2024年高考數(shù)學：三角形相似綜合訓練

高考復習材料

專題07三角形相似綜合訓練

送整型

1.如圖，在矩形48co中，將△/￡＞（?繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到VEDE,B、F、E三點恰

好在同一直線上，NC與BE相交于點G,連接。G.以下結(jié)論正確的是（）

@AC1BE；?\/BCG-MGAD-③點尸是線段CD的黃金分割點；@CG+j2DG=EG

A,①②③B.①③C.①②③D.①③④

【答案】D

【詳解】證明：

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MFDE^/ADC,

;.AD=DF,DC=DE,ZDEF=ZDCA,

又??,四邊形/BCD是矩形，

：.ZADC=90°,

ZDAC+ZDCA=90°,

即ZDAG+ZDEF=90°f

??.N4GE=90。,

即故①正確；

???ACVBE,

ZBGC=90°,

即VBGC是直角三角形，而V4G。不是直角三角形,

.?.②錯誤；

在RNFCB和RtAFDE中，

???ZBFC=ZEFC,

??.RtMFCBsRtMFDE,

FCBC

：'~DF~~DE'

...BC=AD=DF,DE=DC,

FC_DF

,?育―京，

二點廠是線段CD的黃金分割點，，③正確；

在線段E尸上作EG，=CG,如圖所示，連接DG"

.?.NDEG=ZDCG,

在ADCG和V2MG中,

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DC=DE

<ZDCG=/DEG,

CG=EG'

：.\/DCGMOEGTSAS),

：.DG=DG\/CDG=/EDG,

-ZCDG+ZGDA=90°f

：,NEDG+/GDA=9。。,

.?./GDG'=90。，

.?.VGOG是等腰直角三角形,

?1?GG'=y[2DG,

：EG'=CG,

■■EG=EG'+GG'=CG+y[2DG

故選：D.

【我思故我在】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)以及黃金分割點的性質(zhì)，全等三角形

的判定和性質(zhì)等綜合知識，關鍵是對知識的掌握和運用.

2.如圖，在V48c中，D、E分別在AB邊和AC邊上，DEHBC,M為BC邊上一點（不與

B、C重合），連結(jié)AM交DE于點N,則（)

ADANcBDMN型="rDNNE

A----=-----B.-------------CD.-------------

?ANAEMNCE■BMMCMCBM

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定可得△ADNsaABM,AANE^AAMC,再根

據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】?.?DE〃3C,.-.AADN-AABM,AANE-AAMC,二黑，黑=等9需=黑

BMAMAMMCBMMC

故選c.

【我思故我在】本題考查平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握

平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì).

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3.如圖，在A4BC中，AC=2,BC=4,。為5C邊上的一點，且/若MDC

的面積為。，則AARD的面積為（）

A.2aB.—aC.3〃D.—a

22

【答案】C

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得到A4C。：NBCA,再由相似三角形的性質(zhì)得到答

案.

［詳解］ACAD=NB,ZACD=ZBCA,

：.\ACD:KBCA,

解得，ABC”的面積為4a,

.,.AAaD的面積為：4a-a=3a,

故選C.

【我思故我在】本題考查相似三角形的判定定理和性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形

的判定定理和性質(zhì).

4.如圖，在矩形/BCD中，E,尸分別為邊8C、CD中點，線段/尸與對角線8。分別

交于點G,H.設矩形的面積為S,則以下4個結(jié)論中：①/G：GE=2：1②BG：

2

GH：HD=1：1：1；@St+S2+S3=-S；④S2：S4：Sf=1：2：4正確的結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

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【答案】c

【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)和線段中點的定義得：笑=絲=2,可判斷①正

GEBE

確；同理根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得：BG=；BD,DH=；BD,可判斷②正確；

③④設&=x,根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方，等底同高三角形面積的關系

依次用x表示各三角形的面積，可作判斷.

【詳解】解：①???四邊形N8CD是矩形，

：.AD=BC,AD//BC,

是的中點，

.-.BE=-BC,

2

?-?AD//BE,

.-.MBGE^MDGA,

/嚏嚕=2,故①符合題意;

②嚏嚏嘿=Z,

■,BG=-BD,

3

同理得：DH=±BD,

■■.BG=GH=HD,

：.BG-.GH-.HD=L1：1；故②符合題意;

③?：AD〃BE,

:.ABEGsADAG,

"S3+S44,

■.■BG=GH=HD,

S5=S4=S3,設S]=無，則S5=S4=S3=2x,

.■.S=12x,同理可得：S2=x,

.-.Sl+S2+S3=X+x+2x=4x=^S;故③錯誤，不符合題意;

④由③知：§6=12x—6x—x—x=4x,

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.-.S2：54:56=1:2:4,故④符合題意；

所以本題的3個結(jié)論符合題意；

故選：C.

【我思故我在】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)和判定，三角形面積等知識，解

題的關鍵是理解題意，等底同高三角形面積相等，相似三角形面積的比等于相似比的平

方.

5.如圖，在正方形/BCD中，△BPC是等邊三角形，BP、C尸的延長線分別交/。于E、

尸，連接2D、DP,AD與CF相交于點給出以下結(jié)論：①8E=3/E；②VZ?FP:VAW7；

③DP°=PH-PC；④若/2=2,貝11sAsm=百一1.其中正確結(jié)論的是（）

A.①②③④B.②③④C.①②④D.①③④

【答案】B

【分析】根據(jù)等邊三角形和正方形的性質(zhì)得/43￡=/。3=30。，則3E=2/E,可判定①

錯誤；通過導角能得出/尸DP=/PAD,得NDFP=NBPC=60。,從而證明V。尸P:VAW7,

可判斷②正確；禾U用VOP〃~VCPD,得第=器，可說明③正確；過點尸作尸MLCD于

1

M,PN-LBCJ*N,將工3戶0轉(zhuǎn)化為S四邊形PBCD—SABCD=SAPOC-SABCB，從而判斷④）成立.

【詳解】解：TASPC是等邊三角形，

...BP=PC=BC,ZPBC=ZPCB=ZBPC=60°,

在正方形48CD中，

,:AB=BC=CD,ZA=ZADC=ZBCD=90°,

ZABE=ZDCF=30°,

/.BE=2AE,

故①錯誤；

,:PC=CD,ZPCD=30°,

:.ZPDC=75°,

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/./FDP=15。,

vZDBA=45°f

ZPBD=15°,

ZFDP=ZPBD,

ZDFP=ZBPC=60°,

:NDFP7BPH,

故②正確；

ZPDH=ZPCD=30°,ZDPH=NDPC,

:MDPH3CPD,

.DPPH

,正一而‘

:.DP2=PHPC,

故③正確；

如圖，過點P作尸A/_LCD于M,PN工BC于■N,

正方形的邊長N8為2,ABPC為正三角形，

:"PBC=NPCB=60。，PB=PC=BC=CD=2,

ZPCD=30°,

.?.尸N=P8sin6()o=2x立=5PAf=PC-sin30°=1,

2

..SgPD=S四邊形PBCD_S甌D=S"DC_SgcD,

S=—x2xV3+—x2xl--x2x2=V3-1,

222

故④正確，

故選：B.

【我思故我在】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，含30。角的直角

三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握各性質(zhì)是解題的關鍵.

6.如圖，在平行四邊形48CD中，點M,N分別是8C上的點，且

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AM=2DM,BN=2CN,點。是CM,ON的交點，直線AB分別與CW,DN的延長

線交于點尸,。.若平行四邊形/BCD的面積為144,則△尸。。的面積為（）

A.72B.216C.268D.300

【答案】D

【分析】由題意易得=BN=2CN,則易證P4=2CD=8。，然后設平行四邊形

/3C。的高為〃，則可得△尸的高為進而問題可求解.

6

【詳解】解：???四邊形Z3CQ是平行四邊形，

；,CD=AB,CD//AB,

:.VAMPsVDMC,

APAM

???AM=2DM

APAM

-----=-------=2,

DCDM

：.AP=2CD,

同理可證2CZ）=80,

：.PA=2CD=BQ,

PQ=PA+AB+BQ=2CD+CD+2CD=5CD.

設。到CD的距離為4,設。到尸。的距離為生，平行四邊形/BCD的高為刀，則有

h=hi+h2,

-CD//AB,

；.VCODS\IPO。,

hxCD

??瓦一而7

.??△P。。的高為，

6

??,SY/BCB=CO/=144,

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15152525

??.S”cc=-PQ—h=-x5CD,一h=—CD-h=—xl44=300；

vroe26261212

故選：D.

【我思故我在】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形

的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)是解題的關鍵.

7.如圖，在正方形N3CD中，點G是3c上一點，且連接。G交對角線/C于尸

2

點，過。點作DELOG交C4的延長線于點E,若/￡=5,則。尸的長為（）

2

【答案】D

【分析】過點E作而_LN。，交延長線于“，再根據(jù)正方形的性質(zhì)，推出/〃=/8CD,

根據(jù)同角的余角相等，推出/1=/3,證明VDET/svoGC,推出累=段，NC是正方形

GCDC

對角線，推出/"H=/CMC=45。，求出EH=HA=*,進而求出。尸的長度.

2

【詳解】解：過點E作交八4延長線于ZZ,

ZH=90°,

在正方形中，AB=BC=CD=AD,ABAD=AB=ZBCD=ZADC=90°,

Z2+Z3=90°,/H=/BCD,

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,,DE1DG,

\ZEDG=90°,

Z2+Zl=90°,

?./I=/3,

NDEHsVDGC,

.EH_PH

~GC~~DC'

.GC_1

.茄—J，

??設GC=x,貝UBG=2x,DC=BC=3x,

.EH_PH

GC

:.DH=3EH,

：/C是正方形ABCD對角線，

■.NDAC=45。,

??ZEAH=ADAC=45°,

?.ZHEA=45°,

EH=HA,

:.EH2+HA2=25,

5A/2

/.EH=HA.=-----，

2

:.DH=3EH=]^-

2

.-.AD=DH-AH=5也，

GC=-BC=-AD=—

333

10A/5

DG=Jm+cG?=

3

「在正方形ZBCQ中，AD〃BC,

.CGGF

.?茄一市―

/.DF=3GF,

3_310V5575

..DnzF7=—DG=—x----=----；

4432

故選：D.

【我思故我在】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判

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定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)的綜合應用，其中輔助線的做法、相似的證明、勾股定理的應用是

解題關鍵.

8.己知，如圖，平行四邊形48CD中，CE:BE=1:3,且工￡笈=1，那么凡.=.

【答案】20

【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到/O=8C,AD//BC,SVACD=SVABC，證明

CEEF

△ADFs^CEF,得到一=—,由C￡:8E=1:3,得到C￡:4D=1:4,貝ij

ADDF

51=黑據(jù)此求出￡皿=4,2^=16,進而求出口BC=%S=20.

ADDF4屋EFC

【詳解】解：???四邊形是平行四邊形，

4D=BC,AD//BC,S^ACD=S^ABC=5S平行四邊形/^（笫，

???△ADFsACEF,

CEEF

,?茄一而‘

???CE:BE=1:3,

???C￡:C8=1:4,

CE:AD=1:4,

CEEF

??茄一而一"

???S△加=4S/C=4,}==16,

'△EFC\。巴J

S2ADC=S/\ADF+S^CDF=20,

AS4ABC=^AACD~20,

故答案為：20.

【我思故我在】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，證明

CFFF

△ADFs^CEF,得到不=一是解題的關鍵.

ADDF

9.。是VZBC邊上的任一點（尸不與/、B、。重合），過點尸的一條直線截VZ3C,如果截

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得的三角形與V/BC相似，我們稱這條直線為過點P的A48C的“相似線”.中,

ZC=90°,Z8=30。，當點尸是邊BC上一個三等分點時（P8＞尸C）,過點尸的\1ABC的相

【分析】根據(jù)相似線的定義，可知截得的三角形與V/8C有一個公共角，分①公共角為//

時；②公共角為Z8時；③公共角為/C時；三種情況進行討論，即可得出答案.

【詳解】解：①當公共角為//時，不存在；

②公共角為時，過點尸作POLBC,交于點。，如圖所示：

NB=NB,

：.YBPDsVBCA；

過點。作尸。，力5于點。，如圖所示:

vZPDB=ZC=90°,/B=/B,

???/\BPD^Z\BAC；

③公共角為NC時，

連接/P,如圖所示:

CP、B

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???/B=30°,

/.AB=2AC,

設AC=a,貝！JAB=2a,

BC=^AB2-AC2=6a，

???點尸是邊上一個三等分點，BP>CP,

i巧

-CP=-BC=—a,

33

CPAC

~AC~~BC

zc=zc,

；.VACP~YBCA；

過點。作尸?！?5,交ZC于點D,如圖所示:

'：PD//AB，

??./DPC=/B,ZPDC=ZA,

???YCDPsVCAB；

綜上分析可知，過點P的VZ3C的〃相似線〃最多有4條.

故答案為：4.

【我思故我在】本題主要考查了相似三角形的判定，平行線的性質(zhì)，勾股定理，解題的關鍵

是熟練掌握三角形相似的判定方法.

A17AJ7

10.如圖，在V/BC中，BC=6,肅=說，動點尸在射線EF上，BP交CE于點、D,ZCBP

EBFC

的平分線交CE于點。，當C0=；CE時，EP+AP的值為.

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【答案】18

【分析】如圖，延長EF交BQ的延長線于G.首先證明必=PG,EP+PB=EG,由EG//BC,

推出鐺=42=3,即可求出EG解決問題―

Cni/C

【詳解】解：如圖，延長E尸交5。的延長線于G.

AE_AF

?~EB~~FC

??.EG//BC

???/G=/GBC

?：Z-GBC=Z-GBP

4G=4PBG

：.PB=PG

??.PE+PB=PE+PG=EG

..?C°=；CE

.-.EQ=3CQ

■：EG//BC

.?△EQGsMQB

EGEQ

------=3

CBQC

-：BC=6

??.EG=18

.-.EP+PB=EG=1S

故答案為：18.

【我思故我在】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的

判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線構造相似三角形是解題的關鍵.

11.如圖，在矩形/BCD中，點、E,尸分別是4瓦上的點，

BE=3,CD=6,ZFED=30°,NFDE=45°,則BC的長度是.

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【答案】6A/3+3##3+6V3

【分析】作FNLOE于點N,延長0E交C8的延長線于點先證AFND是等腰直角三角

形，設印=x,利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出。N,EF,酒的長度,

再利用ASA證明A￡4D絲推出=ME=DE=(l+^x,最后再證

NEBMs"NM,利用對應邊成比例求出BM,即可得到5c的長度.

【詳解】解：如圖，作FNIDE于點、N,延長?！杲籆8的延長線于點初，

???NFDE=45°,

ZDFN=ZFDN=45°,

.[ATM)是等腰直角三角形.

由題意得：AB=CD=6,NA=ZABC=ZABM=NFNM=9?！?BC=AD,

設FN=x,貝i]OV=x,

?:/FED=3G°,ZFNE=90°,

EF=2FN=2x,

NE=^EF2-NF2=g2-x2=氐，

:.DE=DN+NE=[l+^x.

BE=3,AB-6,

AE=BE=3,

又?.,/EAD=ZEBM,ZAED=ABEM,

,\EADg\EBM(ASA),

/.AD=BM,ME=DE=0+6)x.

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???ZEBM=ZFNM=90°,AM=AM,

\EBMs"NM,

,BMBEBM-3

,,而一而‘(26+1,x，

解得：BM=6'3,

BC=AD=BM=6舟3,

故答案為：6A/3+3.

【我思故我在】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，

含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識點，解題的關鍵是靈活運用相關性質(zhì)，作

輔助線構造直角三角形和全等三角形.

12.如圖，在V/3C中，AB=14,AC=6,在/C上取一點。，使40=2,如果在上取

點、E,使V4DE和V48c相似，則/￡=.

【分析】本題應分兩種情況進行討論，①VABC:X/AED；②V/BC:MADE-,可根據(jù)各相

似三角形得出的關于/￡、AE、AB、NC四條線段的比例關系式求出NE的長.

【詳解】解：本題分兩種情況：

①如圖：

.-?AB:AC=AE;AD,

■：AB=14,AC=6,40=2,

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②如圖:

???AB\AC=AD:AE,

vAB=14,AC=6,AD=2,

：.AE=—,

7

故答案為：（14或6

【我思故我在】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì).由于題中沒有明確相似三角形的對應角

和對應邊，因此本題要分情況進行討論，以免漏解.

13.如圖是某風車示意圖，其相同的四個葉片均勻分布，水平地面上的點M在旋轉(zhuǎn)中心。

的正下方，某一時刻，太陽光線恰好垂直照射葉片04、OB,此時各葉片影子在點M右側(cè)

成線段CD.測得MC=8.5m,CD=13m,垂直于地面的木棒E尸與影子FG的比為2:3.則

【分析】連接交4c于點H,過點C作CN1,通過證明△HMCs△瓦7Gs△均。,

通過相似三角形對應邊成比例即可解答.

【詳解】解：連接0M交NC于點卬過點C作CN/5D,

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-HC//EG,

??.ZHCM=ZEGF,

???ZHMC=/EFG=90°,

SHMCs^EFG,

HMEF_2

?一而一3'

'：MC=8.5m,

設EF=2x，F(xiàn)G=3x,貝!JEG=飛EF?+FG?=5x

VZEGF=/NDC,ZEFG=/CND,

??.ACNDs/\EFG,

CNCD口口CN13

???--=------，即——=I——，

EFEG2xyJ13x

解得：CN=25,

AB1BN,AB1AC,CN1BD,

???四邊形Z8NC為矩形，

??.AB=CN=25,

：.OA=-AB=yfl3f

2

vZAHB=/MHC,ZOAH=ZHMC,

:?AHAOSAHMC,

???色HMCS^EFG,

SHAOsAEFG,

OAOHnnV13OH

FGEG3x

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13

解得：0*三,

1317

：.OM^OH+HM=—+—=\Q,

33

故答案為：10.

【我思故我在】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關鍵是畫出輔助線，構建

相似三角形.

14.如圖，在平行四邊形45CD中，點E在邊5c上，連結(jié)/￡并延長，交對角線5。于點

【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AD二BC,AD||BC,即可證得△ADF~ZkEBF,

AGEC^AGAD,然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案.

【詳解】???四邊形ABCD是平行四邊形，

.*.AD=BC,ADIIBC,

.-?△ADF-AEBF,AGEC-AGAD,

EF_BEEG_EC

??看―石'前一茄'

CE_2

BE_3CE_2

“AD5AD5'

FE_3EG_2

*'IF_-5'

.里EG2

,,萬一飛二一馬‘

.FE_9

?‘茄一記?

【我思故我在】此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì).解題關鍵在于注

意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用.

15.矩形45CQ中，AC,8。為對角線，4B=6cm,5C=8cm,E為。C中點，動點尸從

點4出發(fā)沿方向，向點8運動，動點0同時以相同速度，從點5出發(fā)沿方向向點C

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運動，尸、。的速度都是1cm/秒，其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動,

設運動時間為x秒.(0</<6)

時，求運動時間t；

⑵PQJL8D時，求運動時間/；

⑶當f為何值時，以點P,B,0為頂點的三角形與VQCE相似？

⑷連接尸的面積能否達到矩形23CD面積的三分之一，若能求出f的值；若不能,

說明理由.

【答案】(1"=彳24

(2)f號

⑶t=2或t=￡-屈

2

⑷”1^

2

【分析】(1)先求出力尸=/，BQ=t,BP=8-t,再證明△/BCs△尸8。，空=%

即

ABBC

由此即可得到答案；

86

(2)證明△尸得到《|=筆，即*=2,據(jù)此求解即可;

BCCDoo

(3)分當△研。s2\C0￡時，當△HPQS^CE。時，兩種情況利用相似三角形的性質(zhì)討

論求解即可；

（4）先求出&PQE=§S矩形43co=16cm2,再由&P0E=S梯形P8CE—SaPB?！?.便,得到

----......-x8----------二0=16,解方程即可.

222

【詳解】（1）解：由題意得，"=t,BQ=t,貝i]AP=N8-/P=6-f,

?；PQ〃AC,

.?.△ABCsAPBQ,

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6-t_t

?,一,艮aI）n一

ABBC68

解得仁早24；

(2)解：???四邊形48c。是矩形,

NABC=ZBCD=90°,CD=AB=6cm,

■.■PQ1BD,

ZBPQ+ZPBD=90°=ZPBD+ZDBC,

ZBPQ=ZCBD,

.?.△PBQsABCD,

噗唱即等磊

解得f=?

(3)解：當時，則第=

,如圖3-1所示,

???E是。。的中點,

.-.CE=-CD=3cm,

2

^■：CQ=BC-BQ=^-t,

6一/t

8^-3J

???Z2-lk+18=0,

解得f=2或/=9（舍去）;

圖3-1

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當△BPQSACE。時，則寒=萼，

6-t_t

??一，

38T

"2-171+48=0,

解得公-一質(zhì)(不合題意的值已舍去)；

2

綜上所述，當"2或二7一普時,以點尸，B,。為頂點的三角形與VQCE相似

2

(4)解：由題意得S^ABCD=AB-BC=48cm,

_1_2

S△尸度=§S矩形/BCD=16cm,

???^/XPQE=S梯形PBCE~S^PBQ~S叢CQE，

.3+(6-)t(6-t)3(8-。

??---------------Xo----------------------------------------10,

222

/_1U+16=O,

解得1=11一扃(不合題意的值已舍去).

【我思故我在】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，一元二次方程與圖

形面積，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關鍵.

16.解答題

(1)如圖1,V48c和VADE都是等邊三角形，連接80、CE,求證，BD=CE；

［類比探究］

高考復習材料

⑵如圖2,V48c和V/DE都是等腰直角三角形，NABC=ZADE=90。,連接AD,CE.求

BD

的值?

［拓展提升］

ArAp

（3）如圖3,VZ3C和VZDE都是直角三角形，/ABC=/ADE=90。,—=—=2.連接

ABAD

BD、CE,延長CE交8。于點R連接我.若乙4FC恰好等于90。，請直接寫出此時

AF,BF,CF之間的數(shù)量關系.

C

【答案】（1）見解析

理

⑶CF=2BF+0F

【分析】（1）證明從而得出結(jié)論；

（2）證明VA4￡>svC4E,從而得出結(jié)果；

（3）過點8作尸，垂足為點兄令和CF相交于點。通過證明AOB^SABCX

以及AAOFSABOH,根據(jù)對應邊成比例，即可將//，BF,CP三條線段表示出來，即可得

出結(jié)論.

【詳解】⑴解：人/尤和V/DE都是等邊三角形，

高考復習材料

AB=AC,AD=AE,ZDAE=ABAC=60°,

/.ADAE-ZBAE=ABAC-ZBAE,即：ZDAB=ZEAC,

在V34D和VC/E中，

AB=AC

<ZDAB=ZEAC,

AD=AE

八BAD之△C4￡（SAS）,

；.BD=CE.

（2）解：???V/BC和V4Z）￡都是等腰直角三角形,

/.ZDAE=ZBAC=45°,ZADE=AABC=90°,

???/\ABC~/\ADE,

ADAE.ADAB

—=—,貝nU—=—,

ABACAEAC

/DAE—/BAE=/BAC—/BAE,即：ZDAB=ZEAC,

在VB4D和VCZ￡中,

ZDAB=ZEAC,舞嚏

：.\IBAD^\ICAE,

BDAB

"CE-1C?

令N8=x,根據(jù)勾股定理可得：AC=6X，

BDABx_V2

豆一就一忘一下

過點5作BHLCF,垂足為點H,令和C尸相交于點O.

AQ4E

-ZABC=ZADE=90°,—=—=2,

ABAD

高考復習材料

???/4CB=N4ED=30。,ZBAC=ZDAE=60°f

：.\ACB^\AED,貝！J/CUE=/A4C,

ZDAE-ZBAE=ABAC-ZBAE,即：/DAB=/EAC,

ACAEc

-----=------=2,

ABAD

；.YBADSYCAE,

???/ACE=/ABD,

在八在和MOC中，

/ACE=NABD,ZFOB=ZAOC,

：.ZOFB=ZOAC=60°,

沒FH=x,OH=y,則BF=2x,BH=#x,

?:BH1CF,OBLBCf

??.\OBH^\BCH,

OHBHyy[3x廠3x2

---=,即~^=~=----,CH=,

BHCH瓜CHy

：.CF=CH+FH=x+—=3xl+Xy,

yy

???ZAFO=/BHO=90°,ZAOF=/BOH,

.?2OFS^BOH,

：.空=空,即轉(zhuǎn)=運3,

BHOHV3xyy

BF=2x,AF二瓜?一瓜丫,CF=3x2+Xy,

yy

/.2BF=4x,&F=“一3肛,

y

“3x2-3xv3x2+xy一二

???4x+---------=-----------=CF,

yy

???CF=2BF+6AF.

【我思故我在】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判

定和性質(zhì)等知識，解決問題的關鍵是熟練掌握"手拉手"模型及其變形.

17.在aABC中，ZACB=90°,BE是AC邊上的中線，點D在射線BC上.

高考復習材料

(1)如圖1,點D在BC邊上，CD:BD=1:2,AD與BE相交于點P,過點A作/尸2BC,

Ap

交BE的延長線于點F,易得奇的值為;

(2)如圖2,在AABC中，N/C5=90°,點D在BC的延長線上，AD與AC邊上的中線BE

Ap

的延長線交于點P,DC:BC=1:2,求而的值；

(3)在(2)的條件下，若CD=2,AC=6,則BP=.

32

【答案】(1)(2)(3)6

【分析】(1)易證4AEF三ZkCEB,則有AF=BC.設CD=k,則DB=2k,AF=BC=3k,由AF||BC可

AP

得△APFs^DPB,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可求出而的值；(2)過點A作AF||DB,交

BE的延長線于點F,設DC=k,由DC：BC=1：2得BC=2k,DB=DC+BC=3k.易證

△AEF=ACEB,則有EF=BE,AF=BC=2k.易證△AFP-aDBP,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可

求出急的值；

FPBF

(3)當CD=2時，可依次求出BC、AC、EC、EB、EF、BF的值，然后根據(jù)標的值求出而

的值，就可求出BP的值.

【詳解】解：(1)如圖1中，

vAFIIBC,

高考復習材料

.-.ZF=ZEBC,

vZAEF=ZBEC,AE=EC,

.-.△AEF=ACEB(AAS),

.-.AF=BC.

設CD=k,則DB=2k,AF=BC=3k,

vAFIIBC,

.-.△APF-ADPB,

PA_AF_3

??而―訪―5'

3

故答案是：—；

(2)如圖2,過點A作AFIIDB,交BE的延長線于點F,

設DC=k,由DC：BC=1：2得BC=2k,DB=DC+BC=3k.

???E是AC中點,

???AE=CE.

vAFIIDB,

???Z.F=Z1.

在4AEF和4CEB中，

'/F=Z1

<Z2=Z3,

AE=CE

/.AAEF=ACEB,

/.EF=BE,AF=BC=2k.

vAFUDB,

.-.△AFP-ADBP,

高考復習材料

PA_FP_AF_2k_2

''PD~BP~BD~3k~3；

(3)當CD=2時,BC=4,

vAC=6,

.-.EC=AE=3,

??EB=NEC-BC?=5

???EF=BE=5,BF=10.

FP_2

?BF_5

,?，

BP3

33

.?.BP=-BF=-X10=6.

55

故答案為6.

【我思故我在】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股

定理等知識，結(jié)合中點，作平行線構造全等三角形是解決本題的關鍵.

18.在中，CA=CB,=點尸在平面內(nèi)不與點4,C重合，連接Z尸，將線

段ZP繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)二得到線段。P,連接/R3ACP.

圖①圖②備用圖

(1)如圖①，當e=60。，器的值是，直線8。與直線。尸相交所成的較小角的度數(shù)

.

(2)如圖②，當a=90。時，請寫出罟的值及直線8。與直線CP相交所成的較小角的度數(shù),

并說明理由.

⑶當a=90。時，若點E,尸分別是C4C8中點，點p在直線E尸上，請直接寫出當C,P,

AD

。在同一直線上時，求之的值.

高考復習材料

【答案】（1）1,60°

（2）72，45°,理由見解析

⑶2+收或

【分析】（1）證明4P得到8。=CP,即可得解；利用全等，對應角相等,

以及對頂角相等，得到即可得解；

（2）根據(jù)題意：Z\APD,V/8C是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明

△DABsAPAC,利用相似的性質(zhì)即可得解；

（3）分點。在線段尸C上，和尸在線段CD上兩種情況分類討論即可；

【詳解】（1）解：如圖，延長”交50的延長線于點E,設N8交EC于點。

■：CA=CB,ZACB=a=60°,

???V/8C是等邊三角形，

由題意可知N4PD=ZCAB=a=60°,AP=DP,

??.VP4D是等邊三角形，

...ZPAD=ZCAB=60°,AP=DP=AD,

ZCAP+ZPAB=ZBAD+ZPAB,即ZCAP=ZBAD,

在VC4P和V24D中，

'CA=BA

<NCAP=ZBAD,

AP=AD

??.△CAP咨ABAD（SAS）

PC=BD,AACP=ZABD

ZAOC=ZBOE

.?.在VNOC和△BOE中，有NBEO=NCAO=60°

ary

???能=1,直線BD與直線CP相交所成較小角的度數(shù)是60°；

高考復習材料

圖①

(2)箸=0；直線3尸與直線CP相交所成較小角的度數(shù)為45。，理由如下:

a-90°,

??.N4CB=N4PD=90。,

又<AP=PD,

.■.AAPD是等腰直角三角形，

.-.ZPAD=ZPDA=45°,

AD=y/AP2+PD2=CAP，

■■ZACB=90°,且CN=C3,

.?.V/8C是等腰直角三角形，

ZCAB=NCBA=45°,

???AB=y/AC2+BC2=41AC-

我條叵""'XS。

/CAB+/DAC=/PAD+NDAC,BPADAB=APAC,

△DABsdPAC,

BDABATJ/―

=—=J2,ZDBA=ZPCA,

"'CP~^CAP

設5。交C尸于點G,BD交CA于點、H,

??,在加和△CHG中，ZBHA=ZCHG,ZDBA=ZPCA,

.-.ZCGH=ZBAH=45°；

高考復習材料

（3）—值為2—血或2+后，理由如下：

當點。在線段尸。上，延長4。交3。的延長線于點”，

???E,F分別是C4,的中點，即￡尸是MABC的中位線，

???EF〃AB,

：./EFC=/ABC=45。,

???/PAO=45°,

??./PAO=ZEFC,

vAPOA=ZFOH,

ZH=ZAPO,

???NAPC=90o,EA=EC,

：.PE=EA=EC,

???ZEPA=ZEAP=Z.BAH