四川成都2024屆高考全國(guó)統(tǒng)考預(yù)測(cè)卷數(shù)學(xué)試卷含解析

四川成都2024屆高考全國(guó)統(tǒng)考預(yù)測(cè)密卷數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.兩圓（x+aY+V=4和丁+仔一人了=i相外切，且就#。，則手1V的最大值為（）

a+b

91

A.-B.9C.-D.1

43

22

2.已知橢圓。:=+當(dāng)=1的短軸長(zhǎng)為2,焦距為2始，耳、鳥(niǎo)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P為C上的任意一點(diǎn),

a~b

11

則叵J+忸可的取值范圍為,）

A.[1,2]B.C.[72,4]D.[1,4]

3.已知（1+x）"的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（）.

A.212B.211C.210D.29

4.小張家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上6:30-7:30之間把報(bào)送到小張家，小張離開(kāi)家去工作的時(shí)間在早上

7.00-8:00之間.用4表示事件：“小張?jiān)陔x開(kāi)家前能得到報(bào)紙”，設(shè)送報(bào)人到達(dá)的時(shí)間為x,小張離開(kāi)家的時(shí)間為y,

（尤,y）看成平面中的點(diǎn)，則用幾何概型的公式得到事件A的概率尸（A）等于（）

5.（V—2卜尤+2）5的展開(kāi)式中含一的項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.-20B.60C.70D.80

6.已知全集0=11,集合A={無(wú)歸<1},B={x|-1<%<2},貝!J(+A)'B=()

A.1x|l<x<2jB.1x|l<%<2jC.|x|-l<D.-1}

7.集合A={x[x>2,xe7?},B=-2%-3>oj,則AB=()

A.(3,+oo)B.l(3,+x1)C.(2,+s)D.(2,3)

8.已知函數(shù)/（x）=sin（ox+6）,其中。>0,其圖象關(guān)于直線x=?對(duì)稱(chēng)，對(duì)滿足/（%）—/（々）|=2

的再，%2,有|%-%|1mn=］，將函數(shù)〃無(wú)）的圖象向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g（x）的圖象，則函數(shù)g（?的單

調(diào)遞減區(qū)間是（）

7冗77C77兀

A.K71---?兀+（左eZ）B.K7l.K7r-\--（左eZ）

L6~2_

7兀757j兀、［兀（［ry\

C.K7l~\——.K71+（keZ）D.K7l-\---,K7l-\----（KGZ

L3~6_1212Jv7

9.如圖所示，已知某幾何體的三視圖及其尺寸（單位：cm）,則該幾何體的表面積為（）

B.21兀cnr

C.24Kcm2D.337rcm2

10.已知曲線必=4>,動(dòng)點(diǎn)P在直線y=-3上，過(guò)點(diǎn)尸作曲線的兩條切線44,切點(diǎn)分別為A,8,則直線A5截圓

/+/_6丁+5=0所得弦長(zhǎng)為（）

A.73B.2C.4D.273

11.正四棱錐P-A3CD的五個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，它的底面邊長(zhǎng)為",側(cè)棱長(zhǎng)為2出，則它的外接球的表面積

為（）

A.47rB.87rC.167rD.20%

12.若（x—a）（l+3x）6的展開(kāi)式中V的系數(shù)為-45,則實(shí)數(shù)。的值為（）

211

A.—B.2C.—D?一

343

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

pp

13.已知點(diǎn)P是拋物線必=4y上動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,-1），則-的最小值為

71

14.函數(shù)/i(x)=￥x—sinx在0,-上的最小值和最大值分別是

15.不等式辦+1+勿對(duì)于定義域內(nèi)的任意x恒成立，則。的取值范圍為.

16.已知實(shí)數(shù)x、y滿足1,且可行域表示的區(qū)域?yàn)槿切?，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為,若目標(biāo)函數(shù)

x+y<m

z=x—y的最小值為-I,則實(shí)數(shù)加等于.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）如圖，焦點(diǎn)在X軸上的橢圓G與焦點(diǎn)在y軸上的橢圓。2都過(guò)點(diǎn)M（O,1），中心都在坐標(biāo)原點(diǎn)，且橢圓G

與c,的離心率均為走.

一2

（I）求橢圓G與橢圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）過(guò)點(diǎn)M的互相垂直的兩直線分別與G，交于點(diǎn)A,B（點(diǎn)A、B不同于點(diǎn)M）,當(dāng)AM45的面積取最大值

時(shí)，求兩直線M4,M3斜率的比值.

18.（12分）如圖，在四棱錐尸—A5CD中，BC^CD,AD=CD,PA=3也,AASC和AP5C均為邊長(zhǎng)為2省

的等邊三角形.

（1）求證：平面P3C，平面ABC。；

（2）求二面角C—P5—￡＞的余弦值.

19.（12分）AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b已知/+02+&歐=〃，石sinA+cosB=0.

（1）求cosC；

（2）若AABC的面積S=3,求從

2

丫2v22b

20.（12分）已知耳，鳥(niǎo)分別是橢圓。：=+4=1（?！?〉0）的左、右焦點(diǎn)，直線y=—與C交于A,B兩點(diǎn),

a~b~3

NA工3=90,且S鈣,=

（1）求C的方程；

（2）已知點(diǎn)P是C上的任意一點(diǎn)，不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。的直線/與C交于兩點(diǎn)，直線PM,PN,MN,0P的斜率都存

在，且鐮+%=°，求怎M?PN的值?

21.（12分）某商場(chǎng)以分期付款方式銷(xiāo)售某種商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客購(gòu)買(mǎi)該商品選擇分期付款的期數(shù)X的分

布列為：

X234

P0.4ab

其中0＜。＜1,0＜b＜l

（I）求購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率；

（II）商場(chǎng)銷(xiāo)售一件該商品，若顧客選擇分2期付款，則商場(chǎng)獲得利潤(rùn)100元，若顧客選擇分3期付款，則商場(chǎng)獲得

利潤(rùn)150元，若顧客選擇分4期付款，則商場(chǎng)獲得利潤(rùn)200元.商場(chǎng)銷(xiāo)售兩件該商品所獲的利潤(rùn)記為丫（單位：元）

（i）求y的分布列；

（ii）若尸（F4300）20.8,求F的數(shù)學(xué)期望￡（丫）的最大值.

1

22.（10分）已知"了）=6sinx-cosx-cos2x-xeR.

2

（1）求函數(shù)/（尤）的單調(diào)遞增區(qū)間；

3

（2）ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊分別為。、b、c,若/（A）=—e且。=2,求ABC面積的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

由兩圓相外切，得出儲(chǔ)+廿=9,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案.

【詳解】

因?yàn)閮蓤A（x+a）2+y2=4和好+仔―42=1相外切

所以而莪7=3,即4+〃=9

(29丫81

a2b②片(9一叫一1(J+4

a~+b2~9-9

9a2b2……8119

當(dāng)。9=一時(shí),取最大值—><—=—

2a2+b2494

故選:A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了由圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)，屬于中檔題.

2、D

【解析】

先求出橢圓方程，再利用橢圓的定義得到歸片|+|和1=4,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求"怛娟怛聞W4,從而可得

11

西+國(guó)的取值范圍.

【詳解】

由題設(shè)有8=l,c=百，故。=2,故橢圓C:土+丁=1,

4-

因?yàn)辄c(diǎn)尸為C上的任意一點(diǎn)，故歸用+怛閭=4.

71I1」明+附L4.4

I*|明|*|明|明|叫|明（4一附了

因?yàn)?—64|尸片區(qū)2+相，故1.P用（4—|代心4,

,11,

所以141-------\+1--------r—4

郎以|尸耳|lp^l,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

22

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，一般地，如果橢圓C：T+￡=l（a〉5〉0）的左、右焦點(diǎn)分別是耳、瑪，點(diǎn)P為。上的

任意一點(diǎn)，則有怛用+怛閭=2。，我們常用這個(gè)性質(zhì)來(lái)考慮與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問(wèn)題，本題屬于基礎(chǔ)題.

3、D

【解析】

因?yàn)椋?+x）"的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以，-=C,解得=1。，

所以二項(xiàng)式（l+x）i°中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為］：=丁.

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)和.

4、D

【解析】

這是幾何概型，畫(huà)出圖形，利用面積比即可求解.

【詳解】

1一

8:00ED

作圖如下:7:00_尸/,

解：事件A發(fā)生，需滿足x<y,即事件A應(yīng)位于五邊形BCDM內(nèi),基受2

6:307t30

,111

1——X—X—?

P（A）=—2,2=可

故選:D

【點(diǎn)睛】

考查幾何概型，是基礎(chǔ)題.

5、B

【解析】

展開(kāi)式中含X4的項(xiàng)是由(X+2)5的展開(kāi)式中含X4和X2的項(xiàng)分別與前面的常數(shù)項(xiàng)-2和/項(xiàng)相乘得到，由二項(xiàng)式的通

項(xiàng)，可得解

【詳解】

由題意，展開(kāi)式中含X4的項(xiàng)是由(X+2)5的展開(kāi)式中含X4和X2的項(xiàng)分別與前面的常數(shù)項(xiàng)-2和X2項(xiàng)相乘得到，

所以(爐—2)(%+2)5的展開(kāi)式中含x4的項(xiàng)的系數(shù)為-2C*X2+C1X23=60.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)的求解，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

6、B

【解析】

直接利用集合的基本運(yùn)算求解即可.

【詳解】

解：全集U=R,集合A={x|尤<1},B=\x\-i<x<2\,

=x>1}

則(2A)3={尤|尤圖}{尤|一1談嗎={x|l總2},

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

7、A

【解析】

計(jì)算5=(f,—1)(3,+8),再計(jì)算交集得到答案.

【詳解】

B=-2x-3>0^=(-oo,-l)o(3,+oo),A={x[x>2,xeR},故AB=(3,-H?).

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了交集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.

8、B

【解析】

根據(jù)已知得到函數(shù)/(%)兩個(gè)對(duì)稱(chēng)軸的距離也即是半周期，由此求得。的值，結(jié)合其對(duì)稱(chēng)軸，求得。的值，進(jìn)而求得

/(九)解析式.根據(jù)圖像變換的知識(shí)求得g(x)的解析式，再利用三角函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方法，求得g(x)的單調(diào)遞減區(qū)

間.

【詳解】

解：已知函數(shù)/(x)=sin(ox+e),其中切>0,其圖像關(guān)于直線x=?對(duì)稱(chēng)，

對(duì)滿足|/(%)一=2的4，%2,有N―工2匕=W=5,既，,口=2.

TTJTTT

再根據(jù)其圖像關(guān)于直線x=—對(duì)稱(chēng)，可得2x—+e=br+—,keZ.

662

；.0=^,；./(x)=sinf.

將函數(shù)f(x)的圖像向左平移￡個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(%)=sin2%+彳+￡=cos2x的圖像

6V36；

令2k兀<2x<2k兀+7i,求得k7i<x<k7i—,

2

71

則函數(shù)g(尤)的單調(diào)遞減區(qū)間是左肛左萬(wàn)+5,左eZ,

故選B.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查三角函數(shù)圖像與性質(zhì)求函數(shù)解析式，考查三角函數(shù)圖像變換，考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，屬于中

檔題.

9、C

【解析】

由三視圖知，該幾何體是一個(gè)圓錐，其母線長(zhǎng)是5。機(jī)，底面直徑是6。機(jī)，據(jù)此可計(jì)算出答案.

【詳解】

由三視圖知，該幾何體是一個(gè)圓錐，其母線長(zhǎng)是551,底面直徑是6cm,

該幾何體的表面積S=萬(wàn)x3?+萬(wàn)x3x5=24兀.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三視圖的知識(shí)，幾何體的表面積的計(jì)算.由三視圖正確恢復(fù)幾何體是解題的關(guān)鍵.

10、C

【解析】

，2、x2、

設(shè)A七,},Bx2

2'句，。9-3）,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線斜率，進(jìn)而得到切線方程，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入切線

方程，抽象出直線A5方程，且過(guò)定點(diǎn)為已知圓的圓心，即可求解.

【詳解】

圓x2+y2_6y+5=0可化為l2+(,_3)2=4.

（2、（2、

I4JI4J

則lA,4的斜率分別為k、吟,《吟,

所以/1,12的方程為/1：、=.（苫一M）+9,即丁=今工一%，

_3=十一%

由于4，/,都過(guò)點(diǎn)尸。3）,所以，

-3=至一%

即4（%,乂）,5（%,%）都在直線_3=3/_、上，

V

所以直線的方程為—3=uf-y，恒過(guò)定點(diǎn)（0,3）,

即直線A3過(guò)圓心（。,3）,

則直線A8截圓Y+V—6y+5=0所得弦長(zhǎng)為4.

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與圓位置關(guān)系、直線與拋物線位置關(guān)系，拋物線兩切點(diǎn)所在直線求解是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

11、C

【解析】

如圖所示，在平面ABC。的投影為正方形的中心E,故球心。在PE上，計(jì)算長(zhǎng)度，設(shè)球半徑為R,則

（PE-Rf+BE2=R2,解得R=2,得到答案.

【詳解】

如圖所示：P在平面ABCD的投影為正方形的中心E,故球心。在PE上,

BD=41AB=2A/3,故BE=gBD=%,=y/pB2-BE2=3>

設(shè)球半徑為R,貝!I(PE—R)2+3E2=R2,解得尺=2,故S=4?R2=I6?.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了四棱錐的外接球問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.

12、D

【解析】

將多項(xiàng)式的乘法式展開(kāi)，結(jié)合二項(xiàng)式定理展開(kāi)式通項(xiàng)，即可求得。的值.

【詳解】

V(x-?)(l+3x)6=x(l+3x)6-?(l+3x)6

所以展開(kāi)式中/的系數(shù)為最乎-a*=135—540。=-45,

，解得a=-.

3

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)式定理展開(kāi)式通項(xiàng)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，指定項(xiàng)系數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、—

2

【解析】

過(guò)點(diǎn)P作PM垂直于準(zhǔn)線，”為垂足，則由拋物線的定義可得。加=五產(chǎn)，

PFPMPF

則一=—=sinZPAM,"4M為銳角.故當(dāng)叢和拋物線相切時(shí)，一的值最小.

PAPAPA

PF

再利用直線的斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得一的最小值.

PA

【詳解】

解：由題意可得，拋物線必=4》的焦點(diǎn)尸（0,1）,準(zhǔn)線方程為y=-l,

過(guò)點(diǎn)P作PM垂直于準(zhǔn)線，〃為垂足，則由拋物線的定義可得。加=尸尸，

PFPM

則——二----=sinZPAM,為銳角.

PAPA

PF

故當(dāng)NP4”最小時(shí)，一的值最小.

PA

設(shè)切點(diǎn)P（2&,a）,由丫=：三的導(dǎo)數(shù)為y，=gx,

則Q4的斜率為6=6=*，

227a

求得4=1,可得P（2,l）,

PM=2,PA=2V2，

???sinZPAM=^-=—.

PA2

J?

故答案為：

2

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的定義，性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，直線的斜率公式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.

146兀近6兀

?14、-----------------1

824

【解析】

求導(dǎo)，研究函數(shù)單調(diào)性，分析，即得解

【詳解】

由題意得，/(X)=^--cosx?

令/'(x)>。，解得工<x,

42

77

令解得

71\(7171

”上遞減，在了萬(wàn)遞增?

6兀V2及兀

故/(x)在區(qū)間0,|上的最小值和最大值分別是一

~~8T，^--1.

故答案為：叵—也，叵一1

824

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值的求解中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題

15、

【解析】

根據(jù)題意，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為aW比'——1只對(duì)于(0,+。)內(nèi)的任意x恒成立,令

X

xex-lnx-\ex+]nx/、

—~竺」=￡-----吧_」，則只需在定義域內(nèi)a<g(x)1nhi即可，利用放縮法QNx+1,得出

XX

ex+lnx>x+\nx+l，化簡(jiǎn)后得出g(尤即可得出〃的取值范圍.

【詳解】

解：已知ax+1+/nr<xe'對(duì)于定義域(0,+。)內(nèi)的任意x恒成立，

即aVxe"fax-1對(duì)于(0,+“)內(nèi)的任意x恒成立，

X

令g(x)="eil，則只需在定義域內(nèi)a<g(X)011n即可，

X

/、xex-lnx-leinx-ex-lnx-lex+inx-lnx-l

..?g(町=-----------=---------------=--------------，

XXX

ex>x+l9當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，

x+]nx

由+1可知，e>%+lnx+l,當(dāng)x+ln;r=。時(shí)取等號(hào)，

x+\nxx+]nx-\-l-inx-l1

...g(%)=-e---------------->------------------------=b

XX

當(dāng)x+ln%=0有解時(shí)，

令/z(%)=x+ln%(%>0),則〃(％)=1+4>0,

x

.?./?(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又/?(7)=7-1<0,MD=i>0，

玉0e(0,+co)使得人@)=0,

???gOjL

則〃01,

所以。的取值范圍為(-8』.

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和最值，解決恒成立問(wèn)題求參數(shù)值，涉及分離參數(shù)法和放縮法，考查轉(zhuǎn)化能力和計(jì)

算能力.

16、m>2m=5

【解析】

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)z=x-y的最小值，利用數(shù)形結(jié)合即可得到

結(jié)論.

【詳解】

作出可行域如圖,

則要為三角形需滿足在直線=m下方，即1+1<相，m>2；

目標(biāo)函數(shù)可視為V=%-z,貝（Jz為斜率為1的直線縱截距的相反數(shù)，

該直線截距最大在過(guò)點(diǎn)A時(shí)，此時(shí)ZmM=-1，

直線K4：y=x+l,與AB：y=2x—1的交點(diǎn)為4（2,3）,

該點(diǎn)也在直線AC：x+y=加上，故機(jī)=2+3=5,

故答案為：m>2；m=5.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法，屬

于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

2

2盧寧=1⑵叁叵

17、(1)—+y2=1,

4-Z8

【解析】

分析：（1）根據(jù)題的條件，得到對(duì)應(yīng)的橢圓的上頂點(diǎn)，即可以求得橢圓中相應(yīng)的參數(shù)，結(jié)合橢圓的離心率的大小，求得

相應(yīng)的參數(shù)，從而求得橢圓的方程；

⑵設(shè)出一條直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，消元，利用求根公式求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得向量的坐標(biāo)，將S

表示為關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系，從眼角函數(shù)的角度去求最值，從而求得結(jié)果.

詳解：（I）依題意得對(duì)G：b=l,e=1ne2=3=:生，得G：—+/=1;

24a14-

2X2

同理02：v+T=1

4

(II)設(shè)直線MA,MB的斜率分別為%,《，則MA：y^k.x+1,與橢圓方程聯(lián)立得:

尤222

4+）1nx2+4（左述+1）2-4=0,得（4婷+1）/+8匕％=0,得/=-,%=mT,所以

y=k,x+11kl+

A（8%-4￡，+1）

‘4婷+1，4婷+1

4一左，2?、4彳4/8匕一8匕2、____-2k?-2k；

同理可得5----1.所以M4=（---7^—,—4），MB=

2229

4+k?4^+14^+1、4+左2?4+^2?

2

1甌—242—2內(nèi)—8婷116勺上2(左2一

從而可以求得5=彳-，，/因?yàn)樽驣%?=—1，

24k'+14+&24+修4一+12（4婷+1）（4+左2?）

-4短一9婷+1

，不妨設(shè)口。，底，

所以S=2)=9)=

/化)=(),.?.一4短一9婷+1=0,婷=叱-9,所以當(dāng)s最大時(shí)，婷二叱-9,此時(shí)兩直線MA,MB斜率的比

值&=-婷g_屈

左28

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)橢圓與直線的綜合題，在解題的過(guò)程中，注意橢圓的對(duì)稱(chēng)性，以及其特殊性，與y軸的交點(diǎn)

即為橢圓的上頂點(diǎn)，結(jié)合橢圓焦點(diǎn)所在軸，得到相應(yīng)的參數(shù)的值，再者就是應(yīng)用離心率的大小找參數(shù)之間的關(guān)系，在

研究直線與橢圓相交的問(wèn)題時(shí)，首先設(shè)出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，求得結(jié)果，注意從函數(shù)的角度研究問(wèn)題.

18、⑴見(jiàn)證明；(2)名好

13

【解析】

(1)取的中點(diǎn)。，連接OR04,要證平面P5C,平面ABCD,轉(zhuǎn)證QP_L平面4BC。，即證OPLQ4,

OPLBC即可；(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。AO3,OP為蒼y*軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求

出平面與平面PBC的法向量，代入公式，即可得到結(jié)果.

【詳解】

(1)取的中點(diǎn)。，連接OP,Q4,

因?yàn)锳ABCAPBC均為邊長(zhǎng)為2岔的等邊三角形,

所以O(shè)PLBC,且6M=OP=3

因?yàn)锳P=3&，所以O(shè)尸+0寸=”2,所以op，Q4,

又因?yàn)镼4cBe=O,OAu平面ABC。，BCu平面ABC。,

所以。PJ_平面ABC￡).

又因?yàn)镼Pu平面PBC,所以平面PBC,平面ABC。.

(2)因?yàn)?CLCD,AABC為等邊三角形,

TTTT27r

所以NACD=—,又因?yàn)锳￡>=CD,所以NC4D=—,ZADC=——

663

ACCD

在AAZJC中，由正弦定理，得:所以CD=2.

sinZADCsinZCAD

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。4。3,?！笧樯n％z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則P（0,0,3）,B（0,73,0）,D（2,-V3,0）,5P=（0,—6,3）,BD=（2,-243,0）,

設(shè)平面PBD的法向量為〃=(x,y,z),

n-BP=0Sy+3z=0

則即＜

n-BD=02x-2y/3y=0

令z=l,則平面的一個(gè)法向量為〃=(3,6,1),

依題意，平面PBC的一個(gè)法向量機(jī)=(1,0,0)

??/\rrm

所以cos（加,〃）二［門(mén)

\m\\n\13

故二面角C—尸5—0的余弦值為獨(dú)3.

13

【點(diǎn)睛】

空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求

出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空

間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

19、(1)cosA=3y,cosC=2'；(2)b=5

105

【解析】

試題分析:（D根據(jù)余弦定理求出B,帶入條件求出sinA,利用同角三角函數(shù)關(guān)系求其余弦，再利用兩角差的余弦定理

即可求出;（2）根據(jù)（1）及面積公式可得雙，利用正弦定理即可求出.

試題解析:(1)由/+02+jiac=b2>得t?+c?—/=-y/2ac>

AcosB==以￡=—"

laclac2

3yr

*?*0<JB<yr,:?B=—

4

由&sinA+cos5=0，得sinA=—^^cosB=一在xUlL包

5I2J10

|2_3A/10

cosA=-sin2A=1-

=^cosA^sinA

cosC=cos--A+=^x巫+變義巫=撞

u222102105

2^/5?二好

(2)由(1),得sin。=-cos2c=1-

5J5

11Q

5

由S=—acsinB及題設(shè)條件，得一acsin'=一,：?ac—5^/^?

2242

a_b_c

abc

由----=-----=-----,得回一母一后,

sinAsinBsinC

1025

J/=逑〃。=逑乂5點(diǎn)=25,

22

b=5.

點(diǎn)睛：解決三角形中的角邊問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)條件選擇正余弦定理，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化統(tǒng)一為邊的問(wèn)題或角的問(wèn)題，利用三角

中兩角和差等公式處理，特別注意內(nèi)角和定理的運(yùn)用，涉及三角形面積最值問(wèn)題時(shí)，注意均值不等式的利用，特別求

角的時(shí)候，要注意分析角的范圍，才能寫(xiě)出角的大小.

22A

20、(1)L+匕=1(2)-

545

【解析】

(垂2、(垂2)

(1)不妨設(shè)A-1-a,-b,B^-a,-b,計(jì)算得到4a2=5^，根據(jù)面積得到。電=2追，計(jì)算得到答案.

3333

22

(2)設(shè)0(如%)，加(石，％)，Ng%),聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理得到再+%='產(chǎn)，石%2=竺工一年，代

24

入化簡(jiǎn)計(jì)算得到答案.

【詳解】

(加2、

(1)由題意不妨設(shè)A—丁

I33J

'45a2b'

則

F2A=

54b2

2222

VZAF2B=90fF2AF2B=c-^a+-^-=09：.4a=5b.

▽c_12y/5a2b_20..R

又5白的48=3義----T=豆，??00=2,5，

22

:“出，b=2,故C的方程為二+乙=1.

54

（2）設(shè)尸（如%），=（%，%），N（w，%），則%=},?,%+*=。，

Ao

:,kMN=-迎,設(shè)直線腦V的方程為丁=—&%+加（加

%%

+5y；）%2-lOmXo為x+5x；（加一"二0.

???尸在(7上，???44+5￥=20,???上式可化為4%2-2祖%0%%+%(后一4)=0.

22

22

,尤1+%="個(gè)",=^-^--Xg,A=4Xg（mJo-4m+16）＞0,

24

m4

（-yo）_2/TUQ

??X+y,=—（X[+x2）+2m

25

(x-%)(%-%)=%(x+%)+y：=r^L-yl一也產(chǎn)+y；

2

m%Q-lnv(^yQ

5

2

mXg-lmx^yQ

4

.k.k—xf%-%—4

??%PM%PN~~c?

玉-x0x2-x05

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓方程，定值問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.

21、（I）0.288（II）（i）見(jiàn)解析（ii）數(shù)學(xué)期望￡（匕）的最大值為280

【解析】

（I）根據(jù)題意，設(shè)購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中，選擇分2期付款的人數(shù)為V,由獨(dú)立重復(fù)事件的特點(diǎn)得出〃5（3,0.4）,

利用二項(xiàng)分布的概率公式，即可求出結(jié)果；

（II）（i）