福州三校聯(lián)盟2024年高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

福州三校聯(lián)盟2024年高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.很多關(guān)于整數(shù)規(guī)律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者，有些猜想已經(jīng)被數(shù)學(xué)家證明，如“費(fèi)馬

大定理”，但大多猜想還未被證明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的內(nèi)容是：對于每一個正整數(shù)，如果

它是奇數(shù)，則將它乘以3再加1；如果它是偶數(shù)，則將它除以2;如此循環(huán)，最終都能夠得到1.下圖為研究“角谷猜想”

的一個程序框圖.若輸入〃的值為10,則輸出i的值為（）

A.5B.6C.7D.8

2.直線二_、戶二一經(jīng)過橢圓的左焦點交橢圓于--兩點，交-軸于一點，若

?■i-j+

二二,=二三二，則該橢圓的離心率是（）

A.7jB.C.?"*5D.=?

3.已知4,b是平面內(nèi)互不相等的兩個非零向量，且同=L&-8與匕的夾角為150,則忖的取值范圍是（）

A.（0.73]B.[1,G]C.（0,2]D.[A2]

4.執(zhí)行如下的程序框圖，則輸出的S是()

/循出5/

I

I結(jié)束I

A.36B.45

C.-36D.-45

3

5.一個算法的程序框圖如圖所示，若該程序輸出的結(jié)果是一，則判斷框中應(yīng)填入的條件是()

6.已知函數(shù)/(x)=x+ei,g(x)=ln(x+2)—4e°r,其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，若存在實數(shù).%,使

/(%)—g(x0)=3成立，則實數(shù)。的值為()

A.-In2-1B.-l+ln2C.-In2D.In2

7.設(shè)全集U=R,集合A={x|log2(4—%)W1}，B={x|(x-3)(x-5)>0),貝！l&6)IA=()

A.[2,5]B.[2,3]C.[2,4)D.[3,4)

8.函數(shù)f(x)=sin(wx+0)(w>O,M|<T)的最小正周期是r,若將該函數(shù)的圖象向右平移機(jī)個單位后得到的函數(shù)圖象

rr

關(guān)于直線*=—對稱，則函數(shù)f(x)的解析式為()

2

7171

A.f(x)=sin(2x+―)B.f(x)=sin(2x—y)

77JT

C.f(x)=sin(2xH—)D.f(x)=sin(2x——)

66

9.若2〃+3a=3"+2。，則下列關(guān)系式正確的個數(shù)是()

?b<a<Q?a=b③。<。<人<1?l<b<a

A.1B.2C.3D.4

10.若函數(shù)/(》)=/+奴2+3工一9在％=—3時取得極值，則。=()

A.2B.3C.4D.5

11.已知/(九)為定義在R上的奇函數(shù)，若當(dāng)xNO時，f(x)=2x+x+m(心為實數(shù))，則關(guān)于x的不等式

—2</(x—1)<2的解集是()

A.(0,2)B.(-2,2)C.(-1,1)D.(1,3)

12.設(shè)函數(shù)函切定義域為全體實數(shù),令g(x)=/(|x|)—|/(x)].有以下6個論斷：

①/(X)是奇函數(shù)時，g(x)是奇函數(shù)；

②/(X)是偶函數(shù)時，g(x)是奇函數(shù)；

③/(X)是偶函數(shù)時，g(x)是偶函數(shù)；

④/(X)是奇函數(shù)時，g(x)是偶函數(shù)

⑤g(x)是偶函數(shù)；

⑥對任意的實數(shù)x,g(x),,0.

那么正確論斷的編號是()

A.③④B.①②⑥C.③④⑥D(zhuǎn).③④⑤

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)全集U=R,A={x\-3<x<l,xeZ},B=|x|x2-x-2>0,xe7?1,則41^8=.

14.在(當(dāng)+4)"的二項展開式中，所有項的系數(shù)之和為1024,則展開式常數(shù)項的值等于.

X

15.已知點二是直線二匚二一上的動點，點二是拋物線二一二,上的動點.設(shè)點二為線段二二的中點，二為原點，則二二的

最小值為.

16.《九章算術(shù)》中記載了“今有共買豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足。問人數(shù)、豕價各幾何？”.其意思是“若

干個人合買一頭豬，若每人出100,則會剩下100；若每人出90,則不多也不少。問人數(shù)、豬價各多少？”.設(shè)羽y分別

為人數(shù)、豬價，則x=__,y=一.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知橢圓C:1+，=1(?！?〉0)的離心率為乎，且過點4(0,1).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)點尸是橢圓上異于短軸端點A,8的任意一點，過點P作軸于0,線段尸。的中點為M.直線A拉與直

線y=-l交于點N,O為線段3N的中點，設(shè)。為坐標(biāo)原點，試判斷以。。為直徑的圓與點M的位置關(guān)系.

18.(12分)在ABC中，4、B、。的對應(yīng)邊分別為b、c,已知。=2,c=2g,cosC=—

(1)求A;

(2)設(shè)〃為中點，求的長.

19.(12分)如圖，在四棱錐尸—ABCD中，底面ABC。為等腰梯形，AB//CD,CD=2AB=4,AD^^2,APAB

為等腰直角三角形，PA=PB,平面？A3,底面ABC。，E為PD的中點.

(1)求證：AE〃平面「5C；

(2)若平面E3C與平面B4D的交線為/,求二面角P-/-6的正弦值.

20.(12分)如圖，三棱柱ABC—A與G中，側(cè)面55。。為菱形，AC1AB^AB=BC.

(1)求證：平面AB/；

(2)若AB，與。,NCBB[=60°,求二面角B.-AA.-C,的余弦值.

21.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=k+a],a>0.

(I)當(dāng)a=2時,求不等式/(無)</的解集；

(II)若函數(shù)g(x)=/(力+/(1—%)的圖象與直線y=11所圍成的四邊形面積大于20,求a的取值范圍.

22.(10分)已知函數(shù)/(X)=Inx—ar?+—1)尤+Z>+l(a,Z>eR).

(1)若a=0,試討論了(尤)的單調(diào)性；

(2)若0<a<2,b=l,實數(shù)占，無2為方程/(*)=?1-依2的兩不等實根，求證：—+—>4-2a.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】

根據(jù)程序框圖列舉出程序的每一步，即可得出輸出結(jié)果.

【詳解】

輸入〃=10,〃=1不成立，〃是偶數(shù)成立，則〃="=5,Z=0+1=1；

2

”=1不成立，”是偶數(shù)不成立，貝!J〃=3x5+l=16,z=l+l=2；

〃=1不成立，九是偶數(shù)成立，則〃=3=8,,=2+1=3；

2

Q

〃=1不成立，〃是偶數(shù)成立，則〃=—=4,,=3+1=4；

2

一4

“=1不成立，九是偶數(shù)成立，則”=—=2,,=4+1=5；

2

”=1不成立，”是偶數(shù)成立，則〃=2=1,,=5+1=6；

2

〃=1成立，跳出循環(huán)，輸出i的值為6.

故選：B.

【點睛】

本題考查利用程序框圖計算輸出結(jié)果，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2、A

【解析】

由直線二一U二-、弓=。過橢圓的左焦點二，得到左焦點為二Y：,且二一二?=二,

再由求得，代入橢圓的方程，求得，進(jìn)而利用橢圓的離心率的計算公式，即可求解.

」?幻,

【詳解】

由題意，直線-_飛-+.7=「經(jīng)過橢圓的左焦點-，令--廣，解得-=*7，

所以-=、二，即橢圓的左焦點為-'_、?，且--一~=；①

直線交二軸于3（4Uy所以，ZZ|=vI|ZZ|=I|EC|=?

因為，所以—所以一，

1J'^―I'JI”一/.3,，、

-弋T習(xí)

又由點-在橢圓上，得②

多+5=4

由二二，可得.二一二二：+9=也，解得_：=&，

所以.,T

八?再="■=（，-）

所以橢圓的離心率為3--=、?；_-1j.

故選A.

【點睛】

本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中求橢圓的離心率（或范圍），常見有兩種方法：①求出二二，代入

公式②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于------的齊次式，轉(zhuǎn)化為--的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于-的方程，即可

1二二

得二的值（范圍）.

3、C

【解析】

試題分析：如下圖所示，43=0,4。=乩則4。=。8=0—5，因為d—。與b的夾角為150，即ZCFLB=150°,

所以/記3=30。，設(shè)NOB4=6,則0＜。＜150。，在三角形ABD中，由正弦定理得同=問，所以

sin30°sin。

|/?|=———xsin。=2sin。，所以0＜同《2,故選C.

IIsin30°11

考點：L向量加減法的幾何意義；2.正弦定理；3.正弦函數(shù)性質(zhì).

4、A

【解析】

列出每一步算法循環(huán)，可得出輸出結(jié)果S的值.

【詳解】

，=1W8滿足，執(zhí)行第一次循環(huán)，S=0+(-l)'xl2=-l,=1+1=2；

i=2W8成立，執(zhí)行第二次循環(huán)，S=-1+(-1)2X22=3,,=2+1=3；

i=3W8成立，執(zhí)行第三次循環(huán)，S=3+(-1)3X32=-6,Z=3+1=4；

i=4W8成立，執(zhí)行第四次循環(huán),5=-6+(-l)4x42=10,z=4+l=5；

i=5W8成立，執(zhí)行第五次循環(huán)，S=10+(-1)5X52=-15,Z=5+1=6；

i=6W8成立，執(zhí)行第六次循環(huán)，S=-15+(-1)6X62=21,,=6+1=7；

i=7W8成立，執(zhí)行第七次循環(huán)，S=21+(-1)7X72=-28,z=7+l=8；

i=8W8成立，執(zhí)行第八次循環(huán)，S=—28+(—義8?=36,z=8+l=9；

i=9W8不成立，跳出循環(huán)體，輸出S的值為36,故選：A.

【點睛】

本題考查算法與程序框圖的計算，解題時要根據(jù)算法框圖計算出算法的每一步，考查分析問題和計算能力，屬于中等

題.

5、D

【解析】

首先判斷循環(huán)結(jié)構(gòu)類型，得到判斷框內(nèi)的語句性質(zhì)，然后對循環(huán)體進(jìn)行分析，找出循環(huán)規(guī)律，判斷輸出結(jié)果與循環(huán)次

數(shù)以及i的關(guān)系，最終得出選項.

【詳解】

經(jīng)判斷此循環(huán)為“直到型”結(jié)構(gòu)，判斷框為跳出循環(huán)的語句，

第一次循環(huán)：S=0+—=-,z=l+l=2；

1x22

第二次循環(huán)：S=』+工=[,/=2+1=3；

22x33

213

第三次循環(huán)：S=—+—=-,z=3+l=4,

33x44

此時退出循環(huán)，根據(jù)判斷框內(nèi)為跳出循環(huán)的語句，.?"<4?,故選D.

【點睛】

題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問題時一定注意以下幾點：(1)不要混淆處理框

和輸入框；(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；(3)注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；(4)處

理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題時一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5)要注意各個框的順序，(6)在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題

中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計算，直到達(dá)到輸出條件即可.

6、A

【解析】

令f(x)-g(x)=x+exa-In(x+1)+4eax,

.1x+1

令y=x-Inz(x+1),y'=l------=-----,

x+2x+2

故y=x-In(x+1)在(T,-1)上是減函數(shù)，(-1,+■?)上是增函數(shù)，

故當(dāng)x=-1時，y有最小值-1-0=-1,

JTQex'a+4ea-x>4,(當(dāng)且僅當(dāng)ex，=4ear,gpx=a+lnl,等號成立)；

故f(x)-g(x)N3(當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柾瑫r成立時，等號成立)；

故x=a+lnl=-1,即a=-1-Ini.故選：A.

7、D

【解析】

求解不等式，得到集合A,B,利用交集、補(bǔ)集運(yùn)算即得解

【詳解】

由于log2（4-x）<12<%<4

故集合A=[2,4)

(x-3)(x—5)>0.,.x<3或x>5

故集合B=(YQ,3)u(5,+oo)

(^B)n|A=[3,4)

故選：D

【點睛】

本題考查了集合的交集和補(bǔ)集混合運(yùn)算，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

8、D

【解析】

rrTCTCTC

由函數(shù)的周期求得vv=2,再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線x=g對稱，得到2義々+。-生=k7T+-,由此求得滿

2232

足條件的9的值，即可求得答案.

【詳解】

TTTTTTTT

分析：由函數(shù)的周期求得3=2,再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線x='對稱，得到2x'+(p-'=k7l+2，由此求

2232

得滿足條件的中的值，即可求得答案.

詳解：因為函數(shù)f(x)=sin(3x+(p)的最小正周期是兀，

2九

所以一=兀，解得3=2,所以f(x)=sin(2x+cp),

CO

ir

將該函數(shù)的圖像向右平移二個單位后，

6

得到圖像所對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=sin21x—￡)+(p=sin12x+(p—g),

7T

由此函數(shù)圖像關(guān)于直線x=7對稱，得：

2

-7T兀17L]兀]r

2x—+(p---=K7i+—,BQp(p=K7i---,keZ,

2326

取k=0,得(p=一滿足同〈彳，

62

所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=sinQx-",故選D.

【點睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及函數(shù)的解析式的求解，其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得到

7T

y=sin(2x+。-§),再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.

9、D

【解析】

a,b可看成是y=f與/(x)=2*+3x和g(x)=3'+2x交點的橫坐標(biāo)，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合處理.

【詳解】

令/(%)=2*+3x,g(x)=3A+lx,

/(O)=g(O)=l,/(l)=g(l)=5,②正確；

xe(-oo,0),/(x)<g(x),有b<a<0,①正確；

xe(O,l),/(%)>g(x),有0<a<6<l,③正確；

xe(l,+oo),/(x)<g(x),有l(wèi)<b<a,④正確.

故選：D.

【點睛】

本題考查利用函數(shù)圖象比較大小，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.

10、D

【解析】

對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在l=-3時取得極值，得到/''(-3)=0,即可求出結(jié)果.

【詳解】

因為/(%)=/+Q2+3%—9,所以/'(%)=3/+2ax+3,

又函數(shù)/(4=/+依2+3*—9在兀=—3時取得極值，

所以r(-3)=27-6a+3=0,解得a=5.

故選D

【點睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)的問題，屬于?？碱}型.

11、A

【解析】

先根據(jù)奇函數(shù)求出m的值，然后結(jié)合單調(diào)性求解不等式.

【詳解】

據(jù)題意，得/(0)=1+m=0,得m=—l,所以當(dāng)行0時，〃x)=2'+x—1.分析知，函數(shù)/(“在R上為增函數(shù).

又/(1)=2,所以/(—1)=—2.又—2</(x—1)<2,所以—l<x—1<1,所以0<x<2,故選A.

【點睛】

本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

12、A

【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)g(x)的奇偶性并證明.

【詳解】

當(dāng)/(尤)是偶函數(shù)，則/(—x)=/(%),

所以g(-x)=f(\-X1)-1/(-%)|=/(|X1)-1/(x)|=g(x),

所以g(x)是偶函數(shù)；

當(dāng)/(尤)是奇函數(shù)時，則〃—無)=—/(%),

所以g(-x)=f(\-x1)-1/(-x)1=/(IX1)-1/(x)|=g(x),

所以g(x)是偶函數(shù)；

當(dāng)/(無)為非奇非偶函數(shù)時，例如：/(x)=%+5,

則川—2|)=7,|/(-2)|=3,此時g(—2)>0,故⑥錯誤;

故③④正確.

故選：A

【點睛】

本題考查了函數(shù)的奇偶性定義，掌握奇偶性定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、{0,1}

【解析】

先求出集合A,B,然后根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義求解即可.

【詳解】

解：A={-2,-1,0,1},3={x|xW-l或％22}；

MB={x|-l<x<2}；

Ac6/={0,l}?

故答案為：{0,1}.

【點睛】

本題主要考查集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

14、15

【解析】

利用展開式所有項系數(shù)的和得n=5,再利用二項式展開式的通項公式，求得展開式中的常數(shù)項.

【詳解】

因為+的二項展開式中，所有項的系數(shù)之和為4n=1024,n=5,

故［W+6)的展開式的通項公式為Tr+i=C'y2。,令10=0,解得r=4,可得常數(shù)項為T5=C'3=15,故填15.

【點睛】

本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用、二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，屬于中檔題.

15、

【解析】

過點二作直線平行于二二二-1，則二在兩條平行線的中間直線上，當(dāng)直線相切時距離最小，計算得到答案.

【詳解】

如圖所示：過點作直線平行于-=「?：，則在兩條平行線的中間直線上，

二=二，則二’二二二-一，二二g故拋物線的與直線平行的切線為二二一;.

點為線段的中點，故在直線一二+:時距離最小，故一上

故答案為：三.

【點睛】

本題考查了拋物線中距離的最值問題，轉(zhuǎn)化為切線問題是解題的關(guān)鍵.

16、10900

【解析】

由題意列出方程組，求解即可.

【詳解】

100x_y=100

由題意可得《“八，解得工=10,y=900.

90%-y=0

故答案為10900

【點睛】

本題主要考查二元一次方程組的解法，用消元法來求解即可，屬于基礎(chǔ)題型.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)—+y2=1(2)點以在以C?為直徑的圓上

4

【解析】

(1)根據(jù)題意列出關(guān)于。，b,c的方程組，解出a,b,c的值，即可得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點P(%,%),則M(5，％),求出直線的方程，進(jìn)而求出點N的坐標(biāo)，再利用中點坐標(biāo)公式得到點。

的坐標(biāo)，下面結(jié)合點P在橢圓。上證出揄.血=o,所以點M在以C?為直徑的圓上.

【詳解】

a—2

(1)由題意可知，\-=^~,解得＜

b-\,

a2

/_入2,/c—A/3

2

二橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—+/=1.

4-

(2)設(shè)點2(/，％),則AH3,%),

Jo-12(y0-l)

二直線AM的斜率為包_0一x。，

2

2(%T),

，直線AM的方程為：，=°x+i,

令y=-l得，戶二，

1一%

二點N的坐標(biāo)為(產(chǎn)，-1),

［一九

二點。的坐標(biāo)為(而J,-1),

“一

OMDM=入'%+1)=》+城一%+%'

又點P(x°,%)在橢圓C上，

22

-+%2=1,x0=4-4y0,

++4(1-v

OMDM=1-="+%=1_(1+%)+%=0,

4(1-%)

二點M在以O(shè)D為直徑的圓上.

【點睛】

本題主要考查了橢圓方程，考查了中點坐標(biāo)公式，以及平面向量的基本知識，屬于中檔題.

18、(1)30;(2)77.

【解析】

(1)直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出C,結(jié)合正弦定理求出4；

(2)結(jié)合第一問的結(jié)論以及余弦定理即可求解.

【詳解】

|C/7

解：(1)VcosC=——,且OvCv乃，AC=120°,由正弦定理-----=-----

2sinAsinA

2273...1

----=-------,..sinA=—,

sinAsin120°----------2

VC=120°

???4銳角，，4=30。

(2)?.'A=30°,C=120°

：.B=30°

b=a=2

C

.?.在-AMC中，由余弦定理得AM?=4。2+002—?osC

=l+4-2x2xlx

=7

AM=址

【點睛】

本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用.考查了學(xué)生對三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用.

19、(1)證明見解析；(2)2叵

9

【解析】

⑴取PC的中點尸，連接跖，引"易得EF//CD,CD=2EF,進(jìn)而可證明四邊形ABFE為平行四邊形,即AE//BF,

從而可證明AE//平面PBC；

(2)取A3中點。，CD中點Q,連接。。，易證尸平面ABC。，。。上平面？A3,從而可知AB,OQ,OP兩

兩垂直，以點。為坐標(biāo)原點，向量OQ,O3,0尸的方向分別為羽％z軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求

出平面0AD的法向量加=(x,y,z),及平面E3C的法向量為，7=(。，4c),由儂伊"片口麗，可求得平面E3C與

平面PAD所成的二面角的正弦值.

【詳解】

(1)證明：如圖1,取PC的中點p，連接砂，股.

PE=DE,PF=CF,:.EFHCD,CD=2EF,

AB//CD,CD=2AB,.-.AB//EF,且EF=A5,

二四邊形ABFE為平行四邊形，.IAE//BF.

又6尸u平面尸5C,4石仁平面「5。，，4石〃平面尸5。.

(2)如圖2,取A5中點。，CD中點Q,連接。。.

OA=OB,CQ=DQ,PA=PB,PO±AB,OQ±AB,

平面平面ABC。，平面PABc平面ABCD=AB,

.,.POL平面ABC。，OQ，平面FAB,

..AB,OQ,OP兩兩垂直.

以點。為坐標(biāo)原點，向量OQ,OB,0P的方向分別為羽Xz軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

由=可得。A=OB=OP=1,OQ=CQ=2,

在等腰梯形ABC。中，AB=2,CD=4,AD=①,易知。。=1,

.?.0(0,0,0),4(0,-1,0),B(0,l,O),C(1,2,0),P(0,0,l),D(l,-2,0),E(|

則AP=(0,1,1),AD=(l,-l,0),BC=(1,1,0),=

設(shè)平面PAD的法向量為m=(x,y,z),

m?AP=y+z=0

則1，取y=l,得加=(1,1,—1).

m-AD=x-y=0

設(shè)平面EBC的法向量為〃=(〃也c),

n?BC=a+b=0

則＜11,取Z?=—l,得孔二(1,一1,一5).

n-EB=——a+2b——c=0

122

因為根7=1-1+5=5，|司=百，|“=3百，所以c°s,，"=/Y55

信36一9，

所以平面EBC與平面Q4D所成的二面角的正弦值為

D

圖2

【點睛】

本題考查線面平行的證明，考查二面角的求法，利用空間向量法是解決本題的較好方法，屬于中檔題.

20、（1）見解析（2）-

7

【解析】

（1）根據(jù)菱形性質(zhì)可知BG，用。，結(jié)合AC1A8］可得。4=。。=。4，進(jìn)而可證明ASCMMABOC,即

BQ1OA,即可由線面垂直的判定定理證明BQI平面ABtC;

（2）結(jié)合（1）可證明。4,03,。與兩兩互相垂直.即以。為坐標(biāo)原點，的方向為x軸正方向，|。獷為單位長度,

建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個點的坐標(biāo)，并求得平面qA4和平面G4&的法向量，即可求得二面角4-A4-C的

余弦值.

【詳解】

(1)證明：設(shè)BC]B[C=O,連接。4,如下圖所示:

?.?側(cè)面3與C。為菱形，

ABQLB.C,且。為用C及BQ的中點，

又AC1A8],則AC4片為直角三角形，

：.OA=OC=OBl,

又AB=BC,

:.ABOA=ABOC,(SSS)

:.OAA.OB,即BCJOA,

而。4,4。為平面ABC內(nèi)的兩條相交直線,

BC]，平面AB。].

(2)AB±BtC,Bq1B6,ABcBC[=B

.?.與CL平面ABO,

QAOu平面ABO,

:.B1C±AO,即。4_LOB1,

從而。4,OB,OBX兩兩互相垂直.

以。為坐標(biāo)原點，。8的方向為x軸正方向，|。8|為單位長度，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-孫z

NCBB[=60°,

AC5片為等邊三角形,

AB=BC,

二.A(0,0,^(0,~~~,0),C(0,-,0)，

…二[o,g—=%=[-l,go],AG=AC=[o「g—

-y-(y-z)=0

n-AB,=0

設(shè)平面用叫的法向量為W=(羽y,z),貝！|J八，即<

n-AAX=G—X+立y=0

.?.可取“=(1,后回

「AA.m-AC=0

設(shè)平面GM的法向量為加，貝！I7J八.

m-AAl=0

同理可取m=(1,A/3,-A/3)

n-m]

cos<n.m>-

n|-|m|A/7XV7|7

由圖示可知二面角4-A4-C為銳二面角,

二面角4-A&-。的余弦值為1.

【點睛】

本題考查了線面垂直的判定方法，利用空間向量方法求二面角夾角的余弦值，注意建系時先證明三條兩兩垂直的直線,

屬于中檔題.

21、(1)(-oo,-1)u(2,+oo)(2)(0,4)

【解析】

(I)當(dāng)4=2時，不等式為歸+2]<%2.

若x12,則無+2<%2,解得x>2或％<—1,結(jié)合%>—2得x>2或一2<九〈一1.

若犬V—2,則—1—2<*,不等式恒成立，結(jié)合xv—2得xv—2.

綜上所述,不等式解集為-1)u(2,+⑹.

2x-1,X>6Z+1

(II)g(x)=]%+4+|%-〃一1|=42〃+1,一〃<%<a+1

—2x+1,%V—ci

則g(x)的圖象與直線y=11所圍成的四邊形為梯形，

令2x-l=ll,得x=6,令-2%+1=11,得％二一5,

則梯形上底為2。+1,下底為11,高為H-(2a+1)=10-2a.

rn+(2a+i)i

S=————(10-2a)>20.

化簡得"+a—20<0,解得—5<a<4,結(jié)合a>0,得。的取值范圍為(0,4).

點睛：含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運(yùn)用零點分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解.法一是

運(yùn)用分類討論思想，法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強(qiáng)化函

數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動向.

22、(1)答案不唯一，具體見解析(2)證明見解析

【解析】

(1)根據(jù)題意得/"(x),分與b>-1討論即可得到函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

/、In-Inx

(2)根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)g(x),得g(X])=g(X2)=根，參變分離得"2二-x'x】，

設(shè)卜々〉再構(gòu)造函數(shù)利用

分析不等式一+—>4-2a,即轉(zhuǎn)化為‘----<-21n—,1),g⑺=21n1+；,

導(dǎo)數(shù)得單調(diào)性，進(jìn)而得證.

【詳解】

(1)依題意%>0,當(dāng)a=0時，/'(x)=L—3+1),

X

①當(dāng)時，尸（％）＞。恒成立，此時f（x）在定義域上單調(diào)遞增;

②當(dāng)5>-1時，若f'(x)>0;若XJy^,+oo[,f\x)<0;

Ib+lj^b+1)

故此時/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,「二]，單調(diào)遞減區(qū)間為(+s].

Ib+1)