2023-2024大連育明高中高二年級期中考試數(shù)學(xué)學(xué)科試題【含答案】

大連育明高級中學(xué)2023~2024學(xué)年上）期中考試

高H.數(shù)學(xué)試卷

滿分150分時(shí)間120分鐘

★?？荚図樌?/p>

注意事項(xiàng)：

1.答卷前；先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證條碼粘貼

在答題卡上指定位置.

2.選擇題，每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.

3,非選擇題，用0.5mm黑色簽字筆寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域，寫在非答題區(qū)域無

效.

4.畫圖清晰，并用2B鉛筆加深.

第I卷供60分）

一.單項(xiàng)選擇題：體題共8小題，每小題5分，共：40分.，在每個(gè)小題給出的四個(gè)選斛，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.如圖，記直線的斜率分別為k1,k2,傾斜角分別為的《2則下列結(jié)論正確的是（）

A.ki>k2,at>a2B.ki>k2,at<a2

C.kt<k2,?i>a2D.%<k2,aj<a2

2.已知兩點(diǎn)A（l,3）,B（4,2）,直線1：—+丫-31?-1=0與線癡8相交,貝女的取值

范圍是（）

A.-1<k<1B,k<1心女工一1或女之1D.k>-1

3.空間四邊形0ABC中，設(shè)==a,OB=b,o2=c,點(diǎn)M在棱OA上,.且'OM=2MA，

N是棱BC的中點(diǎn)，則麗二（）

A呼一1B.齊號b+)C,-1a+ib+icD.1a+.1b-^c

334

4.已知點(diǎn)A(1,2)在圓C：*2+丫2+3-2丫+2=故卜，則實(shí)數(shù)111的取值范圍為()

A.(-3,-2)U(2,+oo)B.(-3,-2)U(3,+oo)

高二數(shù)學(xué)學(xué)科試卷，第1頁供6頁

G."2,+8)D.(-3,+?)

5.如圖，在三棱柱ABC-AiBiQ中，M為AiG的中點(diǎn)，N為惻面BCQ瓦上的一點(diǎn)，且MN//

平面ABC1，若點(diǎn)N的軌跡長度為2,貝奴)

A.ACi=4B,BQ=4C.ABt=6D.B?=6

6.方程工+《=1表示焦距為2裔的雙曲線，則實(shí)數(shù)A的值為（）

入4-43-A

A.1B.-4或1C,-2或-4或1D.-2或1

7.已知拋物線C:y'=8x上一點(diǎn)P,直線li：x=-2,l2：3x-5y+30=0,則P到這兩條直線的距離之

和的最小值為（）

A.2B.2V34C.^V34D.^V34

1517

8.已知橢圓C：1+左=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別是&,F2，焦距怛同=2瓦

過點(diǎn)T（34，0）的直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，若皿=2而，且PF1IPF2,則橢圓C的方

程為（）

A.^=1瓦》上1C；q+91:D.：+y2=i

二、多項(xiàng)選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得。分.）

9.在以下命題中，正確的命題有（）.

A.若4?b<0，則,0,力是鈍角

B.若力則存在唯一的實(shí)數(shù)人，使之=髭

C.對空間任意一點(diǎn)0和不共線的三點(diǎn)&B,C,若加;2&U2OB-3&L則P,A，

B,C四點(diǎn)共面

D.若益b,各為空間的一個(gè)基底，則G+亡%+限，；+&構(gòu)成空間的另一個(gè)基底

高二數(shù)學(xué)學(xué)科試卷第2頁/甚6頁

10.如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體ABCD-AiBiQD],其中以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三

條梭長均為6,且它們彼此的夾角都是60°,下列說法中正確的是（

A.AC]=6V6

B.ACX1DB

C.向量瓦己與砧的夾角是60°

D.BDi與AC所成角的余弦值為手

11.已知圓G：色+1）2+丫2=1和圓（：2：也-4）2+丫2=4,過圓G上任意一點(diǎn)P作圓G

的兩條切線，設(shè)兩切點(diǎn)分別為A,B,.則（）

A.線段AB的長度小于有

B.線段AB的長度大于近

C.當(dāng)直線AP與圓C2相切時(shí)，原點(diǎn)。到直線AP的距離為?或稱

D.當(dāng)直線AP平分圓C2的周長時(shí)，原點(diǎn)O到直線AP的距離為g

12.已知雙曲線C：.一爰=16＞0加＞0）與橢圓3+1=1有公共焦點(diǎn)，C的左￡右焦點(diǎn)

分別為玲，F(xiàn)2,且經(jīng)過點(diǎn)T怎,§，則下列說法正確的是（）

A.雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為好一；？=1

B.若直線y=與雙曲線C無交點(diǎn)，則同＞14

C.設(shè)A（、色1）,過點(diǎn)B（0,l）的動直線與雙曲線C交于P,Q兩點(diǎn)（異于.點(diǎn)A）,若直線AP與直

線AQ的斜率存在，且分別記為治，k2,則k[+k2=&

D.若動直線m斜率存在，且與雙曲線C恰有1個(gè)公共點(diǎn)，m與雙曲線C的兩條漸近線分別

交子點(diǎn)M,N,則△OMN（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為定值1

第n卷供90分）

高；1數(shù)學(xué)學(xué)科試卷第3頁供6頁

三、填空題：（本題共4?小題，每小題節(jié)分，共計(jì)20分.）

13.拋物線x=4y2的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為__________.

14.直線x±8》+6=0和直線.（a-2）x+3ay+2a=0平行，則==_______.

15.已知拋物線C:y2=2px（p>Q）的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A是拋物線C的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),

點(diǎn)P在拋物線C上，若sin4PAF=3貝Hsin/PEA=.

16;如圖，在直三棱柱如C-A窗心中；ZkABC是邊長為2的正三角形，必=4,M為“

的中點(diǎn)，P為線段4M上的動點(diǎn)，則下列說法正確的是（填寫序號）

①?平面ABM

②三枝錐P-泌以■的體積的最大值為竽

③存在點(diǎn)P,使得BP與平面AiBiQ所成的角為60。

④存在點(diǎn)P,使得AP與BM垂直

四、解答題：（本題共6小題，共計(jì)70分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟

17.（本小題滿分10分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA_L平面ABCD,AD〃BC?ABJ_

AD,BC=y,AB=1,BD=PA=2.

⑴求異面直線BD與PC所成角的余弦值；

（2）求直線BD與平面PCD所成角的正弦值.

高二數(shù)學(xué)學(xué)科試卷第4頁旗6頁

18.已知直線1過點(diǎn)P(-l,2).

(1)若直線1在兩坐標(biāo)軸上截距和為零，求直線1的方程；

(2)設(shè)直線1的斜率k>0,且直線1與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)別為A、B,求△AOB面積最小值.

19.如圖，在以P為頂點(diǎn)，母線長為打的圓錐中，底面圓0的直徑AB長為2,C是圓0所在

平面內(nèi)一點(diǎn)，且AC是圓0的切線，連接BC交圓。于點(diǎn)D,連接PD,PC.

(1)求證：平面PAC1平面PBC；

(2)若E是PC的中點(diǎn)，連接OE,ED,當(dāng)二面角B-PO-D的大小為120。時(shí)，求平面PAC與

平面DOE所成銳二面角的余弦值.

20.已知雙曲線C的方程為捺-或一心?！?，離心率為2,右頂點(diǎn)為(1,0).

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過雙0,2)的直線［與雙曲線C的一支交于M、N兩點(diǎn)，求前.麗的取值范圍.

高二數(shù)學(xué)學(xué)科試卷第5頁/共6頁

21.如圖，等腰直角4ACD的斜邊AC為直角^ABC的直角邊,E是AC的中點(diǎn),F在BC上.將

三角形ACD沿AC翻折，分別連接DE,DF,EF,使得平面■平面ABC.已知AC=2,

ZB=30°，

⑴證明：EF〃平面ABD；

⑵若DF=O,求二面角A-BC-D的余弦值.

22.在平面直角坐標(biāo)系中，5(1,0),設(shè)用C的內(nèi)切圓分別與邊NC,BC,AB

相切于點(diǎn)P,Q,R,已知|CP|=1,記動點(diǎn)C的軌跡為曲線

⑴求曲線E的方程；

⑵過點(diǎn)3(1,0)作直線/交曲線E于N兩點(diǎn),且點(diǎn)M位于x軸上方，已知4(-2,0)，

4(2,0),記直線4",4N,4N的斜率分別為無，k2,k3.

①證明：匕右，3為定值；

上2

②設(shè)點(diǎn)N關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為陽，求面積的最大值.

高二數(shù)學(xué)學(xué)科試卷第6頁/共6頁

大連育明高級中學(xué)2023?2024學(xué)年（上）期中考試

高二數(shù)學(xué)試卷參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

第I卷（共60分）

一.選擇題（每小題5分，共60分）。

1-8：BCCABADA9.CD10.AB11.BCD12.ACD

第II卷（共90分）

二.填空題（每小題5分，共20分）字體用宋體小四號加粗。

13.-14.-1或015—16.②③

84

三.解答題

17.（1）運(yùn)⑵叵

4620

18.解：（1）因?yàn)橹本€1在兩坐標(biāo)軸上截距和為零，所以直線1斜率存在且不為0,故不

妨設(shè)斜率為左，則直線1方程為＞-2=左（》+1）,所以直線在坐標(biāo)軸上截距分別為

22

-1--,左+2,所以一1—：+左+2=0,整理得左2+左—2=0,解得左=—2或左=1

kk

所以直線1方程為2%+y=?；蛴?y+3=O.

(2)由(1)知—左+2),因?yàn)樽?gt;0,所以AOB面積為

S=^xfl+|Vz：+2)=lxf4+Z:+^>|xf4+20^=4,當(dāng)且僅當(dāng)左=?,即左=2時(shí)

2kJ2v—21vkJk

等號成立，所以△40B面積最小值4

高二數(shù)學(xué)試卷參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第1頁/共5頁

19.解：(1)AB是圓。的直徑，AC與圓。切于點(diǎn)A,AC,AB尸。1底面圓。，；.

PO±ACP0oAB=0,AC,平面PAB,ACLP3.又?.?在APA3中，

5

PA^PB=—AB,PA1PBVPAAC=A,；.PBJ.平面尸AC,從而平面

2

Z4CL平面PBC.

(2)OB±P0,ODLPO,/BO。為二面角3—PO—O的平面角，

A/BOD=120，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，易知03=1,則A(0,—1,0),3(0,1,0),

1八J2百一八_______JV31P

。[亍，，尸，由(1)知

aOJC[M—LOJ,(0,0,1),1-1322)

m=8。=(0,—1,1)為平面H4c的一個(gè)法向量,設(shè)平面ODE的法向量為n=(x,y,z),

OE=[g-I,DOD=1f,-1,。，;

n_LOE，n_LOD，?e?n-OE=0，

lJ…一2J

6]Jn

——x——y+—z=0

3?2

〃?也=0，1，即

Vr31「

I22/

2x-V3y+V3z=0

\l故平面ODE的一個(gè)法向量為/x

V3x-y=0

(二「\/、m-nV26

〃二，3,3』,cos〈加，"〉二?尸.???平面PAC與平面DOE所成銳二面

\)m|-|n13

角的余弦值為叵.

13

20.(1)由離心率e=9=2,又/=/+〃,所以廿=3a2,又右頂點(diǎn)為(L0),所以6=1,

a

2

所以k=3,故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為爐一匕=1.

3

高二數(shù)學(xué)試卷參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第2頁/共5頁

/一匕=1

(2)設(shè)直線/的方程為y=bf+2,設(shè)亂(占,%),%(%，％)，則由3得

y=kx+2

(3-公)/-4左-7=0,因?yàn)橹本€與雙曲線一支交于V、N兩點(diǎn)，所以

3一片0

<A=16F+28(3-fc2)>0,解得3</<7,因此

1

EM-EN=(<xl,yl-2)-(%2,y2-2)=+(^-2)-(y2-2)=xtx2+kxlx2

,、p_i_1A

二(左2+1)%]%=7—=7(1+—),因?yàn)?Vk2<7f所以0〈k2一3<4,

I712k2-3、k2-3'

44

所以V7>1,所以EM.EN=7(1+”~^)>14,故磁.助€(14,+00).

21.(1)證明：過。作￡>G_LEF,垂足為G,：平面￡>EF_L平面4BC,平面OEFc平

面ABC=￡F,。6匚平面?！?，；.￡)G_L平面48C,：ACu平面N8C,/.DG1AC,

是等腰直角三角形40c斜邊/C的中點(diǎn)，DE，AC,又OEDG=D,DE,DGu

平面DEF,：.AC_L平面DEF,'：EFu平面DEF,：.AC±EF,VACLAB,：.EF1/AB,

,/EF<z平面ABD,ABI平面ABD,：.EF//平面ABD.

百一7F

(2)由題意可知，在等腰直角三角形ADC中，；AC=2,.?.r>E=gAC=l,由(1)

可知，斯為直角三角形BAC的中位線，；=30°,AAB=也AC=2EF,：,EF=粗,

,:DF5,AEF2=DE2+DF2,/.DE1DF,：.DG=—,EG=—.

33

以E為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面CD尸的法向量分=(x,y,z),則

高二數(shù)學(xué)試卷參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第3頁/共5頁

c(1,0,0),F(0,73,0),D0,4，咚,CF=(-1,A/3,0),Cr>=[-1,*,坐,由

(33)33J

V3°

幾?CD=0——yHz-x=0,

得33令y=i,貝i」〃二（6」,后），顯然，平面45。的法向

n-CF=0

6y-x=Q,

）=篇邛?二面角-。的余弦值》

量7〃=(0,0,1),cos(m,n

22.【解答】（1）解：由題意可知，

|CA|+|CBHCP|+|Cei+|AP|+|B2|=2|CP|+|AB|=4>|AB|,所以曲線E是以A,B

22

為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓（除去與x軸的交點(diǎn)），設(shè)曲線E:=+}=l（a>b>0,yw。），

ab

22

則c=l,2。=4,解得a=2,b2=a2-c2=3,所以曲線E的方程為?=l（yw0）；

（2）①證明：設(shè)直線/的方程為x=my+l,M&,%）,Ng,%）（M>°，%<。），

x=my+1

聯(lián)立方程組爐V2，可得(3"+4)y2+6〃?y-9=0,則

——+—=1

143

6m9

J1+3；2=-W^'^=-W74因此

%M=_________3V2__________________3/+4_______=_1

X]+2%+2m2yy+3m(y+y)+99m,3x6m24

l2l2------5——+(------——)x+9o

3m2+43"+4

高二數(shù)學(xué)試卷參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第4頁/共5頁

k=9+2=（為-2）%=（叫-1）%=〃為%="%匕一（%+%）+%故

k2%（x2+2）y1（my2+3）^myl