2024年高考數(shù)學(xué)押題預(yù)測模擬卷2（新高考九省聯(lián)考題型）含答案

決勝2024年高考數(shù)學(xué)押題預(yù)測卷02

數(shù)學(xué)

（新高考九省聯(lián)考題型）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己

的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.若（1一2i）（z—3—2i）=2+i,則z=（）

A3—3zB.3+3iC.—3+3iD.—3—3i

2.已知向量G=（2,0）,B=（—1,百），則萬與m-B）夾角的余弦值為（）

V311V3

A.--B.——C.—D.—

2222

171

3.“直線xsin6+—y-1=0與x+ycos，+l=0平行”是“，=—”的（）

2-4

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

23456

4.若（x-1），=%++tz7x+a3x+a4x+a5x+a6x，則％+&+4=（）

A.64B.33C.32D.31

5.公元656年，唐代李淳風(fēng)注《九章》時提到祖瞄的“開立圓術(shù)”.祖昭在求球的體積時，使用一個

原理：“事勢既同，則積不容異”幕”是截面積，“勢”是立體的高，意思是兩個同高的立體，如

在等高處的截面積相等，則體積相等.更詳細(xì)點說就是，介于兩個平行平面之間的兩個立體，被任一平

行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個立體的體積相等.上述原理在中國被

稱為“祖眶原理”.3D打印技術(shù)發(fā)展至今，已經(jīng)能夠滿足少量個性化的打印需求，現(xiàn)在用3D打印技

術(shù)打印了一個“睡美人城堡”.如圖，其在高度為〃的水平截面的面積S可以近似用函數(shù)

S（/z）=7r（9-獷，丘［0,9］擬合，則該“睡美人城堡”的體積約為（）

6.在AA8C中，內(nèi)角4民。的對邊分別為a、6、c,(?+c)(sio4-sinC)=b(sin4-sing),且

c=#>，則a的取值范圍為()

2

A-S,?)B-[T'2]。因臼D.卜1,網(wǎng)

7.已知正實數(shù)。，"c滿足到1=2°—a,21=3°—6,竺〃=4'—c,則仇。的大小關(guān)系

abc

為()

A.c<b<aB.a<b<c

C.a<c<bD.b<a<c

_jr

8.已知耳，片是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且/片若橢圓的離心

率為，，雙曲線的離心率為02,則占+言的最小值是()

42+石R1+V3r273n46

3333

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的是()

A.數(shù)據(jù)6,2,3,4,5,7,8,9,1,10的第70百分位數(shù)是8.5

B.若隨機變量X?NQ,"),P(x〉l)=0.68,則P(2Wx<3)=0.18

C.設(shè)43為兩個隨機事件，尸(/)>0,若尸(8/)=尸(3),則事件4與事件3相互獨立

D.根據(jù)分類變量X與￥的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到％2=4.712,依據(jù)1=0.05的卡方獨立性檢驗

(x0.05=3.841),可判斷X與丫有關(guān)且該判斷犯錯誤的概率不超過0.05

10.若函數(shù)/(x)=Zsin?x?log?sinx+2cos2log2cosx,則()

A./(x)的最小正周期為萬

B.”x)的圖象關(guān)于直線》=一對稱

4

C.“X)的最小值為-1

D.“X)的單調(diào)遞減區(qū)間為12左肛^+2左，|，kwZ

11.設(shè)函數(shù)AM的定義域為R,7(x)為奇函數(shù)，/(l+x)=/(l—x),/(3)=1,則()

A/(-1)=1B./(x)=/(4+x)

18

c./(x)=/(4-x)D.X/(幻=T

左=1

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

A=[x\-2<x<4]5=|X|2XJQD_

12.已知集合LJ,l刀，則小核一______________.

i,i

13.已知/為圓a/+（y—i7y=）上的動點，6為圓屋（x—3）~+r=4上的動點，p為直線

y=；x上的動點，則|「同一的最大值為.

14.已知數(shù)列｛%｝的通項公式為%=--—,Sn-axa2+a2a3H-Fanan+i,若對任意〃eN*,不等式

77+3

44（〃+3）S“<〃+2恒成立，則實數(shù)4的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.甲、乙、丙三人進行投籃比賽，共比賽10場，規(guī)定每場比賽分?jǐn)?shù)最高者獲勝，三人得分（單位：

分）情況統(tǒng)計如下：

場次12345678910

甲8101071288101013

乙9138121411791210

丙121191111998911

（1）從上述10場比賽中隨機選擇一場，求甲獲勝的概率；

（2）在上述10場比賽中，從甲得分不低于10分的場次中隨機選擇兩場，設(shè)X表示乙得分大于丙得分

的場數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；

（3）假設(shè)每場比賽獲勝者唯一，且各場相互獨立，用上述10場比賽中每人獲勝的頻率估計其獲勝的概

率.甲、乙、丙三人接下來又將進行6場投籃比賽，設(shè)乂為甲獲勝的場數(shù)，b為乙獲勝的場數(shù)，乂為丙

獲勝的場數(shù)，寫出方差。（乂），。億），。（天）的大小關(guān)系.

16.如圖，在多面體48c尸中，底面48。為平行四邊形，AB=2,AD=272,ZABD=90°,

矩形斯所在平面與底面垂直，”為CE的中點.

(1)求證：平面BDMH平面AEF；

(2)若平面與平面BCF夾角的余弦值為巫，求C￡與平面所成角的正弦值.

5

17.已知函數(shù)/(x)=x-alnx-l(aeR).

(1)若曲線＞=〃x)在點(L0)處的切線為x軸，求。的值;

(2)討論/(x)在區(qū)間(1,+s)內(nèi)極值點的個數(shù)；

18.已知拋物線：，=2x,直線/:y=x-4,且點瓦。在拋物線上.

(1)若點4c在直線/上，且4瓦C,。四點構(gòu)成菱形N8CD,求直線的方程；

(2)若點A為拋物線和直線/的交點(位于x軸下方)，點C在直線/上，且45,C,。四點構(gòu)成矩

形ABCD,求直線的斜率.

19.若無窮數(shù)列｛例｝的各項均為整數(shù).且對于都存在后〉）,使得

ak=-%-%,則稱數(shù)列｛?！埃凉M足性質(zhì)A

（1）判斷下列數(shù)列是否滿足性質(zhì)R并說明理由.

①%=〃，n=1,2,3,…；

②b〃=〃+2,〃=1,2,3,….

（2）若數(shù)列｛%｝滿足性質(zhì)R且％=1,求證：集合｛〃eN*|%=3｝為無限集；

（3）若周期數(shù)列｛%｝滿足性質(zhì)P,請寫出數(shù)列｛%｝的通項公式（不需要證明）.

決勝2024年高考數(shù)學(xué)押題預(yù)測卷02

數(shù)學(xué)

（新高考九省聯(lián)考題型）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己

的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.若（1—2i）（z—3—2i）=2+i,則z=（）

A3—3zB.3+3iC.—3+3iD.—3—3i

【答案】B

。、2+i（2+i）（l+2i）5i.

【解析】由題意得Z-S-,<=工=1,所以z=3+3i.

1-21（1-21）（1+21）5

故選：B.

2.已知向量G=（2,0）,B=（—1,百），則不與m-B）夾角的余弦值為（）

A.--B.--C.；D.

2222

【答案】D

【解析】因為萬一3=（3,—百），貝ij|a|=26,

-\a-b\a6R

所以~zny—=—『—.

5-Z?|5|2^3x22

故選：D.

]兀

3.“直線xsin，+—y—1=0與x+ycos，+l=0平行"是"。=—”的（）

24

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】若直線工5由夕+；y一1=0與l+〃）。5。+1=0平行，

￡

易得：sin9w0,cosew0,故：sin8_2-1，

1cos。1

Ill71jr

則sinecos。=5,5sin26=5，sin26=l,2e=,+2hi（左GZ）,6=+而（左GZ）

jr

得不到e=—,故不是充分條件；

4

兀11

反之，當(dāng)。=—時sin，_2T成立，故直線xsin，+—y—l=O與x+ycos，+l=0平行，是

4-----------w—2

1cos。1

必要條件；

1兀

故“直線xsin6+—>—1=0與x+ycos，+l=0平行”是“。=一”的必要不充分條件，

24

故選：B.

623456

4.（x-1）=a0+axx+a2x+a3x+a4x+a5x+a6x,則出+%+6二（）

A.64B.33C.32D.31

【答案】D

23456

【解析】因為（x-l）6=aQ+a［X+a2x+a3x+a4x+a5x+a6x,

所以令x=0可得%=1①，

令X-1可得/+%+%+?++。5+46=0②，

令X=—］可得％-1+<2,—%+%—%+&=?6③,

②+③可得%+出+%+。6=25①，

將①代入④可得。2+%+。6=2,-1=31.

故選：D

5.公元656年，唐代李淳風(fēng)注《九章》時提到祖地的“開立圓術(shù)”.祖昭在求球的體積時，使用一個

原理：“幕勢既同，則積不容異”幕”是截面積，“勢”是立體的高，意思是兩個同高的立體，如

在等高處的截面積相等，則體積相等.更詳細(xì)點說就是，介于兩個平行平面之間的兩個立體，被任一平

行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個立體的體積相等.上述原理在中國被

稱為“祖眶原理3D打印技術(shù)發(fā)展至今，已經(jīng)能夠滿足少量個性化的打印需求，現(xiàn)在用3D打印技

術(shù)打印了一個“睡美人城堡”.如圖，其在高度為力的水平截面的面積S可以近似用函數(shù)

S（/7）=兀（9—4，丘［0,9］擬合，則該“睡美人城堡”的體積約為（）

A.27兀B.81兀C.108幾D.243兀

【答案】D

【解析】如下圖所示：

p

圓錐PO的高和底面半徑為9,平行于圓錐P0底面的截面角圓錐P0的母線PB于點、C,

設(shè)截面圓圓心為點。'，且0。'="，則P0'=P0—00'=9—/z,

PO'O'C9-hO'C

易知△尸O'Cs△尸08,則一=一,即——=一,可得0c=9—〃，

POOB99

所以，截面圓圓。'的半徑為9-力，圓。'的面積為兀(9-4，

又因為5(%)=兀(9-獷，

根據(jù)祖眶原理知，該“睡美人城堡”的體積與一個底面圓半徑為9,

高為9的圓錐的體積近似相等，

1

所以該“睡美人城堡”的體積約為—*兀*972*9=243兀，

3

故選：D.

6.在中，內(nèi)角4名。的對邊分別為久Ac，若(Q+cXsiiL4—sinC)=Zj(siii4—sin5),且

c=出,則。一己的取值范圍為()

C.一￥，君D.(-1,73)

,2

7

【答案】C

【解析】因為(Q+c)(sirL4-sinC)=b(siiL4—sin5),

所以(a+c)(a-c)=b(a—6),整理得力+/一。？=帥，

a2+/-c2

所以cosC=

2ab2

又CE(0,兀)，所以C=§,/+B,

又c=5所以一J=2及，解得&=1,

sine

所以Q_g=2H〔siiL4—等1=2siib4-sinf年-A」但與。s/

22

百sm-

i兀/兀兀

貝U—<A—<一,

662

所以-也

<a——<V3

22

即2的取值范圍為一坐

212

故選：C.

7.已知正實數(shù)仇c滿足2。+1=2。―「,3b+l=H'—a4。+1=半,則a,b,c的大小關(guān)系

abc

為（）

A.c<b<aB.a<b<c

C.a<c<bD.b<a<c

【答案】A

【解析】由題意‘里=2"-an2"-2=a+Lr=3~n3"-3=b+?，3=4°-cn4'-4=c+L

aabbcc

所以令/（x）=x+L（x>0）,gi（x）=2X—2,g2（x）=3-3,g3（x）=4，—4,

X

所以問題等價于比較/（x）的圖象分別與g］（X）,g2（X）,g3（x）的圖象三個交點橫坐標(biāo)的大小關(guān)系，

而81（切遭2（3）送3（彳）均過點（1,0）,

則由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，/（X）的圖象分別與&（X）,g2（X）,g3（X）的圖象三個交點橫坐標(biāo)如圖所示:

TT

8.已知片，鳥是橢圓和雙曲線的公共焦點，?是它們的一個公共點，且/片尸乙二§,若橢圓的離心

率為,，雙曲線的離心率為6,則2；］+一2的最小值是（）

2+V3R1+V3「273謔

333亍

【答案】A

【解析】如圖，設(shè)橢圓的長半軸長為％,雙曲線的實半軸長為電，

則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得：|期|+1尸工|=2%,|尸耳||尸工|=2出,

:.\PF\=a{+a2\PF^=a,-a2,設(shè)閨國=2c,/單岑=(,

則在△尸與鳥中，由余弦定理得，4,=（q+%）2+（4-/）一一2（%+?）（。1-aQcosg,

13

化簡得+3a；=4/,即=+二=4,

/、

131

則等7+乎i二+1

,+1g+3

7+17+1

e\e2

112+V3

=—X>-X4+2V3)

6%"63

e\e2

\2

=3七+123石+4

UTe,=-----------<1

+11

1玲，即<11

當(dāng)且僅當(dāng)《一「時等號成立,

\33_24+90]

—i—

22=4-

e\,28-37337

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的是（）

A.數(shù)據(jù)6,2,3,4,5,7,8,9,1,10的第70百分位數(shù)是8.5

B.若隨機變量X?NQ,/）,尸（X〉1）=0.68,則尸（2<X<3）=0.18

C.設(shè)48為兩個隨機事件，尸（/）>0,若尸（以/）=尸（3）,則事件4與事件B相互獨立

D.根據(jù)分類變量X與￥的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到力2=4.712,依據(jù)1=0.05的卡方獨立性檢驗

（%0.05=3.841）,可判斷X與丫有關(guān)且該判斷犯錯誤的概率不超過0.05

【答案】BCD

【解析】對于A,因為10x70%=7,

又將數(shù)據(jù)從小到大排列，第7個數(shù)為7,第8個數(shù)為8,

所以第70百分位數(shù)為7.5,故A錯誤；

對于B,根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可知為尸（X>2）=0.5,

尸(2<x<3)=尸(1<x<2)=P(x>1)—尸(x22)=0.18,故B正確;

對于C,根據(jù)條件概率可知P（B\A）==P（B）nP（AB）=P（4）P（B）,

由相互獨立事件的判定可知C正確；

對于D,根據(jù)獨立性檢驗的意義可知％2=4.712〉x005,

故可判斷X與丫有關(guān)且該判斷犯錯誤的概率不超過0.05,故D正確.

故選：BCD.

10.若函數(shù)/（無）=Zsin?x-log2sinx+2cos2x-k>g2cosx,則（）

A.〃x）的最小正周期為萬

TT

B.〃x）的圖象關(guān)于直線x對稱

C.〃x）的最小值為-1

D./（無）的單調(diào)遞減區(qū)間為J左匹￡+2左萬J，ksZ

【答案】BCD

JT

【解析】由sinx〉0,cosx>0得/（x）的定義域為（2左肛萬+2左=），keZ,

兀3

當(dāng)xe（0,i）時，x+萬€（匹5萬）不在定義域內(nèi)，故/（無+%）=/?）不成立，

故選項/錯誤；

22

又/(---x)=2cosx-log2cosx+2sinx-log2sinx=f(x),

jr

所以〃x)的圖象關(guān)于直線x=:對稱，所以選項方正確；

4

2222

因為/(x)=sinx-log2sinx+cosx-log2cosx,設(shè)/=sin2x,

所以函數(shù)轉(zhuǎn)化為g(t)=t-log2f+(1T)?log?(1—),/e(0,1),

g，?)=log2，—log2。—。，由g'?)>0得;</<l,由g")<0得0</<g,

所以g?)在(0,；)上單調(diào)遞減，在(1,1)上單調(diào)遞增，

故g(/)mm=g(；)=T，即/(X)mm=7,故選項應(yīng)確；

因為g")在(o,g)上單調(diào)遞減，在(；/)上單調(diào)遞增，

]A/2

由，usin?%,令0<sin2x<不得0<sinx<，

22

JTTT

又/(x)的定義域為(2左肛萬+2左乃)，keZ,解得2左》<%<]+2左乃，keZ,

TC

因為Z=sit?尤在Qk5+2%萬)上單調(diào)遞增，

4

JT

所以“X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2左肛一+2版r),k&z,

4

同理函數(shù)的遞增區(qū)間為(二+2左肛二+24萬)，k&Z,所以選項。正確，

42

故選:BCD

11.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域為R,"X)為奇函數(shù)，/(l+x)=/(l—x),/(3)=1,貝U()

A/(-1)=1B./(x)=/(4+x)

18

c.〃x)=〃4-x)D.>⑻=T

k=\

【答案】ABD

【解析】由/(x)為奇函數(shù)，即函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于(0,0)對稱，

又y(i+x)=/(i-%),則y(x)的圖象關(guān)于x=i對稱，

所以〃x+2)=/(-x)=-/(x),

則/(4+x)=-/(x+2)=/(x),

???/(X)為周期函數(shù)且周期為T=4,B對.

所以/(3)=/(-1)=1，A對.

而/(4一x)=/(-x)=-/(x),C錯.

由上可知/(2)=—/(0)=0,/(4)=/(0)=0,

所以/⑴+/(2)+/(3)+/(4)=-/(—1)+0+1+0=0,

18

則/⑴+/(2)=T，D對.

k=l

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

A=ix\-2<x<4}§_卜2>_rJQ?_

12.已知集合L,,〔刀，則圖1”一______________.

【答案】(—1,4)

【解析】由2，>；,可得x〉—1,即3={x|x>—l},

故/口8=(-1,4).

故答案為:（-1,4）

7191

13.已知/為圓a%2+（y—1）~=］上的動點，6為圓尾（X—3）一+/=［上的動點，P為直線

y=上的動點，則歸5|-歸/|的最大值為

【答案】MlO+i

5

【解析】設(shè)E（3,0）關(guān)于直線》=；x的對稱點為￡'（加,〃），

〃1-]9

m=—

加一：5.,解得＜

則《12，故“

n1m+3

n=一

萬一525

12

則圓E關(guān)于y=對稱的圓E'的方程為I+G

要使歸8|-|「/|的值最大，

則尸,49（其中5'為3關(guān)于直線的對稱圓E'上的點）三點共線,

且該直線過C,￡'兩點，如圖,

2

9j+恪+1.

其最大值為|4B[=|C￡[+1=+1

f-15

14.已知數(shù)列｛%｝的通項公式為?！ǘ?一,S〃=+電。3+…,若對任意〃￡N*，不等式

〃+3~一

44（〃+3）3”<〃+2恒成立，則實數(shù)2的取值范圍是.

【答案】2<1

1111

【解析】由％=，則％%+1=

〃+3(〃+3)(〃+4)〃+3〃+4

1111111n

故--------|--j—??,—|----------------------------------------------------------------------------------

556〃+3〃+44〃+44(〃+4)'

由4X（〃+3）S〃<〃+2,可得（+,</+2,

（〃+2）（〃+4）=3〃+8

磯〃+3）n+3〃

設(shè)/（X）=尋一一（x>0），則/（X）=——------丁<°恒成立，

V'X2+3XV'（X2+3X）

故/（X）在（o,+8）單調(diào)遞減，當(dāng)Xf+00時，0,

即當(dāng)+℃時，1+:"+8f1,故4Vl.

〃+3〃

故答案為：2<1.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.甲、乙、丙三人進行投籃比賽，共比賽10場，規(guī)定每場比賽分?jǐn)?shù)最高者獲勝，三人得分（單位:

分）情況統(tǒng)計如下：

場次12345678910

甲8101071288101013

乙9138121411791210

丙121191111998911

C1）從上述10場比賽中隨機選擇一場，求甲獲勝的概率；

（2）在上述10場比賽中，從甲得分不低于10分的場次中隨機選擇兩場，設(shè)X表示乙得分大于丙得分

的場數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；

（3）假設(shè)每場比賽獲勝者唯一，且各場相互獨立，用上述10場比賽中每人獲勝的頻率估計其獲勝的概

率.甲、乙、丙三人接下來又將進行6場投籃比賽，設(shè)工為甲獲勝的場數(shù)，公為乙獲勝的場數(shù)，X為丙

獲勝的場數(shù)，寫出方差。（用，。億），的大小關(guān)系.

【答案】（1）木3（2）分布列見解析，§4（3）。（為）>。（乂）>。（工）

【解析】（1）根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在10場比賽中，甲共獲勝3場，分別是第3場，第8場，第

10場.

3

設(shè)A表示''從10場比賽中隨機選擇一場，甲獲勝”，則尸（/）=伍.

（2）根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在10場比賽中，甲得分不低于10分的場次有6場，

分別是第2場，第3場，第5場，第8場，第9場，第10場，其中乙得分大于丙得分的場次有4場，

分別是第2場、第5場、第8場、第9場.

所以X的所有可能取值為0,1,2.

P（X=0）=葭尸（X=l）=中=*P（x=2）=胃=；

所以X的分布列為

X012

182

P

15155

io24

所以￡（X）=0x—+lx—+2x—=—.

V7151553

31

（3）由題意，每場比賽甲獲勝的概率為一，乙獲勝的概率為:，丙獲勝的概率為一，還需要進行6場

1025

比賽，

而甲、乙、丙獲勝的場數(shù)符合二項分布，所以

Z>a）=6x0.3（l-0.3）=126,。億）=6x0.50-0.5）=1.5,?；?6x0.20-0.2）=0.96

故。化）〉。（乂）>?；?

16.如圖，在多面體48CQE廠中，底面48。。為平行四邊形，AB=2,AD=272,ZABD=90°,

矩形斯所在平面與底面垂直，赫為CE的中點.

（1）求證：平面〃平面

（2）若平面BZW與平面3CF夾角的余弦值為巫，求CE與平面所成角的正弦值.

5

4

【答案】（1）證明見解析（2）y

【解析】（1）如圖，連接/C交加于點G,連接MG.

因為底面ABCD為平行四邊形，

所以G為/C的中點.

因為M為CE的中點，所以〃G〃E4.

又因為W平面AEF,E4u平面AEF，

所以MG〃平面/￡戶.

因為BDEF為矩形，所以。5〃￡尸,3。U平面AEF,EFu平面AEF,

所以AD〃平面4EE.

因為政7門80=6,兒6<=平面50河；50匚平面3。河，

所以平面BDM〃平面AEF.

（2）因為/5=2,4。=2&,2/3。=90°,所以

因為平面BDEF1平面ABCD,平面BDEFn平面ABCD=BD,DELBD,

所以平面48CQ.

分別以Z)B,Z＞C,DE為x,，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)?！?2々＞0）,則3（2,0,0）,C（0,2,0）,Z）（0,0,0）,￡（0,0,2/）,M（0,l,Z）,

所以麗=（0,1J）,9=（2,0,0）,就=（―2,2,0）,而=（0,0,2r）,

r\in-DM=0,

設(shè)平面ADM的法向量為加=（z再,必,zj,則〈—.

m-DB=0,

%+%=

令4=_1,則比=（0/-1）,

2xl=

I,.n-BC=0,

設(shè)平面3c尸的法向量為“=(%,外,Z2)，則《一

元,BF=0,

_212+2y2=0

,令％=1，則萬=（1,1,0）,

24=

所以上網(wǎng)泣巾惴:丁七二萼,

所以沅=(0,2,—1),赤=(0,—2,4).

設(shè)CE與平面BDM所成的角為。，

|2x（-2）+（-l）x4|4

則sin0=|cos

722+（-1）2-7（-2）2+425,

4

所以C￡與平面BDM所成的角的正弦值為-.

17.已知函數(shù)/(x)=x-Qlnx—1(QeR).

(1)若曲線＞=/(x)在點(1,0)處的切線為工軸，求。的值;

(2)討論了(%)在區(qū)間(1,+8)內(nèi)極值點的個數(shù)；

【答案】(1)a=l(2)答案見解析

【解析】⑴由/■(x)=x-alnx-l("R)得：f\x)=\--,

X

依題意，/(l)=l-a=0,得a=l.

經(jīng)驗證，/(月=彳-111彳一1在點(1,0)處的切線為＞=0,所以。=1.

⑵由題得/'（x）=l—3=匕

XX

(i)若當(dāng)xe(l,+<)時,/'(x)>0恒成立，

所以/(x)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增，所以/(%)無極值點.

(ii)若a>1,

當(dāng)xe(l,a)時，f'(x)<0,故/(x)在區(qū)間(l,a)上單調(diào)遞減,

當(dāng)xc(a,+oo)時，f\x)>0,故/(x)在區(qū)間(。,+8)上單調(diào)遞增.

所以x=a為/(x)的極小值點，且/(x)無極大值點.

綜上，當(dāng)時，/(x)在區(qū)間(1,+8)內(nèi)的極值點個數(shù)為0；

當(dāng)a〉1時，/a)在區(qū)間(1,+8)內(nèi)的極值點個數(shù)為L

18.已知拋物線：j?=2x,直線/:y=x-4,且點瓦。在拋物線上.

(1)若點4c在直線/上，且4瓦。,。四點構(gòu)成菱形48CD,求直線5D的方程；

(2)若點A為拋物線和直線/的交點(位于x軸下方)，點C在直線/上，且48,。,。四點構(gòu)成矩

形4BCD,求直線的斜率.

【答案】(1)x+y-2=0(2)1

【解析】(1)由題意知設(shè)直線=+加.

x=-y+mc

聯(lián)立《2r得y-+2y_2加=0,

=2x

則夕8+了0=_2，歹8歹0=—2掰，xB+xD=-(yB+yD)+2m^2m+2,

則AD的中點(加+1,T)在直線N=x-4上,

代入可解得加=2,y2+2y-4=0,A=20>0,滿足直線與拋物線有兩個交點,

(2)當(dāng)直線48,40的斜率為0或不存在時，均不滿足題意.

y=x-4\x=2\x=8/、

由《2c得4c或4,(舍去)，故4(2,—2).

b=2xb=-23=4\7

當(dāng)直線AB,AD的斜率存在且不為0時，設(shè)直線48:x—2=/(卜+2).

x—2=t(y+2)9

聯(lián)立｛2c7W/-2Z>-4/-4=0,所以以+為=2"

y=2x

所以3(2/+射+2,2，+2).同理得；+2,—j+2).

由AD的中點在直線y=x-4上,

得牛人4，+2+＞：+2,4』2/+2-+2）

即/+"+上一；］-4=0.

令/_；二P，則P2+夕_2=0,解得）=-2或夕=1.

2/+2-|--+2|

當(dāng)。=時，直線。的斜率k=-----------=-—=!；

13BD'（:、

2z2+4z+2-l—-y+2l｛--+25

當(dāng)夕=-2時，直線助的斜率不存在.

所以直線3D的斜率為

3

19.若無窮數(shù)列｛乙｝的各項均為整數(shù).且對于V，,/eN*,，＜/,都存在左〉）,使得

ak=aiaj-ai-aj,則稱數(shù)列｛an｝滿足性質(zhì)2

（1）判斷下列數(shù)列是否滿足性質(zhì)R并說明理由.

①％=〃，n=1,2,3,…；

②bn=n+2,〃=1,2,3,….

（2）若數(shù)列｛%｝滿足性質(zhì)R且％=1,求證：集合,eN*|。〃=3｝為無限集；

（3）若周期數(shù)列｛%｝滿足性質(zhì)R請寫出數(shù)列｛%｝的通項公式（不需要證明）.

【答案】(1)①不滿足；②滿足