2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第3章圓錐曲線的方程3.3.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課件新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

第三章3.3.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).(數(shù)學(xué)抽象)2.能運(yùn)用拋物線的幾何性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題.(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.掌握直線與拋物線的位置關(guān)系,并會(huì)用方程思想解決此類問(wèn)題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)1

拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)圖形

范圍x≥0,y∈Rx≤0,

y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R對(duì)稱軸x軸

x軸

y軸

y軸

標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)焦點(diǎn)

頂點(diǎn)

準(zhǔn)線

離心率e=1通徑過(guò)焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸垂直的焦點(diǎn)弦,長(zhǎng)度等于2p開口方向向右向

向

向

原點(diǎn)(0,0)左

上下名師點(diǎn)睛1.拋物線沒(méi)有漸近線,在畫圖時(shí)不要把拋物線畫成雙曲線一支的形狀,因?yàn)殡p曲線的開口越來(lái)越開闊,而拋物線的開口越來(lái)越扁平.2.拋物線的頂點(diǎn)只有一個(gè),拋物線的焦點(diǎn)總在對(duì)稱軸上,拋物線的準(zhǔn)線始終與對(duì)稱軸垂直.微思考拋物線的幾何性質(zhì)與橢圓、雙曲線的有何不同?提示

拋物線的幾何性質(zhì)與橢圓、雙曲線的相比有較大差別,它的離心率為定值1,只有一個(gè)焦點(diǎn),一個(gè)頂點(diǎn)、一條對(duì)稱軸、一條準(zhǔn)線,沒(méi)有漸近線,沒(méi)有對(duì)稱中心,通常稱拋物線為無(wú)心圓錐曲線,而稱橢圓、雙曲線為有心圓錐曲線.知識(shí)點(diǎn)2

直線與拋物線的位置關(guān)系設(shè)直線l:y=kx+m,拋物線:y2=2px(p>0),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.(1)若k≠0,當(dāng)Δ>0時(shí),直線與拋物線相交,有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)Δ=0時(shí),直線與拋物線相切,有一個(gè)切點(diǎn);當(dāng)Δ<0時(shí),直線與拋物線相離,沒(méi)有公共點(diǎn).(2)若k=0,直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí)直線平行于拋物線的對(duì)稱軸或與對(duì)稱軸重合.因此直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件.微思考若直線與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),是否說(shuō)明直線與拋物線相切?若把拋物線換成橢圓、雙曲線,是否有類似的性質(zhì)?提示

直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),直線可以與拋物線相切,也可以相交.當(dāng)直線平行于拋物線的對(duì)稱軸或與對(duì)稱軸重合時(shí),直線與拋物線相交,有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)直線與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),直線與橢圓相切.當(dāng)直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),有可能相切,也有可能相交.當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí),直線與雙曲線相交,但只有一個(gè)交點(diǎn).重難探究·能力素養(yǎng)速提升問(wèn)題1由拋物線方程,可否知曉其幾何性質(zhì)?問(wèn)題2處理幾何問(wèn)題的基本思想、方法是什么?探究點(diǎn)一拋物線幾何性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題3對(duì)于解析幾何,一方面要通過(guò)方程了解其幾何性質(zhì),另一方面也要能夠把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決.對(duì)于拋物線問(wèn)題,在解決的過(guò)程中蘊(yùn)含了什么思想?【例1】

已知拋物線y2=8x.(1)求出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線、對(duì)稱軸、自變量x的范圍;(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn),作拋物線的內(nèi)接等腰三角形OAB,其中|OA|=|OB|,若焦點(diǎn)F是△OAB的重心,求△OAB的周長(zhǎng).思路分析(1)利用拋物線的對(duì)應(yīng)性質(zhì)求解;(2)利用拋物線的對(duì)稱性及重心的性質(zhì)求解.解

(1)拋物線y2=8x的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線、對(duì)稱軸、自變量x的范圍分別為(0,0),(2,0),直線x=-2,x軸,[0,+∞).(2)如圖所示.由|OA|=|OB|可知AB⊥x軸,設(shè)垂足為點(diǎn)M.因?yàn)榻裹c(diǎn)F是△OAB的重心,所以|OF|=|OM|.因?yàn)镕(2,0),所以|OM|=|OF|=3,所以M(3,0).故設(shè)A(3,m)(m>0),代入y2=8x得m2=24,規(guī)律方法

拋物線的幾何性質(zhì)在解與拋物線有關(guān)的問(wèn)題時(shí)具有廣泛的應(yīng)用,但是在解題的過(guò)程中又容易忽視這些隱含的條件.其中應(yīng)用最廣泛的是范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo).在解題時(shí),應(yīng)先注意開口方向、焦點(diǎn)位置,選準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)方程形式,然后利用條件求解.要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,根據(jù)拋物線的定義,將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化.探究點(diǎn)二直線與拋物線的位置關(guān)系問(wèn)題4直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是幾何問(wèn)題的重點(diǎn).類比直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷及相應(yīng)的典型問(wèn)題,如何判斷直線與拋物線的位置關(guān)系?又會(huì)有哪些與之相關(guān)的幾何問(wèn)題?【例2】

已知拋物線y2=2x,過(guò)點(diǎn)Q(2,1)作一條直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),試求弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程.規(guī)律方法

1.解決中點(diǎn)弦問(wèn)題的基本方法是點(diǎn)差法,運(yùn)算量相對(duì)較小.但點(diǎn)差法求軌跡方程時(shí)用到了斜率,必須驗(yàn)證斜率不存在的情況.2.直線與拋物線相交于兩點(diǎn),隱含著條件Δ>0,求y1+y2及x1+x2是為利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式做準(zhǔn)備.3.設(shè)直線l:y=kx+b,拋物線y2=2px(p>0),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.(1)若k2=0,此時(shí)直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn),該直線平行于拋物線的對(duì)稱軸或與對(duì)稱軸重合.(2)若k2≠0,當(dāng)Δ>0時(shí),直線與拋物線相交,有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)Δ=0時(shí),直線與拋物線相切,有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)Δ<0時(shí),直線與拋物線相離,無(wú)交點(diǎn).探究點(diǎn)三拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題問(wèn)題5在橢圓、雙曲線中,過(guò)焦點(diǎn)的弦往往都有一些特殊的幾何性質(zhì),對(duì)于拋物線來(lái)說(shuō),過(guò)焦點(diǎn)的弦有哪些重要的幾何性質(zhì)?如何研究?【例3】

設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=8.(1)求直線l的方程;(2)求過(guò)點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0,y0),因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.規(guī)律方法

AB是拋物線y2=2px(p>0)過(guò)焦點(diǎn)F的一條弦,稱為焦點(diǎn)弦,解決焦點(diǎn)弦問(wèn)題要善于利用幾何問(wèn)題來(lái)優(yōu)化運(yùn)算.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),過(guò)A,M,B分別向拋物線的準(zhǔn)線l作垂線,垂足分別為A1,M1,B1,拋物線的焦點(diǎn)弦有以下結(jié)論:探究點(diǎn)四與拋物線有關(guān)的定點(diǎn)、定值問(wèn)題問(wèn)題6定點(diǎn)、定值問(wèn)題體現(xiàn)了幾何問(wèn)題變化過(guò)程中的不變性,必然是解析幾何研究的重點(diǎn)內(nèi)容.對(duì)于直線與拋物線來(lái)說(shuō),這些問(wèn)題經(jīng)常以哪些形式呈現(xiàn)?又如何解決?【例4】

已知?jiǎng)訄A經(jīng)過(guò)定點(diǎn)D(1,0),且與直線x=-1相切,設(shè)動(dòng)圓圓心E的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程.(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P(1,2)的直線l1,l2分別與曲線C交于A,B兩點(diǎn),直線l1,l2的斜率存在,且傾斜角互補(bǔ).證明:直線AB的斜率為定值.(1)解

∵動(dòng)圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)D(1,0),且與直線x=-1相切,∴E到點(diǎn)D(1,0)的距離等于E到直線x=-1的距離,∴E的軌跡是以D(1,0)為焦點(diǎn),以直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線.∴曲線C的方程為y2=4x.(2)證明

設(shè)直線l1的方程為y=k(x-1)+2.∵直線l1,l2的斜率存在,且傾斜角互補(bǔ),∴l(xiāng)2的方程為y=-k(x-1)+2.規(guī)律方法

定值與定點(diǎn)問(wèn)題的求解策略(1)欲證某個(gè)量為定值,先將該量用某變量表示,通過(guò)變形化簡(jiǎn)若能消掉此變量,即證得結(jié)論,所得結(jié)果即定值.(2)尋求一條直線經(jīng)過(guò)某個(gè)定點(diǎn)的常用方法:①通過(guò)含有一個(gè)參數(shù)的直線方程來(lái)判斷;②先通過(guò)特殊情況探求定點(diǎn),再證明一般情況下此點(diǎn)在直線上;③轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線的斜率相等或向量平行等.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)拋物線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用;(2)直線和拋物線的位置關(guān)系;(3)拋物線中點(diǎn)弦問(wèn)題,軌跡問(wèn)題.2.方法歸納:直接法、定義法、待定系數(shù)法.3.常見誤區(qū):(1)求拋物線方程時(shí)焦點(diǎn)的位置易判斷失誤;(2)數(shù)學(xué)運(yùn)算的失誤.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)123451.(例1對(duì)點(diǎn)題)已知拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上,直線l過(guò)點(diǎn)F且垂直于x軸,l與拋物線交于A,B兩點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)O為拋物線的頂點(diǎn),若△OAB的面積等于4,求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.12345123452.(例2對(duì)點(diǎn)題)設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q,若過(guò)點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn),則直線l的斜率的取值范圍是(

)B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]C解析

由題知Q(-2,0),若直線l的斜率不存在,顯然不合題意.故直線l的斜率存在,設(shè)為k,則l的方程為y=k(x+2).當(dāng)k=0時(shí)顯然符合題意;當(dāng)k≠0時(shí),需Δ≥0,即16(k2-2)2-4k2·4k2≥0,解得-1≤k<0或0<k≤1.故直線l的斜率的取值范圍是[-1,1].12345123453.(例2對(duì)點(diǎn)題)已知拋物線y2=6x,過(guò)點(diǎn)P(4,1)引拋物線的一條弦P1P2,使它恰好被點(diǎn)P平分,求這條弦所在的直線方程及|P1P2|.12345解

由題意知弦所在直線的斜率存在.設(shè)直線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),弦兩端點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2).∵P1,P2在拋物線上,兩式相減,得(y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2).∵y1+y2=2,∴弦所在的直線斜率∴直線的方程為y-1=3(x-4),即3x-y-11=0.聯(lián)立y2=6x與3x-y-11=0,消去x,得y2-2y-22=0,∴y1+y2=2,y1y2=-22,123454.(例3對(duì)點(diǎn)題)過(guò)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F,且斜率為

的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方),l為C的準(zhǔn)線,點(diǎn)N在l上,且MN⊥l,則點(diǎn)M到直線NF的距離為(

)C1234512345123455.(例4對(duì)點(diǎn)題)已知拋物線的方程是y2=4x,直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).(1)若弦AB的中點(diǎn)為(3,3),求直線l的方程;(2)若y1y2