空間直線、平面的垂直 高頻考點-精講（解析版）2024年高考數(shù)學一輪復習（藝考生基礎版）

空間直線、平面的垂直（精講）

目錄

第一部分：知識點精準記憶

第二部分：典型例題剖析

題型一：直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

題型二：平面與平面垂直的判定與性質(zhì)

題型三：平行、垂直關(guān)系的綜合應用

題型四：幾何法求線面角

題型五：幾何法求二面角

第一部分：知識點精準記憶

知識點一：直線與平面垂直

1、直線和平面垂直的定義

如果一條直線/與平面。內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么直線/垂直于平面a,記為1

l-La.直線/叫做平面a的垂線，平面a叫做直線/的垂面，垂線與平面的交點尸叫垂/

足.

符號語言：對于任意aua,都有

2、直線和平面垂直的判定定理

如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直./-------;

簡記：線線垂直n線面垂直

符號語言：/_La,l±b,aua,bua,ab=P=>I±a

3、直線和平面垂直的性質(zhì)定理，

3.1定義轉(zhuǎn)化性質(zhì)：如果一條直線/與平面a垂直，那么直線/垂直于平面a內(nèi)所有直線.

符合語言：/La,buanlLb./、j/

3.2性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行.ab

符合語言：aLa,b±ab------------

知識點二：直線與平面所成角與―|―p

1、直線與平面所成角定義

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a

如圖，一條直線Q4和一個平面a相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜

線，斜線和平面的交點A叫做斜足，過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線P。，過垂足。

和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影，平面的一條斜線和它在平面上的射影

所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角.

說明：①/為斜線

②I與a的交點A為斜足

③直線Q4為在平面a上的射影

④直線/與射影Q4所成角ZPAO=8（角8）為直線/與平面a上所成角

⑤當直線AP與平面a垂直時：8=90；當直線AP與平面戊平行或在平面

a內(nèi)時：8=0

⑥直線與平面所成角。取值范圍：o<e?9o.

2、直線與平面所成角的求解步驟

①作：在斜線上選取恰當?shù)狞c向平而引垂線，在這一步確定垂足的位置是關(guān)鍵；

②證：證明所找到的角為直線與平面所成的角，其證明的主要依據(jù)為直線與平面所成的角的

定義；

③算：一般借助三角形的相關(guān)知識計算.

知識點三：二面角

1、二面角定義

（1）定義從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱,

每個半平面叫做二面角的面.

（2）符號語言：

①二面角a—A5—月.

②在a,夕內(nèi)分別取兩點P，Q（P走AB,。2A3）,可記作二面角P—AB—。；

③當棱記作/時，可記作二面角a-1-p或者二面角P-1-Q.

（1）定義：在二面角a-/-/的棱/上任取一點。，以點。為垂足，在半平面a和廠內(nèi)分別

作垂直與直線/的射線OA,OB,則射線Q4和OB構(gòu)成的NAC出叫做二面角的平面角.平

面角是直角的二面角叫做直二面角.

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B

(2)說明：

①二面角的大小可以用它的平面角的大小來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面

角是多少度；

②二面角的大小與垂足。在/上的位置無關(guān)一個二面角的平面角有無數(shù)個，它們的大小是相

等的；

③構(gòu)成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面內(nèi)”“垂直”.即二面角的平面角的頂點必

須在棱上，角的兩邊必須分別在兩個半平面內(nèi)，角的兩邊必須都與棱垂直，這三個條件缺一

不可，前兩個要素決定了二面角的平面角大小的唯一性，后一個要素表明平面角所在的平面

與棱垂直；

④二面角的平面角。的范圍是0<6><180，當兩個半平面重合時，8=0；當兩個半平面

合成一個平面時，8=180

⑤當兩個半平面垂直時，8=90，此時的二面角稱為直二面角.

3、二面角的平面角。的取值范圍：uwew兀

4,二面角平面角求法

(1)定義法：利用二面角的平面角的定義，在二面角的棱上取一點(一般取特殊點)，過

該點在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，兩射線所成的角就是二面角的平面角，這是一

種最基本的方法，要注意用二面角的平面角定義的三要素來找出平面角.

(2)三垂線定理及其逆定理

①定理：平面內(nèi)的一條直線如果和經(jīng)過這個平面的一條斜線在這個平面上的射影垂直，那么

它也和這條斜線垂直.

②三垂線定理(逆定理)法：由二面角的一個面上的斜線的射影與二面角的棱垂直，推得它

在二面角的另一面上的射影也與二面角的棱垂直.從而確定二面角的平面角.

(3)找(作)公垂面法：由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂

面與兩個面的交線所成的角，就是二面角的平面角.

⑷轉(zhuǎn)化法：化歸為分別垂直于二面角的兩個面的兩條直線所成的角(或其補角).

⑸向量法：用空間向量求平面間夾角的方法

知識點四：平面與平面垂直

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1、平面與平面垂直的定義

(1)定義:一般地,兩個平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相

垂直.

(2)符號語言

(3)圖形語言

(1)定理：如果一個平面過另一個平面的的垂線，那么這兩個平面垂直.(線面垂直，則面

面垂直)

(2)符號(圖形)語言：auBnaL/3

3、平面與平面垂直的性質(zhì)定理

(1)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.

(2)符號(圖形)語言：a工B，aB=l，autz,a_L/0a1.

第二部分：典型例題剖析

題型一：直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

典型例題

例題1.(多選)(2022?全國?高一課時練習)下列條件中能推出/La的有()

A.直線/與平面a內(nèi)一個三角形的兩邊垂直B.直線/與平面a內(nèi)一個梯形的兩邊垂直

C.直線/與平面a內(nèi)無數(shù)條直線垂直D.直線/與平面a內(nèi)任意一條直線垂直

【答案】AD

【詳解】由線面垂直的判定定理知AD正確，

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對于B,當梯形的兩邊平行時，不能推出/La,

對于C,當無數(shù)條直線相互平行時，不能推出/La,

故選：AD

例題2.（2022?全國?高一課時練習）如圖，在三棱錐尸-ABC中，D,E分別為AB,PB

的中點，EB=EA,且上4_LAC,PC±BC.求證：3C_L平面PAC.

【答案】證明見解析.

【詳解】1.在△AEB中，。是的中點，EB=EA,

..ED1.AB,

??.E是尸2的中點，。是A2的中點，

ED//PA,

二PA.LAB,

又PA_LAC,AB^AC=A,ABI平面A3C,ACu平面ABC,

PA_L平面43C,

BCu平面ABC,

PA1BC,

又PC_L8C,PAPC=P,Blu平面PAC,PCu平面PAC,

BC,平面PAC.

例題3.（2022哈國?高一課時練習）在正三棱柱ABC-ABC中，如圖所示，\A=AB=a,

G,E,尸分別是AG，AB,的中點，求證：直線4，直線GB.

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【答案】證明見解析

【詳解】證明：連接與G.在三角形A用G中，G是AG的中點，所以瓦G，AG.

因為瓦B_L平面AAG，AGU平面AB]G，

所以與2_LAG，

因為21GlB}B=BX,耳G,B|Bu平面耳8G,

所以AG_L平面耳8G,

因為8Gu平面4BG,

所以AG_L8G,

又因為E,尸分別是AB,BC的中點，所以成〃AC,所以E歹〃AG

所以直線直線GB.

例題4.（2022?四川遂寧?高二期末（文））如圖，在四棱錐尸-ABCD中，PC,底面

ABCD,ABCD是直角梯形，ADYDC,AB//DC,AB=2AD=2CD=2,點E在線段尸3上且

PE=-EB.

2

⑴證明直線PD//平面AEC-,

⑵證明直線BC±平面PAC.

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【答案】⑴證明見解析

(2)證明見解析

(1)證明：連接3。交AC于點。，連接OE,

VAB//DC,AB^ICD,

?DODC1

DOC-△BOA，即a——=—=-,

OBAB2

又PE=-EB,

2

.DOPE

一~OB~~EB~2

：.PD//OE

又?.?OEu面AEC、PD<Z?AEC

PD//面AEC

(2)

VPC_L平面ABC。，3Cu平面ABC。，

PC±BC,

又：AB=2,AD=CD=l,AD±DC,且ABC。是直角梯形，

:.AC=BC=BWAC2+BC2=AB2,

：.AC±BC,

文：PCcAC=C,且PC,ACu平面PAC,

3CL平面PAC.

例題5.(2022?山西?大同一中高一階段練習)如圖，在四面體Bl血中，AD_L平面上43,

PB±PA

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D

（1）求證：尸5,平面AP。；

⑵若AGLPD,G為垂足，求證：AGVBD.

【答案】⑴證明見解析；

⑵證明見解析.

①由AOJ_平面E48,25<=面上鉆，則AO_LP3,

XPBrPA,PAoAD^A,則PB_L平面API）；

（2）由（1）及PBu面PBD,則面尸8。_1面4尸。，

又面PBD^APD=PD,AGrPD,AGu面AP￡）,

所以47_1_面尸巫）,而BDu面「3D,

所以AG_L8D.

例題6.（2022?寧夏?青銅峽市寧朔中學高二期末（文））如圖，已知四棱錐P-ABCD的

底面ABC。是菱形，出，平面A3CD,點E為PC的中點.

（1）求證：PA//平面BDE;

（2）求證：PCLBD.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【詳解】（1）證：連接AC交3。于。點，連接E。

底面A8CD是菱形

。為AC的中點

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???點E為尸C的中點

PA//EO

EOu平面3DE,且PAU平面BDE

R4//平面3DE

(2)證：

???底面A8CO是菱形

/.ACLBD

■■■PA_L平面A8CD

PA±BD

ACr\PA=A,：.BO_L平面PAC

PCu平面PAC,

BDVPC

題型歸類練

1.（2022?全國?高一課時練習）如圖，拿一張矩形紙片對折后略微展開，豎立在桌面上，折

痕與桌面的關(guān)系是.

【詳解】令桌面所在的平面為a,折痕所在直線為/,紙片與桌面公共部分所在直線為。泊,

如圖,

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依題意有。b=A,因/a,bua,所以/_L&,

所以折痕與桌面垂直.

故答案為：垂直

2.（2022?全國?高一單元測試）如圖所示，M是菱形A8CD所在平面外一點，〃A=MC.求

證：AC垂直于平面BDM.

【答案】證明見解析.

【詳解】設AC交于點。，連接MO,

因為ABCD是菱形，所以ACL8D,

因為朋A=MC,且AO=CO,

所以MOLAC,

因為MO、BD是平面BDM上的兩條相交直線，

所以AC垂直于平面BDM.

3.（2022?湖南?高一課時練習）如圖，在正方體ABCO-44G2中，E,尸分別是棱用0,

的中點，求證：b_L平面

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【答案】見解析

E,歹分別是棱BG，與B的中點，

在RtABB.E和RtACBF中，BB=BC,B}E=BF,

所以RtABBXE=RtACBF,所以△NB[BE=NBCF,

因為NABE+NEBC=90,所以ZBCF+NEBC=90,

所以N8OC=90,即CFJ_3E,

又因為正方體ABCO-ABG2中，AB，平面BCG瓦,CPu平面BCG百，

所以ABLCF,AB和BE平面E4B內(nèi)的兩條相交直線，

所以CP_L平面E4?.

4.（2022?全國?高二課時練習）所有棱長均相等的三棱錐稱為正四面體，如圖，在正四面體

A-8C。中，求證：AB±CD.

【答案】見解析

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【詳解】

D

B

'--------_

c

取8的中點為“，連接AM,13M,

因為四面體A-BCD為正四面體,故為等邊三角形,

故AM_LCD,同理BAf_LCD,

而=故CD_L平面ABM,

因為ABi平面ABM,故CD_LAB.

5.(2022?河南宋基信陽實驗中學高二階段練習(文)已知正方體ABCD-AAG，的棱長

為2.

4B

(1)求三棱錐4-。田。的體積；

(2)證明：AC,1BD.

……,14

3

(2)證明見解析

⑴在正方體中，易知平面

ABCD-A4GACXC_LABD,

-1x2x2|x2=-

匕l(fā)-qBZ)=^C,-ABD=耳X

23

(2)證明：在正方體ABCO-ABIGA中，易知B￡)_LAC,

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GC_L平面AB。，BDu平面43D,二CtC±BD.

又rGCcACuC,qC、ACu平面ACC」2。，平面AC￡.

又A￡<=平面ACC,,ACI±BD.

6.(2022?江西省銅鼓中學高二開學考試)如圖，在三棱柱A3C-A片G中,

8C，AC,8C，CG，點。是A3的中點.

---------/周

⑴求證:AG〃平面C。旦;

⑵若側(cè)面AAGC為菱形，求證：AG，平面ABC.

【答案】①證明見解析；

⑵證明見解析.

(1)連接BG交C4于E,連接即，

由A8C-a4G為三棱柱，則BCQB,為平行四邊形，

所以E是8G中點，又。是A3的中點，

故在△BAG中DE//AC],DEu面CDB1,(Z面CDB1，

所以AC"/平面CD81.

(2)

由5。_14(7,8。_1(?。],而ACCQ=C,AC,CGu面ACGA,

所以3CL面ACGA，又AQU面ACGA,則BCLAG，

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由側(cè)面為菱形，故

又BC\C=C,BC，ACu面ABC,故AC1，平面ABC.

7.（2022?山東德州?高一期末）如圖，在圓錐PO中，AB是底面的一條直徑，C為底面圓

周上一點.

⑴若。為AC的中點，求證：3c〃平面PO。；

（2）若/C=5C,求證：PCYAB.

【答案】（1）證明見解析；

（2）證明見解析.

（1）因為。，D為AB,AC的中點，所以。D〃BC.

又因為。。＜=平面POD,平面POD所以8c〃平面POD-,

⑵連接OC.

p

因為A3是底面的一條直徑，所以。是42的中點，

又因為AC=BC,所以。C_L/A因為PO_L圓面。，且ABu圓面。，所以PO_LNA

因為尸O「OC=。，PO,OCu平面POC,所以4B_L平面尸OC.因為PCu平面尸OC,

所以尸C_L/A

題型二：平面與平面垂直的判定與性質(zhì)

典型例題

例題1.（2022?山東?高密三中高二階段練習）如圖，垂直于矩形ABC。所在的平

面，則圖中與平面PC。垂直的平面是（）

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p

A.平面ABC。B.平面PBC

C.平面PAOD.平面PC。

【答案】C

【詳解】因為上4,平面ABCQ,CDu平面ABC。，

所以K4_LCD,

由四邊形ABCD為矩形得CDVAD,

因為叢cAD=A,

所以CD_L平面PAD.

又CDu平面PCD,

所以平面PCD1?平面PAD.

故選：C

例題2.(2022?全國?高一單元測試)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為

平行四邊形/CDA=45,AD=AC=\,。為AC中點，PO_L平面ABC。，PO=2,M為

尸。中點.

(1)證明：PB//平面ACM；

(2)證明：平面R4Z5_L平面PAC.

【答案】⑴證明見解析

⑵證明見解析

⑴證明：連接3￡＞、MO,在平行四邊形ABCD中，。為AC、3D的中點,

V”為PD中點，,PBHMO,

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1:平面ACM,MOu平面ACM,

尸8〃平面ACM；

(2)證明：ZCDA=45,且AD=AC=1,

ZDAC=90,即D4J_AC,

PO_L平面ABCD,AT>u平面ABCD,「.PO1,AD,

---ACPO=O,AC,尸Ou平面PAC,；.AD_L平面PAC,

又「ADu平面PAD,.,.平面R4￡>_L平面PAC.

例題3.（2022?全國?高三專題練習）如圖，正三棱柱ABC-A4G中，AB=4,A4,=372,

M,N分別是棱AG，AC的中點，E在側(cè)棱AA上，且AE=2￡A,求證：平面MEB_L平

【答案】證明見解析

【詳解】在正三棱柱ABC-AqG中，44,，平面ABC,BNu平面A5C,則A4,，BN.

N是棱AC的中點，ABC為正三角形，則BNJ_AC.

MAC=A,BN_L平面AACC，MEu平面MGC,BNLME.

又AB=4,的=30，AiE=2EA,EA=^2,9=2及，

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,則△AjEN和A7VE相似，故ANE,

AE

Z^EM+ZAEN=ZANE+ZAEN=90°,則有ZMEV=90。，板ENLME.

ENcBN=N,ME_L平面3￡N,且MEu平面ME?,平面ME?_L平面BEN.

例題4.（2022?江蘇?無錫市第一中學高一階段練習）在四棱錐尸-A5CE＞中，銳角三

角形PAD所在平面垂直于平面R4B,AB±AD,ABLBC.

（1）求證：5cl平面PAO；

（2）平面PAD_L平面ABC。.

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【詳解】（1）四邊形ABCD中，因為AB_LAD,AB±BC,

所以，BCIIAD,BC在平面PAD外，

所以，BCII平面PAD

（2）作DE_LPA于E,

因為平面PAD_L平面PAB,而平面PADC平面PAB=PA,

所以，DEJ_平面PAB,

所以，DE±AB,又AD_LAB,DEcAD=D

所以，AB_L平面PAD,

AB在平面ABCD內(nèi)

所以，平面PAD_L平面ABCD.

例題5.（2022?浙江?高三專題練習）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA=PD,底面

ABC。是矩形，側(cè)面K4O,底面ABCD,E是AD的中點.

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(1)求證：AD平面PBC；

(2)求證：AB，平面PAO

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【詳解】(1)證明：在四棱錐尸-ABC。中，,底面ABC。是矩形，

ADWBC,

又AOO平面P8C,BCu平面P8C,

ADW平面PBC-

(2)證明：1,底面ABCD是矩形，

ABJ.AD,

文:側(cè)面PA￡)_L底面ABCD,側(cè)面PAD、平面ABCD=AD,A5u平面ABCD,

A2_L平面PAD.

例題6.(2022?濱海學校高一階段練習)如圖，在棱長都相等的正三棱柱

A3C—431G中，D,E分別為A4,耳。的中點.

(1)求證：DE平面ABC；

(2)求證：5。，平面3QE.

【答案】⑴證明過程見解析；

(2)證明過程見解析.

⑴設G是CG的中點，連接EG,OG,

因為E為B/C的中點，所以EG//BG，而BC//BC，所以EG〃臺C,

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因為EGu平面ABC,BCu平面ABC,所以EG//平面ABC,

同理可證￡）G//平面ABC,因為EG,DGu平面D￡G,且EGDG=G,

所以面DEG〃平面ABC,而DEu平面。EG,所以DE〃平面ABC；

（2）設。是BC的中點，連接AO,EO,

因為E為B/C的中點，所以E0//M8,而AO/ABH，所以EO//AD,

由（1）可知：面DEG〃平面ABC,平面AOEZ）[平面Z>EG=￡>E,平面AOEO平面

ABC=AO,因此QV/DE,

在正三棱柱ABC-A/SG中，平面BCG反，平面A8C,而平面BCGB1平面ABC=BC,

因為ABC是正三角形，。是8C的中點，所以AOJL8C,因此47,平面BCC^,

而CB|U平面BCG瓦，因止匕A。人C4，而。4//DE,所以DELC瓦，

因為正三棱柱ABC—4SQ中棱長都相等，所以BB[=BC,而E分別為SC的中點，

所以BE_LC8i，而平面瓦汨，BEcDE=E,所以2/CJ?平面

題型歸類練

1.（2022?全國?高一課時練習）空間四邊形ABC。中，若ACBC,AD,3D,那么有（）

A.平面ABC1平面AOCB.平面ABC_L平面

C.平面ABCJ_平面OBCD.平面AOC_L平面。BC

【答案】D

【詳解】?'AD1BD,BCBD=B,u平面BDC,

?AD_L平面BDC.

又A￡）u平面A。。，

???平面ADC_L平面DBC.

故選：D

2.（2022?四川?寧南中學高二開學考試（文））如圖，ABCD是正方形，。是正方形的中心,

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尸。，底面ABCD,E是PC的中點.

⑵求證：面以。_1面尸8￡).

【答案】⑴證明見解析

⑵證明見解析

①連接AC,交BD于0,連接0E,

：.PA//EO,

又「尸40平面BDE,EOu平面8￡)E,.［上4II平面8DE；

(2)-.'PO_L底面ABCD,則PO±BD,

又?.,ABC。是正方形，則AC_L8D,且ACPO=O,=平面PAC.

,「BDu平面尸8￡),.,.平面PAC_L平面P2D

3.(2022?江蘇省鎮(zhèn)江中學高二開學考試)如圖，在三棱錐尸-ABC中，PA=AB,M,N分

別為棱的中點，平面必平面P3C.求證:

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（1）BCII平面AAW；

（2）平面平面PBC.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【詳解】（1）別為棱的中點，

MWIIBC

又3C<Z平面AAW,

BCII平面AAW.

（2）=點M為棱尸B的中點，

AM±PB,

又平面B4B_L平面BBC,平面平面依C=PB,

.-.41/，平面尸3。.

AMu平面AAW,

平面4VWJ_平面P3C.

4.（2022?江蘇?高一課時練習）如圖，在四棱錐P4BC。中，底面ABC。是矩形，平面尸

平面ABCD.

求證：AO_L平面PCD

【答案】證明見解析

【詳解】證明：在矩形ABCD中，AD±CD,

又?；平面PCDJ_平面ABCD,平面PCDc平面ABCD=CD,AOu平面ABCD,

根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得：AZ）J-平面PCD

5.（2022?全國?高一）三棱柱ABC-A#G，側(cè)棱A4,，底面A3c

⑴若求證平面ABC,平面AABg

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(2)若平面ABC_L平面AAB瓦，求證AB_L3c

【答案】①證明見解析；

⑵證明見解析.

(1)A4,，平面ABCBCu平面ABC,

又；AB1,BC,MAB=A,

.?.8。，平面4442,又：BCu平面ABC,

平面ABC,平面胡耳及

(2)過A作AO_LAB于。，

?.■平面ABC,平面又平面43c平面A414g=$2,5^^平面叫8出，

;.AD_L平面ABC,又BCu平面ABC,

/.AD±BC,

又,.,A4]_L8C,ADu平面朋與招，相＜=平面A4tBiB,朋AD=A,

：.BC_L平面44由2,ABI平面44由2,

AB1BC.

6.(2022?全國?高一)如圖1,在直角梯形A8CZ)中，AB//CD,AB±AD,且

A3=AO=gcD=1.現(xiàn)以AD為一邊向形外作正方形ADEF,然后沿邊AD將正方形ADEF

翻折，使平面AD￡F與平面A3CD垂直，M為￡D的中點，如圖2.

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EMDC

(1)求證：AM//平面BEC；

(2)求證：3C_L平面BDE.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【詳解】證明：取EC中點N,連結(jié)MN,BN.

在^即。中，Af,N分別為E￡>,EC的中點，

所以肱V〃CD,且MN=LCO.

2

由己知AB〃CD,AB=-CD,所以且ACV=AB,

2

因此四邊形MN3A是平行四邊形，所以有3N〃A",

又因為BNu平面3EC,且A0O平面BEC,所以AM〃平面BEC；

(2)證明：在正方形ADEF中，ED±AD.

又因為平面ADEF_L平面ABCD中，且平面ADEF「1平面ABCD=AD,

所以。E_L平面ABC。，又BCu平面ABC。，所以￡D_L3c.

在直角梯形ABC。中，AB=AD^CD=\,可得8C=VL

在△BCD中，BD=BC=yf2,CD=2,所以十=CD?.

所以BD_LBC,BDcDE=D，BD,DEu平面3￡>E,

BC工平面BDE.

題型三：平行、垂直關(guān)系的綜合應用

典型例題

第23頁共51頁

例題1.(2022?寧夏?平羅中學高二階段練習(理))如圖，正方形ABCD和直角梯形回跖

不在同一個平面內(nèi)，AF//BE,ZABE=90°,AB=AF=1,BE=2,CE=45,P是BE的

中點.

(1)證明：平面。防//平面PAC；

⑵證明：AC_L平面&DE.

【答案】⑴證明見解析

⑵證明見解析

(1)

設ACBD=O,連接。尸，

E

因為。，尸分別為8。，郎的中點，所以OP//DE.

因為DE.平面PAC,OPu平面PAC,

所以DE〃平面PAC.

因為P是BE的中點，BE=2,所以理=AF=1,.

因為AFV/3E,所以四邊形APEF是平行四邊形.

所以AP//跖，

因為EFO平面PAC,APu平面PAC,所以EF〃平面PAC.

因為DEu平面。EFu平面DE廣，DEEF=E

所以平面DEF//平面PAC.

(2)

因為BE?+BC?=3,BE1BC,

因為ABI平面ABC。，ABCD,ABcBC=B,

第24頁共51頁

所以BE1平面ABC。

因為ACu平面ABCD,所以BELAC,

因為四邊形ABCD是正方形，所以BDLAC,

因為3Eu平面3DE,BDu平面BDE,BEcBD=B

所以AC_L平面3￡>E.

例題2.(2022?江蘇蘇州?高一期末)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A8CD為正方

形，尸/)，平面45。￡>,尸￡>=9，V為線段PC上的動點，N為線段BC的中點.

(1)若M為線段PC的中點，證明：平面P3CL平面MVD；

(2)若PA平面肱VD,試確定點知的位置，并說明理由.

【答案】⑴證明見解析

⑵點M為線段PC的三等分點，且靠近點C處，理由見解析

(1)

因為底面ABCD為正方形，PD=AD,所以尸O=C，2C_LCD.

因為M為線段PC中點，所以在平面PCD中，DMLPC.

因為尸D_L底面ABCDBCu底面ABCD,所以P￡)_L3c.

又BCLCD,P。cCO=O,POu平面PC￡>,COu平面PCD,

所以3C_L平面尸CD

因為ZWu平面PCD,所以BC_LDM.

又DMLPC,PCcBC=C,PCu平面PBC,3Cu平面PBC,

所以mf_L平面BBC.

因為DMu平面"ND,所以平面PBC_L平面MND.

(2)

如圖，連接AC,交。N于點。，連接ON.

因為在正方形ABC。中，N為線段3c中點，

COCN1

AD//BC,所以一=—=一，即AO=2CO.

AOAD2

因為R1，平面MN。,PAu平面PAC,平面PAC「|平面ACVD=QW,

第25頁共51頁

所以

所以點M為線段PC的三等分點，且靠近點C處.

Pa

例題3.(2022?福建?莆田一中高一期末)如圖，四邊形ABCD為矩形，且AD=2,AB=1,

上4_L平面ABC。，PA=1,E為8c的中點.

(1)求證：PE±DE；

(2)若點G為R4上的中點，證明EG//平面PCD.

【答案】⑴證明見解析

⑵證明見解析

(1)證明：連接AE,,：E為BC的中點，EC=CD=L.OCE為等腰直角三角形，由此

可得NDEC=45。，同理/AEB=45。，/.ZAED=180°-(^DEC+ZAEB)=90°,DELAE,

又：R4_L平面ABCD,且￡＞Eu平面ABCD,，PALDE,文:AEPA=A,AE,PAcz

平面P4E,二DE_L平面PAE1,文:PEu平面R4E,二PE±DE.

(2)證明：取B4、PL)的中點G、H,連接EG、GH、CH.G、H是PA,尸￡＞的中

點，△2ND中，可得G"〃"＞且GH=(A。，又「E是BC的中點，且四邊形ABCD為矩形，

ECHAD§LEC=^AD,EC,GH平行且相等，可得四邊形ECHO是平行四邊形.二

第26頁共51頁

EG//CH,又：CHu平面PCD,EG平面PCD,：.EG//平面

PCD.

例題4.(2022?北京亦莊實驗中學高一期末)如圖，已知正方體AB8-ABC2，點E

為棱CG的中點.

(1)證明：AG〃平面

(2)證明：AQA.BD.

(3)在圖中作出平面BE，截正方體所得的截面圖形(如需用到其它點，需用字母標記并

說明位置)，并說明理由.

【答案】⑴證明見解析

⑵證明見解析

⑶圖形見解析，證明見解析.

(1)

證明：連接AC,交BD于點O,連接OE,

因為ABC。是正方形，所以。為AC的中點，又E為棱CG的中點，

所以。E//&G，OEu平面BDE,AG<z平面應見，

所以AC1〃平面

第27頁共51頁

(2)

證明：在正方體ABCD-AiB[ClD[中，A4t_L平面ABCD,BDu平面ABCD,所以441±BD,

又ACAA4j=A,AC,懼u平面ACQA,

所以平面ACGA，

又AGu平面ACGA,

所以AC1，BO.

(3)

解：如圖取AA1的中點M,連接BAf、M/,則AffiEp為平面BER截正方體所得的截面，

證明：取。A的中點N,連接A?、AN,因為E為棱CC,的中點

所以且AB=CD,NEHCD旦NE=CD,

所以AB〃NE且AB=NE,

所以四邊形ABEN為平行四邊形，

所以AN//BE,

又AMHND｝且AM=NR,

所以四邊形ANRM為平行四邊形，

所以AN〃RM,

所以MR//BE,即8、E、2、M四點共面，即加出肛為平面BER截正方體所得的截面;

第28頁共51頁

題型歸類練

1.(2022?四川?綿陽中學高二開學考試(文))如圖，已知平面ABC,BBJ/AA,,

ABAC=90°,AB=AC=3,BB、=幣,E和尸分別為BC和的中點.

⑴求證：跖〃平面4瓦84；

⑵求證：平面平面BC與；

【答案】⑴證明見解析

⑵證明見解析

(1)

連接A/由于瓦尸分別是BC，4C的中點，所以所〃4氏跖=；43,

由于跖仁平面A與姑，ABU平面4瓦54,

所以防〃平面a片8A.

(2)

由于44]J_平面ABC,BBJ/AA^,所以3與_1,平面ABC,

由于A￡u平面ABC,所以881AAE,

由于AB=AC,E是BC的中點，所以AEL8C,

由于B與cBC=民B瓦,BCu平面BC耳，所以平面BCB一

由于AEu平面AEF,所以平面AER_L平面BCB一

第29頁共51頁

Bi

2.(2022?云南昭通?高一期末)如圖，在棱長為2的正方體ABCD-ABJGD中，E為。2中

點，。為AC與的交點.

⑴求三棱錐E-ADC的體積；

⑵證明：BD、平面AEC；

(3)證明：用。，平面AEC.

【答案】⑴弓

⑵證明見解析

⑶證明見解析

(1)

在正方體ABC。-AgGA中，ED_L平面ADC且0=1

1112

則％Q"/11c.ZV=—3出=w。?即=3-x—x2x2xl=—3

(2)

證明：連接EO,在中，點瓦。分別為。，的中點,

所以EO//BR

又：EOu平面AECBR①平面AEC

第30頁共51頁

，皿加平面血;

(3)

證明：連接用C,在正方體ABCZ)-A4GA中，

51c=2倉OC=&

在Rt.gS。中，BQ=^BB；+BO2="

222

B}O+OC=B}C

BQ1OC,

Rt片2E中，B1E=J(2?+F=3,

又OE=3BD1=6,B.O2+OE2=B.E2

BQ1OE

OC,OEu平面AEC且交于點O

,耳。，平面AEC.

3.(2022?遼寧?鞍山市第二十四中學高二開學考試)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，PD，平

面ABCD,底面ABCD是正方形，AC與M交于點。，￡為PB的中點.

(1)求證：EO,平面PZ9C；

(2)求證：平面PAC_L平面PBD.

【答案】⑴證明見解析

第31頁共51頁

(2)證明見解析

(2)

證明：四邊形ABCD為正方形，，AC1BD,

-：PD_L平面ABCD,且ACu平面ABCD,所以尸D_LAC,

又丫PD,BOu平面PBD,且PDcBD=D,；.AC_L平面PBD,

又「ACu平面PAC,.?.平面PAC_L平面尸￡>3.

4.(2022?山東荷澤?高一期末)如圖，在四棱錐尸-A5CD中，底面A8CD是梯形，AD//BC,

且AD=23C,PA±PD,AB=PB.

(1)若尸為尸4的中點，求證跖〃平面尸CD

⑵求證平面PCD.

【答案】⑴證明見解析

⑵證明見解析

⑴

取P。中點E,連接EGEC,如圖所示

因為E、尸分別為P。、尸4中點，

所以族//AD，且跖=：4￡)，

又因為AD〃3C,且AD=23C,

所以EF//BC且EF=BC,

所以四邊形EFBC為平行四邊形,

所以BP//EC,

第32頁共51頁

因為班平面PCD,ECu平面PCD,

所以所〃平面PCD

（2）

因為AB=PB,尸為PA中點，

所以加'_LAP,則EC_LAP,

因為B4_LPD,EC,PDu平面PC。，

所以平面PCD

題型四：幾何法求線面角

典型例題

例題1.（2022?全國?高一課時練習）如圖所示，在正方體ABCZ）-ABCR中，直線4方

與平面ABC。所成的角是（）

A.45°B.30°C.60°D.90°

【答案】A

【詳解】因為在正方體ABCD-A耳G2中，抽_L平面ABCD,

所以幺而為AtB與平面ABCD所成的角，

因為△4網(wǎng)為等腰直角三角形，

所以/4助=45°,

所以直線A8與平面ABCD所成的角為45。，

故選：A

例題2.（2022?吉林?東北師大附中高二階段練習）設二面角戊-8-月的大小為45。，A

點在平面a內(nèi)，8點在8上，且/ABC=45。，則A3與平面△所成角的大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【詳解】過A作AN_LCD于N,作AM_L尸于連接MN,BM,是AB與平面￡

所成角，

由C￡>u?得A"_LCD,又AMAN=A,AM,ANu平面AMN,

所以CD_L平面40N,而MNu平面AMN,所以CD_LMN,

第33頁共51頁

所以NAW是二面角a-CZ)-分的平面角，所以NA7VM=45。，

AML/3,MNu/3,則A〃_LMV,同理AA/_LW,

設AN=。，又ZABC=45。，則8N=a,MN=AM=^a,AB=^a，

sinZABM--=-,/AB”是銳角，所以/BM=30。.

AB2

故選：A.

例題3.(2022?上海?復旦附中高三階段練習)四棱錐P-ABCD中，PALnABCD,

四邊形ABC。為菱形，ZADC=60°,尸A=AD=2,E為的中點.

(1)求證：平面尸CE_L平面PAD；

(2)求PC與平面PAD所成的角的正切值；

【答案】⑴證明見解析

(2)半

(1)

,??四邊形為菱形，,DA=D