人教版八年級數(shù)學(xué)下冊必刷題第一次月考檢測試卷(測試范圍：第十六章和第十七章)(原卷版+解析)

八年級數(shù)學(xué)下冊第一次月考檢測試卷

（測試范圍：第十六章和第十七章）

測試時間：120分鐘滿分：120分鐘

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.（2023?鼓樓區(qū)校級二模）若尤為任意實數(shù)，下列各式一定是二次根式的是（）

A.V%2—1B.Vx2+1C.V3xD.V%+1

2.（2023春?東平縣校級月考）已知y=VI=1+77=1+3,那么黃的值是（）

A.-6B.-9C.9D.6

3.（2023秋?桓臺縣期中）下列四組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（）

A.〃=15,Z?=8,c=17B.4=6,b=8,c=10

C.a=6,b=5,c=8D.4=9,b=12,c=15

4.（2023秋?市北區(qū)校級期末）下列計算正確的是（）

A.1Vz^|=3B.V64=±8

C.J（-7）2=-7D..（一》3=/

5.（2023秋?蓮池區(qū)校級期末）在△ABC中，ZA,/B,NC的對邊分別記為a,b,c,下列結(jié)論中不正確

的是（）

A.如果O2=b2-C2,那么△ABC是直角三角形且/B=90°

B.如果NA：ZB：NC=3：4：5,那么△ABC是直角三角形

C.如果。2：歷：a=9：16：25,那么△ABC是直角三角形

D.如果那么△ABC是直角三角形

6.（2023秋?文山市期末）直角三角形兩直角邊長度為5,12,則斜邊上的高（）

1860

A.6B.8C.—D.—

1313

7.（2023?敘永縣模擬）如圖，在長方形ABC。中無重疊放入面積分別為和120層的兩張正方形紙片，

則圖中空白部分的面積為（）cm2.

AD

1216

BC

A.16-8V3B.-12+8百C.8-4V3D.4-2V3

8.（2023?青羊區(qū)校級模擬）如圖，在4X4的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點

上，BD_LAC于點￡>,則2。的長為（）

9.（2023秋?渝中區(qū)校級期末）已知a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則|a+c+b|—J（c-a）2的化簡結(jié)果是

（）

caob

A.b-2cB.b-2aC.-2a-bD.2c-b

10.（2023?南京模擬）如圖，尸是等邊△ABC形內(nèi)一點，連接以、PB、PC,B4：PB：PC=3：4：5,以AC

為邊在形外作△AP'C咨AAPB,連接PP',則以下結(jié)論錯誤的是（）

A.ZkAPP是等邊三角形B.是直角三角形

C.ZAPB=150°D.ZAPC=135°

二、填空題（共8小題，每小題3分，共24分）

11.（2023秋?衡南縣期中）若代數(shù)式"7^有意義，則尤必須滿足條件是_______

V3X-6

12.（2023春?江都區(qū)校級期末）把、焦化為最簡二次根式得.

13.（2023秋?德惠市期末）等腰三角形的腰長為5,底邊上的中線長為4,它的面積為.

14.（2023秋?仁壽縣校級月考）計算：（或一次）2°2i.（V2+V3）2022=.

15.（2023秋?詔安縣期中）如圖所示的一塊地，己知/A￡>C=90。，AD=12m,CD=9m,AB=25m,BC=

20m,則這塊地的面積為.

16.（2023秋?嘉定區(qū)校級月考）最簡二次根式44a+3b與"V2a-b+6能合并,貝U°+6=.

17.（2023秋?泗縣期末）在一棵樹的5米高8處有兩個猴子為搶吃池塘邊水果，一只猴子爬下樹跑到A處

（離樹10米）的池塘邊.另一只爬到樹頂。后直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過

的距離相等，則這棵樹高米.

18.（2023春?寧津縣期中）在△ABC中，AB=15,AC=13,高4。=12,則△ABC的周長為

三、解答題（共8小題，共66分）

19.（每小題4分，共8分）（2023秋?桐柏縣期中）計算:

(1)V48-V3-5X712+V24.(2)—"x/s(V3—V6)+V8；

乙V2—1

20.（6分）（2。23秋?啟東市期末）⑴先化簡,再求值：（器-若占）+子,其中”=2+夜；

21.（8分）（2023秋?南關(guān)區(qū)校級期末）如圖，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個取水

點A,B,其中AB=AC,由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水，決定在河

邊新建一個取水點8（A，H,2在一條直線上），并新修一條路C8,測得BC=6千米，C8=4.8千米，

BH=3.6千米.

（1）問CH是否為從村莊C到河邊的最近路線（即CH與A8是否垂直）?請通過計算加以說明.

（2）求原來的路線AC的長.

22.（8分）（2023春?隆安縣期中）已知〃=77+而，&=V7-V5,求下列各式的值.

ab

(1)a2-ab+b2；(2)-+

ba

23.（8分）（2023秋?建湖縣期中）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB,AC及BC的延長線于

點。，E,F,MCB2=AE2-CE1.

（1）求證：ZACB=90°；

（2）若AC=12,BC=9,求CE的長.

24.（8分）（2023秋?峰城區(qū)校級月考）小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式

子的平方，如3+2或=（1+V2）2,善于思考的小明進行了以下探索:

設(shè)a+6&=(?i+nV2)2(其中a,b,m,w均為正整數(shù))>則有a+by[2=n?'+2r?+2mnyl2..".a=m2+2n2,

b=2mn.這樣小明就找到了一種把部分a+b/的式子化為平方式的方法.

請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

(1)當(dāng)a,b,m,n均為正整數(shù)時，若a+by/3=(m+ny[3)2,用含m,n的式子分別表示a,b,得a

—,b—；

(2)若。+4百=(m+ny[3)2,且a,"均為正整數(shù)，求a的值.

25.(10分)(2023?渠縣校級開學(xué))如圖，在△ABC中，AB=AC,AO_L8C于點。，點E在AC邊上，且

NCBE=45°,BE分別交AC,于點E、F.

(1)如圖1,若AB=13,BC=10,求A尸的長；

(2)如圖2,^AF=BC,求證：BF2+EF2=AE1.

26.(10分)(2023秋?秦淮區(qū)月考)如圖，ZkABC中，CZ)_LAB于。，且8。：AD：CD=2：3：4；已知S

△ABC=4(k7"2,如圖，動點M從點B出發(fā)以每秒1C7W的速度沿線段向點A運動，同時動點N從點A

出發(fā)以相同速度沿線段AC向點C運動，當(dāng)其中一點到達終點時整個運動都停止.設(shè)點M運動的時間為

t（秒）.

（1）若△。跖V的邊與8C平行，求f的值；

（2）在點N運動的過程中，△ADN能否成為等腰三角形？若能，求出r的值；若不能，請說明理由.

八年級數(shù)學(xué)下冊第一次月考檢測試卷

（測試范圍：第十六章和第十七章）

測試時間：120分鐘滿分：120分鐘

四、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.（2023?鼓樓區(qū)校級二模）若x為任意實數(shù)，下列各式一定是二次根式的是（）

A.Vx2-1B.Vx2+1C.V3xD.VxTI

【分析】根據(jù)二次根式的定義：一般地，我們把形如迎"20）的式子叫做二次根式判斷

即可.

【解答】解：A選項，當(dāng)尤=0.5時，x2-1<0,故該選項不符合題意；

3選項，「%22。，

.'.x2+l>0,故該選項符合題意；

C選項，當(dāng)尤<0時，原式<0,故該選項不符合題意；

。選項，當(dāng)x=-2時，x+l<0,故該選項不符合題意；

故選：B.

【點評】本題考查了二次根式的定義，掌握一般地，我們把形如迎（aNO）的式子叫做二

次根式是解題的關(guān)鍵.

2.（2023春?東平縣校級月考）已知+=^+3,那么,的值是（）

A.-6B.-9C.9D.6

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出關(guān)于x的不等式，求出x的值，進而可得出y的

值，代入代數(shù)式進行計算即可.

【解答】解：由題意得，2-x>0,x-2^0,

，y=3,

.\y=32=9.

故選：c.

【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟知二次根式中被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題

的關(guān)鍵.

3.（2023秋?桓臺縣期中）下列四組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（）

A.。=15,b=8,c=17B.。=6,6=8,c=10

C.a=6,b=5,c=8D.4=9,b=12,c=15

【分析】根據(jù)勾股數(shù)的概念判斷即可.

【解答］解：V82+52=172,

：.a=15,6=8,c=17是一組勾股數(shù)，本選項不符合題意；

B、V62+82=102,

.'.a=6,b=S,c=10是一組勾股數(shù)，本選項不符合題意;

C、,.,52+6M2，

；.a=6,b=5,c=8不是一組勾股數(shù)，本選項符合題意；

D、V92+122=152,

：.a=9,6=12,c=15是一組勾股數(shù)，本選項不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查的是勾股數(shù)，滿足/+62=02的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

4.（2023秋?市北區(qū)校級期末）下列計算正確的是（）

A.1Vz^1=3B.V64=±8

C-4^^=-7D..（一聶=V

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)求解.

【解答】解：|蕓豆|=遮，V64=8,7）2=7,j（_33=—'!，

故選：D.

【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)和化簡，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.（2023秋?蓮池區(qū)校級期末）在△ABC中，ZA,ZB,NC的對邊分別記為a,b,c,下

列結(jié)論中不正確的是（）

A.如果及=歷~€2,那么△A8C是直角三角形且/8=90°

B.如果/A：ZB：/C=3：4：5,那么△ABC是直角三角形

C.如果及：to：C2=9：16：25,那么△ABC是直角三角形

D.如果那么△ABC是直角三角形

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的判定定理解得即可.

【解答】解：如果/=/-02,那么AABC是直角三角形且NB=90°,A不合題意；

如果NA：NB：/C=3：4：5,

設(shè)NA=3尤，則NB=4無，/C=5x,

則3x+4x+5x=180°,

解得，尤=15°,

則3x=45°,4x=60°,5尤=75°,

那么△ABC不是直角三角形，2符合題意；

1

如果/：b.02=9：i6:25,

則如果/+b2=c2,

那么△ABC是直角三角形，C不合題意；

如果NA-NB=/C,那么△ABC是直角三角形，。不合題意.

故選：B.

【點評】本題考查的是勾股定理的逆定理的應(yīng)用，如果三角形的三邊長a,b,c滿足/+必

=。2,那么這個三角形就是直角三角形.

6.（2023秋?文山市期末）直角三角形兩直角邊長度為5,12,則斜邊上的高（）

1860

A.6B.8C.—D.—

1313

【分析】首先根據(jù)勾股定理，得：斜邊=452+122=13.再根據(jù)直角三角形的面積公式,

求出斜邊上的高.

【解答】解：由題意得，斜邊為452+122=13.所以斜邊上的高=12x5+13=||.

故選：D.

【點評】運用了勾股定理.注意：直角三角形斜邊上的高等于兩條直角邊的乘積除以斜邊.

7.（2023?敘永縣模擬）如圖，在長方形ABC。中無重疊放入面積分別為16c7層和12c:償?shù)?/p>

兩張正方形紙片，則圖中空白部分的面積為（）cm2.

AD

1216

BC

A.16-8/B.-12+8V3C.8-45/3D.4-2V3

【分析】根據(jù)正方形的面積求出兩個正方形的邊長，從而求出AB、BC,再根據(jù)空白部分的

面積等于長方形的面積減去兩個正方形的面積列式計算即可得解.

【解答】解：???兩張正方形紙片的面積分別為16"?和12。層,

它們的邊長分別為亞叵=4cm,

V12=2V3cm,

.'.AB=4cm,BC=（2V3+4）cm,

空白部分的面積=（2V3+4）X4-12-16,

=8V3+16-12-16,

=（-12+8V3）cm2.

故選：B.

【點評】本題考查了二次根式的應(yīng)用，算術(shù)平方根的定義，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)正方形的

面積求出兩個正方形的邊長.

8.（2023?青羊區(qū)校級模擬）如圖，在4義4的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點A,

B,C都在格點上，于點。，則BD的長為（）

189

C.D.

55

【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以計算出AABC的面積和AC的長，然后即可計算

出8D的長，本題得以解決.

【解答】解：由題意可得，

119

--

△ABC的面積是：3X4-2X3X122

■:BD是aABC的高，AC=V32+42=5,

19

xBDx5=一,

22

解得，加＞=|,

故選：D.

【點評】本題考查勾股定理、三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合

的思想解答.

9.(2023秋?渝中區(qū)校級期末)已知。、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則|a+c+b|—J(c—a)2

的化簡結(jié)果是()

____?111A

cQ0b

A.b-2cB.b-2aC.-2a-bD.2c-b

【分析】直接利用數(shù)軸結(jié)合絕對值、二次根式的性質(zhì)化簡得出答案.

【解答】解：由數(shù)軸可得：a+Z?+cV0,c-〃V0,

\a+c+b\—yj{c—a)2

=-(tz+c+Z?)-(a-c)

=-a-c-b-a+c

=-2a-b.

故選：C.

【點評】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確得出各式的符號是解題關(guān)鍵.

10.(2023?南京模擬)如圖，尸是等邊△A3C形內(nèi)一點，連接B4、PB、PC,B4：PB：PC

=3：4：5,以AC為邊在形外作C^AAPB,連接尸尸,，則以下結(jié)論錯誤的是

()

P'

A.是等邊三角形B.是直角三角形

C.150°D.ZAPC=135°

【分析】先運用全等得出AP=AP,ZCAP'=NBAP,從而/B4p=N2AC=60°,

得出△出P是等邊三角形，ZAP'P=60°,PP'=AP,再運用勾股定理逆定理得出/

PP'C=90°,由此得解.

【解答】解：△ABC是等邊三角形，則NBAC=60°,又△APC也△APB,貝?。軦P=AP',

ZPAP'=ZBAC=60°,

.?.△APP是等邊三角形，又B4：PB：PC=3：4：5,

.,.設(shè)E4=3x,貝i|：PP'=B4=3x,P'C=PB=4x,PC=5x,

根據(jù)勾股定理的逆定理可知：是直角三角形，且/PPC=90°,

又是等邊三角形，

AZAP'P=60°,

AZAPB=150°錯誤的結(jié)論只能是/APC=135°.

故選：D.

【點評】解決本題的關(guān)鍵是能夠正確理解題意，由已知條件，聯(lián)想到所學(xué)的定理，充分挖

掘題目中的結(jié)論是解題的關(guān)鍵.

五、填空題（共8小題，每小題3分，共24分）

2

11.（2023秋?衡南縣期中）若代數(shù)式序?qū)懹幸饬x，則x必須滿足條件是.

【分析】直接利用二次根式有意義的條件分析得出答案.

【解答】解：代數(shù)式小與有意義，則尤必須滿足條件是：3x-6>0,

V3X-6

解得：x>2.

故答案為：尤>2.

【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確掌握二次根式的定義是解題關(guān)鍵.

12.（2023春?江都區(qū)校級期末）把居化為最簡二次根式得.

【分析】利用二次根式的性質(zhì)和最簡二次根式的定義解答即可.

【解答】解:[T_I3叵—西

AJ27-AJ27X3—A/81-'

故答案為：—.

【點評】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)和最簡二次根式的定義，正確利用二次根式的性

質(zhì)進行化簡是解題的關(guān)鍵.

13.（2023秋?德惠市期末）等腰三角形的腰長為5,底邊上的中線長為4,它的面積

為.

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理可得出答案.

【解答】解：???等腰三角形的腰長為5,底邊上的中線長為4,

底邊為2x、52—42=2義3=6,

1

.,.它的面積為一x6x4=12,

2

故答案為：12.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，熟練掌握等腰三角形

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.（2023秋?仁壽縣校級月考）計算：（&一於）2021?（V2+V3）2022=.

【分析】先根據(jù)積的乘方進行變形，再算乘方，最后求出答案即可.

【解答】解：原式=[（V2-V3）x（V2+V3）]2021x（V2+V3）

=（-1）2021x（V2+V3）

=-lx（V2+V3）

=-V2—V3,

故答案為：—&-V3.

【點評】本題考查了積的乘方與幕的乘方和二次根式的混合運算，能正確根據(jù)積的乘方進

行計算是解此題的關(guān)鍵，注意運算順序.

15.（2023秋?詔安縣期中）如圖所示的一塊地，已知/AZ）C=90。，AD=12m,CD=9m,

AB=25m,BC=20m,則這塊地的面積為.

【分析】連接AC,先由勾股定理求出AC,再由勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角

形，然后由三角形面積即可得出結(jié)論.

【解答】解：如圖，連接4c.

.,.AC=yjAD2+CD2—V122+92=15（m）,

又：4B=25M，BC=20m,

J.Ad+BC2^152+202=252=AB2,

.?.△ABC是直角三角形，ZACB=90°,

這塊地的面積=AABC的面積-△ACD的面積=*X15X20-3X9X12=96.

故選：A.

【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、勾股定理的逆定理以及三角形面積等知識，熟練掌

握勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.

16.（2023秋?嘉定區(qū)校級月考）最簡二次根式U4a+3b與"切2a-6+6能合并,則a+b

【分析】根據(jù)根指數(shù)及被開方數(shù)分別相同可列出方程，解出后可得出。和b的值，代入可

得出答案.

【解答】解：?.?最簡二次根式，4a+3b與fJ2a-b+6能合并,

.0+1=2

（4a+3b=2a-b+6

解得:

S=1

則a+b=2.

故答案為：2.

【點評】本題考查了同類二次根式及的知識，屬于基礎(chǔ)題，要熟練掌握最簡同類二次根式

的根指數(shù)相同，且被開方數(shù)相同.

17.（2023秋?泗縣期末）在一棵樹的5米高B處有兩個猴子為搶吃池塘邊水果，一只猴子

爬下樹跑到A處（離樹10米）的池塘邊.另一只爬到樹頂。后直接躍到A處，距離以

直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高米.

D

B,

【分析】首先設(shè)樹的高度為尤米，用尤表示BO=x-5,AD=20-x,再利用勾股定理就可

求出樹的高度.

【解答】解：設(shè)樹的高度為x米.

???兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，BC+AC=15,

.,.BD=x-5,AD=2Q-x,

在RtAACD中根據(jù)勾股定理得，

CD1+AC2=AD1,

f+100=(20-尤)2,

x=1.5,

故答案為：7.5.

【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理的應(yīng)用，設(shè)出未知數(shù)方用尤表示

有關(guān)的線段是解題關(guān)鍵.

18.(2023春?寧津縣期中)在△ABC中，AB=15,AC=13,高AZ)=12,則△A8C的周長

為.

【分析】本題應(yīng)分兩種情況進行討論：

(1)當(dāng)△ABC為銳角三角形時，在RtAABD和RtAACD中，運用勾股定理可將BD和

C。的長求出，兩者相加即為8c的長，從而可將△A8C的周長求出；

(2)當(dāng)AABC為鈍角三角形時，在RtAABD和RtAACD中，運用勾股定理可將BD和

CZ)的長求出，兩者相減即為的長，從而可將△ABC的周長求出.

【解答】解：此題應(yīng)分兩種情況說明：

(1)當(dāng)△ABC為銳角三角形時，在中，

BD=7AB?-AD2=V152-122=9,

在RtAACD中，

CD=y/AC2-AD2=V132-122=5

.,.BC=5+9=14

.?.△ABC的周長為：15+13+14=42；

(2)當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，

在RtAABD中，BD=y/AB2-AD2=V152-122=9,

在RtAACD中，CD=yjAC2-AD2=V132-122=5,

：.BC=9-5=4.

.?.△ABC的周長為：15+13+4=32

故答案是：42或32.

A

A

【點評】此題考查了勾股定理及解直角三角形的知識，在解本題時應(yīng)分兩種情況進行討論,

易錯點在于漏解，同學(xué)們思考問題一定要全面，有一定難度.

六、解答題（共8小題，共66分）

19.（每小題4分，共8分）（2023秋?桐柏縣期中）計算:

(1)V48-V3-1xV12+V24.(2)-V3(V3-V6)+V8；

乙V2—1

【分析】（1）直接利用二次根式的乘除運算法則、二次根式的性質(zhì)化簡，進而得出答案.

（2）直接分母有理化以及結(jié)合二次根式的乘法運算法則計算，進而合并同類二次根式得出

答案；

【解答】解：（1）原式=4-

=4+V6.

（2）原式=魚+1-（3-3V2）+2V2

-A/2+1-3+3V2+2A/2

=6V2-2；

【點評】此題主要考查了二次根式的混合運算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵.

20.（6分）（2023秋?啟東市期末）（1）先化簡，再求值：（蕓——2其

2xxz—4x+4%

中x=2+&；

【分析】（1）先將小括號內(nèi)的式子進行通分計算，然后再算括號外面的除法，最后代入求

值；

【解答】解：（1）原式=[7--T=卜25

=（第+2）（%-2）_%（%-1）.

x（x-2）2x（x-2）2

_%2—4—/+7.

%（%-2）2%-4

1

r

=02）2

當(dāng)％=2+魚時，

原式=--------2=

（2+V2-2）z2

【點評】本題考查分式的化簡求值，二次根式的混合運算，分母有理化計算，理解二次根

式的性質(zhì)，掌握完全平方公式（。土b）2=/±2他+必和平方差公式（a+6）gb）=a2-

戶是解題關(guān)鍵.

21.（8分）（2023秋?南關(guān)區(qū)校級期末）如圖，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C,河

邊原有兩個取水點A,B,其中4B=AC,由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，

該村為方便村民取水，決定在河邊新建一個取水點H（A,H,B在一條直線上）,并新

修一條路CH，測得2C=6千米，CW=4.8千米，28=3.6千米.

（1）問C”是否為從村莊C到河邊的最近路線（即C”與AB是否垂直）?請通過計算加

以說明.

（2）求原來的路線AC的長.

【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可；

（2）根據(jù)勾股定理解答即可.

【解答】解：（1）是，

理由是：在△CHB中，

?：CH2+BH2=（4.8）2+（3.6）2=36,

BC2=36,

CH2+BH2=BC2,

：.CH1AB,

所以S是從村莊C到河邊的最近路；

（2）設(shè)AC=x千米，

在RtZXAC/f中，由已知得AC=尤，AH=x-3.6,CH=6,

由勾股定理得：AC2=AH2+CH2

；./=（x-3.6）2+62,

解這個方程，得x=6.8,

答：原來的路線AC的長為6.8米.

【點評】此題考查勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理的逆定理和定理解答.

22.（8分）（2023春?隆安縣期中）已知°=b+近，b=yH-小,求下列各式的值.

0cab

(1)a2-ab-^-b2；(2)—+—?

ba

【分析】(1)根據(jù)完全平方公式把原式變形，把〃-6和。。的值代入計算即可；

(2)先根據(jù)分式的加法法則計算，再根據(jù)完全平方式變形即可.

【解答】解：???。=近+?，Z?=V7-V5,

..a+b'='2'y<f^,=2V^,ab'=~2,

(1)“2-ab+b2

=a2-2ab+序+ab

=(a-b)2+ab

=(2V5)2+2

=22；

ab

(2)-+-

ba

_a2+b2

ab

_(a+b)2—2ab

ab

_28-4

=~2-

=12.

【點評】本題考查的是二次根式的化簡求值，掌握完全平方公式和分式的計算是解題的關(guān)

鍵.

23.(8分)(2023秋?建湖縣期中)如圖，在△ABC中，A3的垂直平分線分別交AB,AC

及BC的延長線于點D,E,F,且CB2=AE2-CEr.

(1)求證：ZACB=90°；

(2)若AC=12,BC=9,求CE的長.

【分析】(1)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理的逆定理可以判斷ABEC的形狀，從而可

以得到NACB=90。；

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)果和勾股定理，可以計算出CE的長.

【解答】(1)證明：連接BE,如圖所示，

：ED垂直平分AB,

；.AE=BE,

?：CB1=AE1-C戌,

J.CE^^BE1-CE1,

：.CB1+CE1=BE1,

...△BEC是直角三角形，

/.ZACB=90°；

(2)解：設(shè)CE=x,則AE=12-x,

；BE=AE,

?\BE=12-x,

'：ZECB=90°,BC=9,

:.CB2+CE2=BE1,

92+J?=(12-x)2,

解得x=奈

即CE=余

【點評】本題考查勾股定理的逆定理、線段的垂直平分線、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是

明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

24.(8分)(2023秋?峰城區(qū)校級月考)小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可

以寫成另一個式子的平方，如3+2&=(1+V2)2,善于思考的小明進行了以下探索：

設(shè)a+by[2=(m+ny/2)?(其中a,b,m,n均為正整數(shù))，則有a+by/2=trr+2tr+2mnV2..".a

=??+2層，b=2nm.這樣小明就找到了一種把部分a+從反的式子化為平方式的方法.

請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

(1)當(dāng)a,b,m,”均為正整數(shù)時，若a+以怎=(m+?V3)2,用含相，”的式子分別表示

〃，b,，Z?=；

(2)若=(m+nV3)2,且〃，m,〃均為正整數(shù)，求〃的值.

【分析】(1)根據(jù)小明的方法，將Qm+nW)2按完全平方公式展開，和〃+小月的系數(shù)進

行對比，即可求出〃和。的值；

(2)欲求出〃，m,〃的值，需要先求出相，幾的值，根據(jù)題意可知。=2根〃=4,進而得

到mn=2,結(jié)合m,n均為正整數(shù)即可求出m,n的值；再根據(jù)a=m2+3n2即可求出a的

值.

【解答】解：(1)仿照小明的方法，將(加+小巧)2展開，得：

m2+3n2+2mnV3,

將m2+3n2+2mnV3^a+力b的系數(shù)進行對比，可得：

a=m2+3n2>b=2mn.

故答案為：m2+3n2,2mn.

(2)觀察〃+48=(m+ny/3)?可知，

b=4,

由(1)中的規(guī)律可知，

2nm—4,

則〃z"=2,

由于根、〃均為正整數(shù)，則有：

將優(yōu)=1、"=2代入。=加2+3力2,得：

a=13,

將根=2、〃=1代入。=m2+3/2,得：

。=7,

綜上可知，a的值為13或7.

【點評】本題主要考查二次根式的混合運算，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意，并對相應(yīng)的運

算法則的掌握.

25.(10分)(2023?渠縣校級開學(xué))如圖，在△ABC中，AB=AC,AO_L8C于點。，點E

在AC邊上，且/CBE=45°,BE分別交AC,AD于點E、F.

(1)如圖1,若AB=13,BC=10,求AP的長；

(2)如圖2,若AF=BC,求證：BF2+EF2=AEL.

【分析】(1)先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得BD=5,由勾股定理計算可得AD的長，

由等腰直角三角形性質(zhì)得。尸=5,最后由線段的差可得結(jié)論；

(2)如圖2,作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△CHB0ZXAEP(SAS),得AE=CH,Z

AEF=ZBHC,由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得跖=FH,最后由勾股定理和等量代換可得

結(jié)論.

【解答】(1)解：如圖1,ADLBC,

VBC=10,

：.BD=5,

RtZ\A8。中，'：AB=13,

：.AD=7AB2-BD2=V132-52=12,

在尸中，VZCBE=45°,

ABDF是等腰直角三角形，

：.DF=BD=5,

：.AF=AD-DF=12-5=1；

(2)證明：如圖2,在BF上取一點“，使BH=EF,連接CACH