2024年高考模擬數(shù)學(xué)試卷1(新高考Ⅰ數(shù)學(xué)試卷專用)(解析版)

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷01（新高考I卷專用）

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題

1.設(shè)集合4={聞國(guó)<1},集合3={x|y=?},則AB=（）

A.（-1,1）B.（0,1）C.［0,1）D.（1收）

k答案1C

KW析UA={XH<X<1},8={X|XN0},故4八3={可04彳<1}=［0,1）.故選C.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足iz=-l+2i,則復(fù)數(shù)三在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

（答案》D

rz分力_Lr-T1—l+2i（―1+2i）,i.—

K解析Uiz=-l+2inz=-；—=---------=2+i=>z=2-i，

11

所以復(fù)數(shù)N在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選D

3.函數(shù)y=cos2x+sin（］—x）的最小值為（）

95

A.-2B.—C.—D.0

88

［答案XB

（兀、1,9

k解析Uy-cos2x+sin——x=2cos2x+cosx-1=2（cosx+—）2——

（2J48

1Q

當(dāng)cos尤=-：時(shí)，取得最小值為故選B

48

4.已知等差數(shù)列{%}的前5項(xiàng)和S$=35,且滿足%=13%,則等差數(shù)列{4}的公差為（）

A.-3B.-1C.1D.3

［答案》D

II解析HS5=5q+10d=35；%=%+41=13%,解得d=3,q=1,故選D

5.龍洗，是我國(guó)著名的文物之一，因盆內(nèi)有龍紋故稱龍洗，為古代皇宮盥洗用具，其盆體

可以近似看作一個(gè)圓臺(tái).現(xiàn)有一龍洗盆高15cm,盆口直徑40cm,盆底直徑20cm.現(xiàn)往盆

內(nèi)倒入水，當(dāng)水深6cm時(shí)，盆內(nèi)水的體積近似為（）

A.1824cm3B.2739cm3C.3618cm3D.4512cm3

(答案》B

K解析》如圖所示，畫出圓臺(tái)的立體圖形和軸截面平面圖形，并延長(zhǎng)EC與FD于點(diǎn)G.

根據(jù)題意，AB=20cm,CD=10cm,AC=15cm,EC=6cm,

設(shè)CG=xcm,EF=ycm

所以與="TW土Y+箕6解得％=15,y=14,

x

所以曠=:(無(wú)-142+%-1()2+兀?14-10>6=872?！?739(。113),故選B.

->)5的展開式中的系數(shù)為80,則機(jī)的值為()

A.-2B.2C.-1D.1

K答案XA

K解析R|-+my\(2x-y)5=-(2x-y)5+my(2x-y)5,

\XJX

5r4rr

在工(2尤-y)5的展開式中，由/G(2x)5T(_yy=(-iy-2-C；X-y,

X

f4-r=21.

令/，得一無(wú)解，即一(2x->)5的展開式?jīng)]有的項(xiàng)；

r=4x

在my(2x-?的展開式中，由利;G(2x尸(-4=(-1)，-加C05-y+1

5—r=2

令解得r=3,

r+1=4

即沖(2x7)5的展開式中x2/的項(xiàng)的系數(shù)為(-1尸?25%?=-40相,

又(2x+my)(x-的展開式中元2y，的系數(shù)為80,

所以-40m=80,解得m=-2,故選A.

22

7.在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，雙曲線C:二-2=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，耳,

ab

點(diǎn)M是雙曲線右支上一點(diǎn)，且△。力明為等邊三角形，則雙曲線。的離心率為()

A.>/3+1B.苴+1C.2(^-1)D.

22

K答案XA

k解析》如圖示，連結(jié)〃片.

因?yàn)榻袨榈冗吶切?，所以QM=|河閭用4|=C.

所以ZMOF2=NOF2M=60°.

因?yàn)镼M=|。制，所以/。次=/。耳四.

XZ.OMFX+ZOFiM=ZMOF2=60°,所以NOMF；=NO耳M=30。，所以“〃耳=90。.

在V&M耳中，/耳片”=60。，所以眼周=121160。阿瑪=代.

由雙曲線的定義可得：\MF^-\MF^=2a,即及一c=2a,

所以離心率0=￡=4~7=百+1，故選A.

a<3-1

3

8.設(shè)。=而，8=山1.03,c=e°03—l,則下列關(guān)系正確的是()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

k答案』c

K解析X記/(x)=e「l-xgO).

因?yàn)?(x)=e，T,所以當(dāng)x>0時(shí)，r(x)>0,所以〃x)在(0,4w)上單調(diào)遞增函數(shù),

所以當(dāng)x>0時(shí)，/(x)>/(O)=O,即e"l>無(wú)，所以e0°3-1>0.03.

ifig(x)=ln(l+x)-x,(x>0).

因?yàn)間'(無(wú))=±-1=/<0,所以g(x)在(。,+8)上單調(diào)遞增函數(shù)，

所以當(dāng)X>0時(shí),g(x)<g(o)=0,即ln(l+x)<x,所以lnl.03<0.03.

所以己力(x)=ln(l+x)—j^~,(x2O).

］］x

因?yàn)椤ǎ?）=k_（］+同2=（1+尤）2，所以當(dāng)尤＞0時(shí)，〃（力＞0,所以/7（X）在（o,y）上單

調(diào)遞增函數(shù),所以當(dāng)x>0時(shí)，M%)>/i(O)=O,即ln(l+x)>上，所以lnl.03>—-=二

''''')1+x1+0.03103

所以匕＞。，綜上所述：c＞6＞a.故選：C

二、多項(xiàng)選擇題

9.立德中學(xué)舉行黨史知識(shí)競(jìng)賽，對(duì)全校參賽的1000名學(xué)生的得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，把得分

數(shù)據(jù)按照［50,60）、［60,70）J70,80）J80,90）、［90,100］分成5組，繪制了如圖所示

的頻率分布直方圖，根據(jù)圖中信息，下列說(shuō)法正確的是（）

A.圖中的x值為0.020B.這組數(shù)據(jù)的極差為50

C.得分在80分及以上的人數(shù)為400D.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計(jì)值為77

（答案XACD

K解析》由（0.005+尤+0.035+0.030+0.010）x10=1,可解得x=0.020,故選項(xiàng)A正確;

頻率分布直方圖無(wú)法看出這組數(shù)據(jù)的最大值和最小值，故選項(xiàng)B不正確；

得分在80分及以上的人數(shù)的頻率為（0.030+0.010）x10=0.4,

故人數(shù)為1000x0.4=400,故選項(xiàng)C正確；

這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計(jì)值為：55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.3+95x0.1=77

故選項(xiàng)D正確.

故選：ACD.

10.已知函數(shù)/（%）=5皿0%+。）］?！?,|同＜三）的部分圖象如圖所示，則（）

［答案』AD

13兀

K解析U由圖可知/（0）=sine=-j且同〈萬(wàn)

/'（x）=0cos（5+0）,由圖可知/'（0）=&cos0>0,/.cos^>0,

II兀兀

r/7兀）.（Inco兀、八lna＞TI,,12k+2.~

又二|=sm|n-：|=0,則nr--------=hi,keZ,即an。=-------，左eZ,

U2jI126）1267

?T7兀3T7TI7TIlit2兀7兀1218

又由圖一〈一＜一，則一＜T＜一，即一＜一＜一,則一＜0〈一，；.0=2.

2124969a677

故選：AD.

11.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸

的方向射出.反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).已

知拋物線C：9=2x,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于x軸的光線4從點(diǎn)P（m,2）射入，經(jīng)過(guò)C上

的點(diǎn)4（%,%）反射后，再經(jīng)過(guò)C上另一點(diǎn)3（%,必）反射后，沿直線右射出，經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q，則（）

A.%無(wú)2=；

B.延長(zhǎng)A。交直線x=-1于點(diǎn)。，則。，B,。三點(diǎn)共線

2

c|的=，

9

D.若依平分/ABQ,貝朋

4

K答案工AB

K解析X由題意知，點(diǎn)尸&(42),如圖：

2-0_4

將人(不,2)代入V=2x,得占=2,所以4(2,2),則直線4B的斜率口=§,

“1、42

則直線AB的方程為y-o=,即y=jx-，

y2=2x1

聯(lián)立(42)得8尤2-17X+2=0,解得玉=2,x2=-,

y=-x——o

r33

又吃="時(shí),則原'-』

所以再尤2=2*:=4，所以A選項(xiàng)正確；

o4

125

又|4同=占+尤2+1=2+3+1=彳，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

OO

又知直線5Q〃x軸，且從：,-與，則直線BQ的方程為丁=-!,

又A(2,2),所以直線4。的方程為丫=%,

令尤=一4，解得y=4,即￡>在直線BQ上，

L，、乙乙)

所以。，B,。三點(diǎn)共線，所以B選項(xiàng)正確；

設(shè)直線總的傾斜角為0斜率為金，直線A3的傾斜角為a,

若依平分/AB。，即/ABQ=2/P80,即a=26,

2tan042幻1

所以tana=tan26=,”sn；,,則￡=丁號(hào)，且幻>0,解得勺=；,

l-tan~6Ji-?o2

2一(一,

又h=—解得：機(jī)=?,所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

12o

m——

8

故選：AB.

12.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A4G。中，點(diǎn)E,F,G分別是棱A。,OR,C。的中

A.直線AG,C|E為異面直線

B.VD「BEF=耳

C.直線AG與平面ADRA所成角的正切值為正

4

D.過(guò)點(diǎn)8,E,尸的平面截正方體的截面面積為9

K答案XBC

k解析：W于A,連接EG,AC,4G,由題意可知EG//AC,因?yàn)锳C〃AG，所以EGUAg,

所以AG,GE共面，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,連接DiE,FB,EB,EF,[B,由題意可知2歹=1，ED=l,

SABXXlxlx2

所以5-時(shí)=^B-D,EF=^D,EF=||=p故選項(xiàng)B正確;

對(duì)于C,連接4。,

由正方體的性質(zhì)可知DG_L平面ADD^,所以/GA。即為直線AG與平面ADD^所成的角,

則tanNGAO=^=+j=亨，故選項(xiàng)C正確;

對(duì)于D,連接ERPC〉班,86，

根據(jù)正方體的性質(zhì)可得EFIIBCA,且ER=；BQ,

所以平面即為過(guò)點(diǎn)8,E,尸的平面截正方體的截面，該四邊形為梯形，其上底忘，

下底為2夜，高為半,所以截面面積為5=3、(0+2&b目1=|,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選：BC

第n卷(非選擇題)

三、填空題

13.已知平面向量。=(-1,2),b=(m,-3),若a+26與a共線，貝1」”?=.

3

K答案1|

K解析Ha=(-l,2),Z?=(m,-3),則a+辦=(-1+2私-4),

(a+26)〃a,故4=2(-1+2%)，解得力=^

14.六個(gè)身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那個(gè)人比他(她)前面的那個(gè)人高，則

共有種排法.

(答案》90

(解析工由于六個(gè)身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那個(gè)人比他(她)前面的那

A6

個(gè)人高，則排法有…制」=90種.

A；AjA;

15.已知函數(shù)y=a'T(a>0且aW1)的圖象過(guò)定點(diǎn)A,且點(diǎn)A在直線mr+2您=8(m>0,〃>0)

Q4

上，則二-二的最小值是.

K答案』［9

10

K解析］函數(shù)＞且〃wl)的圖象過(guò)定點(diǎn)A(l,l),

則機(jī)+2〃=8,所以2〃=8-加，

fm＞0

由。Q、n，得°＜根＜8,

［2n=6—m＞0

_8____3__16__3__32-3（8-間_3-+8

mn2mm（8—m）2m2m（8—m）—2m2+16m

令Z=3根+8/w（8,32）,則加二寸，

_8____3___________t___________%

貝|J皿12m,_8）216（^-8）—2t2+80/-512

―2QJ+3

8

CIOm=—qQOQ

當(dāng)且僅當(dāng)2f=衛(wèi)4,即r=i6,即；時(shí)，取等號(hào)，所以3-3的最小值是

tomn2m16

16.如圖，已知拋物線C：丁=2%,圓R(X-2)2+/=4,直線。4,。2分別交拋物線

于4B兩點(diǎn),且直線0A與直線02的斜率之積等于-2,則直線被圓E所截的弦長(zhǎng)最

小值為________

(答案』2石

K解析11設(shè)A（XQI）,設(shè)L："a+"y=l，又y2=2x,y2=2x（mr+〃y）,

y2-2nxy-2JWC2=0,|一2幾,-—2m—0.

=kOA-kOB=-2m=-2,.?.m=1,

石x2

直線AB恒過(guò)點(diǎn)。(1,0),

由圖結(jié)合圓的弦長(zhǎng)公式可知，當(dāng)圓心E到動(dòng)直線的距離最大時(shí)，即

當(dāng)直線AB_LQE時(shí)，弦長(zhǎng)最短，此時(shí)弦〃最小為2,4-(2-1『=26.

四、解答題

_a

17.在①cosA=——,②bcosC=(2a-c)cosb中任選一個(gè)作為已知條件，補(bǔ)充在下列問

2b

題中，并作答.

問題：在「ABC中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為。，b,c,已知.

⑴求&

⑵若ABC的外接圓半徑為2,且cosAcosC=-，，求ac.

8

注：若選擇不同的條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

解：(1)選擇條件①：

因?yàn)閏osA=VU，在至C中，由余弦定理可得"+廠一"一=生二色,

2b2bc2b

BPa2+c2-b2=ac,則cosB='+.―"=￡=J.,

2ac2ac2

因?yàn)?e(0,7t),所以8=1.

選擇條件②：

因?yàn)閆?cosC=(2a-c)cos3,在「ABC中，由正弦定理可得

sinBcosC+sinCcos3=2sinAcosB,

即sin(B+C)=2sinAcosB,貝|sinA=2sinAcosB,

因?yàn)锳￡(0,TI),所以sinAwO,則cos5=,，

2

因?yàn)?￡(0,兀)，所以3=1.

(2)因?yàn)?=；,所以A+C=—,貝1cos(A+C)=—,

332

BPcosAcosC-sinAsinC=--,又cosAcosC=--,

28

113

所以$布4$皿。=展-6=?.因?yàn)?ABC的外接圓半徑R=2,

2oo

nr3

所以由正弦定理可得sinAsinC=—,所以ac=6.

448

18.己知數(shù)列｛%｝,也.｝滿足4=9,a?+1=10a?+9,bn=an+\.

⑴證明：也｝是等比數(shù)歹!J;

（2）求數(shù)列2｝的前"項(xiàng)和S”.

⑴證明：依題意‘空;記10a+9+110%+10

ti=10.

+1a“+1

又4=%+1=10.

故也｝為首項(xiàng)4=10,公比q=10的等比數(shù)列.

（2）解：由⑴可知￡=如1=10".

所以g=(-1)"lgb?=(-1)"lgl0"=(-1)".n.

S?=l-(-l)+2-(-l)2+(H-l).(-1)"-1+n-(-1)"①

(-1)5,,=1.(-1)2+2-(-I)3++(/7-l).(-l)"+?.(-ir+1②

①-②得2s,=(-1)+(-+.(-1)"一〃?(T)m

-弓+“（T）

-n-(-l)n+1n+l

一一9一2~2

19.某市航空公司為了解每年航班正點(diǎn)率x%對(duì)每年顧客投訴次數(shù)y（單位：次）的影響,

對(duì)近8年（2015年?2022年）每年航班正點(diǎn)率x%和每年顧客投訴次數(shù)y的數(shù)據(jù)作了初步

處理，得到下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值.

888

Zx.力(…)2

i=]i=\Z=1i=\

60059243837.293.8

(1)求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；

(2)該市航空公司預(yù)計(jì)2024年航班正點(diǎn)率為84%,利用(1)中的回歸方程，估算2024年顧

客對(duì)該市航空公司投訴的次數(shù)；

(3)根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，該市所有顧客選擇乘坐該航空公司航班的概率為現(xiàn)從該市所有顧客

中隨機(jī)抽取4人，記這4人中選擇乘坐該航空公司航班的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)

期望.

附：經(jīng)驗(yàn)回歸直線？=菽+”的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為:

6=子-------,a=y-i>x

一可2

i=l

解：⑴[=竽=75,亍=早=74,

OO

n

附

43837.2-8x75x74

則.與---------6,

93.8

了=1

所以&=了一版=74+6x75=524,

所以夕=一6犬+524；

⑵當(dāng)x=84時(shí)，＞=20,

所以2024年顧客對(duì)該市航空公司投訴的次數(shù)為20次;

(3)X可取0,1,2,3,4,

尸（x=l）=C；

P（x=3）=C：6lxrr

1

P（x=4）=C：

16,

所以分布列為

X01234

20.如圖所示，在梯形ABC。中，AB//CD,ZBCD=120°,四邊形ACBE為矩形，且CFL

平面ABC。，AD=CD=BC=CF.

⑴求證：EF_L平面BCR

(2)點(diǎn)M在線段所上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，平面與平面尸C8所成的銳二面角

⑴證明：設(shè)AD=CD=3C=1,在梯形ABC。中，過(guò)2C分別作A8的垂線，垂足分別為S,T,

/.AB=2,：.AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cos60°=3,

AB2=AC2+BC2,則BC1AC.

:C「_L平面ABC。，4。匚平面48。，/.ACJ.CF,

而CrBC=C,CF,8Cu平面BCR

/.AC±￥ffiBCF.'：EF//AC,EFI平面BCF.

(2)解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線CA,CB,CB為無(wú)軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系，設(shè)=2VAb

則C（0,0,0）,A（"o,o）,3（0,1,0）,M（2,0,l）,

AB=（-V3,l,0）,3M=（4-1,1）.

設(shè)〃=(x,y,z)為平面MAB的法向量,

H取X"則”"石T

由《一n-AB=0得〈

n-BM=0

易知7〃=(1,0,0)是平面FCB的一個(gè)法向量,

0<A<V3,.?.當(dāng)2時(shí)，

-兀

即M與E重合時(shí)，平面M4B與平面FCB所成的銳二面角為

22

21.已知橢圓C:?+當(dāng)=l(Q>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)石V2,,左頂點(diǎn)為。，右焦點(diǎn)為產(chǎn)，己

ab

知點(diǎn)P(0,女)，且D,P,E三點(diǎn)共線.

⑴求橢圓C的方程；

⑵已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線/與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作直線y=3灰的垂線，垂足為G,

求證：直線AG過(guò)定點(diǎn).

3歷2

(1)解：由題意，將點(diǎn)E(虛,&)代入橢圓的方程，可得2工2一，

又由P(O,0)是y軸上一點(diǎn)，且P,D,E三點(diǎn)共線，

L矮L5

可得所以忘-。丁一7~，解得a=20，

0-(-a)-72-0

922

代入25_可得廿=6,所以橢圓c的方程為一+2=1.

二+正=186

ab

(2)證明：當(dāng)A(-2&,0)時(shí)，此時(shí)直線/的方程為y=；x+0,

V=—X+V2

23B

聯(lián)立方程組，解得x=-2近或x=夜，可得B72,^—,

X2丁

——+—=17

186

此時(shí)G(0,30),直線AG的方程為y=x+2形,

當(dāng)A(0,-#)時(shí)，同理可得8(0,遙)，此時(shí)G(0,3A/I),

可得直線AG的方程為x=0,

由='+2忘，解得了=0,丫=20,即兩直線的交點(diǎn)為(0,2金),

x=0

下面證明直線AG經(jīng)過(guò)y軸上定點(diǎn)(0,2&).

設(shè)直線/的方程為y=fcr+8,

y=kx+y[l

聯(lián)立方程組,整理得(4/+3)尤2+8虎立-16=0,

---1---二1

186

設(shè)A（%,％）1（九2，%）,則項(xiàng)+々=:盧:中2=/J,G（/,3拒卜

T-/C十D^rK十D

所以直線AG的方程：y—3G必—3近—X,).

xl—x2

令X=O,可得y=一&X+3瓜2+3亞=3垃%-々X

玉~X2石~X2

_3立工1一x2（kxx+6）_30再—yjlx2-kxxx2

玉-x2玉-x2

—16k

因?yàn)楹螣o(wú)2=h=2=&（尤|+%）

3yf2xx—y/2x2—y/2（玉+/）2^2^—2Y/2X2

所以y=