始終共線，求t的值.解：（1）由拋物線的方程可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為：，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以拋物線的方程為：，即，P，Q在第一象限，聯(lián)立，解得，，所以直線PQ的方程：，即，所以焦點(diǎn)F到直線PQ的距離，即證得點(diǎn)F到直線PQ的距離大于1；（2）設(shè)，，由題意，直線l的方程為，，聯(lián)立，整理可得，可得，，，要使M，G，A三點(diǎn)共線，則，即恒成立，即，整理可得，整理可得，而，所以，所以21.已知，是方程兩個(gè)根，數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：（1）由題可知，，是方程兩個(gè)根，且數(shù)列是遞增的等差數(shù)列即，則，公差d=6所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為在數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故其通項(xiàng)公式為（2）由（1）可知?jiǎng)t又兩式相減得故22.函數(shù)（，）．（1）當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）若，求證：．解：（1）當(dāng)時(shí)，（），則，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，又，，，所以存在使得，則函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，1，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）當(dāng)，等價(jià)于，由題意可知，，，令，可得，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，且，由題意，只需證明，令（），則，則只需證明，即，令，，故只需證明（）即可，則，當(dāng)時(shí)，，故，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，故成立．江西省撫州市樂安縣2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，且，則（）A. B.-1 C.0 D.-2〖答案〗B〖解析〗因?yàn)樗裕蔬x：B.2.根據(jù)教育部的規(guī)定，從2021年9月1日以來，全國(guó)各地的中小學(xué)都開展了課后延時(shí)服務(wù)．各個(gè)學(xué)校都及時(shí)安排老師參加課后延時(shí)服務(wù)工作，學(xué)校要求張老師在每個(gè)星期的周一至周五要有三天參加課后延時(shí)服務(wù)．若張老師周五一定參加課后延時(shí)服務(wù)，則他周四也參加課后延時(shí)服務(wù)的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)事件A為張老師“周五參加課后延時(shí)服務(wù)”，事件B為張老師“周四參加課后延時(shí)服務(wù)”，則，，故．故選:A．3.在等差數(shù)列中，已知，則（）A.4 B.6 C.8 D.10〖答案〗D〖解析〗由得，所以，所以.故選：D4.數(shù)列，滿足，，則的前10項(xiàng)和為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)閿?shù)列，滿足，，所以，所以，的前10項(xiàng)和為：，故選：B.5.利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法調(diào)查大學(xué)生的性別與愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)是否有關(guān)，通過隨機(jī)詢問名不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，利用列聯(lián)表，由計(jì)算可得.0100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828參照附表，得到的正確結(jié)論是（）A.有以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”B.有以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”〖答案〗B〖解析〗由于對(duì)照表中數(shù)據(jù)得出有0.005的幾率說明這兩個(gè)變量之間的關(guān)系是不可信的，即有1?0.005=99.5%的把握說明兩個(gè)變量之間有關(guān)系故選：B6.已知等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，，，則（）A. B. C.或 D.或〖答案〗C〖解析〗設(shè)等差數(shù)列公差為，則，解得：；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，.綜上所述：或.故選：C.7.已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，且=，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)為（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗B〖解析〗依題意，，又=，于是得，因此，要為整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)是正整數(shù)，而，則是32的大于1的約數(shù)，又32的非1的正約數(shù)有2，4，8，16，32五個(gè)，則n的值有1，3，7，15，31五個(gè)，所以使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)為5.故選：B8.設(shè)函數(shù).若不等式對(duì)恒成立，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由不等式對(duì)恒成立，即為，即對(duì)恒成立，設(shè)，由，可得在上遞增，且，當(dāng)時(shí)，；，，作出的圖象，再設(shè)，可得表示過，斜率為的一條射線（不含端點(diǎn)），要求的最大值，且滿足不等式恒成立，可得的最大值，由于點(diǎn)在軸上移動(dòng)，只需找到合適的，且切于點(diǎn)，如圖所示：此時(shí)，即的最大值為.故選：D二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.下列四個(gè)數(shù)列中的遞增數(shù)列是（）A.1，，，，…B.，，，…C.，，，，…D.1，，，…，〖答案〗CD〖解析〗對(duì)于A，數(shù)列1，，，，…為遞減數(shù)列，故不符合題意；對(duì)于B，數(shù)列，，，…為周期數(shù)列，且，故不符合題意；對(duì)于C，數(shù)列，，，，…為遞增數(shù)列，故符合題意；對(duì)于D，數(shù)列1，，，…，為遞增數(shù)列，故符合題意.故選：CD.10.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為，在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為，若在區(qū)間上恒成立，則稱在區(qū)間上為凸函數(shù)．則下列函數(shù)中，為區(qū)間上的凸函數(shù)的是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，，，，顯然在區(qū)間恒有，所以不為凸函數(shù).對(duì)于B選項(xiàng)，，，，顯然在區(qū)間恒有，所以為凸函數(shù).對(duì)于C選項(xiàng)，，，，顯然在區(qū)間恒有，所以不為凸函數(shù).對(duì)于D選項(xiàng)，，，，顯然在區(qū)間恒有，所以為凸函數(shù).故選:BD..11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)為，滿足，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且，則（）A. B.C.在處取得極小值 D.無極大值〖答案〗BCD〖解析〗設(shè)，則，可設(shè)，則，解得，故，即，令，則，故在上單調(diào)遞增，∴，即，則，A錯(cuò)誤；∵，令，解得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，在處取得極小值，無極大值，B、C、D均正確故選：BCD.12.阿基米德（公元前287年——公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，不僅在物理學(xué)方面貢獻(xiàn)巨大，還享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號(hào)．拋物線上任意兩點(diǎn)A、B處的切線交于點(diǎn)P，稱為“阿基米德三角形”．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過A、B兩點(diǎn)的直線的方程為，關(guān)于“阿基米德三角形”，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.點(diǎn)P的坐標(biāo)為 D.〖答案〗ABD〖解析〗設(shè)，，聯(lián)立，可得，解得或，不妨設(shè)，，則，，故，，，A項(xiàng)正確；又因?yàn)?，所以，故直線PA的斜率為，直線PA的方程為，即，同理可得直線PB的方程為，，所以，B項(xiàng)正確；聯(lián)立，可得，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為，C項(xiàng)錯(cuò)誤；易知點(diǎn)F的坐標(biāo)為，，，所以，D項(xiàng)正確．故選：ABD.第II卷（非選擇題）三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為，則展開式中常數(shù)項(xiàng)為___________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)榈恼归_式中各項(xiàng)系數(shù)和為，所以，即．所以的常數(shù)項(xiàng)為．故〖答案〗：8014.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn﹣1是an和Sn的等比中項(xiàng)，設(shè)，則數(shù)列{bn}的前100項(xiàng)和為_____.〖答案〗〖解析〗依題意，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，以此類推，猜想，.下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，成立.假設(shè)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，，，，，，所以假設(shè)成立.所以對(duì)任意，，.（證畢）所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.故〖答案〗為：15.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.〖答案〗〖解析〗，，令，得，而因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，故.故〖答案〗為：16.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．〖答案〗，〖解析〗因?yàn)?，設(shè)，定義域，，所以為奇函數(shù)，，所以單調(diào)遞增，不等式，即為，即，所以，即，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，．故〖答案〗為：，．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知點(diǎn)P在圓上，點(diǎn)，．（1）求點(diǎn)P到直線AB距離的最大值；（2）當(dāng)∠PBA最小時(shí)，求線段PB的長(zhǎng)．解：（1）直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，故圓與直線相離，點(diǎn)到直線距離的最大值為；（2）當(dāng)直線與圓相切時(shí)，最小，由勾股定理可得，此時(shí)線段的長(zhǎng)為18.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線的方程.（2）若直線為曲線的切線，且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).解：（1）.所以在點(diǎn)處的切線的斜率，∴切線的方程為；（2）設(shè)切點(diǎn)為，則直線的斜率為，所以直線的方程為：，所以又直線過點(diǎn)，∴，整理，得，∴，∴，的斜率，∴直線的方程為，切點(diǎn)坐標(biāo)為.19.如圖，已知三棱柱中，，四邊形是菱形.（1）求證：平面；（2）若，求二面角的正弦值.解：（1）由四邊形是平行四邊形，，得四邊形是矩形，則由，，，、面，得面，又面，則由四邊形是菱形，得由，，，、面，得面（2）由（1）可知，面，又面，得面面由四邊形是菱形，，得是正三角形.取、的中點(diǎn)分別