2024年天津市紅橋區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷及答案解析

2024年天津市紅橋區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.(5分)已知全集。={-2,-1,0,1,2,3,4},集合A={-2,0,1,2},B={-1,

0,2,3},則AUCuB=()

A.{4}B.{-2,0,1,2,4}

C.{0,2}D.{-2,1}

2.（5分）已知a,萬(wàn)CR,則“4/是“/24＞廬024”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

3.（5分）設(shè)a=logo.50.6,6=0.25心,C=0.6/6,則〃，人c的大小關(guān)系是（）

A.b>a>cB.c>b>aC.b>c>aD.c>a>b

21

4.（5分）已知函數(shù)f。）=-----^一4,則f（光）的圖象大致為（）

（工一2）

5.（5分）已知logam=2,10gMz=3,則log加n=（）

1156

A.-B.—C.一D.—

6565

6.（5分）已知某正六棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2,則該正六棱柱的外接球的表面積為（）

A.6nB.8nC.16nD.20n

7.（5分）已知直線〉=丘與圓C：（x+2）2+/=3相切，交曲線尸=2度（p>o）于點(diǎn)p,

若|OP|=8,。是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以尸為圓心，以p為半徑的圓與圓C的位置關(guān)系為（）

A.相交B.內(nèi)含C.外離D.外切

8.（5分）某中學(xué)有學(xué)生近600人，要求學(xué)生在每天上午7：30之前進(jìn)校，現(xiàn)有一個(gè)調(diào)查小

組調(diào)查某天7：00?7：30進(jìn)校人數(shù)的情況，得到如下表格（其中縱坐標(biāo)y表示第x-1

分鐘至第x分鐘到校人數(shù)，l〈xW30,xGN*,如當(dāng)x=9時(shí)，縱坐標(biāo)y=4表示在7：08~

7：09這一分鐘內(nèi)進(jìn)校的人數(shù)為4人）.根據(jù)調(diào)查所得數(shù)據(jù)，甲同學(xué)得到的回歸方程是y

=3.6%-27（圖中的實(shí)線表示），乙同學(xué)得到的回歸方程是尸0.826°攻（圖中的虛線表

A.7：00—7：30內(nèi)，每分鐘的進(jìn)校人數(shù)y與相應(yīng)時(shí)間x呈正相關(guān)

B.乙同學(xué)的回歸方程擬合效果更好

C.該校超過(guò)半數(shù)的學(xué)生都選擇在規(guī)定到校時(shí)間的前5分鐘內(nèi)進(jìn)校

D.根據(jù)甲同學(xué)得到的回歸方程可知該校當(dāng)天7：09?7：10這一分鐘內(nèi)的進(jìn)校人數(shù)一定

是9人

7T

9.（5分）將函數(shù)/（外的圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，再向左平移g個(gè)單位，得到函數(shù)

g（%）=sin（2%+@）（0V0V芻的部分圖象（如圖所示）.對(duì)于Vxi,b],且

若g（xi）=g（X2）,都有g(shù)（%i+上）=孚成立，則下列結(jié)論中不正確的是（）

A.g(%)=sin(2x+9)

77"、

B./(x)=sin(4%—3)

C.g(x)在。爭(zhēng)上單調(diào)遞增

A.TTQ^7T

D.函數(shù)/(x)在［0,-2~\的零點(diǎn)為xi,X2,…，%，則％i+2%2+2%3+…+2xn_-￡+xn=

二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分。

10.(5分)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)=吆=.

11.(5分)已知二項(xiàng)式(2x+卷/，則其展開(kāi)式中含x2的項(xiàng)的系數(shù)為.

12.(5分)已知雙曲線*2一1=1與拋物線y2=8x的一個(gè)交點(diǎn)為A,尸為拋物線的焦點(diǎn)，

若依川=5,則雙曲線的漸近線方程為.

13.(5分)甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)贏2局者勝，分出勝負(fù)

3

即停止比賽.已知甲每局贏的概率為g,每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.本次比賽到第3局才

分出勝負(fù)的概率為，本次比賽甲獲勝的概率

為.

14.(5分)如圖，在平行四邊形ABC。中，ZABC=E為CD的中點(diǎn)，P為線段AE上

->-?O->

一點(diǎn),且滿足BP=mBA+jBC,則m=；若口ABC。的面積為2亞

―?

則|BP|的最小值為.

15.(5分)已知函數(shù)/(x)=["°出(》一1)1，1C有四個(gè)實(shí)數(shù)根xi,必比3,型且

l(x-4)2,x>3

11

X1<X2<X3<X4,則一(X3+X4)XIH---的取值范圍是_______________________.

4%2

三、解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

16.(14分)在△ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊，已知acos(B-看)=bs譏力

(1)求角B的大小；

(2)若a=2,c=3,求sin(2A-的值.

17.(15分)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。是邊長(zhǎng)為1的正方形，PO_L底面

ABCD,與平面ABCD所成角為45°,E,尸分別是PC,中點(diǎn).

(I)求證：OE〃平面PFB；

(II)求平面PFB與平面EDB夾角的正弦值.

18.(15分)已知S"為數(shù)列｛?！ǎ那?項(xiàng)和，且滿足Sa=2a“+r其中r€R,且rWO.

(I)求數(shù)列｛◎｝的通項(xiàng)公式；

(II)設(shè)加=(—1尸+1金，若對(duì)任意的吒N*,都有：￡臺(tái)11比VmV￡翌1bi，求實(shí)數(shù)

m的取值范圍.

X2V2.1

19.(15分)已知橢圓C：—+——1(a>6>0)過(guò)點(diǎn)(2,0),且橢圓C的離心率為一.

a2b22

(I)求橢圓C的方程；

(II)若動(dòng)點(diǎn)尸在直線》=-1上，過(guò)尸作直線交橢圓C于Af,N兩點(diǎn)，且P為線段

中點(diǎn)，再過(guò)P作直線/LMN.證明：直線/恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

20.(16分)已知函數(shù)/(%)=竺"的圖象在(1,/(1))處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,e).

(1)求。的值及函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若關(guān)于尤的不等式〃仇天」九久+/+?_1)久_2,0在區(qū)間Q,+<X3)上恒成立，求

正實(shí)數(shù)）的取值范圍.

2024年天津市紅橋區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）已知全集。={-2,-1,0,1,2,3,4},集合A={-2,0,1,2},B=[-1,

0,2,3},則AUCuB=（）

A.{4}B.{-2,0,1,2,4}

C.[0,2}D.{-2,1}

【答案】B

【分析】由題意先求出CuB={-2,1,4},再求并集可得結(jié)果.

【解答】解：因?yàn)椤?{-2,-1,0,1,2,3,4},8={-1,0,2,3）,所以CuB={-

2,1,4},

因?yàn)锳={-2,0,1,2},所以AUCuB={-2,0,1,2,4）.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查并集和補(bǔ)集，屬于基礎(chǔ)題.

2.（5分）已知a,bER,則%>〃'是"/°24>廬）24”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合特殊值法，即可求解.

【解答】解：令a=2,b=-3,滿足a>b,但/。24<62024,故充分性不成立，

（-2）2024>]2024，但一2<1,必要性不成立，

故“a>b”是“$024>y024”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查曷函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

3.（5分）設(shè)a=logo.50.6,b=0.25'03,c=0.6°6,則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.b>a>cB.c>b>aC.b>c>aD.c>a>b

【答案】c

【分析】利用幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合特殊值判定即可.

【解答】解：因?yàn)閥=k?go.5x在(0,+°°)上單調(diào)遞減，

所以logo.51<logo.50.6<logo,50.5,即0<a<l.

因?yàn)閥=x°-6在(0,+8)上單調(diào)遞增，又0.25<3=0.5/6=20.6,0.6-°-6=(|)06,

又2%>1,所以2。-6>(1嚴(yán)>1。.6,故b>c>l,所以6>c>a.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)值大小的比較，屬于基礎(chǔ)題.

4.(5分)已知函數(shù)〃無(wú))=￡一2--4,則/(x)的圖象大致為()

(%-2)

B.qV

y*；

0\X

C.:

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，利用特殊值,函數(shù)的對(duì)稱性對(duì)選項(xiàng)一一判斷、排除，即可得出答案.

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)/"(%)=-~2-4,

(%-2)

|0-2|1

因?yàn)閒(0)=fp—4=P五—4V0,故C錯(cuò)誤；

(0-2)*4

p|—x+4-2|p|-x+2|p\:x-2\

又因?yàn)?(%+4)=24~24二八24=/(x),

(-x+4-2)Z(-%+2)Z(x--，)

故函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱，故3錯(cuò)誤；

=土斗—4趨近正無(wú)窮，故。

當(dāng)兀趨近2時(shí)，亦-21趨近1,(元-2)2趨近0,所以/(%)

(x-2)2

錯(cuò)誤.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的圖象分析，涉及函數(shù)值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

5.(5分)已知abWl,\ogam=2,logz?m=3,則log㈤n=(【)

【答案】D

【分析】利用換底公式及對(duì)數(shù)運(yùn)算法則即可求解.

【解答】解：因?yàn)閘oga%=2,logw?j=3

所以Zogma=4,logmb=

所以Zogmti+logmb=石，

^logmab=-7,

所以/o%即=f.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題.

6.（5分）已知某正六棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2,則該正六棱柱的外接球的表面積為（）

A.6nB.8nC.16TTD.20n

【答案】D

【分析】確定正六棱柱的外接球球心為上下底面中心連線的中點(diǎn)，計(jì)算半徑可得到表面

積.

【解答】解：正六棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2,故正六棱柱的外接球球心為上下底面中心連線

的中點(diǎn)，

故”=]5+22=5,表面積為5=47標(biāo)=2071.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)

算求解能力，屬基礎(chǔ)題.

7.（5分）已知直線、=丘與圓C：（尤+2）?+/=3相切，交曲線尸=2*（p>0）于點(diǎn)尸，

若|OP|=8,。是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以尸為圓心，以p為半徑的圓與圓C的位置關(guān)系為（）

A.相交B.內(nèi)含C.外離D.外切

【答案】C

【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求得k,再聯(lián)立直線與拋物線方程得點(diǎn)尸坐標(biāo)及圓方程，

再考慮圓心距即可.

【解答】解：圓C：（x+2）2+丫2=3的圓心為（-2,0）,半徑為百，

由直線和圓相切可得」鼻=、/§,解得k=±V3,

結(jié)合拋物線的對(duì)稱性，只需考慮k=b的情形,

所以|0P|=J（第2+（空）2=冬=8,解得P=6,

此時(shí)點(diǎn)P（4,4V3）,圓P的方程為（x-4）2+（y-4V3）2=36,

因?yàn)閳AC和圓P的圓心距d=］（—2-4）2+（0-4次￥=2VH>V3+6,

所以兩圓外離.同理當(dāng)上=一舊時(shí)，兩圓也外離.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的方程和直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能力，

屬于中檔題.

8.（5分）某中學(xué)有學(xué)生近600人，要求學(xué)生在每天上午7：30之前進(jìn)校，現(xiàn)有一個(gè)調(diào)查小

組調(diào)查某天7：00?7：30進(jìn)校人數(shù)的情況，得到如下表格（其中縱坐標(biāo)y表示第x-1

分鐘至第x分鐘到校人數(shù)，1WXW30,x€N*,如當(dāng)x=9時(shí)，縱坐標(biāo)y=4表示在7：08?

7：09這一分鐘內(nèi)進(jìn)校的人數(shù)為4人）.根據(jù)調(diào)查所得數(shù)據(jù)，甲同學(xué)得到的回歸方程是y

=3.6%-27（圖中的實(shí)線表示），乙同學(xué)得到的回歸方程是y=0.82e°J6x（圖中的虛線表

示），則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

X1591519212427282930

Y13441121366694101106

yk

120-

90

A.7：00~7：30內(nèi)，每分鐘的進(jìn)校人數(shù)y與相應(yīng)時(shí)間x呈正相關(guān)

B.乙同學(xué)的回歸方程擬合效果更好

C.該校超過(guò)半數(shù)的學(xué)生都選擇在規(guī)定到校時(shí)間的前5分鐘內(nèi)進(jìn)校

D.根據(jù)甲同學(xué)得到的回歸方程可知該校當(dāng)天7：09?7：10這一分鐘內(nèi)的進(jìn)校人數(shù)一定

是9人

【答案】D

【分析】對(duì)于A,根據(jù)散點(diǎn)圖判斷；對(duì)于8,由圖象結(jié)合函數(shù)的圖象特征判斷；對(duì)于C,

由回歸方程得到的只能是估計(jì)值判斷；對(duì)于D根據(jù)統(tǒng)計(jì)表判斷.

【解答】解：對(duì)于A,根據(jù)散點(diǎn)圖知，7：00~7：30內(nèi)，每分鐘的進(jìn)校人數(shù)y與相應(yīng)時(shí)

間x呈正相關(guān)，故A正確；

對(duì)于8,由圖知，曲線y=0.82e°⑸的擬合效果更好，故乙同學(xué)的回歸方程擬合效果更好，

故8正確；

對(duì)于C,全校學(xué)生近600人，從表格中的數(shù)據(jù)知，7：26~7：30進(jìn)校的人數(shù)超過(guò)300,

故C正確，

對(duì)于D,表格中并未給出對(duì)應(yīng)的值，而由甲的回歸方程得到的只能是估計(jì)值，不一定就

是實(shí)際值，故。錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性回歸方程，屬于中檔題.

7T

9.（5分）將函數(shù)/（x）的圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，再向左平移1個(gè)單位，得到函數(shù)

g（%）=+?）（0V?V*）的部分圖象（如圖所示）.對(duì)于x2E[a,勿，且知力必

若g（xi）=g（元2）,都有g(shù)（%i+犯）=竽成立，則下列結(jié)論中不正確的是（）

A.g(%)=sin(2x+

TT

B./(%)=s譏(4%—可)

C.g(尤)在g等上單調(diào)遞增

AyrQ^77

-

D.函數(shù)/(x)在［0，-g］的零點(diǎn)為xi,12,…，物,則％i+2第2+2%3+…+2%n_］+%n=］2

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可得g(x)在區(qū)間3,切上的對(duì)稱軸為x=%結(jié)合g(0)=9(/+

刀2)=孚，可得隼的大小，從而可得g(x)解析式，即可判斷A；由函數(shù)圖象的平移變

換可得了(無(wú))的解析式，即可判斷B；由正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C；由正弦函數(shù)的性

質(zhì)計(jì)算即可判斷D

【解答】解：對(duì)于A,由題意可知函數(shù)g(x)=sin(2x+0)(0V*)的圖象在區(qū)間團(tuán)，

6］上的對(duì)稱軸為直線x=

又g(%i+x2)=冬所以g(0)=g(xi+x2)=亭,

所以sin(p=孚,

又因?yàn)閛qv今所以隼=條

故9(%)—sin(2x+9故A正確；

對(duì)于5,9(工)=sin(2;r+專)向右平移g個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)尸s譏(2支-號(hào))的圖象，

再將其橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的］得到了(/=s^(4x-芻的圖象，故5正確；

對(duì)于Cf令-2+2/CTT42%~2+2內(nèi)^，左EZ,

得一Y2+kn<%<^2k￡Z,

當(dāng)k=\時(shí)，—<x<彳］，所以g(%)在［碧，上單調(diào)遞增，

而［兀，竽］Z［碧，,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,令t—4x—'則tE\—亨,5TT］,

函數(shù)尸sin/在［一5，5兀］上有6個(gè)零點(diǎn)〃，⑵…，6

貝!J九+，2=m也+，3=3m/3+14=5m/4+"=7n，/5+%=9m

故，1+2,2+2/3+2/4+215+%6

TT_

=4(xi+2X2+2X3+2X4+2X5+X6)-lOxw=25TC,

857r

所以尤I+2X2+2X3+2X4+2無(wú)5+x6=萬(wàn)萬(wàn)，故D正確.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)y=Asin（3x+<p）的圖象變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考

查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分。

4+2i

10.（5分）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)一r=1+37.

1-t

【答案】l+3z.

【分析】由已知結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解.

4+2i(4+2i)(l+i)2+6i

【解答】解:=l+3z.

1-i-2

故答案為：1+3/.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

11.（5分）已知二項(xiàng)式（2x+備）6,則其展開(kāi)式中含/的項(xiàng)的系數(shù)為4320

【答案】4320.

【分析】求出展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，然后令x的指數(shù)為2,由此即可求解.

6r

【解答】解:二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為吟+1=CK2x）6-r（展）r=Cl-26T,3^^,

r=0,1,…，6,

4,

令6-@7=2,解得r=3,

則X2的系數(shù)為雷?23-33=4320.

故答案為：4320.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

12.（5分）已知雙曲線/—[=1與拋物線/="的一個(gè)交點(diǎn)為4尸為拋物線的焦點(diǎn)，

若履川=5,則雙曲線的漸近線方程為y=+V3x.

【答案】y=±V3x.

【分析】由拋物線的焦半徑公式求得尸點(diǎn)坐標(biāo)后，代入雙曲線方程得參數(shù)加值，然后可

得漸近線方程.

【解答】解：設(shè)A（xo,yo）,則％o+2=5,%。=3,%=8%0=24,

又A在雙曲線上，所以9—巖=1,772=3,

m

雙曲線方程為%2—號(hào)=La=1,b=V3,

所以漸近線方程為y=±V3x.

故答案為：y=±V3x.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

13.（5分）甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)贏2局者勝，分出勝負(fù)

3

即停止比賽.已知甲每局贏的概率為？每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.本次比賽到第3局才

1281

分出勝負(fù)的概率為—,本次比賽甲獲勝的概率為—.

25T25

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】利用古典概型、排列組合，能求出結(jié)果.

【解答】解：到第3局才分出勝負(fù)，則前兩局甲、乙各贏一局，其概率為廢x|x|=||.

若甲獲勝，分2種情況：

339

①甲連贏2局，其概率為gxg=痛，

②前兩局甲、乙各贏一局，第三局甲贏，其概率為6x|x|x|=患.

故甲獲勝的概率為/+——=——.

M林士d1281

故答案為：石；石？

【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

14.（5分）如圖，在平行四邊形A2C。中，ZABC=E為C。的中點(diǎn)，P為線段AE上

一點(diǎn)，且滿足BP=mB4+，C,則片E；若nABC。的面積為2百，則|BP|的最小值為

4V3

亍.

245/3

【答案】rV

【分析】利用平面向量基本定理以及線性運(yùn)算，結(jié)合向量相等，求出機(jī)的值，利用平行

-7-7

四邊形的面積，求出|BC||￡M|=4,由模的運(yùn)算性質(zhì)以及基本不等式求解最值即可.

—>—>TT1TT

【解答】解:BP=BA+AP=BA+kAE=BA+k(DE-DA)=(1-+kBC,

1TT—2T

所以(1+kBC=mBA+^BC,

11一5k=mn-?2To-*

則j1,所以機(jī)=(，所以BP=(B4+(BC,

因?yàn)閚ABCD的面積為2禽,

所以反向|?瞪=2百,

—?—?

則|BC||B4|=4,

-?44T8?一2

出

田川

22灰

----2

所以|BP|=9993?\BC\++4>1?V2X4+4=

、|BC|2

473

丁，

當(dāng)且僅當(dāng)|BC|=2時(shí)取等號(hào)，

->4A/3

則出P|的最小值為丁.

_24V3

故答案為：?

33

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量基本定理的應(yīng)用,向量數(shù)量積的應(yīng)用以及向量模的求解,

利用基本不等式求解最值的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題.

15.(5分)已知函數(shù)/(x)=1)1，1—3有四個(gè)實(shí)數(shù)根xi,X2,尤3,無(wú)4且

l(x—4)2,X>3

11109

X1<X2<X3<X4,則一(X3+X4)XIH——的取值范圍是(一，一)

4%23T~

【答案】弓發(fā)

【分析】根據(jù)題意，作出分段函數(shù)的圖象,討論根的范圍,得進(jìn)而求出衿+向

■+靜取值范圍.

【解答】解：由分段函數(shù)知：

1〈尤W2時(shí)，f(x)G(一8,0］且遞減;

2c尤W3時(shí)，f(x)G［0,1］且遞增；

3VxV4時(shí)，f(x)G(0,1)且遞減；

%24時(shí)，f(x)E[0,+8)且遞增；

(x)的圖象如下：f(%)=4有四個(gè)實(shí)數(shù)根XI,X2,X3,X4且％1Vx2Vx3Vx4,

由圖知：OVaVl時(shí)，/（x）=〃有四個(gè)實(shí)數(shù)根，且1VxiV2<X2V3VX3〈4VX4V5,又

X3+X4=8,

由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：（XI-1）（X2-1）=X\X2-（X1+X2）+1=1,

可得一二］一，

%2X1

???令一（X3+X4）XI+—=2xi+—=2x1——+1=/,且一<X1<2,

4%2x2X12

1331

由g（x）=2x一一+1在（一，2）上單增，可知g（-）<2x一一+l〈g（2）,

%22%

一109

所以T7VtV亍

3乙

i109

故答案為：（1，

32

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中

檔.

三、解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

16.（14分）在△ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊，已知acos（B-卷）=bsin力

（1）求角B的大??；

(2)若a=2,c=3,求sin(2A-B)的值.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等變換，即可求得B的值；

（2）利用余弦定理和三角恒等變換，即可求得sin（2A-B）的值.

【解答】解：⑴△ABC中，acos(B-f)=bsinA,

由sinAcos(B—7T)=sinBsinA,

6

TT

cos(5—Z)=sinB,

o

7T71

cosBcos-+sin8sin-=sinB,

66

V3i

-cosB—3sin8=0,

22

7T

/.COS(B+-7-)=0,

o

又BW(0,n),

解得B=~

(2)ZvlBC中，a=2,c=3,B=J,

由余弦定理得b=y/a2+c2—laccosB=夕，

由bsinA=acos(B—^),得sinA=g

...2

?cicf??cosA=ypj1

/.sin2A=2sinAcosA=

1

cos2A=2cos2A-1=

./c”n、，c”r>A-r>4\/^114^34^

..sin(2A-B)=sin2Acos8-cos2AsinB=X5一亍X丁=萬(wàn)才.

/Z/Z14

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角恒等變換與解三角形的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題.

17.(15分)如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面ABC。是邊長(zhǎng)為1的正方形，底面

ABCD,尸2與平面ABCD所成角為45°,E,B分別是PC,中點(diǎn).

(I)求證：ZJE〃平面PFB-,

(II)求平面PFB與平面EDB夾角的正弦值.

p

l/F'-'7/

AB

【答案】（I）證明過(guò)程見(jiàn)解答;

【分析】（I）以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC、。尸所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立

空間直角系，利用向量法能證明OE〃平面PEB;

（II）求出平面尸尸2的法向量和平面EDB的法向量，利用向量法能求出平面PEB與平

面EDB夾角的正弦值.

【解答】解：（I）證明：在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PD

_L底面ABCD,

尸8與平面ABC。所成角為45°,E,尸分別是尸C,A。中點(diǎn)，

：.PD=BD=V2,

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC、。尸所在直線分別為無(wú)軸，y軸，z軸，建立空間直角系，

1

則D(0,0,0),E(0,

2

1L

F(-,0,0),B(1,1,0),P(0,0,V2),

2

T1_>

BF=(-1,-1,0),BP=(-1,-1,V2),

設(shè)平面尸尸3的法向量為n=（x,y,z）,

JT]

.gp=--X—y=oT/2

貝I」，n.-2，取y=l,得九=(-2,1,一2A)，

n-BP=-x—yV2z=0

-->

,：DE-n=0,DEC平面PFB,

.?.OE〃平面PFB；

(II)平面尸F(xiàn)B的法向量為￡=(-2,1,—5)，

—?

DB=(1,1,0),

設(shè)平面EZ陽(yáng)的法向量為益=(〃，b,c),

,\m-DB=a+b=0-V2

則(TT]'取〃=1，得TH=(1,-L---),

Im-DE=/+勺c=02

設(shè)平面PFB與平面EDB夾角為0,

—>—>

則cos0=衛(wèi)嗎

\m\-\n\居一后

27_V330

平面PFB與平面EDB夾角的正弦值為singV1-cos0=1-=~55~'

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判定與性質(zhì)、二面角正弦值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能

力，是中檔題.

18.(15分)已知曲為數(shù)列｛飆｝的前"項(xiàng)和，且滿足S〃=2即+r其中rCR,且r=0.

(I)求數(shù)列｛麗｝的通項(xiàng)公式;

(II)設(shè)“=(-1嚴(yán)中，若對(duì)任意的灰N*,都有：鵡仇＜沅＜第1瓦，求實(shí)數(shù)

機(jī)的取值范圍.

n

【答案】(I)an=-r-2-\

(II)(-1,2).

【分析】(I)根據(jù)所與S”的關(guān)系求解即可;

(II)易得bn=(―1y+1+(—2尸，再分別求得￡徨Jbj,￡篙瓦,利用數(shù)列的增減

性即可得解.

【解答】解：(I)由Sn—2an+r,

當(dāng)〃=1時(shí)，〃i=Si=2〃i+r,所以〃1=--#0；

當(dāng)〃?2時(shí)，Cln=Sn~Sn-1=2dn--1，

所以=2cin-19

所以數(shù)列｛斯｝是以2為公比的等比數(shù)歹U,

n-1

所以%1=-Y-2；

1

(II)由(I)得％=飛^")=r(i-2■，

則%=(-1嚴(yán)*(-l)n+1(l-2n)=(-l)n+1+(―2)n.

故對(duì)/瓦*+歷+…+/T=1+嗎閨==上”，

洛瓦*+匕2+…+加=。+汽辛滬=土享*

而皆方1瓦=-(-2廣+1=二要隨〃的增大而減小，

所以(￡"ibt)max==^=-l,

本與仇=一(-2)；+1-2=2^-2隨〃的增大而增大，

1

所以(￡c盟1d)加的9V=4"~—47=2,

因?yàn)閷?duì)任意的〃CN*,都有字笠1瓦〈比<2設(shè)1瓦,

所以-1〈機(jī)<2,即實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(-1,2).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法以及數(shù)列的求和，數(shù)列的增減性，考查運(yùn)算求解

能力，屬于中檔題.

x2y2、1

19.(15分)已知橢圓C：—+—=1(<7>6>0)過(guò)點(diǎn)(2,0),且橢圓C的離心率為一.

azbz2

(I)求橢圓C的方程；

(II)若動(dòng)點(diǎn)尸在直線》=-1上，過(guò)尸作直線交橢圓C于M,N兩點(diǎn)，且P為線段MN

中點(diǎn)，再過(guò)尸作直線證明：直線/恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】(I)點(diǎn)(2,0)在橢圓上，將其代入橢圓方程，又因?yàn)閏=解方程組得到a,

b,由此能求出橢圓方程.

(II)點(diǎn)尸在直線x=-l上，則可得尸(-1,*),當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)設(shè)斜率為

k,得到直線MN中點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)解得比由/LMN可得直線/的斜率及其含參

數(shù)*的方程，分析得直線是否恒過(guò)定點(diǎn)，注意還要討論直線MN的斜率不存在的情況.

【解答】(I)解：???點(diǎn)(2,0)在橢圓上，

4o

.??W+T7=1,解得〃2=4,

azb乙

_1cl

?.?橢圓C的離心率為二，，一=

2a2

a2-b21

---弓-=二,解得廬?=3,

az4

x2y2

；?橢圓C的方程為了+--1-

43

（II）證明：設(shè)尸（-1,yo）,y（）E（―a，引，

①當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí),

設(shè)直線MN的方程為y-泗=左(x+1),M(xi,yi),N(x2,y2),

由仔+妥】

ly-y0=k(x-1)

22222

彳導(dǎo)：(34-4k)%+(8ky0+8k)%+(4y0+8ky0+4k—12)0,

2

.._8kyo+8k

??X-i+Xo-59

3+4/c'

2

?:P為MN中點(diǎn)、,...久1+久2=_1,即_8%+?

一2,

23+4〃

.3

??kMN=(yo。。)?

/J_LMN,'?ki——斐?,

.,.直線I的方程為y—yo=—袈（％+1），

即曠=