第23講冪函數(shù)及其性質5種題型（原卷版）

第23講冪函數(shù)及其性質5種題型【考點分析】考點一：冪函數(shù)的定義一般地，(為有理數(shù))的函數(shù)，即以\t"s://baike.baidu/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"底數(shù)為\t"s://baike.baidu/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"自變量，冪為\t"s://baike.baidu/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"因變量，\t"s://baike.baidu/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù).冪函數(shù)的特征：同時滿足一下三個條件才是冪函數(shù)①的系數(shù)為1； ②的底數(shù)是自變量； ③指數(shù)為常數(shù).考點二：常見的冪函數(shù)圖像及性質：函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調性在上單調遞增在上單調遞減，在上單調遞增在上單調遞增在上單調遞增在和上單調遞減公共點考點三：冪函數(shù)的單調性在區(qū)間上，當時，是增函數(shù)；當時，是減函數(shù).題型一冪函數(shù)的概念解題思路：必須是形如(為有理數(shù))的函數(shù)才叫冪函數(shù)，系數(shù)要為【精選例題】【例1】在函數(shù)，，，中，冪函數(shù)的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【例2】（多選題）已知函數(shù)為冪函數(shù)，則實數(shù)的可能性取值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【跟蹤訓練】1.已知函數(shù)為冪函數(shù)，則___.2.（多選題）已知函數(shù)是冪函數(shù)，則m的值為（

）A． B． C．1 D．3題型二：冪函數(shù)的三要素【精選例題】【例1】已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則（）A．B．C．2D．3【例2】冪函數(shù)中a的取值集合C是的子集，當冪函數(shù)的值域與定義域相同時，集合C為A． B． C． D．【例3】已知冪函數(shù)的圖象與坐標軸沒有公共點，則（

）A． B． C．2 D．【跟蹤訓練】1.已知冪函數(shù)的圖象過點，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（

）A．1B．2C．4D．82.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．43.設α∈，則使函數(shù)y＝xα的定義域為R的所有α的值為（）A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,34．已知冪函數(shù)，其圖像與坐標軸無交點，則實數(shù)m的值為__________．題型三：冪函數(shù)的性質【精選例題】【例1】若冪函數(shù)在上單調遞減，則（

）A．2 B． C． D．2【例2】“”是“冪函數(shù)在上單調遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【例3】函數(shù)是冪函數(shù)，對任意，，且，滿足，若，，且，，則的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．無法判斷【例4】（多選題）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則（

）A．函數(shù)為增函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C．當時， D．當時，【例5】已知冪函數(shù)，下列能成為“是R上的偶函數(shù)”的充分條件的是（

）A． B．C． D．【例6】寫出同時滿足以下三個條件的一個函數(shù)．①；②③且．【跟蹤訓練】1.已知冪函數(shù)在區(qū)間上是單調增函數(shù)，且的圖象關于y軸對稱，則m的值為（

）．A． B．0 C．1 D．22．（多選題）下列說法正確的是（

）A．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則解析式為B．若函數(shù)，則在區(qū)間上單調遞減C．冪函數(shù)始終經(jīng)過點和D．若冪函數(shù)圖像關于軸對稱，則3.（多選題）已知是冪函數(shù)圖像上的任意兩點，則以下結論正確的是（

）A． B．C． D．4.（多選題）若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則下列命題中，正確的有（

）A．函數(shù)為奇函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C．函數(shù)在為減函數(shù) D．函數(shù)在為增函數(shù)5．寫出一個具有性質①②③的函數(shù)______．①定義域為；②在單調遞增；③．6．已知x，，滿足，，則（

）A．1 B．0 C．1 D．2題型四：冪函數(shù)的圖象【精選例題】【例1】右圖的曲線是冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，已知n分別取，，2四個值，相應的曲線對應的n依次為（

）A．，，1，2 B．2，1，，C．，，2， D．2，，，【例2】已知冪函數(shù)的圖象為曲線，有下列四個性質：①為偶函數(shù)；②曲線不過原點；③曲線C在第一象限呈上升趨勢；④當時，.寫出一個同時滿足上述四個性質中三個性質的一個函數(shù)___________.【跟蹤訓練】1.冪函數(shù)在第一象限的圖像如圖所示，則的大小關系是（

）A． B． C． D．2.冪函數(shù)，及直線將直角坐標系第一象限分成八個“卦限：（如圖所示），那么，而函數(shù)的圖象在第一象限中經(jīng)過的“卦限”是（）A． B． C． D．題型五：冪函數(shù)的綜合運用【精選例題】【例1】已知冪函數(shù)在上單調遞減.(1)求的解析式；(2)若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【例2】已知函數(shù)為冪函數(shù)，且為奇函數(shù)．(1)求m的值；(2)求函數(shù)在的值域．【例3】已知冪函數(shù)在上單調遞增．(1)求m的值及函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在上的最大值為3，求實數(shù)a的值．【例4】設函數(shù)的定義域為，如果存在，使得在上的值域也為，則稱為“A在內(nèi)是單調增函數(shù).(1)求函數(shù)的解析式.(2)函數(shù)是否為“A佳”函數(shù).若是，請指出所在區(qū)間；若不是，請說明理由.【例5】若在函數(shù)的定義域內(nèi)存在區(qū)間，使得在上單調，且函數(shù)值的取值范圍是（是常數(shù)），則稱函數(shù)具有性質．(1)當時，函數(shù)否具有性質?若具有，求出，；若不具有，說明理由；(2)若定義在上的函數(shù)具有性質，求的取值范圍．【跟蹤訓練】1.已知冪函數(shù)為奇函數(shù).(1)求的值；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.2.已知冪函數(shù)的圖像關于軸對稱，且在上是減函數(shù)，(1)求的值.(2)若，求的取值范圍.3.已知冪函數(shù)為偶函數(shù)．(1)求的解析式；(2)若，求函數(shù)在區(qū)間上的值域．4.已知冪函數(shù)在上單調遞增(1)求m的值；(2)若且當分別取何值時，有最小值，并求出最小值.5.已知冪函數(shù)在上是單調遞減函數(shù).(1)求的值；(2)若在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.6.已知冪函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若均為正數(shù)且，求的最小值.7．已