湖北省武漢市江岸區(qū)2023-2024高三年級(jí)上冊(cè)元月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題及答案

2023?2024學(xué)年度高三元月調(diào)考

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知集合A={—2,—1,1,2},B=則A3=()

A.{1,2}B.{-2,-l}C.{-1,1,2}D.{-2,-l,l)

2.已知i是關(guān)于x的方程2%之+p%+q=0(p,ggR)的一個(gè)根，則"+9=()

A.OB.-2C.2D.1

3.已知向量a=(3,1),b=(3,2),c=(1,4),則COS(Q/-C)=()

A.立B.在C.在一旦

5310一行

4.函數(shù)/(x)=log2(-尤2+分)在區(qū)間(0,1)上遞增，則a的取值范圍是(

A.[2,+oo)B.(2,+oo)C.(0,2)D.(0,2]

5.設(shè)數(shù)列{叫的前〃項(xiàng)和為九則”是“{叫為等差數(shù)列”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.成語“運(yùn)籌帷幄之中，決勝千里之外”，意思是在小小的軍帳之內(nèi)作出正確的部署，決定了千里之外戰(zhàn)場(chǎng)上

的勝利，說的是運(yùn)籌的重要性.“帷幄”是古代打仗必備的帳篷，又稱“幄帳”，如圖是一種幄帳示意圖，帳

頂采用“五脊四坡式”，四條斜脊的長度相等，一條正脊平行于底面.若各斜坡面與底面所成二面角的正切值

均為工，底面矩形的長與寬之比為2：1,則正脊與斜脊長度的比值為()

2

245

A.-B.-D.-

3344

2

7.已知A,8為雙曲線九一y2=1上不同兩點(diǎn)，下列點(diǎn)中可為線段A3的中點(diǎn)的是()

A.(1,1)B.(2,3)PM

irn_4

8.已知在ZXABC中，a—2b,sinB,貝!Jsin-sin------=()

322

A巫Vw

n正

D.---------------D.---------

333

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.如圖，正方體ABCD—A與G2的棱長為1，則()

A.正方體A3CD—4與￡。的內(nèi)切球的半徑為日

B.兩條異面直線2c和BC1所成的角為JT；

C.直線BC與平面ABQD,所成的角等于彳7F

D.點(diǎn)D到面ACD,的距離為—

10.已知圓O:f+y2=i和圓c：(x—3)2+(y—4)2=/(/〉0),則()

A,兩圓可能無公共點(diǎn)

B.若兩圓相切，則r=4

C.直線％=-1可能為兩圓的公切線

37

D.當(dāng)〃=4時(shí)，若丁=履+加為兩圓的公切線，則左=——或一

424

11__7

11.設(shè)A,3是一次隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且尸(A)=],P(B)=-,P(AB+AB)=-f則()

A.A,2相互獨(dú)立B.P(A+B)=|C.P(B|A)=|D,P(A|B)P(B|A)

12.已知函數(shù)/(x)=e*-6，g(x)-k\nx-x,k>Q,則()

A.當(dāng)%>e時(shí)，函數(shù)/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)

B.存在某個(gè)ke(0,+s),使得函數(shù)/(x)與g(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)不相同

C.存在左＞e,使得/（x）與g（x）有相同的零點(diǎn)

D.若函數(shù)/（X）有兩個(gè)零點(diǎn)七，*2（/＜X2），g（X）有兩個(gè)零點(diǎn)七,毛（毛＜X4），一定有七%=々％

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知如下的兩組數(shù)據(jù)：

第一組：10、11、12、15、14、13

第二組：12,14、13、15、。、16

若兩組數(shù)據(jù)的方差相等，則實(shí)數(shù)。的值為.

14.若函數(shù)y（x）=sin＜?x+sinlox+g卜＜?〉0）在［0,萬］上恰有兩個(gè)極大值點(diǎn)和四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值

范圍是.

15.“十字貫穿體”是由兩個(gè)完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體，其中一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱

分別垂直于另一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱.兩個(gè)四棱柱分別有兩條相對(duì)的側(cè)棱交于兩點(diǎn)，另外兩條相對(duì)的側(cè)棱交

于一點(diǎn)（該點(diǎn)為所在棱的中點(diǎn)）.若某“十字貫穿體”由兩個(gè)底面邊長為2,高為3近的正四棱柱構(gòu)成，如圖

所示，則該“十字貫穿體”的體積為.

2222

16.如圖，橢圓G：=+看=1（勾＞4＞0）和。2：二+?=1有相同的焦點(diǎn)耳，尸2,離心率分別為6,

e,,8為橢圓G的上頂點(diǎn)，居尸，片尸，K，B,尸三點(diǎn)共線且垂足P在橢圓。2上，則且的最大值是

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

,八、一人.4▽j"、,八r,，口x.2cos（B+C）cos3cosC

17.（10分）在ZkABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.已知----------=-----+-----.

beabac

（1）求A；

（2）。為邊上一點(diǎn)，DALBA,且6￡）=3。。，求cosC.

18.(12分)如圖，已知四邊形ABC。為平行四邊形，E為CD的中點(diǎn)，AB=4,AD=AE=2>

△AOE沿AE折起，使點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)P的位置，使平面APE,平面A5CE.

(1)求證：APLBE-,

(2)求平面PAC與平面PBE夾角的余弦值.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=(e-a)e*+x(aeR).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若存在實(shí)數(shù)。，使得關(guān)于x的不等式/(x)<4a恒成立，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

20.(12分)若數(shù)列｛七｝滿足：存在等比數(shù)列｛c“｝,使得集合｛當(dāng)+。"|"｛4｝元素個(gè)數(shù)不大于左

(丘N*),則稱數(shù)列代｝具有P(Q性質(zhì).如數(shù)列為,=1,存在等比數(shù)列g(shù)=(-1)",使得集合

｛%,+cn\neN*｝=｛0,2｝,則數(shù)列｛%?｝具有P(2)性質(zhì).若數(shù)列｛4｝滿足q=0,

%=吟+g(—l)09eN*),記數(shù)歹U｛4｝的前幾項(xiàng)和為Sn.

證明：(1)數(shù)列｛%+(-!)"｝為等比數(shù)列；

(2)數(shù)列｛SJ具有P(2)性質(zhì).

21.(12分)已知一個(gè)盒子中裝有1個(gè)黑球和2個(gè)白球，這些球除顏色外全部相同.每次從盒子中隨機(jī)取出1

個(gè)球，并換入1個(gè)黑球，記以上取球換球活動(dòng)為1次操作.設(shè)幾次操作后盒子中所剩黑球的個(gè)數(shù)為“

(1)當(dāng)〃=3時(shí)，求J的分布列；

(2)當(dāng)〃=左伏之3)時(shí)，求J的分布列和數(shù)學(xué)期望月C).

22.(12分)己知拋物線。1：爐=4y的焦點(diǎn)為尸，M為拋物線C2：爐=4(y+l)上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi).過

M作拋物線G的兩條切線MA，MB,A,B是切點(diǎn)；射線"尸交拋物線。2于。.

(1)求直線A3的方程(用M點(diǎn)橫坐標(biāo)/表示);

(2)求四邊形M4D5面積的最小值.

2023-2024學(xué)年度高三元月調(diào)考

數(shù)學(xué)試卷參考答案

一、選擇題

l.B2.C3.A4.A5.C6.B7.B8.A

二、選擇題

9.BC10.ACDll.ABD12.ACD

三、填空題

,“「2313)56行V2+1

13.11或1714.—,—15.-------16.--------

L63)32

四、解答題：

,、八2cos(B+C)cosBCOSC,八「人‘…

17.(1)已知-----------=-------1--------，由5+C=?-A,Wcos(B+C)=-cosA,

beabac

-2cosAcos3cosC7/口c八7一

所以--------=------+-----，兩邊同乘以次?c得：-2d；cosAx=ccosB+bcosC.

beabac

由正弦定理得：-2sinAcosA=sinCcosB+cosCsinB=sin(B+C)=sinA.

127r

由AG(0,^)，sinAwO,所以cosA=——，A=——

23

(2)因?yàn)?。?c邊上，且8D=3DC,

3313

因?yàn)閆M,區(qū)4,所以AD-4B=0,則［；AB+；AC}AB=O,

-2--

即AB+3ACAB=0,得|31AC|?|-cosA,

3

所以。2=三次，2c=3從不妨設(shè)Z?=2,c=3.

2

在△ABC中，由余弦定理：片=b2+c2_2bccosA=4+9+6=19,所以。=炳.

c^+b2-c219+4-9_7A/19

由余弦定理:cosC=

2ab2XMX2-38

18.(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，且AWE為等邊三角形，所以NBCE=120°.

又因?yàn)椤隇镃O的中點(diǎn)，則《石=七。=公4=。，所以△BCE為等腰三角形，

可得NCEB=30°,ZAEB=180°—ZAED—ZBCE=90。,即成，AE,

因?yàn)槠矫鍭PE,平面ABCE,平面APE、平面ABCE=AE,3Eu平面ABCE,

則班_1_平面"石，且APu平面"E,所以AP_L5E.

(2)作過。作°y〃EB,

由面APE上面ABCE得PO，面ABCE

則QA,0y,O尸兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

尸(0,0,我,A(l,0,0),￡(-1,0,0),8(-1,2A0),C(-2,AO)

設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為nz=(%，M，zJ

m-PA=0fx=A/SZ,R

由知「i可取根=(e,3,i),

m-AC=0[%=A/3玉

同理得平面PBE的一個(gè)法向量n=(-A0,l).

設(shè)平面PAC與平面PBE的夾角為。.

m-n—3+1_V13

則cos0=

\m\\n\713x2—13'

面PAC與面？的夾角的余弦值為巫

13

19.(1)函數(shù)［(冗)=(?-〃把“+1(〃￡區(qū)),XGR,則/'(x)=(e-Q)e*+1,

當(dāng)e—即〃<e時(shí)，/'(x)>0恒成立，即/(x)在R上單調(diào)遞增;

當(dāng)e—〃<0,即〃>e時(shí)，令/，(%)=0,解得x=-ln(a-e),

(Yo,-ln(a-e))-ln(6z-e)(-ln(tz-e),+oo)

r(x)+0—

小)極大值

綜上所述，當(dāng)〃<e是，/(%)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)?！礶時(shí)，/(%)在(Yo,-ln(〃-e))上單調(diào)遞增，在(-ln(〃-e),+8)上單調(diào)遞減.

(2)/(%)<Aa(e-a)ex+x-<0,令/z(x)=(e-a)e'+x-，

當(dāng)〃<e時(shí)，/z(l+2^)=(e-6z)e1+^+l>0,所以例?KO不恒成立，不合題意.

當(dāng)a〉e時(shí)，/(%)<Aa等價(jià)于Xa>/(a)max

由⑴可知/(x)1mx=/(—ln(a—e))=—1—ln(a—e)，

所以4aN-l-ln(a-e),對(duì)a〉e有解，所以22」一―2對(duì)a〉e有解,

a

因此原命題轉(zhuǎn)化為存在a〉e,使得％2土地二里.

a

令比(Q)=皿""1，Cl>6，貝U幾2K(〃)min'

a

e

-----ln(a-e)1ln(a-e)-----—

u\a)=—"e------+'二--------/士,

aaa

P1(>

令(p(d)-ln(Q-e)--------,則(p>{a)=--------b--------鼻>0,

Q—ea-e(a—e)

所以(p(d)在(e,+oo)上單調(diào)遞增，又0(2e)=----------bln(2e-e)=0,

2e-e

所以當(dāng)eva<2e時(shí)，(p(a)<0,u\d)<0,故"(a)在(e,2e)上單調(diào)遞減,

當(dāng)a>2e時(shí)，(p｛d｝>0,u\a)>0,故“(a)在(2e,+o。)上單調(diào)遞增,

所以沅(a)min=〃(2e)=—'，所以42-,，

ee

即實(shí)數(shù)4的取值范圍是—

20.(1)設(shè)〃=4+(—1)",則仿=一1,

2+1=a向+(T)用=一++J(T)〃一(T)"=一+一：(T)“=一；2?

乙乙乙乙乙

因此數(shù)列｛a+(—1)"｝是首項(xiàng)為—1,公比為-；的等比數(shù)列,

n且a”+(-1)"

(2)由(1),，所以S〃=

取數(shù)列5=_工［_工］,貝!］｛5｝是等比數(shù)列，并且S,+q=—；—；(—1)'.

312J62

因此集合｛s〃+rn\neN*｝=j-|,|l.所以數(shù)列｛S.｝具有P(2)性質(zhì).

21.解：（1）72=3,即3次摸換球后J的可能取值為1,2,3.

當(dāng)。=1,即3次摸球都摸到黑球,

P(^=l)=lx-x-=—

33327

當(dāng)J=2,即3次摸球中有且僅有2次摸到黑球，1次白球,

P((f=2)=[黑黑白)T+P（黑白黑）+P（白黑黑）

112122222

=—X—X——I-—X—X——I——X—X—

333333333

14

27

當(dāng)。=3,即3次摸球中有且僅有1次摸到黑球，2次白球,

P(4=3)=《黑白白)+彳白黑白)+彳白白黑)

12122121

=—X—X—-1——X—X--1——X—X1

33333333

12

"27,

二分布列為

4122

11412

P

272727

（2）〃=左（左23）時(shí)，即左次摸球換球后，黑球個(gè)數(shù)4可能取值為1,2,3

同（1）當(dāng)自=1,即上次摸球都摸到黑球PC=l）=（g]

當(dāng)&=2,即人次摸球有且僅有“左-1”次摸到黑球，1次摸到白球,

PC=2）=%黑黑）+4黑白黑黑）+??+々黑黑黑白）

￥1-2

c2"-1

=2,—.

3k

當(dāng)J=3,尸《=3)=1_尸4=1)_尸《=2)

=3-2(i)

22.(1)M