松原市2024年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

松原市重點(diǎn)中學(xué)2024年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知實(shí)數(shù)集R,集合A={x|l<%<3},集合8=1%|、=刀-],則AC(CRB)=()

I，尤-2J

A.{x\l<x<2}B.{x|l<x<3}C.{x\2<x<3}D.{x|l<x<2}

22

2.已知雙曲線[-4=1(。>0,6>0)的左焦點(diǎn)為P，直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與雙曲線的一條漸近線垂直，直線/與雙曲線

ab

的左支交于不同的兩點(diǎn)A,B,若A戶(hù)=2FB，則該雙曲線的離心率為().

AMV6273c

?-----aR?----c?------u?73

323

3.如圖，在AABC中，點(diǎn)N分別為C4,CB的中點(diǎn)，若AB=下,CB=1,且滿足3AG?MB=C4?+CB?，

則AG-AC等于()

/-28

A.2B.J5C.-D.-

33

4.已知a>0,f(x)=ax1-x+l(x>0),A={^If(x)<x],B-{x\/(/(x))<f(x)<x],若A=3則實(shí)數(shù)。的

取值范圍是()

A.(0,1]B.(0,1]C.[|,1]D.[1,+<?)

5.如圖所示的莖葉圖為高三某班50名學(xué)生的化學(xué)考試成績(jī)，算法框圖中輸入的%,利，的，，%o為莖葉圖中的

學(xué)生成績(jī)，則輸出的機(jī)，〃分別是()

43678

501233689

6001344667889

70122456667889S

800244569

90168

開(kāi)始

加=0j?=0,i=0

入…啰/1

/=/+1

m,n/

結(jié)束

A.加=38,n=12B.m=269n=12

C.加=12,n=12D.根=24,n=10

6.尸是正四面體A5C。的面ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，石為棱A。中點(diǎn)，記。尸與平面5c石成角為定值。，若點(diǎn)。的軌跡為

一段拋物線，貝！|tane=（）

A.72B.—C叵D.272

24

22

7.已知點(diǎn)A（2遍,3師）在雙曲線*-/=1僅＞0）上，則該雙曲線的離心率為（）

A.巫B.叵C.屈D.2A/10

32

8.在空間直角坐標(biāo)系。-孫z中，四面體。鉆C各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為:

<9(0,0,0),A(0,0,2),31gG,0,0),C10,g百,0

假設(shè)螞蟻窩在。點(diǎn)，一只螞蟻從。點(diǎn)出發(fā)，需要在A5,AC±

分別任意選擇一點(diǎn)留下信息，然后再返回。點(diǎn).那么完成這個(gè)工作所需要走的最短路徑長(zhǎng)度是（）

A.272B.711-721C.,5+值D.2也

9.已知過(guò)點(diǎn)P（U）且與曲線y=%3相切的直線的條數(shù)有（）.

A.0B.1C.2D.3

10.已知AB是過(guò)拋物線丁=4x焦點(diǎn)E的弦，。是原點(diǎn)，則。4.08=（）

A.-2B.-4C.3D.-3

11.數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合，也可以組成世間萬(wàn)物的絢麗畫(huà)面.一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對(duì)稱(chēng)美、和諧美的結(jié)合產(chǎn)物,

曲線C:（必+/）3=16x2/恰好是四葉玫瑰線.

給出下列結(jié)論：①曲線C經(jīng)過(guò)5個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離都

不超過(guò)2；③曲線C圍成區(qū)域的面積大于4萬(wàn)；④方程（/+丁2）3=16/};2（刈<0）表示的曲線。在第二象限和第四

象限其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①③B.②④C.①②③D.②③④

12.設(shè)0WxW2;r,且-sin2x=sinx-cosx，貝!I（）

c77兀，兀，，3冗

A.OWXWTTB.—WxW—C.—<x<—D.—<x<—

—444422

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在正方體ABCD-agaA中，E,尸分別為棱相，24的中點(diǎn)，則直線EE與直線所成角的正切值為

14.（5分）某膳食營(yíng)養(yǎng)科研機(jī)構(gòu)為研究牛蛙體內(nèi)的維生素E和鋅、硒等微量元素（這些元素可以延緩衰老，還能起到

抗癌的效果）對(duì)人體的作用，現(xiàn)從4只雌蛙和2只雄蛙中任選2只牛蛙進(jìn)行抽樣試驗(yàn)，則選出的2只牛蛙中至少有1只

雄蛙的概率是.

已知函數(shù)/（x）=sin|ox+（卜oeN）在［0,句上僅有2個(gè)零點(diǎn)，設(shè)g（x）=

15.

區(qū)間[0,句上的取值范圍為

16.已知函數(shù)/（%）=百5皿2%+0）-85（2尤+0）（0<0<兀）是定義在人上的奇函數(shù)，則/的值為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）ABC中的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是。，b,c,若園=4c，B=2C.

（1）求cosB；

（2）若c=5,點(diǎn)。為邊8C上一點(diǎn)，且5。=6,求ADC的面積.

.cfr=J2cos?

18.（12分）在平面直角坐標(biāo)系x0y中，已知點(diǎn)P0,6,曲線C：\為參數(shù)）以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x

\'[y=2sina

軸正半軸建立極坐標(biāo)系，直線I的極坐標(biāo)方程為夕cos-彳）=*.

（I）判斷點(diǎn)尸與直線/的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；

11

（H）設(shè)直線與曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,求歷+兩的值.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=|x-4|+|x+2|(左eH),g(x)=|2x+m|(meZ).

（1）若關(guān)于x的不等式g（x）,,l的整數(shù)解有且僅有一個(gè)值y,當(dāng)左=1時(shí)，求不等式/（%）,,加的解集；

（2）已知丸0）=必一2》+3,若V%eR,玉：2e（0,+oo）,使得/（西）..領(lǐng)馬）成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

20.（12分）如圖，ABC為等腰直角三角形，AB=AC=3,。為AC上一點(diǎn)，將沿80折起，得到三棱

錐A-BCD,且使得人在底面BCD的投影E在線段3c上，連接AE.

21.(12分)已知xGR,設(shè)相=(2cosx,sin%+cosx),〃=(抬'sinx,sinx-cosx),記函數(shù)/(x)=g〃.

(1)求函數(shù)/(九)取最小值時(shí)X的取值范圍；

(2)設(shè)AABC的角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若/(C)=2,c=Q，求△A3C的面積S的最大值.

22.(10分)已知函數(shù)=ln(x+a)(a〉0).

(1)證明：函數(shù)/(X)在(0,+8)上存在唯一的零點(diǎn)；

(2)若函數(shù)Ax)在區(qū)間(0,+8)上的最小值為1,求。的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

7^2>0可得集合瓦求出補(bǔ)集CRB，再求出AC(CRB)即可.

【詳解】

由Jx-2>0,得x>2,即B=(2,+oo),

所以CM=(—8,2],

所以AC(CRB)=(1,2].

故選:A

【點(diǎn)睛】

本題考查了集合的補(bǔ)集和交集的混合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2、A

【解析】

b

直線/的方程為》=一y-c,令a=1和雙曲線方程聯(lián)立，再由AF=2EB得到兩交點(diǎn)坐標(biāo)縱坐標(biāo)關(guān)系進(jìn)行求解即可.

a

【詳解】

b

由題意可知直線I的方程為x=-y-c,不妨設(shè)a=l.

2

^x-by-c,且廿=c-1

2

'^x=by-c代入雙曲線方程好一卓=i中，得到僅4T,2—2叫+/=o

設(shè)46,%),3(孫％)

4

貝！1%+為=2言b3c，*%=b占

0—1b—k

^2b3c

一%==

由A尸=2EB，可得%=-2%，故1

-2￡=，

〔2b4-l

,1

貝!18必。2=1—解得

則c=y/b2+1=

3

所以雙曲線離心率e=￡=叵

a3

故選：A

【點(diǎn)睛】

此題考查雙曲線和直線相交問(wèn)題，聯(lián)立直線和雙曲線方程得到兩交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系和已知條件即可求解，屬于一般性題目.

3、D

【解析】

選取瓦，前為基底，其他向量都用基底表示后進(jìn)行運(yùn)算.

【詳解】

由題意G是AABC的重心，

2一——一一1一一一1一一一

3AGMB=3x-AN(-BM)=-2(BN-BA)~(BC+BA)=(BA--BC)(BC+BA)

-----21-2111-

=BA——BC+-BABC=5——+-BABC

2222

.2.2-----------------2------------------2--------------

CA+CB=(BA-BC)2+1=BA-2BABC+BC+1==5-2BABC+1+1，

91-----------------------------------------------

：?—I—BA.,BC=7—2JBA,BC,BA,BC=1，

22

2----------------21———————21—23.-22138

:.AGAC=-ANAC=-(-BC-BA)\BC-BA)=-(-BC——BCBA+BA)=—(-------+5)=:

3323223223

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的數(shù)量積，解題關(guān)鍵是選取兩個(gè)不共線向量作為基底，其他向量都用基底表示參與運(yùn)算，這樣做目標(biāo)明

確，易于操作.

4、C

【解析】

根據(jù)Aw。，得到/(x)=ax2—x+l<x有解，則A=4—4?！?,得0<aWl,占=%，得

aa

到A={x"(x)Vx}=值,%]=[IziEZ,1+E],再根據(jù)B={%|/(/(x))<f(x)<幻，有/(/(%))</(x),

aa

即a(t?2—x+l)2—2(加一%+1)+1?0,可化為(加一2%+1乂4尤2+“-1)<0,根據(jù)A=則

a2x2+a-l>0的解集包含［匕YE2,1±YE2］求解,

aa

【詳解】

因?yàn)锳w。，

所以/(%)=-%+1<%有解,

即f(x)=a/-2%+1<。有解,

1—J1—Cl1+\1—CL

所以A=4—4〃20,得七，%2=

aa

所以A={x"(x)<x}=［和％］=［匕邁三，比丘2］，

aa

又因?yàn)?={x"(/(%))<f(x)<x],

所以“/(%))V"x),

即1(tLV?—%+1)——%+1)+1V0,

可化為(依2—2%+1乂/%2+〃一1)?。，

因?yàn)锳=Bw。，

所以?xún)?chǔ)/+a_i2o的解集包含[匕YE?,1±^EZ],

aa

1+J1-a—a_p,1—Jl—ay/l-ci

3

解得一＜。＜1,

4

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查一元二次不等式的解法及集合的關(guān)系的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題，

5、B

【解析】

試題分析：由程序框圖可知，框圖統(tǒng)計(jì)的是成績(jī)不小于80和成績(jī)不小于60且小于80的人數(shù)，由莖葉圖可知，成績(jī)不

小于80的有12個(gè)，成績(jī)不小于60且小于80的有26個(gè)，故m=26,"=12.

考點(diǎn)：程序框圖、莖葉圖.

6、B

【解析】

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2,建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出面的法向量，設(shè)尸的坐標(biāo)，求出向量。尸，

求出線面所成角的正弦值，再由角。的范圍0,-,結(jié)合。為定值，得出sin。為定值，且尸的軌跡為一段拋物線，

所以求出坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而求出正切值.

【詳解】

由題意設(shè)四面體ABC。的棱長(zhǎng)為2,設(shè)。為的中點(diǎn)，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。1為x軸，以03為y軸，過(guò)。垂直于面ABC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

O-xyz,

則可得OB=OC=1,OA=@X2=6取。4的三等分點(diǎn)G、尸如圖,

則0G,O4=3，AG=OF=2OA=￡1,DG=[AD?_心=，EF，DG=西,

3333323

所以6(o,i,o)、c(o,-i,o),A,0,0)、o[",o,平]、E[￥，O,平],

I33)\33)

由題意設(shè)尸(x,y,0),DP=,

ABD和一ACD都是等邊三角形，E為AD的中點(diǎn)，.?.5EJ_A。，CELAD,

(2百2巫、

.BE[CE=E,平面BCE,，AD=--,0,亍為平面BCE的一個(gè)法向量，

7T

因?yàn)镺P與平面BCE所成角為定值。，則0,-

由題意可得

sin0=lcos<AD,DP>1=J："

11\AD\-\DP\

卜+閩_(x+6)_Ix2+2y/3x+3

—1『+3/+8-：3八3/—2后+9一位+3/—2后+9

因?yàn)镻的軌跡為一段拋物線且tan。為定值，則sin夕也為定值,

..._工廠=,可得3y2=86%,此時(shí)sin。=且，貝！Icos6=逅，tan0==—.

3y2—2a3x2933cos。2

故選:B.

【點(diǎn)睛】

考查線面所成的角的求法，及正切值為定值時(shí)的情況，屬于中等題.

7、C

【解析】

將點(diǎn)A坐標(biāo)代入雙曲線方程即可求出雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)，進(jìn)而求得離心率.

【詳解】

22

將x=2j?,y=3jIU代入方程?hào)|一方=1僅＞0）得6=3M，而雙曲線的半實(shí)軸。=屈，所以c=J=10,

得離心率e=f=屈，故選C.

a

【點(diǎn)睛】

此題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率的概念，屬于基礎(chǔ)題.

8、C

【解析】

將四面體。RC沿著。4劈開(kāi)，展開(kāi)后最短路徑就是的邊OO',在中，利用余弦定理即可求解.

【詳解】

將四面體Q鉆C沿著。4劈開(kāi)，展開(kāi)后如下圖所示：

A

最短路徑就是AAOO'的邊OO'.

易求得Z.OAB=AO'AC=30°，

由AO=2,08=2百知AB=±￡

33

AC=-V3,BC=^OB2+OC2：=—A/6

33

AB2+AC2BC2

^CQSZBAC=-

2ABAC

1616_8

=

2XAXA4

V3V3

由余弦定理知OO'2=AO2+AO'2--2AO-AO'cosZOAO'

其中AO=AO'=2,cosZOAO'==cos(60°+ZBAC)=3-廣

?*-OO,~=5+V21,n0。=+、歷

故選:c

【點(diǎn)睛】

本題考查了余弦定理解三角形，需熟記定理的內(nèi)容，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.

9、C

【解析】

設(shè)切點(diǎn)為(xo，y0),則yo=x03,由于直線1經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1),可得切線的斜率，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)X。處

的切線斜率，建立關(guān)于x0的方程，從而可求方程.

【詳解】

V—1x?—1

若直線與曲線切于點(diǎn)(x0,y0)(x0w0),則k==-^―=X；+X。+1,

X?！?X。—1

又；y'=3x2,y[x=Xo=3Xo2,二？*。？—*?！?：。，解得Xo=l,x0=-^-,

過(guò)點(diǎn)P。』)與曲線C:y=x3相切的直線方程為3x—y—2=0或3x—4y+l=0,

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，求解曲線的切線的方程，其中解答中熟記利用導(dǎo)數(shù)的幾何

意義求解切線的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

10、D

【解析】

/2A/2A

設(shè)A,B\^-,y2,設(shè)gx^my+1,聯(lián)立方程得到%%=-4,計(jì)算

I4)I4

22

OAOB=聚-+%%得到答案.

【詳解】

(2(22

、、2

設(shè)A+''I與,故。403='].

14JI4J16

x=my+1

易知直線斜率不為0,設(shè)AB：x=my+l,聯(lián)立方程21,

[/=4%

22

2

得到,2—4加y—4=0,故%為二—4,OA-OB=77^+yiy2=-3.

16

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線中的向量的數(shù)量積，設(shè)直線為％=根〉+1可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.

11、B

【解析】

利用基本不等式得f+V＜4,可判斷②；x2+y2=4和(x2+y2)3=16x2y2聯(lián)立解得x2=y2=2可判斷①③；由

圖可判斷④.

【詳解】

C2.2、2

22322x+y

x+y|=16xy<16

、2，

解得好+產(chǎn)＜4(當(dāng)且僅當(dāng)/=丁=2時(shí)取等號(hào))，則②正確；

將必+V=4和(X?+y2了=16x2y2聯(lián)立，解得x2=y~=2,

即圓1+y=4與曲線C相切于點(diǎn)(0,0)，(-72,72),(-應(yīng)「吟，I形「吟,

則①和③都錯(cuò)誤；由孫＜0,得④正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查曲線與方程的應(yīng)用，根據(jù)方程，判斷曲線的性質(zhì)及結(jié)論，考查學(xué)生邏輯推理能力，是一道有一定難度的題.

12、C

【解析】

將等式變形后，利用二次根式的性質(zhì)判斷出sin乂.cos無(wú)，即可求出x的范圍.

【詳解】

…Vl-sinlx=Vsin2x+cos2x-2sinxcosx

=/sinx-cosx)2

=|sinx-cosxl

=sinx-cosx

/.sinx-cosx.0,即sinx.cosx

v?21

.-.-M—

44

故選:C

【點(diǎn)睛】

此題考查解三角函數(shù)方程，恒等變化后根據(jù)sinx,cosx的關(guān)系即可求解，屬于簡(jiǎn)單題目.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、73

【解析】

由中位線定理和正方體性質(zhì)得EF//3G，從而作出異面直線所成的角，在三角形中計(jì)算可得.

【詳解】

如圖，連接A。，BG，AC，???￡,尸分別為棱4VAA的中點(diǎn)，二石/〃AA，

又正方體中AB//GD],A3=G2,即A6G2是平行四邊形，???AD1//5G，.?.所//BG，ZA.BC,(或其補(bǔ)角)

就是直線跖與直線48所成角，AAjBG是等邊三角形，.?.4415￡=60。，其正切值為若.

故答案為：6

【點(diǎn)睛】

本題考查異面直線所成的角，解題關(guān)鍵是根據(jù)定義作出異面直線所成的角.

3

14、-

5

【解析】

記4只雌蛙分別為仇Gd，2只雄蛙分別為A,3,從中任選2只牛蛙進(jìn)行抽樣試驗(yàn)，其基本事件為

(a,b),(a,c),(a,d),(a,A),(a,B),(b,c),(b,d),(b,A),(b,B),(c,d),(c,A),(c,B),(d,A),(d,B),(A,B),共15個(gè),選出

的2只牛蛙中至少有1只雄蛙包含的基本事件為(。，A)，33)，(仇A)，SI)，(GA),(c,3),(d,A),(4為，(A3),共9個(gè)，故選

93

出的2只牛蛙中至少有1只雄蛙的概率是P=A=￡.

15、—,?s?2+1

4

【解析】

先根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解出。的值，然后得到g(x)的解析式，采用換元法求解g(x)在［0,句上的值域即可.

【詳解】

因?yàn)?(x)=sin［ox+?)(0eN)在［0,句上有兩個(gè)零點(diǎn)，

on+—>2TT

71714711

所以0x+7e所以，所以一＜啰＜一且

4444

①兀+—<3TT

4

所以0=2,所以/(x)=sin[2x+?),

71

所以g(x)==A/2sinx+—+sin2x=sinx+cosx+sin2x,

4

令sinx+cosx=A/^sin[x+i]=/,所以sin2x=/_],所以g(%)=/+/_]=[+(]

因?yàn)閄￡[0,?],所以+,所以J^sin[x+i]￡[―1,0],所以[w[-l,行],

所以ga)max=[0+j-|=V2+1,g(x)1nm=(—g+j-|=-|?

所以g(x)e—；,&+l.

故答案為：-"6'+1.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合，其中涉及到換元法求解三角函數(shù)值域的問(wèn)題，難度較難.對(duì)形如

y=sinx+cosx+asinxcosx的函數(shù)的值域求解，關(guān)鍵是采用換元法令sinx+cosx=/,然后根據(jù)

(sinx+cosx)2=l+2sinxcosx,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于f的函數(shù)的值域，同時(shí)要注意新元/的范圍.

16、-72

【解析】

先利用輔助角公式將/(x)=百sin(2x+o)-cos(2x+cp)轉(zhuǎn)化成/(x)=2sin[2x+°?J,根據(jù)函數(shù)是定義在R

上的奇函數(shù)得出9=S，從而得出函數(shù)解析式，最后求出/[-fj即可.

【詳解】

解:/(x)=esin(2x+c)-cos(2x+o)=2sin12x+Q-高，

又因?yàn)?(X)定義在R上的奇函數(shù)，

則/⑼=2sin12x0+9-￡|=0,

則0一2=左乃，又因?yàn)?04。＜〃)，

所以9=B，/(x)=2sin(2x),

6

所以/[_鼻]=2sin^-^x2^=-A/2.

故答案為：-行

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn),三角函數(shù)的奇偶性和三角函數(shù)求值，考查了基本知識(shí)的應(yīng)用能力和計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

3

17、(1)-(2)10

5

【解析】

(1)由二倍角的正弦公式以及正弦定理，可得cosC=2叵，再根據(jù)二倍角的余弦公式計(jì)算cos6即可；

5

(2)由已知可得人=4君，利用余弦定理解出。，由已知計(jì)算出CD與sinC,再根據(jù)三角形的面積公式求出結(jié)果即

可.

【詳解】

(1)B=2C,

?**sinB=sin2C=2sinCeosC,

sinBh

在ABC中，由正弦定理得，——

sinCc

又折=4c,

._sinBb2y[5

-cosC=--------=—=-------，

2sinC2c5

3

cosB=cos2C=2cos9C-l=—,

5

(2)c—59y/5b=4cf

?*-b=4A/5，

由余弦定理得，b1=片+/-2〃ccos_B,

3

貝！180="+25—2"5X《，

化簡(jiǎn)得，〃2一6。-55=0,

解得〃=11或。=一5(負(fù)值舍去)，

BD=6,，CD=5,

cosC=9?！?。，》),

，sinC=A/1-COS2C=，

5

ADC的面積S=」DC-AC-sinC=！x5x4君x且=10.

225

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形面積公式以及正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查了二倍角公式的應(yīng)用，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)

題.

18、(I)點(diǎn)P在直線/上；見(jiàn)解析(II)向+/同=

【解析】

(I)直線/：22cos]，—￡[=/,即?cos6+Qsine=0,所以直線/的直角坐標(biāo)方程為氐+y=班，

因?yàn)榘賦0+G=6,所以點(diǎn)尸在直線/上；

(II)根據(jù)直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可得.

【詳解】

(I)直線/：2/?cos[，一％■]=,即G/7cos6+夕sin6=0，

所以直線l的直角坐標(biāo)方程為4ix+y=6,

因?yàn)榘賦0+百=百，

所以點(diǎn)P在直線/上；

1

X——t

(ii)直線/的參數(shù)方程為2廠a為參數(shù))，

y=小回

、2

22

曲線C的普通方程為三+匕=1,

24

將直線I的參數(shù)方程代入曲線。的普通方程得5?+12,-4=0,

124

設(shè)兩根為4，12，所以。+/2=~?。，4=一不＜0，

故。與，2異號(hào)，

所以伊留+|尸創(chuàng)+幻2_4%=4y,

|出|忖用=葉歸|=-%=1，

所以1+1-lPAl+lPBl-JIZ

所以網(wǎng)+國(guó)一畫(huà)畫(huà)f4.

【點(diǎn)睛】

本題考查在極坐標(biāo)參數(shù)方程中方程互化，還考查了直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.

-971

19、(1)⑵(9I][0,+oo)

_22_

【解析】

(1)求解不等式g(x),,l,結(jié)合整數(shù)解有且僅有一個(gè)值T,可得加=8,分類(lèi)討論，求解不等式，即得解;

(2)轉(zhuǎn)化切e(0,+8),使得/(再)./(々)成立為八%)皿-使々)「，利用不等式性質(zhì)

f(x)=\x-k\+\x+2\..^x-k)-(x+2)\=\k+2\,求解二次函數(shù)最小值，代入解不等式即可.

【詳解】

—JTI—1I—TH+1

(1)不等式即|2%+加|,,1,所以-----瓢-----

22

,_一根一］雙1—TTI+1

由一5<---------微>4----------<一3,

22

解得7v/nv9.

因?yàn)榧印闦,所以根=8,

當(dāng)左=1時(shí),

-2x-l,A;,-2,

/（X）=|x-l|+|x+2|=<3,—2<x<1,

2x+l,x..l,

?2,—2<%<1,x.l,

不等式/(球,8等價(jià)于〈或<

-2x-l<83?82x+L,8.

97

即一一強(qiáng)山一2或一2<x<l或啜*

22

Q7

故---瓢一,

22

「97]

故不等式/(只,8的解集為-5，Q.

(2)因?yàn)?(x)=|九一左|+|x+2|...|(x-?左)一(%+2)|=|左+2|,

由%(x)=x?-2x+3=(x-1,+2,xe(0,+oo),

可得無(wú)(了焉=丸(1)=2,

又由VxieR,BX2e(0,+oo),使得/(%；)..h(x2)成立，

則|去+2|..2,解得匕，—4或■.().

故實(shí)數(shù)左的取值范圍為(f,T][0,+<?).

【點(diǎn)睛】

本題考查了絕對(duì)值不等式的求解和恒成立問(wèn)題，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，分類(lèi)討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

20、(1)見(jiàn)解析；(2)叵

2

【解析】

(1)由折疊過(guò)程知AE與平面5C。垂直，得AELBD,再取A4]中點(diǎn)"，可證AA】與平面兒哂垂直，得

A^IBD,從而可得線面垂直，再得線線垂直；

(2)由已知得。為AC中點(diǎn)，以E為原點(diǎn)，E3,E4所在直線為羽z軸，在平面5C。內(nèi)過(guò)E作的垂線為V軸建

立空間直角坐標(biāo)系，由已知求出線段長(zhǎng)，得出各點(diǎn)坐標(biāo)，用平面的法向量計(jì)算二面角的余弦.

【詳解】

(1)易知AE與平面5C。垂直，...AELB。，

連接AA1,取AA|中點(diǎn)連接

由。4=%,癡=網(wǎng)得的朋_LMB,MBMD=M,

M，平面AffiD,應(yīng))u平面AffiD,，叫，^。，

又A414石=4，平面44乃，B￡)J_AE；

(2)由tanNAB￡)=」,知。是AC中點(diǎn)，

2

令BE=^BC，則AE=43+3石=(1—/1)A3+/IAC，

由=AD—AB=gAC-AB,BD_LAE，

：.((1-2)AB+2AC)-(-AC-AB)=0,解得2=],故3E=2&,CE=&.

以E為原點(diǎn)，E3,E4所在直線為羽z軸，在平面BCD內(nèi)過(guò)E作的垂線為丁軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

m-B\=-2A/2X+z=0

則9723^2?取x=l，則根=(1,3,20).

m-BD=-------xH-------y=0

44

又易知平面\BC的一個(gè)法向量為n=(0,1,0),

m-n3y/2

cos<m,n'>—~i—n~~r=----產(chǎn)=

MM1-3V22,

二面角C-BA.-D的余弦值為叵.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查證明線線垂直，考查用空間向量法求二面角.證線線垂直，一般先證線面垂直，而證線面垂直又要證線線垂

直，注意線線垂直、線面垂直及面面垂直的轉(zhuǎn)化.求空間角，常用方法就是建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求空

間角.

21>(1)=左萬(wàn)一W，左ez1；(2)

【解析】

⑴先根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及二倍角公式和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得到/(x)=241112%-個(gè)；再根據(jù)正弦函

數(shù)的性質(zhì)即可求出答案；(2)先求出C的大小，再根據(jù)余弦定理和基本不等式，即可求出根據(jù)三角形的面積

公式即可求出答案.

【詳解】

(1)/(x)=m-n=2^/3sinxcosx+sin2x-cos2x=A/3sin2x-cos2x=2sin[2x—.

^2x——=2kn——kRZ,即x=ATT—工(kcZ)時(shí)，sin|2x——|=-1,/(x)取最小值，

6296