第八章-蒙特卡洛方法

第8章蒙特卡羅方法

1.蒙持卡羅方法的基本思想

2.隨機(jī)數(shù)和偽隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生

3.任意分布的偽隨機(jī)數(shù)的抽樣

4.蒙特卡羅方法的特點(diǎn)及其局限性

5.蒙持卡羅方法計(jì)算積分

6.M-C在材料科學(xué)中的應(yīng)用

7.M-C應(yīng)用程序簡(jiǎn)介

蒙特卡羅(Monte-Carlo，簡(jiǎn)寫為M-C)方法屬于計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它是在二十世紀(jì)四十年代中期為了適應(yīng)當(dāng)時(shí)原子能事業(yè)的發(fā)展而發(fā)展起來(lái)的，但它與一般計(jì)算方法有很大區(qū)別，一般計(jì)算方法對(duì)于解決多維或因素復(fù)雜的問(wèn)題非常困難，而蒙特卡羅方法對(duì)于解決這方面的問(wèn)題卻比較簡(jiǎn)單。

因而蒙特卡羅方法在近十年來(lái)發(fā)展很快，特別是隨著快速電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展，蒙特卡羅方法得到了迅速發(fā)展與廣泛應(yīng)用。蒙特卡羅方法也稱隨機(jī)抽樣技術(shù)(RandomSamplingTechnique)或統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方法(MethodofStatisticalTest)。

蒙特卡羅是歐洲摩納哥國(guó)的一個(gè)重要城市，以賭博著稱。

蒙特卡羅方法是以概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)為基礎(chǔ)的，是通過(guò)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)達(dá)到計(jì)算某個(gè)量的目的。

而賭博時(shí)，概率論是一種有力的手段。所以，以蒙特卡羅作為方法的名字，原因大概于此。

蒙特卡羅方法不僅可作為理論和實(shí)驗(yàn)的補(bǔ)充，同時(shí)可可以給出關(guān)于體系的實(shí)驗(yàn)可觀測(cè)物理量和通過(guò)現(xiàn)有實(shí)驗(yàn)所無(wú)法觀測(cè)的物理量的值。如光子和中子的聯(lián)合輸運(yùn)問(wèn)題的模擬實(shí)驗(yàn)研究和可任意改變系統(tǒng)中的相互作用勢(shì)；即便是對(duì)實(shí)驗(yàn)中難以達(dá)到的某種極限條件，它也能很容易的實(shí)現(xiàn)！由于蒙特卡羅方法是利用一連串的隨機(jī)數(shù)來(lái)求解問(wèn)題的，因此求解隨機(jī)過(guò)程，放射性衰變和布朗運(yùn)動(dòng)等問(wèn)題，它是很有效的。它主要適用于原子尺度和顯微尺度的模擬,是一種隨機(jī)模擬方法。它假設(shè)系統(tǒng)由哈密頓(Hamiton)模型來(lái)描述,可觀測(cè)量為模型系統(tǒng)狀態(tài)的系綜合平均。M—C法計(jì)算的粒子瞬時(shí)分布很接近實(shí)際情況,但粒子運(yùn)動(dòng)的卻與實(shí)際情況有差異。MC法用隨機(jī)數(shù)來(lái)控制粒子運(yùn)動(dòng),并使其符合Boltzmann

分布,因此,用M—C法研究物質(zhì)體系平衡性質(zhì)是可靠的,用它研究動(dòng)力學(xué)性質(zhì)就必須謹(jǐn)慎。

M—C應(yīng)用原子能工業(yè)線性規(guī)劃、計(jì)算機(jī)研制、計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)、解決多體問(wèn)題物理、化學(xué)、地質(zhì)、石油2.1

蒙持卡羅方法的基本思想

用下述兩個(gè)例子，說(shuō)明蒙特卡羅方法的基本思想。

例1．產(chǎn)品合格率的計(jì)算

某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，其合格率表示是：

1確定部分產(chǎn)品合格率：2以后者代替前者3示例：例如，檢查某批產(chǎn)品，當(dāng)被檢查的產(chǎn)品長(zhǎng)度介于13．60cm—13．90cm內(nèi)時(shí)，則認(rèn)為是合格的，否則是次品。分別抽取5件，10件，60件，150件，600件，900件，1200件，1800件來(lái)檢查，其情況如下表和圖所示。

抽取件數(shù)N5106015060090012001800產(chǎn)品合格數(shù)M575313154882010911631合格率P10.7000.8830.8730.9130.9110.9090.906產(chǎn)品抽樣統(tǒng)計(jì)表0.51產(chǎn)品抽樣統(tǒng)計(jì)圖

0.860NP1506009001200180000.9隨著抽取件數(shù)的增多，合格率愈來(lái)愈趨于一個(gè)穩(wěn)定值o.9分析：如果定義隨機(jī)變量

1為1則做了N次試驗(yàn)后，正品個(gè)數(shù)共為

2這樣，

部分合格率可進(jìn)一步寫為

3人們從經(jīng)驗(yàn)中還知道，當(dāng)N數(shù)目越大，r/N作為正品率的估計(jì)值就越準(zhǔn)確的可能性也越大。4類似這種把觀察正品出現(xiàn)的頻率作為近似概率的例子在生產(chǎn)中是很常見(jiàn)的。例2．射擊問(wèn)題(打靶游戲)

設(shè)r表示射擊運(yùn)動(dòng)員的彈著點(diǎn)到靶心的距離，g(r)表示擊中r處相應(yīng)的得分?jǐn)?shù)(環(huán)數(shù))，分布密度函數(shù)f(r)表示該運(yùn)動(dòng)員的彈著點(diǎn)分布，它反映運(yùn)動(dòng)員射擊水平。

積分<g>表示這個(gè)運(yùn)動(dòng)員的射擊成績(jī)，用概率語(yǔ)言說(shuō)，＜g＞就是隨機(jī)變量g(r)的數(shù)學(xué)期望值，即＜g＞＝Eg(r)1假設(shè)這個(gè)射擊運(yùn)動(dòng)員射擊N次，彈著點(diǎn)依次是r1….rz，，N次射擊得分的平均值

2gN是積分(1．3)式的一個(gè)估計(jì)值(或近似值)。這個(gè)例子通常稱為打靶游戲，它直觀地說(shuō)明了蒙特卡羅方法計(jì)算定積分的基本思想。

為進(jìn)一步闡明這個(gè)思想，我們?cè)倥e個(gè)例子：計(jì)算積分直觀上，就是在邊長(zhǎng)為1的正方形里隨機(jī)投點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)落在y＝f(x)曲線下面(見(jiàn)右圖)，對(duì)積分值有“貢獻(xiàn)”，否則對(duì)積分值無(wú)“貢獻(xiàn)”。為此，設(shè)

是[0，1]上均勻分布的隨機(jī)變數(shù)，定義就是積分I的一個(gè)估計(jì)值。蒙特卡羅方法的基本思想

當(dāng)所要求解的問(wèn)題是某種事件出現(xiàn)的概率

當(dāng)所要求解的問(wèn)題是某個(gè)隨機(jī)變量的期望值

蒙特卡羅方法求解問(wèn)題

通過(guò)某種“試驗(yàn)”的方法，得到這種事件出現(xiàn)的頻率

通過(guò)某種“試驗(yàn)”的方法，得到這個(gè)隨機(jī)變數(shù)的平均值

首先要建立一個(gè)隨機(jī)模型

然后要制造一系列的隨機(jī)數(shù)用以模擬這個(gè)過(guò)程

最后要作統(tǒng)計(jì)性的處理

關(guān)于建立隨機(jī)模型，因問(wèn)題而異。

用它們作為問(wèn)題的解

=+馬爾科夫（Markov）過(guò)程：在應(yīng)用M-C模擬現(xiàn)實(shí)的系統(tǒng)時(shí)，所有算法都是基于Markov過(guò)程。在此過(guò)程中，若設(shè)時(shí)刻t0具有動(dòng)力學(xué)變量q0，在其后時(shí)刻t具有某一動(dòng)力學(xué)變量取值的概率與在t0時(shí)刻之前此系統(tǒng)經(jīng)由怎樣的狀態(tài)沒(méi)有任何關(guān)系。

Markov過(guò)程作為隨機(jī)游動(dòng)過(guò)程，它在游走中任一階段的行為都不被先前游動(dòng)過(guò)程的歷史所限制，即區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)可以多次被訪問(wèn)。也就是說(shuō)，在t0時(shí)刻以前的經(jīng)歷全部縮并為所謂的“在時(shí)刻t0具有動(dòng)力學(xué)變量組q0”的單一信息。就Markov過(guò)程而言，新的狀態(tài)僅由現(xiàn)在的狀態(tài)決定；而非Markov過(guò)程，新的狀態(tài)還直接依賴于過(guò)去的狀態(tài)。對(duì)于由多個(gè)粒子、多個(gè)自由度組成的一般力學(xué)系統(tǒng)，若可以不考慮部分自由度（即施加約束條件），而只著眼于其他部分自由度的處理，則所觀測(cè)系統(tǒng)的演化可作為像Markov過(guò)程之類的簡(jiǎn)單過(guò)程來(lái)描述。即舍去現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)的詳細(xì)信息，并由引入作用于動(dòng)力學(xué)變量的某種隨機(jī)的更新而得到Markov過(guò)程。將舍去的詳細(xì)信息作為隨機(jī)變量更新過(guò)程來(lái)處理。2.2隨機(jī)數(shù)和偽隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生

2.2.1單位矩形分布最簡(jiǎn)單、最重要、最基本的一個(gè)概率分布是單位區(qū)間(0，1)上的均勻分布(或稱單位矩形分布)，其分布密度函數(shù)是：2.2.2隨機(jī)數(shù)

由具有單位矩形分布的總體內(nèi)抽取的簡(jiǎn)單子樣：X1，X2，…，XN，簡(jiǎn)稱為隨機(jī)數(shù)序列。其中的每一個(gè)體稱為隨機(jī)數(shù)。由于它在蒙特卡羅方法中占有極其重要的地位，我們將用專門的符號(hào)

1,

2,，…，

N來(lái)表示。

連續(xù)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的例子如投骰子，有獎(jiǎng)儲(chǔ)蓄開獎(jiǎng)時(shí)的搖號(hào)碼機(jī)等。

2.2.3偽隨機(jī)數(shù)及其產(chǎn)生的方法

計(jì)算機(jī)不會(huì)擲骰子，它是利用數(shù)論的方法來(lái)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的。由于這種辦法屬于半經(jīng)驗(yàn)性質(zhì)，因此只能近似地具備隨機(jī)數(shù)的性質(zhì)，所以稱為偽隨機(jī)數(shù)。最初馮·諾伊曼(VonNeumann)建議的“平方取中法”如下；首先取一個(gè)2S的數(shù)，去它中間的S位數(shù)字作為第一個(gè)隨機(jī)偽隨機(jī)數(shù)；然后其自乘構(gòu)成一個(gè)新2S位數(shù)，再取中間的S位數(shù)作為第二個(gè)偽隨機(jī)數(shù)······

其中“mod”表示取模運(yùn)算，Xl為任意給定的初始值平方取中法的一般形式是

X1為任意給定的2s位二進(jìn)制數(shù)

平方取中法的二進(jìn)制形式是

同平方取中法相類似，乘積取中法的一般形式是X1,X2為任意兩個(gè)初始值，由2s位二進(jìn)制數(shù)組成。

乘同余方法的一般形式是X1為任意初值其中，X0為種子，改變它的值就得到基本序列的不同區(qū)段

乘加同余法的一般形式是關(guān)于產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)的方法，性能以及檢查已有很多工作。其實(shí)，在大多數(shù)計(jì)算中，產(chǎn)生均勻分布的偽隨機(jī)數(shù)已作為內(nèi)部函數(shù)或庫(kù)文件存在計(jì)算機(jī)內(nèi)，隨時(shí)可以調(diào)用。

直接抽樣

離散型分布隨機(jī)變量的直接抽樣

連續(xù)分布的隨機(jī)變量的抽樣

任意分布的偽隨機(jī)數(shù)的抽樣

2.3任意分布的偽隨機(jī)數(shù)的抽樣總的思想：確定分布密度函數(shù)，以其為依據(jù)進(jìn)行抽樣

變換抽樣

舍選抽樣復(fù)合抽樣特殊抽樣復(fù)雜到簡(jiǎn)單的變換

VonNeumann克服前兩者的困難，在分布密度函數(shù)大的地方選較多的隨機(jī)數(shù)

加分布、減分布、乘加分布、乘減分布

由直方圖給出的分布、有經(jīng)驗(yàn)公式給出的分布、反函數(shù)近似、近似修正

2.4蒙特卡羅方法的特點(diǎn)及其局限性

對(duì)于多種介質(zhì)，幾何上不規(guī)則，維數(shù)高等類型的問(wèn)題，蒙特卡羅方法照樣可用，不須修改。因此，在一定意義上說(shuō)，它是一種很普遍適用的方法。而它的誤差是由概率論中的大數(shù)定律：所控制的，并由中心極限定理

這表明，不等式

以概率1-

成立。通常

稱為置信度，1-

稱為置信水平。

由上式知，蒙特卡羅方法的誤差為

和X

的關(guān)系可從正態(tài)分布N(0，1)積分表中查到。

常用的幾組

和X

如下

X

0.50.67450.051.960.013特別稱

＝0.5時(shí)的誤差0.6745

／N1/2為概然誤差。再如，取置信水平為95％，則X

＝1.96，此時(shí)表明誤差不等式：以95％的可能性具有精確度為E＝1.960

／N1/2。

所以，MC方法對(duì)于誤差的估計(jì)具有概率性質(zhì)。即對(duì)于這個(gè)方法不能斷言誤差不超過(guò)某值，而只能指出誤差以某種(如接近1)的概率不超過(guò)某值。還可看出，當(dāng)給定置信度

后，誤差E由

和N1/2決定。要減小E，或者是增大N，或者是減小方差

2。在固定

下，要提高精度一位數(shù)字，就要增加100倍工作量，因此，單純?cè)龃驨，不是一個(gè)有效的辦法。

改進(jìn)的方法之一是減少方差

。分層抽樣

重要抽樣

控制變量

對(duì)偶變量

這里有許多技巧，如“重要抽樣”、“系統(tǒng)抽樣”、

“相關(guān)”、“對(duì)偶變數(shù)“、“半解析方法”、“統(tǒng)計(jì)估計(jì)”、

“分裂與俄國(guó)輪盤賭”等等。

將積分區(qū)域劃分成小區(qū)域

其原理起源于數(shù)學(xué)上的變量代換方法

與重要抽樣相似，找出一個(gè)與被積函數(shù)F行為相近的可積函數(shù)G

采用相關(guān)聯(lián)的隨機(jī)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算；找負(fù)關(guān)聯(lián)可使方差減少，但沒(méi)有定式

收斂性由前面介紹可知，蒙特卡羅方法是由隨機(jī)變量X的簡(jiǎn)單子樣X(jué)1，X2，…，XN的算術(shù)平均值：作為所求解的近似值。由大數(shù)定律可知，如X1，X2，…，XN獨(dú)立同分布，且具有有限期望值（E(X)<∞），則即隨機(jī)變量X的簡(jiǎn)單子樣的算術(shù)平均值，當(dāng)子樣數(shù)Ｎ充分大時(shí)，以概率1收斂于它的期望值E(X)。效率一般來(lái)說(shuō)，降低方差的技巧，往往會(huì)使觀察一個(gè)子樣的時(shí)間增加。在固定時(shí)間內(nèi)，使觀察的樣本數(shù)減少。所以，一種方法的優(yōu)劣，需要由方差和觀察一個(gè)子樣的費(fèi)用（使用計(jì)算機(jī)的時(shí)間）兩者來(lái)衡量。這就是蒙特卡羅方法中效率的概念。它定義為方差的平方與c的乘積，其中c是觀察一個(gè)子樣的平均費(fèi)用。顯然乘積越小，方法越有效。

蒙特卡羅方法的特點(diǎn)：

程序結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，占用內(nèi)存單元較少

收斂速度與問(wèn)題維數(shù)無(wú)關(guān)受問(wèn)題的條件限制的影響小

誤差容易確定具有同時(shí)計(jì)算多個(gè)方案多個(gè)未知量的能力從誤差表達(dá)式中，明顯看出，在一定的置信水平下，MC方法的誤差，除了與方差

2有關(guān)外，只取決于于樣容量N，而與于樣中的元素所在的集合空間的組成無(wú)關(guān)。問(wèn)題的維數(shù)變化，除了引起抽樣時(shí)間及計(jì)算估計(jì)量的時(shí)間有變動(dòng)外，不影響問(wèn)題的誤差。換言之，要達(dá)到同一精度，用MC方法選取的點(diǎn)數(shù)與維數(shù)無(wú)關(guān)；計(jì)算時(shí)間僅與維數(shù)成比例。但一般數(shù)值方法，比如在計(jì)算多重積分時(shí)，達(dá)到同樣的誤差，點(diǎn)數(shù)與維數(shù)的冪次成比例，即計(jì)算量要隨維數(shù)的冪次方增加。這一特性，決定了MC方法適宜于多維問(wèn)題。

1）收斂速度與問(wèn)題維數(shù)無(wú)關(guān)

例如，計(jì)算積分：

用M—C方法是抽取隨機(jī)數(shù)

1,0和

1,1，令

于是

上式就是積分P1的一個(gè)估計(jì)值。由于均方差為1/2，根據(jù)誤差不等式，知

取置信水平為95％2）受問(wèn)題的條件限制的影響小

比如計(jì)算S維中任意一個(gè)區(qū)域Ds上積分：無(wú)論Ds的形狀如何特殊，只要能給出描述Ds特性的幾何條件，那么總可以給出估計(jì)如下:

3）程序結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，占用內(nèi)存單元較少

最后，在電子計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)MC計(jì)算時(shí)，程序結(jié)構(gòu)清晰簡(jiǎn)單。

蒙特卡羅方法的局限性

誤差的概率性質(zhì)收斂速度慢誤差與點(diǎn)數(shù)(抽樣數(shù)N)的平方根成反比大系統(tǒng)、深穿透問(wèn)題(一般指系統(tǒng)大小為16—20個(gè)平均自由程以上)

低維問(wèn)題計(jì)算量小取長(zhǎng)補(bǔ)短克服局限性數(shù)值方法M-C只有當(dāng)系統(tǒng)的大小與粒子的平均自由程可以相比較時(shí)，一般在10個(gè)平均自由程左右，M—C方法算出的結(jié)果較為滿意。一個(gè)分子與其他氣體分子每連續(xù)兩次碰撞走過(guò)的路程叫自由程

2.5蒙持卡羅方法計(jì)算積分

計(jì)算多重積分是蒙特卡羅方法的重要應(yīng)用領(lǐng)域之一。為任一積分，都可看作某個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。因此，可以用這個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均值來(lái)近似。

2.5.1蒙特卡羅方法求積分

例如求積分

選取分布密度函數(shù)

則可寫成

即

是隨機(jī)變量f(x)的數(shù)學(xué)期望。

現(xiàn)從p(x)抽取隨機(jī)變量X的N個(gè)樣本：Xi，i＝1，2，…，N，則算術(shù)平均值

就是

的一個(gè)近似估計(jì)，對(duì)于一般的S重積分

其中，P＝P(X1，X2，…，Xs)表示S維空間的點(diǎn)，VS表示積分區(qū)域。

用M-C方法求解的步驟是：

1.在所求解區(qū)域上構(gòu)造一個(gè)分布密度函數(shù)

2．將g(P)的數(shù)學(xué)期望值用其算術(shù)平均值來(lái)近似?，F(xiàn)從f(P)抽取隨機(jī)向量P的N個(gè)樣本：Pi，i＝1，2，…，N，則

取Vs上任一概率密度函數(shù)f(P)，它滿足如下條件：

令

則即

是隨機(jī)變量g(P)的數(shù)學(xué)期望。

就是積分

的近似估計(jì)。選取f(P)的最簡(jiǎn)單方法是取VS上的均勻分布：

這里，Vs也表示積分區(qū)域的體積。這時(shí)

顯然，存在一個(gè)如何選取f(P)的問(wèn)題。選取最優(yōu)的估計(jì)形式，將是M—C方法要討論的問(wèn)題之一。

如果隨機(jī)變量Y，其期望值為

*，即2.5.2無(wú)偏估計(jì)

則稱Y是

*的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)。不難驗(yàn)證，g(P)也是

的無(wú)偏估計(jì)。

馬氏體相變的模擬,合金的有序-無(wú)序轉(zhuǎn)變相關(guān)特性的模擬,合金沉積過(guò)程的模擬,一級(jí)相變的模擬,對(duì)晶粒生長(zhǎng)和晶粒邊界偏析的模擬等。

2.6M-C在材料科學(xué)中的應(yīng)用

應(yīng)用舉例——經(jīng)典粒子系統(tǒng)：服從正則分布的N個(gè)相互作用的經(jīng)典粒子系統(tǒng)的模擬。最近，為了研究針對(duì)慢弛豫過(guò)程，又提出了多標(biāo)度（能量分區(qū)）MC方法。逾滲（滲透）問(wèn)題：導(dǎo)電性粒子和絕緣性粒子混合制得的物質(zhì)的電導(dǎo)率研究。高分子體系：鏈分布和熵等統(tǒng)計(jì)信息的研究。用MC方法在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)SAW模型（高分子鏈本身具有體積，所以任意兩個(gè)鏈單元不能同時(shí)占有同一空間位置；對(duì)SAW而言，即一條鏈不能有大于等于2的次數(shù)通過(guò)相同格點(diǎn)。并把具有Makov過(guò)程特征的高分子鏈分割成若干段，采用“粗粒化”模型求解可觀察量的“粗粒平均”。）經(jīng)典自旋系：伊辛模型（IsingModel）、經(jīng)典自旋模型。量子MC方法：路徑積分法、量子自旋模型、投影法、變分法、格林函數(shù)法等。核的形成：氣液、液固相變屬一級(jí)相變，所以在固化和液化的初始階段必須先有晶核和液滴的形成。晶體生長(zhǎng)：（此略，后續(xù)再講）分形體系：物質(zhì)在氣相或液相生長(zhǎng)時(shí)，既可生成晶體，也可隨機(jī)生長(zhǎng)為纖維狀和樹枝狀。這種生長(zhǎng)可在二維表面或三維情況下進(jìn)行。模擬這些生長(zhǎng)圖案的模型如DLA、CCA等。推薦書目：《現(xiàn)代材料計(jì)算與設(shè)計(jì)教程》《材料科學(xué)中的分形》曼德勃羅在1986年對(duì)分形的定義：組成部分與整體以某種方式相似的形。也就是說(shuō)，分形一般具有自相似性。但現(xiàn)在，如果一個(gè)對(duì)象的部分與整體具有自仿射變換關(guān)系，也可以稱其為分形。所謂分形，就是指事物具有分?jǐn)?shù)維。特點(diǎn)是：

（1）具有無(wú)限精細(xì)的結(jié)構(gòu)；

（2）比例自相似性；

（3）一般它的分?jǐn)?shù)維大于拓?fù)渚S但小于所占領(lǐng)空間維；b=aDS

（4）可以由非常簡(jiǎn)單的方法定義，并由遞歸、迭代產(chǎn)生。多晶材料晶粒生長(zhǎng)的M-C模擬正常晶粒生長(zhǎng)模擬——晶粒尺寸一致增長(zhǎng)——?dú)w一化晶粒尺寸和拓?fù)浞植己瘮?shù)不隨時(shí)間變化異常晶粒生長(zhǎng)（重結(jié)晶）模擬——在重結(jié)晶的顯微結(jié)構(gòu)中，一些晶粒的尺寸迅速增加，最大尺寸的晶粒以比算術(shù)平均速率大得多的速率增長(zhǎng)晶粒生長(zhǎng)直接原因：驅(qū)動(dòng)力（來(lái)自總晶界能的減少）生長(zhǎng)的復(fù)雜性：遷移率、表面能等引起附加驅(qū)動(dòng)力正常晶粒生長(zhǎng)基本模型三角晶格顯微結(jié)構(gòu)樣本相同取向單晶不同取向晶界Metropolis算法顯微結(jié)構(gòu)的演化可由改變每一晶格的取向數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)隨機(jī)選取一個(gè)試驗(yàn)格點(diǎn)該格點(diǎn)的一個(gè)新的試驗(yàn)取向在其余Q-1種可能取向中任選其一計(jì)算與取向可能改變有關(guān)的能量改變計(jì)算改變幾率W判斷取向改變是否可以實(shí)現(xiàn)注意：只有使體系能量減少的轉(zhuǎn)變才是允許的！晶粒生長(zhǎng)圖形生成

Voronoi結(jié)構(gòu)（1）一般晶粒生長(zhǎng)法（2）幾何法初始化圖形設(shè)定基本拓?fù)渥兓Y(jié)果分析目的：得出晶粒生長(zhǎng)的主要特征，看是否符合實(shí)際情況方法：書187頁(yè)異常晶粒生長(zhǎng)模擬原因：晶界遷移率各向異性和驅(qū)動(dòng)力（主要考慮晶界能）各向異性高能組——大角度晶界——高遷移率計(jì)算機(jī)模擬處理方法：在正常晶粒的顯微結(jié)構(gòu)中引入一個(gè)或幾個(gè)可能作為異常晶粒的大晶粒，觀察變化相同類型的晶粒間具有高能邊界的晶界能圖

2.7M-C應(yīng)用程序簡(jiǎn)介

建立完善的通用蒙特卡羅程序可以避免大量的重復(fù)性工作，并且可以在程序的基礎(chǔ)上，開展對(duì)于蒙特卡羅方法技巧的研究以及對(duì)于計(jì)算結(jié)果的改進(jìn)和修正的研究，而這些研究成果反過(guò)來(lái)又可以進(jìn)一步完善蒙特卡羅程序。1）M-C方法應(yīng)用軟件的特點(diǎn) 通用蒙特卡羅程序通常具有以下特點(diǎn)：具有靈活的幾何處理能力參數(shù)通用化，使用方便元素和介質(zhì)材料數(shù)據(jù)齊全能量范圍廣，功能強(qiáng)，輸出量靈活全面含有簡(jiǎn)單可靠又能普遍適用的抽樣技巧具有較強(qiáng)的繪圖功能2）常用的通用蒙特卡羅程序簡(jiǎn)介（A）MORSE程序較早開發(fā)的通用蒙特卡羅程序，可以解決中子、光子、中子－光子的聯(lián)合輸運(yùn)問(wèn)題。采用組合幾何結(jié)構(gòu)，使用群截面數(shù)據(jù)，程序中包括了幾種重要抽樣技巧，如俄國(guó)輪盤賭和分裂技巧，指數(shù)變換技巧，統(tǒng)計(jì)估計(jì)技巧和能量偏移抽樣等。程序提供用戶程序，用戶可根據(jù)需