2024年高考數(shù)學押題卷3附答案解析

2024年高考數(shù)學押題卷3

一.選擇題（共8小題）

1.已知集合4={x|lWx<4},B={x\x>2},則（）

A.B.{x|l<x<4}C.{x|lWx<4}D.{x|2<x<4}

2.四羊方尊（又稱四羊尊）為中國商代晚期青銅器，其盛酒部分可近似視為一個正四棱臺（上、下底面的邊長分別

為40cm,20cm,高為24cm）,則四羊方尊的容積約為（）

A.22400cm3B.32400cw3C.44800cm3D.67200cm3

3.函數(shù)/'(%)=sinx-V^cosx,xe[-^的最大值為()

A.0B.1C.V3D.2

4.已知復數(shù)2=h次，xER,y€R,滿足區(qū)+l|+|z-1|=4,則點(x,y)的軌跡是()

A.線段B.圓C.雙曲線D.橢圓

5.若(2x—3>2=cig+a1(x—2)+a2(x—2)?+…+?？?x—2)"+的?(x-2>2,貝1J()

A.。0=-1B.ao-。1+。2-----\~a\o-an+an=-1

+

c.ai+a2+…+%2=3"+1D.~+^2…+聲+萍=2"-1

6.權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很廣泛的應用，其表述如下：設a,b,x,y

>0,則土+—>（吐0）當且僅當巴='時等號成立.根據(jù)權(quán)方和不等式，函數(shù)/'（X）=告+丁二（0Vx〈J）的

xyx+yxyxi—^x4

最小值為（）

A.1B.4C.9D.16

7.在四棱錐尸-4BCD中，底面48CQ是矩形，B4_L底面48CD,且口=45,AD=3AB,則PC與底面所成

角的正切值為（）

1

-3CV1O

A.3B.W

7

8.已知點P是拋物線f=2x上的動點，點尸在了軸上的射影是點力（94）,則|E4|+|PM的最小值是（）

93

5-C4-

A.2D.2

二.多選題（共3小題）

（多選）9.廣東省2017到2022年常住人口變化圖如圖所示，則（）

第1頁（共14頁）

A.廣東省2017到2022年這6年的常住人口逐年遞增

B.廣東省2017到2022年這6年的常住人口的極差為1515萬

C.從這6年中任選1年，則這1年的常住人口大于12000萬的概率為:

D.廣東省2017到2022年這6年的常住人口的第70百分位數(shù)為12656.80萬

(多選)10.定義域為R的連續(xù)函數(shù)/(x),對任意x,f(x+y)+f(x-y)=2f3于(y),且/(x)不恒為0,

則下列說法正確的是()

A./(x)為偶函數(shù)B./G)(0)20

C.若/⑴=0,則￡管4f(j)=4048D.若0為/(x)的極小值點，則/(x)的最小值為1

(多選)11.下列命題中的真命題有()

1%2+5

A.當x>l時，x+=j■的最小值是3B./。的最小值是2

xTV%2+4

C.當0cx<10時，J%(10-%)的最大值是5

D.若關(guān)于x的不等式ax2+6x+c>0的解集為{x[2<x<3},貝！|a-6+c>0

三.填空題(共3小題)

TT_>T_>T

12.已知a=(2,-1),6=(1,-2),(2a+Z?)||(ma-2b),則加=.

13.如圖，為確定某大廈的高MM選擇點/和另一樓頂C為測量觀測點，從/點測得的“點的仰角/M4N=60°.C

點的仰角NC48=45°,NM4C=75°,從C點測得/MC4=60°.已知樓高8c=20根,則大廈的高MV=m.

14.已知人，仍是橢圓C的兩個焦點，若。上存在一點尸滿足|尸人|=15|尸尸2],則C的離心率的取值范圍

是.

第2頁(共14頁)

四.解答題(共5小題)

2

15.甲乙兩人約定以“五局三勝”制進行乒乓球比賽，比賽沒有平局，設甲在每局中獲勝的概率為了且各局勝負相

互獨立，已知比賽中，乙贏了第一局比賽.

(/)求甲獲勝的概率；(用分數(shù)作答)

(II)設比賽總的局數(shù)為亭求孑的分布列及期望￡短(用分數(shù)作答)

2

16.如圖，在直三棱柱NBC-/'B'C中，AB=AA'=AC=2,ZBAC=~n,點、D,￡分別是3C,A'B'的中

點.

(I)求證：DEACC'A'；

(II)求二面角夕-AD-C的余弦值.

第3頁(共14頁)

17.在機(m，2,mEN+)個不同數(shù)的排列(Pi,尸2,…，Pm)中，若時，2>/*/(即前面某數(shù)大于

后面某數(shù))則稱B與B構(gòu)成一個逆序，一個排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù)，例如排列(2,40,3,

1)中有逆序“2與1”，“40與3”，“40與1”，“3與1”其逆序數(shù)等于4.

(1)求(1,3,40,2)的逆序數(shù)；

(2)已知〃+2(?GN+)個不同數(shù)的排列(Pl，P2，…,Pn+l,P?+2)的逆序數(shù)是2.

(i)求(尸〃+2,Pn+i,尸2,尸1)的逆序數(shù)即

(ii)令b“=廝+之+即+[[2,證明2w+Jwbi+如---\-bn<2n+

Q?.十]Iza.Izz?J

第4頁(共14頁)

X乙y乙

18.已知雙曲線C：裝―6=1缶>0,b>0)的左、右焦點分別為為，尸2，且同尸2尸4,若C上的點M滿足

-|g||=2恒成立.

(1)求C的方程；

(2)若過點M的直線/與C的兩條漸近線交于尸，0兩點，且也ZP尸圈0|.

(i)證明：/與C有且僅有一個交點；

(iO求卷+高的取值范圍.

第5頁(共14頁)

19.已知函數(shù)/(x)=xlnx.

(1)求曲線y=/(x)在點(1,/(D)處的切線方程；

(2)設b>a>0,證明：0</(a)+f(b)—2/(竽)V(b—a)En2.

第6頁（共14頁）

2024年高考數(shù)學押題卷3

參考答案與試題解析

選擇題（共8小題）

1.已知集合/={x|lWx<4},B={x\x>2},貝（）

A.{x\x^l}B.{x|l<x<4}C.{x|l^x<4}D.{x|2<x<4}

解：4={x|lWx<4},B={x\x>2},則力G5={X|2V%V4}.故選：D.

2.四羊方尊（又稱四羊尊）為中國商代晚期青銅器，其盛酒部分可近似視為一個正四棱臺（上、下底面的邊長分別

為40c冽，20cm,高為24c加），則四羊方尊的容積約為（）

A.22400cm3B.32400cm3C.44800cm3D.67200cm3

]

解：根據(jù)臺體的體積公式可得：四羊方尊的容積約為X24x（402+40x20+202）=22400cm3.故選：A,

3.函數(shù)/（%）=s譏％-V^cos%,xE[-^^的最大值為（）

A.0B.1C.V3D.2

解：因為/（%）=s譏％—gcos%=2（右加一字cosx）=2sin（x一守），又；—引時，％一江［一力，

所以當x—即時，f（x）的最大值為/（5）=2sin（—―=2sin-=1.故選：B.

4.已知復數(shù)2=田短，xGR,昨R,滿足|z+l|+|z-1|=4,則點（x,己的軌跡是（

A.線段B.圓C.雙曲線D.橢圓

解：,復數(shù)z=x+?.（x,昨R）,且|z+l|+|z-1|=4,

???由復數(shù)的模的幾何意義可得，復數(shù)z對應點到（1,0）,（-1,0）的距離和等于4,

?,?點（％,y）的軌跡是以（1,0）,（-1,0）為焦點的橢圓，且c=l,2Q=4,

、%2y2

.'.4Z=2,b=同故x,>滿足的軌跡方程是1+了=1.故選：D.

5.若（2%—3）"=劭+（!］（%—2）+—2/+,,,+—2）n+%2（%—2）",則（）

A.ao=-1B.ao-〃1+。2-的^---l-tzio-a\\+an=~1

C.+。2+…+a12=3"+1D.萬+尹+…+―fl+~^12=2—1

解：令￡=x-2,則％=汁2,2x-3=2（什2）-3=2/+1,

所以（2/+1）12=〃0+4"+。2於+…+。1/1+〃12產(chǎn)，選項/,令￡=0,則40=1,即選項2錯誤;

第7頁（共14頁）

選項5,令，=-1,貝1J40-41+42-的+…+〃10-〃11+〃12=(-2+1)12=1,即選項5錯誤;

選項C,令￡=1,則的+。1+〃2+。3+…+〃10+〃11+〃12=312,

所以〃1+。2+。3+…+。1。+。11+。12=312-^Q=312-1,即選項C錯誤；

選項D,令￡=劣,則40+粵+，T+弟?+第■=（2X^+1產(chǎn)=2%

所以?+箸+…+W^I=212-40=212-1,即選項。正確.故選：D.

22乙2112±z,

6.權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很廣泛的應用，其表述如下：設。，b,x,y

22（）ab

>0,貝|」一a十b一a+b~2當且僅當一二一時等號成立.根據(jù)權(quán)方和不等式，函數(shù)/（%）=，14金（0<%<1?的

xyx+yxyxi—^x4

最小值為（）

A.1B.4C.9D.16

解：當04G時，根據(jù)權(quán)方和不等式，可得f（久）=各魯24=16,

當且僅當丁=,即％二卷時，f（x）的最小值為16.故選：D.

4%1-4%8

7.在四棱錐尸-4BCQ中，底面48CQ是矩形，B4_L底面/5CD,且AD=3AB,則PC與底面/5CQ所成

角的正切值為（）

1V1U「

A.~B.3C.---D.V10

310

解：因為處_L底面/BCD,4Cu底面NBC。，所以刃_L4C,則PC與底面48CQ所成角為/尸C4,

DA/10

設45=1,貝Ij24=l,AD=3,XC=V10,所以tcm/PCZ=衣=尢■.故選：C.

8.已知點尸是拋物線產(chǎn)=2x上的動點，點P在）;軸上的射影是〃，點/4）,則|。4|+|尸M的最小值是（）

93

A.5B.-C.4D.-

22

1

解：依題意可知焦點尸（5，o）,準線x=—去1延長尸河交準線于//點.則沖=尸珥尸/=下引，1=凹1，

\PM\v\PA\=\PF\v\PA\-^,我們只有求出|母最小值即可.由三角形兩邊長大于第三邊可知，|尸尸|+|我|2|￡4|,

①設直線旗與拋物線交于Po點，可計算得尸0（39,另一交點（-暫1，1—）舍去.

1Q

當尸重合于Po時，|尸功+|我|可取得最小值，可得E4|=5.則所求為1PM+1出尸5-2=于故選：B.

第8頁（共14頁）

二.多選題(共3小題)

(多選)9.廣東省2017到2022年常住人口變化圖如圖所示：則()

A.廣東省2017到2022年這6年的常住人口逐年遞增

B.廣東省2017到2022年這6年的常住人口的極差為1515萬

C.從這6年中任選1年，則這1年的常住人口大于12000萬的概率為:

D.廣東省2017到2022年這6年的常住人口的第70百分位數(shù)為12656.80萬

解：對于由圖可知，2021年到2022年常住人口在減少，故/錯誤；

對于8,將廣東省2017到2022年這6年的常住人口(單位：萬)按照從小到大的順序排列為：

11169.00,11346.00,11521.00,12601.25,12656.80,12684.00,

則極差為12684.00-11169.00=1515萬，故8正確；對于C,因為這6個數(shù)據(jù)中大于12000萬的有3個，所以從

31

這6年中任選1年，則這1年的常住人口大于12000萬的概率為:=個故C正確；

對于，因為6義70%=4.2,所以第70百分位數(shù)為12656.80萬，故。正確.故選：BCD.

(多選)10.定義域為R的連續(xù)函數(shù)/(x),對任意x,y€R,f(x+y)+f(x-y)=2f(x)于(y),且/(x)不恒為0,

則下列說法正確的是()

A./(x)為偶函數(shù)B./(x)(0)20C.若/(I)=0,貝叵魯4f(j)=4048

D.若0為/(x)的極小值點，則/(x)的最小值為1

解：令工=〉=0,有?(0)=2，(0)]2,所以/(0)=0或/XO)=1,

若/(0)=0,則令>=0,有)(x)(x)/(0)=0,即/(x)恒為0,所以只能/(0)=1,

對于不妨令x=0,有/(y)+f(-j)=2f(0)f(y)=2f(y),即/'(-y)=f(y),

且函數(shù)/(y)的定義域為全體實數(shù)，它關(guān)于原點對稱，即/(x)為偶函數(shù)，故/正確；

對于2,令丫=>,有/(2x)+f(0)=2[/'(x)尸20,令f=2x,由xCR,得/=2xeR,

所以當;6R時，有/(/)+f(0)>0,即當xCR時，/(x)+f(0)20,故2正確；

對于C,若/(I)=0,令x=l,有/(1+y)4/(1-y)=2/(1)/⑶)=0,所以/G)關(guān)于(1,0)中心對稱,

又/(x)為偶函數(shù)，所以/(1+y)=-/(I-y)=-/(廠1),所以7(x+2)=-/(x),則/(x+4)=-/(x+2)

=f(x),即/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，又f(0)=1,/(1)=0,

所以7(2)=-/(0)—-1,f(3)—f(-1)—f(1)=0,f(4)—f(0)=1,

第9頁(共14頁)

/(I)V<2)V<3)+f<4)=07+0+1=0,￡普4f?)=506x[/⑴+f(2)+f⑶+f(4)]=0,故C錯;

對于D,令/'(2x)=2[f(x)]2—/(0)>/(x)今/"(>)<一/或/(x)>1,

從而對VxWO,〃一+8,有1=/(。)寸(攝)(言)<…守仁)，

即f(x)在0處取得最小值1(此時可取特殊函數(shù)/(x)=吧/，故。正確.故選：ABD.

(多選)11.下列命題中的真命題有()

A.當x>l時，x+占的最小值是3B.胃=的最小值是2

xTVX2+4

C.當0<x<10時，1久(10-%)的最大值是5

D.若關(guān)于x的不等式ax2+6x+c>0的解集為{x[2<x<3},貝!|a-6+c>0

解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于/,因為x>l=>x-1>0,所以xH—=(x-1)H——Y+1>2(x—1)X7~~1[、+1=3,

x-ix—ig7(x—1)

y2Ity2I/II1I__________1

當且僅當x=2時等號成立，故4正確.對于5,/=/=，%2+4+N2,

VX2+4J/+4J%2+4

2+5

而等號成立的條件是f+4=l,即，=-3,故X不=22不成立，5錯誤；

V%2+4

對于C,因為0<x<10nx-10>0,所以—2=5,

當且僅當x=10-x=x=5時取等號，故C正確.

、,、、[--=2+3

對于。，若關(guān)于x的不等式辦2+bx+c>0的解集為{R2VXV3},必有QVO且(Q，

-=2x3

\a

即b=-5Q,c=6a,故Q-6+c=12aV0.。錯誤.故選：AC.

三.填空題(共3小題)

12.已知a=(2,-1),b=(L-2),(2a+b)||(ma-2/)),則加=-6.

解：因CL—(2,—1),b—(1/—2),且(2a+b)||(TTICL—2b),所以2a+b=(5,—4),ma-3b=(2)n—

3,6—m)9可得5(6-m)+4(2m-3)=0,解得加=-6.

13.如圖，為確定某大廈的高MM選擇點/和另一樓頂。為測量觀測點，從/點測得的M點的仰角/M4N=60°.C

點的仰角/。8=45°,NMAC=75：從。點測得NMCN=60°.已知樓高8C=20%,則大廈的高兒W=30

m.

第10頁(共14頁)

解：?.?RtZX/BC是等腰直角三角形，：.AC=V2SC=20V2,由題意可知/4WC=45°,在中，由正弦定

AM120V2

理得：淅--------,即-----------，解得NM=20百，：.MN=AM*sm600=30.

sinZ.ACMsin45°sin60°

7

14.已知為也是橢圓C的兩個焦點，若C上存在一點P滿足|尸刑=15評2],則C的禺心率的取值范圍是—玲，1).

解：V|PFI|=15|PF2|,A2a=\PF\|+|PF2|=16|PF2|,：.\PF2\=|e[a-c,a+c],

貝Ue卷又0<eVl,，e的取值范圍是弓，1).

四.解答題(共5小題)

15.甲乙兩人約定以“五局三勝”制進行乒乓球比賽，比賽沒有平局，設甲在每局中獲勝的概率為|,且各局勝負相

互獨立，已知比賽中，乙贏了第一局比賽.(/)求甲獲勝的概率；(用分數(shù)作答)

(II)設比賽總的局數(shù)為協(xié)求w的分布列及期望石亭(用分數(shù)作答)

解：(/)甲獲勝的概率P=(|)3+C0.(|)3=j1

(II)由題設知：。=3,4,5,P-=3)=(1—|)2=/，P(2=4)=(|)3+由.?=小

02cle11204

P(f=5)=cKj)2(1)2+Cb1-(|)3=1

??飛的分布列為：

345

P144

999

?,?黨=3弓1+4弓4+5.4:普13

2

16.如圖，在直三棱柱/2C-HB'C中，AB=AA'=AC=2,NA4C=軻點。，E分別是3C,A'B'的中

點.(I)求證：OE〃平面/CC'A'■,(TI)求二面角夕-AD-C的余弦值.

(I)證明：取NC的中點R連結(jié)。尸，A'F,則D尸〃AB,A'E//AB,J.DF//A'E,

11

,:DF*AB,A':.DF=A'E,：.DFA'E是平行四邊形，C.ED//A'F,

不包含于平面NCC'A',A'/u平面/CC'A',〃平面/CC'A'.

(II)在平面NBC中，以過點/且垂直于NC的直線為x軸，以直線/C為了軸，AA'為z軸,

建立空間直角坐標系，由題意得/(0,0,0),B(V3,-1,0),

第11頁(共14頁)

LV31

C(0,2,0),B償,-1,2),C'(0,2,2),D(y,0),

TAo1TT..T

.?.4D=(號，?0),AB=(V3,-L2),XC=(0,2,2),設平面夕4D的法向量機=(久，y,z),

V3,1八

貝MT22y,取x=l,得zn=(1,-V3,-V3),設平面C'的法向量九二(xi,yi,zi),

jn?AB=V3x—y+2z=0

C3,1_-_

貝11人4°=1+2,1=n°,取肛=1,得九=(1,-V3,V3),設二面角夕-4Q-C'的平面角為。，

2yl+2zi=0

cos0=cos<m/1〉=)二二面角5'-AD-C的余弦值為二.

V7-V777

17.在加(冽?2,mGN+)個不同數(shù)的排列(尸1,尸2,…，Pm)中，若冽時，尸>舄?(即前面某數(shù)大于

后面某數(shù))則稱B與馬構(gòu)成一個逆序，一個排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù)，例如排列(2,40,3,

1)中有逆序“2與1”，“40與3”,“40與1”，“3與1”其逆序數(shù)等于4.(1)求(1,3,40,2)的逆序數(shù)；

(2)已知〃+2(虻N+)個不同數(shù)的排列(Pi,Pi,丹+1，Pn+2)的逆序數(shù)是2.

(i)求(Pn+2,丹+1,…，尸2,尸1)的逆序數(shù)劭

(ii)令包=普金+與*，證明2什另加+歷+…+幻<2葉,

幾十］十/Q九十/L5

解：(1)(1,3,40,2)有逆序“3,2”,"40,2”,其逆序數(shù)有2個.

(2)(i)〃+1數(shù)中任取兩個比較大小,共有鬣+2個大小關(guān)系，???斯=鬣+2-2,脛N*.

(；；)b-即+2+°九+1+2_鬣+2I鬣+3_.+1I.+3=2+2_2

"“~一%1+1+2十即+2—*+3鬣+2—九+3九+1n+1n—3，

27222

，61+歷+…+仇=2〃+￡M干一I+3=2n+1+3~^+2~^+3-

9991991q

=—

?y~/工耳單調(diào)遞增，一工力.〈°，?〃九幾十子

/n+,7—n+7731,31'—L5—n+7Z77-n+32:2+L<61+&+…+bV23

/y2

18.已知雙曲線C：至一臺=1(?！?,匕〉0)的左、右焦點分別為乃，F(xiàn)i，且巧產(chǎn)2|=4,若。上的點〃滿足

-|MF2||=2恒成立.(1)求。的方程；(2)若過點M的直線/與。的兩條漸近線交于尸，。兩點，^\MP\=\MQ\.

12

(i)證明：/與C有且僅有一個交點；(五)求兩+兩的取值范圍.

解：⑴由雙曲線定義可知||MFi|-|MF2||=2a=2,解得〃=L

又由「1入|=4,解得c=2,

因為片+廿二狩，所以料=3,

所以雙曲線C的方程為了—1.

(2)(/)證明：設/(xo，泗)，P(xi,yi),Q(工2,J2),

雙曲線的漸近線方程為yi=V5%i①，y2=-V3%20,

①+②得yi+y2=百(久i一久2)，①-②得乃一為=V3(Xi+久2)，

2?7?

由于君一號=1且虐一號=1,相減可得/-%2二冬一仔'

第12頁(共14頁)

yi+72遮(-—*2)Hnyi+y23(%I-%2)

所以底~r=，即~=，

V3(XI+X2)yi~y2%i+%2yi-y2

由題可知所以XI+X2=2XO,yi+y2=2yo,

-,yo3(xi-％2)3x

所fi[h以一=--------，B即nkpo=—0

和y\-yiy。

所以直線尸0的方程為y-凡=翁(比一萬0)，即3xox-yoy=3焉一羽，

又因為點M在C上，所以3焉一羽=3,即3》仃-義)歹=3,

(2_藝一

方程聯(lián)立3一,得(%一3就)/+6x°x-3-羽=。，

3x0x-yoy=3

所以一3/+6%0乂-3就=0,由A=36-4X(-3)X(-3)=0知方程有且僅有一個解，

所以直線/與雙曲線C有且僅有一個交點.

(拓)由⑵⑴聯(lián)立