河北省邯鄲市2024屆高三年級(jí)下冊(cè)學(xué)業(yè)水平選擇性模擬考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

河北省邯鄲市2024屆高三下學(xué)期學(xué)業(yè)水平選擇性模擬考試數(shù)學(xué)

試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合4={乂/一3x-4wo},3=<xy=x4>,則AB=()

A.(0,1]B.[0,4]C.(0,4]D.[0,1]

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z?=T，則歸+2Z|=()

A.1B.V3C.3D.75

3.已知a,〃是兩個(gè)平面，私〃是兩條直線，貝!工_L〃”是

的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不

充分也不必要條件

4.設(shè)函數(shù)〃x)=x+-^的圖像與尤軸相交于點(diǎn)P,則該曲線在點(diǎn)尸處的切線方程為()

x+2

A.尸一1B.y=-x-lC.y=0D.y=x-1

5.由動(dòng)點(diǎn)尸向圓M：(x+2y+(y+3)2=l引兩條切線尸4P8,切點(diǎn)分別為48,若四邊形

為正方形，則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程為()

A.(x+2)2+(y+3)2=4B.(x+2)2+(y+3)2=2

C.(x-2)2+(y-3)2=4D.(x-2)2+(y-3)2=2

6.某班聯(lián)歡會(huì)原定5個(gè)節(jié)目，已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個(gè)節(jié)目，現(xiàn)將這2個(gè)新節(jié)

目插入節(jié)目單中，要求新節(jié)目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法種數(shù)為

()

A.12B.18C.20D.60.

fv2

7.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，耳,8分別是雙曲線C：/-/=l(a>0,"0)的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲

3

線。上一點(diǎn)，若直線尸片和OP的傾斜角分別為。和2a,且tana=：,則雙曲線C的離心率

4

為()

7

A?后B.5C.2D.y

?a-b7a-b

8.對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量￡和6,定義：°十6=1廠a°=訴.若平面向量

H+\b\\b\

滿足忖＞忖＞。，且a十b和a6都在集合〃eZ,0＜〃V4＞中，則0十6+ab=()

375

A.1B.—C.1或一D.1或一

244

二、多選題

9.已知函數(shù)/(x)=Msin(ox+o)(M>0,<y>0,0<°<7r)的部分圖像如圖所示，A,B為f(x)

的圖像與x軸的交點(diǎn)，C為/(x)圖像上的最高點(diǎn)，ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，

儂=2儂,則()

A-/(o)~

1a

B.直線無是〃x)圖像的一條對(duì)稱軸

c./(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為1+2k,：+2,WeZ)

D./(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一|+2E,：+2配卜eZ)

10.設(shè)拋物線E.x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)尸(。,3)的直線與拋物線E相交于點(diǎn)A,B,

與X軸相交于點(diǎn)C|A盟=2,怛同=10,則()

A.E的準(zhǔn)線方程為y=-2B.2的值為2

C.|AB|=4V2D.Z\3/C的面積與△AFC的面積之比為9

11.已知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,其導(dǎo)函數(shù)為廣⑺，若函數(shù)〃2%-3)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,1)

試卷第2頁，共4頁

對(duì)稱，，（2+x）-/（2-x）=4x,且/（0）=0,貝I］（）

A.7（尤）的圖像關(guān)于點(diǎn)（U）對(duì)稱B.〃x+4)=/(x)

50

C.尸（1026）=2D.X/(i)=2499

i=\

三、填空題

12.已知>>0,函數(shù)=—是奇函數(shù)，則。=,b=.

13.正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，其與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的五

角星中，以A仇C2E為頂點(diǎn)的多邊形為正邊邊形，設(shè)NC4D=。，則

cosa+cos2cr+cos3or+cos4a=，cosacos2tzcos3?cos4a=.

CD

14.在長(zhǎng)方體ABC￡>-ABCQi中，AB=5,AD=3,M=4,平面口〃平面村4臺(tái)片，則a截四

面體AC，耳所得截面面積的最大值為

四、解答題

15.如圖，四棱錐P-A5CD的底面是正方形，設(shè)平面PAD與平面P3C相交于直線/.

（2）若平面PAB_1_平面ABCD,PA=PB=y/5,AB=2,求直線PC與平面PAD所成角的正弦值.

16.已知正項(xiàng)數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S,，出=3,且反=點(diǎn)+用.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

45

(2)若bn=-—,求數(shù)列色｝的前"項(xiàng)和Tn.

anan+\

17.假設(shè)某同學(xué)每次投籃命中的概率均為

⑴若該同學(xué)投籃4次，求恰好投中2次的概率.

(2)該同學(xué)參加投籃訓(xùn)練，訓(xùn)練計(jì)劃如下：先投〃5eN+，〃W33)個(gè)球，若這"個(gè)球都投進(jìn)，

則訓(xùn)練結(jié)束，否則額外再投100-3〃個(gè).試問“為何值時(shí)，該同學(xué)投籃次數(shù)的期望值最大？

18.已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為X軸、y軸，且過M(2,0),N[I,-曰]兩點(diǎn).

(1)求C的方程.

(2)A,B是C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，。為C的上頂點(diǎn)，是否存在以。為頂點(diǎn)，A8為底邊的等腰直角三

角形？若存在，求出滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

19.己知函數(shù)〃x)=e￡-〃zx,g(x)=x-〃21nx.

⑴是否存在實(shí)數(shù)加，使得“X)和g(x)在(o,+8)上的單調(diào)區(qū)間相同？若存在，求出加的取

值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(2)已知冷弓是/(x)的零點(diǎn),孫三是g⑺的零點(diǎn).

①證明：機(jī)〉e,

②證明：1<%彳2尤3<丁.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.B

【分析】先化簡(jiǎn)兩個(gè)集合，再利用交集運(yùn)算可得答案.

【詳解】由爐一3X-4S0得—1CV4,^A={x\-l<x<4],

3={x|x20},所以AB=[0,4].

故選：B

2.D

【分析】設(shè)2=。+為(a,8eR),根據(jù)條件得到。=0,6=±1,再利用模長(zhǎng)的計(jì)算公式，即可求

出結(jié)果.

a2-b2=-1

【詳解】令z=a+6i(a,6eR),則z2=a2+2q歷_萬2=-1,所以L,，解得”=0,6=±1,

2ab=0

所以z=±i,故歸+2z|=H±2i|=&,

故選：D.

3.A

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義及線面垂直的性質(zhì)可得結(jié)果.

【詳解】用平面ADFE代表平面。，平面ABC。代表平面夕，

反之，當(dāng)加」尸時(shí)，又〃u#,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)有相_1_〃，

所以“〃口〃”是的必要不充分條件，

故選：A.

4.C

【分析】令/■(尤)=?？捎?jì)算出切點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線斜率，即可得解.

【詳解】令尤++=0,即x(x+2)+l=0,即(x+l)2=0,解得x=—l,

答案第1頁，共15頁

故P(T。)，小)=1一號(hào)，則〃T=1一=

則其切線方程為：j-/(i)=r(-1)(x+1)>即y=0?

故選：C.

5.B

【分析】根據(jù)正方形可得動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是以M為圓心，亞為半徑的圓，求出方程即可.

【詳解】因?yàn)樗倪呅蜛PBAf為正方形，且M4=M5=1,所以"=四，

故動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是以M為圓心，0為半徑的圓，其方程為(x+2)2+(y+3)2=2.

故選：B

6.C

【分析】根據(jù)題意，分為當(dāng)新節(jié)目插在中間的四個(gè)空隙中的一個(gè)和新節(jié)目插在中間的四個(gè)空

隙中的兩個(gè)，結(jié)合排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，可分為兩類：

①當(dāng)新節(jié)目插在中間的四個(gè)空隙中的一個(gè)時(shí)，有C；A；=4x2=8種方法；

②當(dāng)新節(jié)目插在中間的四個(gè)空隙中的兩個(gè)時(shí)，有A；=4x3=12種方法，

由分類計(jì)數(shù)原理得，共有8+12=20種不同的差法.

故選：C.

7.B

【分析】由已知計(jì)算可得所以直線P月的斜率為tanc=；3,直線。尸的斜率為，24，設(shè)%尤,>),

由上v=;3,)v=今24，解得》=7仁c,丫2=4三c，代入雙曲線方程計(jì)算即可求得結(jié)果.

X+C4X72525

答案第2頁，共15頁

_2tana

【詳解】由題意得tan2a=?

1—Lail（JL

324

所以直線因的斜率為tana="直線。尸的斜率為了‘

設(shè)尸（和），則有上=1）==,24c

解得彳=為丫

x+c4x7~25

（7。丫＜24￡?

代入雙曲線方程，得［25）［石J

---------------------——I

a2b2

化簡(jiǎn)可得：c4-2a2c2+a4=0,e=￡,

（25）a

所以[EleJ2/+l=0,解得e=5或e=1e>l,舍）.

故選：B

8.D

【分析】根據(jù)同＞W(wǎng)＞。，得到，+好＞2同w，再利用題設(shè)中的定義及向量夾角的范圍,

得到。十a(chǎn)b＞\,再結(jié)合條件，即可求出結(jié)果.

22

【詳解】因?yàn)?

設(shè)向量￡和b的夾角為凡因?yàn)榛兀揪W(wǎng)＞。，所以，+|］＞2,帆,

同

a-bWcosd|a||&|cos0cos。

得到。十b=2<2

\a\2+\b[K+HH-H2

又0目0,可，所以誓4；,

又雄在集合［扣好。＜…｝中，所以等。即cos"；,得到.十人；,

|?|-|z?|cos^

,a-ba3

=二。>

又因?yàn)?。|2coscos6>—,所以。/或1，

\b\bb2

所以。十/?+〃Z?=l或2,

4

故選：D.

答案第3頁，共15頁

9.BC

【分析】由圖可得f（x）=^sin^+^,再利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)分析各個(gè)選項(xiàng)即可.

27r

【詳解】對(duì)于A,由圖可得：/（x）的最小正周期為2,所以」=2,即。=兀，

CO

易得M=?~,所以〃尤）=#^sin（7rx+?），

因?yàn)閨。理=2|。4|,所以8「，。］，0：，￥，

由五點(diǎn)作圖法可得：>展5,即°=所以〃尤）=3sin1口+工

623213

3

所以"。）=故A不正確；

對(duì)于B,由于/（U）=《lsin（竺兀+'）=走，為最大值，

62632

1Q

所以直線工=丫是“X）圖象的一條對(duì)稱軸，故B正確；

6

7TTT37r17

對(duì)于C,42hi+-<7tx+-<2foi+—（keZ）,解得；-+2k<x<-+2k（k&Z）,

23266

所以單調(diào)遞減區(qū)間為1+2匕g+2”（左eZ）,故C正確；

對(duì)于D,令2E-.V7U+「W2fac+］（%eZ）,解得;-|+2^<x<1+2^（^eZ）,

所以〃x）的單調(diào)遞增區(qū)間為,|+2"1+2,小eZ）,故D不正確，

故選：BC,

10.BD

【分析】設(shè)直線A8的方程為、=履+3,人4另）,*%,%），利用根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線

的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，從而判定各選項(xiàng).

【詳解】設(shè)直線AB的方程為丫="+3,4（占,%）,3（孫為），

,、fy=kx+3,c

聯(lián)乂<2c，可得?！?p左一6P=0,

［％=2py

所以石+%=2pk,x1x2=-6p,

元236"2

因?yàn)閐=2py,所以y=「，yy===9?

2Px24P-4p~

答案第4頁，共15頁

因?yàn)榕?2,|明=10,由拋物線定義可得，y=2,,y2=10--|,

則［2-5110-3=9,解得p=2或p=22,

因?yàn)閄=2-|>0,所以。=2,則E的準(zhǔn)線方程為產(chǎn)-1,故B正確，A錯(cuò)誤;

又E的方程為f=4y,必=2-，=1,必=1。一。=9,

把M=1代入X。=4y可得X：=4%=4,x|=4%=36,

不妨設(shè)4(-2,1),3(6,9),則1ABl=8四,故C錯(cuò)誤;

設(shè)F到直線AB的距離為d,

△8尸C的面積SBQ=；|2C|d,△AFC的面積SAFC=^AC\d,

qBC

則ABFC的面積與X際的面積之比=-=-=9,故D正確.

S,”cACX

故選：BD.

11.ACD

【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象變換及其對(duì)稱性，可得判定A正確；結(jié)合/(x)+/(2-"=2和

/(2+x)-/(2-x)=4x,化簡(jiǎn)得至lJ/(x)=/(x+4)—8,可判定B不正確;令g(x)=/(x)—2x,

得到g(x)=g(x+4),得到函數(shù)g(x)和g'(x)是以4為周期的周期函數(shù),結(jié)合

g'(1026)=g'(2)=/'⑵一2,可判定C正確；結(jié)合"1)=1,"2)=2,43)=5,/(4)=8,

得至iJg(l)+g(2)+g(3)+g(4)=T,結(jié)合g(x)=/(x)—2x是以4為周期的周期函數(shù)，進(jìn)而

50

求得Z/(i)的值，即可求解.

1=1

【詳解】對(duì)于A中，設(shè)函數(shù)>=/(%)的圖象關(guān)于3b)對(duì)稱，

答案第5頁，共15頁

則y=/卜一3)關(guān)于(a+3⑼對(duì)稱，可得y=〃2x-3)關(guān)于(等,b)對(duì)稱，

因?yàn)楹瘮?shù)/'(2x-3)的圖像關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，可得審=2,6=1,解得。=1/=1,

所以函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于(1』)對(duì)稱，所以A正確；

對(duì)于B中，由函數(shù)y=〃x)的圖象關(guān)于(U)對(duì)稱，可得”x)+/(2-x)=2,

因?yàn)镴(2+x)-/(2-x)=4x,可得f(x)+/(x+2)=4x+2,

則/(x+2)+/(x+4)=4(x+2)+2=4x+10,

兩式相減得了⑺-f(x+4)=-8,即f(x)=〃r+4)-8,所以B不正確;

對(duì)于C中，令g(x)=F(x)—2x,

可得g(x+4)=/(x+4)-2(_x+4)=/(x+4)-2x-8,

因?yàn)椤▁)=/(x+4)-8,所以g(x)=g(x+4),

所以函數(shù)g(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

由g(x)=〃x)—2x,可得/("=〃力一2,所以g"026)=(1026)-2,

因?yàn)楹瘮?shù)g(尤)是以4為周期的周期函數(shù)，則g'(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

所以g"026)=g<2)=r(2)—2,

由/(2+x)-/(2-x)=4x,可得-(2+x)xl--(2-x)x(-l)=4,

即_f(2+x)+_f(2r)=4,令x=0,可得了")+廣(2)=4,所以((2)=2,

所以g'(2)=0,所以/'(1026)=/4026)+2=/'(2)+2=2,所以C正確；

對(duì)于D中，因?yàn)椤?)=0,且函數(shù)關(guān)于(U)對(duì)稱，可得"1)=1"⑵=2,

又因?yàn)?2+"—"2-x)=4x,令x=l,可得“3)-"1)=4,所以"3)=5,

再令x=2,可得/(4)-〃0)=8,所以"4)=8,

由g(x)=/(x)-2x,可得g(l)=-l,g(2)=—2,g(3)=-l,g(4)=0,

可得g(l)+g(2)+g(3)+g(4)=T

答案第6頁，共15頁

又由函數(shù)g(x)=/(x)-2x是以4為周期的周期函數(shù)，且/(x)=g(x)+2龍,

所以￡/（i）="l）+"2）++/（50）=g（l）+g（2）++g（50）+2（l+2++50）

=121g⑴+g(2)+g⑶+g(4)]+g⑴+g⑵+2(1+2++50)

=12x(T)-l一2+2x迎詈叫2499,所以D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】知識(shí)結(jié)論拓展：有關(guān)函數(shù)圖象的對(duì)稱性的有關(guān)結(jié)論

(1)對(duì)于函數(shù)y=〃x),若其圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱(a=0時(shí)，為偶函數(shù))，

貝IJ①/(a+x)=/(a-x)；②/(2a+x)=/(-x)；③/(2a—x)=〃x).

(2)對(duì)于函數(shù)y=〃x),若其圖象關(guān)于點(diǎn)0)對(duì)稱(a=0時(shí)，/(尤)為奇函數(shù))，

則①“a+x)=-/(o-x)；(2)/(2o+%)=-/(-%)；③=

(3)對(duì)于函數(shù)y=/(x),若其圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱，

則①/(a+尤)+/(。-x)=26；(2)/(2O+X)+/(-X)=2ZJ；@f(2a-x)+f(^x)=2b.

12.-11

【分析】根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)和定義，利用特殊值法求出。、b的值，驗(yàn)證可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)=是奇函數(shù)，其定義域?yàn)镽,

a=-l

則有7（。）=。，/（-D=-/（l）,即

a+4"b=l

一1+4,

當(dāng)。=—1,萬=1時(shí)，〃力=天上=2<2-，，其定義域?yàn)镽,且/(T)=2T-2，=-/(X),

即/(x)為奇函數(shù)，故。=一1,6=1；

故答案為：-1；1

13.0—/0.0625

【分析】由正五角星的性質(zhì)，求得NC4￡?=c=36,進(jìn)而根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角公式計(jì)算即

可.

【詳解】正五角星可分割成5個(gè)3角形和1個(gè)正五邊形，五個(gè)3角形各自角度之和180

答案第7頁，共15頁

正五邊形的內(nèi)角和180x(5-2)=180x3=540；每個(gè)角為拳=108,

三角形是等腰三角形，底角是五邊形的外角，即底角為180°-108°=72。，

三角形內(nèi)角和為180，那么三角形頂角，即五角星尖角180-72x2=36，

即ACAD=。=36.

cosa+cos2a+cos32+cos4c=cos36+cos72+cosl08+cosl44

=cos36+cos72+cos(180—72)+cos(180-36)

=cos36+cos72—cos72—cos36=0；

cos?cos2acos3acos4?=cos36cos72cosl08cosl44=(cos36cos72了

oooooo

oo2sin36cos36-cos72sin72-cos72sin1441

因?yàn)閏os36-cos72=--------------；-----o----------=--------------；---=—；-----r=一,

2sin362sin364sin364

所以cosacos2acos3acos4a=巳.

故答案為：0；—.

16

14.10

弓

【分析】結(jié)合題意畫出對(duì)應(yīng)圖形后，設(shè)B肅.T=2,則有T蕓R=T黑M=V察N=V券S=丸，則有

61clTWTUVUVW

平行四邊形二平行四邊形［

SNSR"S7V-2sMzs-2SSWR,借助力表不出面積,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可

得.

【詳解】平面。截四面體AC0］用的截面如圖所示，

設(shè)B康,T二丸.，則=TR7=>T7M7=井VN7=言VS7=丸，所以四邊形NSRll為平行四邊形，

TWTUVUVW

且MRIIUW,MNIITV,

在矩形C7WT中，UV=^VW=5.TM=5^MU=5（1-X）,71?=4Z,/?W=4（l-2）,

貝US平行四邊形NSRM-S平行四邊形LWT-2SNYS-2sSWR

<20-20x1=10,當(dāng)且僅當(dāng)2=工時(shí)，等號(hào)

22

成立.

答案第8頁，共15頁

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)是得到所得截面后，借助割補(bǔ)法表示出該截面面積，并結(jié)

合二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

15.(1)證明見解析；

(2)坐

【分析】(1)利用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理即可證明；

(2)利用面面平行的性質(zhì)確定尸平面ABCD,建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法結(jié)合線面角

公式即可求解.

【詳解】(1)因?yàn)樗睦忮F尸-ABCD的底面是正方形，所以3C//AD,

又i5Cu平面BBC,ADa平面PBC,

所以AD〃平面P3C,

因?yàn)锳Du平面尸AD,平面P3C/O平面RAD=/,

所以"/AD；

(2)因?yàn)?=PB,取A3的中點(diǎn)。，連接尸O,則POLAB,

因?yàn)槠矫嫫矫鍭5CD,平面平面ABCD=AS,

則平面ABC。，所以以。坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖坐標(biāo)系，

因?yàn)镻A=PB=有,AB=2,ABC。是正方形，所以尸0=2,

則P(0,0,2),4(1,0,0),C(-1,2,0),￡>(1,2,0),

答案第9頁，共15頁

AP=(-l,0,2),AD=(0,2,0),PC=(-1,2,-2),

設(shè)平面PAD的法向量為n=(x,y,z),

貝(AP=-x+2z=0，n-AD=2y=0,

取x=2,y=0,z-1,即”=(2,0,1),

設(shè)直線PC與平面PAD所成角為6,

PC-n\［，2-2|_475

則sin0=cosPC,n\

PC||M|3X#115

所以直線尸C與平面PAD所成角的正弦值為境.

15

16.(l)an=2n-l

n

(2)為=7十

2n+l

【分析】⑴首先求出q=i,可證明數(shù)列｛￡｝為首項(xiàng)為i,公差為i的等差數(shù)列，得到s.=〃2,

利用an=S,-Sn_x得到｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)由⑴知，:…，化簡(jiǎn)可得么=1+J［「一'］，利用分

anan+l(2〃-1)(2〃+1)212〃-12〃+1J

組求和以及裂項(xiàng)相消即可求出數(shù)列｛2｝的前n項(xiàng)和Tn.

【詳解】(1)當(dāng)”=1時(shí)，由施'=￡+6"，即1al+%=2弧,解得：6=1,

所以61-￡=后=1，則數(shù)歹耳后｝為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；

所以S=〃，則S"="2,

22

當(dāng)“22時(shí)，an==M-(M-1)=2n-l,

當(dāng)〃=1時(shí)，％=2x1-1=1滿足條件,

所以｛q｝的通項(xiàng)公式為%=2"1(〃eN*)

4S”4〃2

(2)由(1)知，bn=

44+1(2w-l)(2〃+l)

答案第10頁，共15頁

LLIr74〃21i—1—=1

所以產(chǎn)T+

(2n-l)(2n+l)2(2〃一12n+l

111n

故T=n+—\1-----1--------1-H-----------=n+—\1-=n+

義"2(3352n-l2n+l2H+12H+1

n

即(=〃+

2n+l

3

；

17.(1)o-

(2)n=5.

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式計(jì)算即得.

(2)該同學(xué)投籃的次數(shù)為X,求出X的可能值及對(duì)應(yīng)的概率，求出期望的函數(shù)關(guān)系，作差

結(jié)合數(shù)列單調(diào)性推理即得.

【詳解】(1)依題意，該同學(xué)投籃4次，恰好投中2次的概率「=砥(：)2(1-：)2=?

22o

(2)設(shè)該同學(xué)投籃的次數(shù)為X,則X的可能值為〃，"+10。-3〃=100-2〃，neN+,?<33,

于是尸(X=〃)=J尸制=100-2”)=1弓，

數(shù)學(xué)期望E(X)=心+(100-2”).(1弓)=與"-2〃+100,

4/(?)=-2?+100,?eN+,貝|/(〃+1)=^2-2〃+98,

f(n+1)-/(?)=1。"；3J"?,顯然數(shù)列口03-3九一2"+2｝是遞減的，

當(dāng)wW4時(shí)，103—3〃一2"+2>o,f("+l)>f("),當(dāng)"25時(shí)，103-3〃一2"+2<0,/(?+1)</(?),

即有了⑴</⑵</(3)</(4)</(5)>/(6)>〃7)>,因此”5)最大,

所以當(dāng)〃=5時(shí)，該同學(xué)投籃次數(shù)的期望值最大.

18.⑴寧+丁=1

⑵存在，3個(gè)

4m=1

2

【分析1(1)設(shè)橢圓C的方程為twr+ny=l(m>0,?>0,m*n),根據(jù)條件得到<3」

m+—n=1

4

即可求出結(jié)果;

(2)設(shè)直線ZM為y=kr+l,直線DB為y=-1x+l,當(dāng)左=1時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性知滿足

k

題意；當(dāng)上2/1時(shí)，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出A3的坐標(biāo)，進(jìn)而求出48中垂線方程，根

答案第11頁，共15頁

據(jù)條件中垂線直經(jīng)過點(diǎn)。(0,1),從而將問題轉(zhuǎn)化成方程/-7二+1=0解的個(gè)數(shù)，即可解決

問題.

【詳解】(1)由題設(shè)橢圓C的方程為7nF>0,加片〃)，

因?yàn)闄E圓過M(2,0),N[1,-孝]

兩點(diǎn),

4m=12

所以3，得到根==所以橢圓。的方程為土+丁=1.

m+—n=144

4

(2)由(1)知0(0,1),易知直線D4,D8的斜率均存在且不為0,

不妨設(shè)左ZM=k(左>°)，k=—■—,直線。/4為〉二丘+1,直線。5為>=—■—x+1,

DBkk

由橢圓的對(duì)稱性知，當(dāng)左=1時(shí)，顯然有滿足題意,

y=kx+1

當(dāng)左2。1時(shí)，由《/消y得到(：+后2謂+2區(qū)=o,

匕+y?=1

所以L號(hào)8k2,1一4k2，即4-備l-4k2

-----7+1=-----2-

1+4公1+4k1+4V

同理可得B(R5k,P*-)4,所以

一一41-4k?

2222

.二左2+4-1+4左2(k-4)(l+4)l)-()t+4)(l-4fc)左2_]

-8k8k8左(1+4左2+左2+4)-5k

r+4i+4k2

8k8k

設(shè)AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(為,%),則+=12左(J)

°2(左2+4)(1+4公)

1-4戶--4

=1+4-2+甘+4=T5/2,

■0-2-(左2+4)(1+4公)

15左2

所以A8中垂線方程為y+

伏2+4)(1+442)k2-l(Jt2+4)(1+4F)

要使ADB為AB為底邊的等腰直角三角形，則直中垂線方程過點(diǎn)(0,1),

所以1---2---------T~=------i--(0-------------整理得至1]/一7r+1=0,

(公+4)(1+4產(chǎn))k2-l伏？+4)(1+4產(chǎn)),

令t=W,則產(chǎn)一7r+l=0,A=49-4>0,所以f有兩根乙小，且4+/2=7>0/0=1>。，即

?一7/+1=0有兩個(gè)正根,

故有2個(gè)不同的％2值，滿足/-7左2+i=o,

答案第12頁，共15頁

所以由橢圓的對(duì)稱性知，當(dāng)％271時(shí)，還存在2個(gè)符合題意的三角形，

綜上所述，存在以。為頂點(diǎn)，A2為底邊的等腰直角三角形，滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)有3

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于第(2)問，通過設(shè)出直線為>=丘+1,直線08

為>=一：》+1,聯(lián)立橢圓方程求出A,B坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線A5的中垂線方程，將問題轉(zhuǎn)化

成直線AB的中垂線經(jīng)過點(diǎn)0(0,1),再轉(zhuǎn)化成關(guān)于上的方程的解的問題.

19.⑴存在,且根e(Yo,0]

⑵①證明見解析②證明見解析

【分析】(1)結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分〃zV0與機(jī)>0進(jìn)行討論即可得；

(2)①利用導(dǎo)數(shù)得到了(X)的單調(diào)性后，借助零點(diǎn)的存在性定理可得/(lnm)=7%-加nm<0