2024屆北京市延慶區(qū)高考一模數學試題（含答案解析）

2024屆北京市延慶區(qū)高考一模數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合A={x|x<3},區(qū)={1,2,3},則Au5=()

A.y,3)B.y,3]

C.{1,2}D.{1,2,3}

2.若復數z滿足z?i=三，貝ljz=()

1-1

A.-1-iB.-1+i

C.1-iD.1+i

3.在(2x-^)5的展開式中，V的系數為(

)

X

A.40B.-40

C.80D.-80

4.已知拋物線C：/=8x的焦點為尸，點M在C上.若M到直線x=Y的距離為7,

則|〃用=()

A.4B.5

C.6D.7

5.已知正方形ABC。的邊長為2,點尸滿足AP=：(AC+AD),則凈.屁=()

A.4B.5C.6D.8

6.“sin26>0”是“。為第一或第三象限角”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知函數*X)=3X-2X-1,則不等式/(X)<0的解集是()

A.(0,1)B.(0,+8)C.(一8,0)

D.+

8.設Q=log32,b=log96,c=1,貝U()

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>c>aD.b>a>c

9.在等邊,ABC中，AB=2,P為ABC所在平面內的動點，且B4=l,。為邊3c上

的動點，則線段P2長度的最大值是()

A.癢1B.代+1

C.73+2D.3

10.已知在正方體ABC。-ABCA中，鉆=1，尸是正方形ABC。內的動點，PA>pq,

則滿足條件的點P構成的圖形的面積等于()

二、填空題

22

11.已知雙曲線u十忘=1的離心率為5則雙曲線。的漸近線方程為.

12.ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知N5=60,sinA=3sinC,b=幣,

則。=,ABC的面積為.

13.已知函數〃x)=J(0<a<l)在區(qū)間(-1,0)上單調遞減，則。的一個取值為.

14.北京天壇的圜丘壇分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)

繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上

一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數相同，且三層共有扇

面形石板(不含天心石)3402塊，則上層有扇形石板塊.

尤2+lax,x<l,

15.已知函數〃x)=a\nx給出下列四個結論：

---,X>1.

①存在實數使得函數的最小值為0;

②存在實數a<0,使得函數/(x)的最小值為-1；

③存在實數4，使得函數/(x)恰有2個零點；

④存在實數。，使得函數/*)恰有4個零點.

其中所有正確結論的序號是.

三、解答題

16.已知函數/(x)=2sinxcosx-2asin2x+a(a>0),/(尤)的最大值為2.

(1)求。的值；

(2)將Ax)的圖象向右平移三個單位得到g(x)的圖象，求函數g(x)的單調增區(qū)間.

17.第十四屆全國冬季運動會雪橇項目比賽于2023年12月16日至17日在北京延慶舉

試卷第2頁，共4頁

行，賽程時間安排如下表:

9:30單人雪橇第1輪

10:30單人雪橇第2輪

12月16日星期六

15:30雙人雪橇第1輪

16:30雙人雪橇第2輪

9:30單人雪橇第3輪

12月17日星期日10:30單人雪橇第4輪

15:30團體接力

(1)若小明在每天各隨機觀看一場比賽，求他恰好看到單人雪橇和雙人雪橇的概率；

(2)若小明在這兩天的所有比賽中隨機觀看三場，記X為看到雙人雪橇的次數，求X的

分布列及期望E(X)；

⑶若小明在每天各隨機觀看一場比賽，用“。=1”表示小明在周六看到單人雪橇,=0”

表示小明在周六沒看到單人雪橇，“&=1”表示小明在周日看到單人雪橇，“4=?！北硎?/p>

小明在周日沒看到單人雪橇，寫出方差。(露，D(口的大小關系.

18.如圖，四棱柱耳的底面ABCD是邊長為2的正方形，側面

底面ABC。，D、D=3,E是5c的中點.

⑴求證：〃平面GE。；

(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇二個條件作為已知，使二面角

。-GE-瓦唯一確定，并求二面角。-GE-瓦的余弦值.

條件①：cp=9；

條件②：邛=拒;

條件③：AD1QD.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得。分；如果選擇多個符合要求的條件分

別解答，按第一個解答計分.

19.己知橢圓￡:5+《=1(。>6>0)的離心率為孝，AC分別是E的上、下頂點，

\AC\=2,民。分別是￡■的左、右頂點.

⑴求E的方程；

⑵設尸為第二象限內E上的動點，直線尸。與直線BC交于點直線與直線。交

于點N,求證：MNYBD.

20.已知函數/(x)=-lnx+(2+a)x-2.

⑴若曲線y=/(x)的一條切線方程為y=x-i,求。的值；

⑵若函數“X)在區(qū)間(1,2)上為增函數，求。的取值范圍；

⑶若7段[9，+，|,“X)無零點，求”的取值范圍.

21.已知數列｛%｝,記集合T=[S(z,j)|S(i，j)=al+aM+...+aj,l<i<j,i,jeN,).

(1)若數列｛%｝為1,2,3,寫出集合T；

⑵若an=2n,是否存在i,jeN*,使得S(z,j)=512?若存在，求出一組符合條件的i,j；

若不存在，說明理由；

(3)若見=72,把集合T中的元素從小到大排列，得到的新數列為如玄，…，￡，…，若

%<2024,求機的最大值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.B

【分析】根據題意，由并集的運算，即可得到結果.

【詳解】因為A={尤忖＜3},3={1,2,3},則AuB=(y，3].

故選：B

2.C

【分析】根據題意，由復數的運算，即可得到結果.

2222(1—i)2(l-i)

【詳解】由z.i=^可得z=1J^^=1一].

l-i7(l-i)il+ri(l+i)(l-i)2

故選：c

3.D

【分析】利用二項式定理直接求解.

【詳解】設M=C；(2X)5=(-1『25-*€獷-2乂左=(),1,5),

令5-2k=3,貝蛛=1,故d的系數為-24c=-80.

故選：D

4.B

【分析】根據拋物線的定義求解.

【詳解】由拋物線U/=8x可知，準線方程為x=-2,

因為M到直線x=Y的距離為7,

所以M到拋物線準線x=-2的距離為5,

由拋物線定義知，1破1=5.

故選：B

5.C

【分析】建立平面直角坐標系并寫出各點坐標，根據題意求相應向量的坐標，再根據數量積

的坐標運算進行求解即可.

【詳解】建立坐標系如圖，正方形ABCD的邊長為2,

答案第1頁，共15頁

則A（0,0）,C（2,2）,D（0,2）,可得AC=（2,2）,AZ）=（0,2）,

點尸滿足AP=：（AC+A。）=。,2）,所以APAC=lx2+2x2=，

故選：C.

6.C

【分析】由二倍角公式、充分必要條件的定義即可得解.

[sin6>0fsin0<0

【詳解】因為sin2e=2sin6?cose>0o〈八或〈,

[cos6>0[cos0<0

所以“sin2。>0”是“0為第一或第三象限角”的充分必要條件.

故選：C.

7.A

【分析】利用導數及導函數的單調性判斷極小值點在。<不<1,再由函數的單調性及

/（0）=/⑴=0可得不等式的解集.

【詳解】因為廣。）=3,3-2單調遞增，且（（0）=ln3-2<0,r（l）=31n3—2>0,

所以存在唯一x°e（。/），使得尸（不）=0,

所以當時，f\x）<0,當x>x0時，―（尤）>0,

所以函數/（x）在（Y?,不）上單調遞減，在（無。，田）上單調遞增，

又/（0）=/⑴=0,且。</<1,

所以由/（x）<o可得0<x<l,

故選：A

8.D

【分析】根據題意，由對數的運算可得b=log3#，C=log3有,再由對數函數的單調性即

答案第2頁，共15頁

可得到結果.

【詳解】因為6=10896=10832（迷）=log3A/6,且C=g=log3百，

又6<2<遍，函數y=1嗎》在（。，+°0）單調遞增，

則logsA/3<log32<log3-s/6,所以c<a<b.

故選：D

9.D

【分析】根據題意可知點尸在以點A為圓心，半徑為1的圓上，結合圖象分析即可.

【詳解】根據題意可知，點戶在以點A為圓心，半徑為1的圓上，

如圖：

。為邊BC上的動點，線段PQ取最大值時，

|PQ|=|AQ|+M=|AQ|+I,

而當。與點C重合時，|AQ|最大，且最大值為2,

此時線段尸Q長度的最大值為2+1=3,

故選：D.

10.A

【分析】由題意，在平面ABCDh,分別以AB,AO為x,y軸建立平面直角坐標系，設P（x,y）,

根據已知列出滿足的關系，進而可得滿足條件的點尸構成的圖形，計算面積即可.

【詳解】如圖，連接尸C,則PC】=‘PC?+CC；=JPC。+1,

答案第3頁，共15頁

D\

如圖，在平面ABCD上，分別以A8,AD為x,y軸建立平面直角坐標系,

則A(O,O),C(1,1),設尸(x,y),

由^|PA|>7|PC|2+I,

即ylx2+y2>7(x-l)2+(y-l)2+l,整理得2尤+2y-320,

設直線/:2工+2k3=0與。。,比交于點","，

則點P在4cMN內部(含邊界)，即滿足條件的點尸構成的圖形為.CMN及其內部,

易知.?.|cM=|cM=g,

X=

???5ACMW=1|CM|M=I4II-

ZZZZO

故選：A.

【點睛】關鍵點睛：本題解題關鍵是在底面ABCD上建立平面直角坐標系，把空間問題轉化

為平面問題去解決.

11.y=±—x

2

【分析】根據雙曲線的離心率化簡變形即可求出漸近線的斜率得解.

a2_a2_111

【詳解】因為_滔一一彳，

所以雙曲線的漸近線方程為y=±3x=±正x,

b2

答案第4頁，共15頁

故答案為：y=+^-x

2

12.1班乃石

44

【分析】根據題意，利用正弦、余弦定理求得。，再運用三角形的面積公式即可求得結果.

【詳解】因為sinA=3sinC,由正弦定理可得a=3c,

因為NB=60,在ABC中，由余弦定理可得：b2-a2+c2-2accosB>

所以7=9c2+c2-6c2xg,解得：c=l；

所以。=3c=3,由三角形面積公式可得：S=—acsinZABC=—x3x1x,

ABC2224

故答案為：1;史.

4

13.1（不唯一）

【分析】根據幕函數的單調性奇偶性即可得解.

【詳解】因為/（力=^（0<。<1）在（0,+⑹上單調遞增，又/（元）在區(qū)間（-1,0）上單調遞減，

2

所以/（九）可以為偶函數，不妨取

2

此時/。）=/=浮，函數定義域為xeR，

且/（-X）=（T）§==f（x）>故/（x）=必為偶函數，

滿足在區(qū)間（-1,0）上單調遞減.

故答案為：I（不唯一）

14.405

【分析】記從中間向外每環(huán)扇面形石板數為&｝,則。｝是等差數列,且公差為"=9,4=9,

設每層有七環(huán)，則〃=3笈，S“=3402,根據等差數列前”項和公式求出"，再求出S9即可.

【詳解】記從中間向外每環(huán)扇面形石板數為｛%｝,則｛4｝是等差數列，且公差d=9,%=9,

設每層有七環(huán)，貝心=33,S“=3402,

ll…n（n-\\dr9〃（〃-1）

所以——^-=3402,即139〃+———^=3402,

〃」22

即+〃—756=0,角星得〃=27或〃=—28（舍去），

b…cn.9x（9—l）d9x（9-l）x9

所以k=9,貝|S9=9q+―nj=9x9+——=405,

答案第5頁，共15頁

即上層有扇形石板405塊.

故答案為：405.

15.①③

【分析】取特殊值判斷①，當4<0時，分別分析分段函數兩部分的最值判斷②，根據分段

函數每部分的零點確定函數的零點可判斷③④.

【詳解】當。=0時，=，顯然函數的最小值為0,故①正確；

7［0,X>1.

當"。時，個）=-（行1）,?。?業(yè)㈣，

當1<x<e時,f'（x）<0,當ev%時，/'（%）>0,

所以/（九）在［l,e）上單調遞減，在［e,y）上單調遞增，

所以％=e時，/（元）有最小值f（e）=q,由幺=-1可得a=-e,

ee

此時，了<1時，/（x）=x2-2ex,/（x）在（一8,1）上單調遞減，所以/（%）>/⑴=l—2e,

與最小值為-1矛盾，

若無<1時，/（x）=x2+2ax的對稱軸方程為無=-a>0,當％=時，

即〃>一1時，f=f（-a）=-a2,若一。2=一1,貝=與〃>一1矛盾，

當光=-。31時，/（九）在（-8,1）上單調遞減，無最小值，

綜上，當〃<0時，函數〃九）的最小值不為-1,故②錯誤；

由②知,”-1時,X<1時，單調遞減且吐0）=。,當時，/（%）<0^/（1）=0,

所以函數恰有2個零點，故③正確；

當。>0時，/（元）=?吧之0（x21）且僅有/⑴=。，即@吧（尤21）有且只有1個零點，

XX

當。<0時，/（尤）=弛±40521）且僅有〃1）=。，即/（幻=生”（工21）有且只有1個零點，

XX

綜上awO時，/（犬）=色吧（無上1）有且只有1個零點，而/（X）=/+2辦=尤（尤+2°）在x<l上

x

至多有2個零點，

所以。力0時，函數沒有4個零點，當。=0時，函數有無數個零點，故④錯誤.

故答案為：①③

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是對。分類討論，利用導數研究口,+⑹上的函數性質，結

答案第6頁，共15頁

合二次函數性質研究另一段函數.

16.(l)a=V3

⑵+(々eZ)

【分析】（1）先利用二倍角公式和輔助角公式化簡/（*），再根據正弦函數的性質求解即可;

（2）利用三角函數的平移公式求出g（x）,再根據正弦函數的圖象和性質求解即可.

【詳解】(1)H/(JC)=sin2x+acos2x=y/l+a2sin(2x+(p),

,.a

其中sm°=1——二

y/l+a

所以y/l+a2=2，

又因為〃>0,解得a=^3.

(2)由(1)可得/(x)=sin2x+退cos2x=2sin[2x+]J,

將/(x)的圖象向右平移三個單位可得g(x)=2sin[2(x+￡-T=2sin12x-4

由2far-]W2x-y<2fat+](kGZ)解得far-R<x<ht+^^(左eZ),

即函數g(x)的單調增區(qū)間為也一己配+!|(keZ).

口.⑴；

(2)分布列見解析,1

(3)。(2>。?)

【分析】（1）根據分類乘法計數原理及古典概型求解；

（2）根據題意求出概率，列出分布列，求出期望即可；

（3）分別計算。值）,0倡），即可得解.

【詳解】（1）記“小明在每天各隨機觀看一場比賽，恰好看到單人雪橇和雙人雪橇”為事件A.

由表可知，每天隨機觀看一場比賽，共有4x3=12種不同方法，

其中恰好看到單人雪橇和雙人雪橇，共有2x2=4種不同方法.

答案第7頁，共15頁

41

所以尸(4)=二二1

123

(2)隨機變量X的所有可能取值為0』,2.

C3102

根據題意，P(X=0)=-^=—=-,

pl「2

P(X=1)=眨20_4

35-7

隨機變量X的分布列是:

數學期望雙*)=0*,+卜5+2、3='.

7171

(3)由題意，.侑=0)=*,P(^=l)=-=-.

所以￡恪)=04+1義；=3,+=

12

因為P?=0)=『P^2=l)=-,

所以E($)=0x；+lx|=|,D(^)=^-|Jx|+^l-|Jx|=|;

所以。信)>℃).

18.(1)證明見解析

(2)答案見解析

【分析】(1)方法一：利用線面平行的判定定理找到OE〃。田可證；方法二：利用面面平

行的判定定理證明平面D/BII平面QDE進而證明結論；

(2)選①:說明條件CXD=屈不能確定棱柱特點即可求解;選②③:證明RDI平面ABCD,

建立空間坐標系，求得二面角

答案第8頁，共15頁

【詳解】(1)證明：

方法一：在四棱柱ABCD-A&GA中，連結2C,設ACDCX=O,

連結0E,在△2BC中，因為0、E分別為ACBC的中點，

所以OE//QB,又因為OEu平面G0E，平面CQE,

所以〃3//平面GOE.

方法二：在四棱柱ABCD-A&GA中，設用G中點為產，

連結2尸，BF,FE,

因為尸G//BE,FC、=BE,所以FC.EB為平行四邊形，

所以FB//C,E,又FBZ平面GDE，QEu平面QOE,故EB〃平面CQE,

因為EF//CCJ/DDX,EF=CCX=DDt,所以DRFE為平行四邊形，

所以2歹〃DE,又￡＞尸0平面GDE,DEu平面GOE，故。尸〃平面

因為2尸\FB=F,EB,QBu平面QEB,故平面REB//平面CQE,

因為QBu平面'EB,所以AB〃平面CiEO.

(2)選擇條件①：

因為底面ABCD是正方形，所以CDLAD,

側面AD￡)iA_L平面A5CD,且側面c平面ABCD=仞，CDu平面ABCD,

故CD_1_平面ADD^,又DD\U平面ADDX\,則CD_LDDt,

即四邊形。CGR為矩形，因為DQ=3,CD=CA=2,則GO=屈，

答案第9頁，共15頁

與選擇條件①：(71。=店等價，故條件/不能進一步確定。R，A。的夾角大小,

故二面角D-CiE-Bl不能確定；

選擇條件②：

連結D]A,因為底面ABCD是正方形，所以54_LA￡>,

又因為側面AD2A，平面ABCD,且側面ADD]AC平面ABCD=AD,B4u平面ABCD,

所以54,平面ADDA，又平面AO2A，所以

在此△DAB中，因為℃=舊，45=2,所以DjA=屈，

在2A。中，因為AD=2,RD=3,所以M，￡)n，

又ABA￡>=A,A8,A￡>u平面ABC。，所以OR，平面ABCD,又ADLCD,

所以如圖建立空間直角坐標系。-孫z,其中。(0,0,0),G(0,2,3),E(l,2,0),C(0,2,0),

且。G=(°，2,3),DE=(1,2,0),易知DC=(0,2,0)為平面C|E片的一個法向量，

/、ri'DC,=0,[2y+3z=0

設力=x,y,z)為平面CQE面的一個法向量，貝"即"八.

n-DE=0f[x+2y=0

“DCn-6；

不妨設產一3,則尤=6,z=2,可得"=(6,-3,2),所以c°sDC,〃=網向=匯破二一二

3

因為二面角D-GE-耳的平面角是鈍角，設為。，故cos，=-1,

3

所以二面角。-GE-耳的余弦值為-1.

選擇條件③：

因為底面ABCD是正方形，所以AZJLOC,

因為A。_LG。，且。CcCp=D,DC,C{Du平面CRDC,

所以平面CQQC,因為RDu平面G，DC,所以A。，RD,

因為側面A￡)24_L平面ABC。，且側面4￡?24門平面9山)=>10,DQu平面ABCD,

所以平面ABCD,又AD_LC￡>,

所以如圖建立空間直角坐標系。-孫z,(下面同選擇條件②).

答案第10頁，共15頁

19.(1)—+/=1

(2)證明見解析

【分析】（1）由已知列出關于。，仇。的方程組，求得。力即可得解;

（2）首先設直線陽的方程為，=左（8-2）,聯(lián)立橢圓方程結合韋達定理表示出點P坐標，進

一步表示出各直線方程聯(lián)立直線方程證得M,N的橫坐標相等即可.

2b=2

【詳解】（1）由題設，￡=W，解得。=2乃=1.

a2

1

“2=/+c

2

因為橢圓￡的方程為產=1,所以4（0,1）,C（0,-1）1（-2,0）,。（2,0）,

設直線尸。的方程為丁=左（％-2）,其中

y=k(x—2)

2222

由片2_，化簡并整理得，(l+4k)x-16kx+16k-4=0,

彳+y一

116^2-4

由得＜及＜0可得A＞0,由韋達定理有2號=/

_?8—2一4k即2產。-2-Ak

所以辱=14M，yp=k(xp-2)=k一2i+4/'即尸（1中

1十^TK

直線5C的方程為義+三=1,BPy=-1x-l.

—2-12

_1,

由＜

y=K(X—2)

答案第11頁，共15頁

y—0=x+2，2

直線網的方程為Yk-8^-2i即尸-F-.

干LZ+24k

直線8的方程為9+三=1，即y=；l.

2—12

因為無”=/,所以MNL3Z).

20.⑴。=0

(2)ae[-l,+oo)

⑶ae(ro,-2]o(e-2,+oo)

【分析】(1)求導，再根據導數的幾何意義即可得解；

(2)由/'⑺在區(qū)間(1,2)上為增函數，可得了'(X)20在(1,2)內恒成立，求出廣(力的最小值

即可得解；

(3)分。進行討論，求出函數的單調區(qū)間及最值，進而可得出結論.

【詳解】(D函數/(尤)的定義域為(0,+8),設切點為(％，%)，

因為/'(無)=」+2+a,所以一~-+2+a=l,解得/=J_,

因為%=-后天+(2+4)%0-2,y0=x0-l,

所以一In%+(2+a)x-2=x-1,即In/=(1+〃)%-1,所以In----=1-1=0,

001+Q

所以4=1,解得a=0;

1+a

(2)因為/'(尤)=」+2+a,/(x)在區(qū)間(1,2)上為增函數，

X

所以廣(X)20在(1,2)內恒成立，

3

因為xe(l,2),所以r(x)e(a+l,a+5),

所以a+12O,即ae[-l,+oo)；

(3)因為廣⑴，+2+.=(2+幻1,xe(0,+e),

XX

答案第12頁，共15頁

當2+aWO,即〃4一2時，/r(x)<0,

所以“X)在[5，+也]上單調遞減，

因為d]=2+(2+*一2皿

所以了⑴在[5,+少)上無零點，符合題意；

當a>—2時，令f\x)=0,則x=——>0,

2+a

當]時，f'(x)<0,當,+s]時，f'(x)>0,

I2+aJ\2+aJ

所以/a)的單調遞減區(qū)間是(。,不匚]；單調遞增區(qū)間是(一一,+[,

I2+67)<2+4)

所以/*)的最小值為/[4]=-In——-1,

\2-\-aJ2+〃

當-InJ--1>0,即a>e-2時，/⑺無零點，符合題意；

當a=e-2時，/⑴有一個零點/=工>3,不符合題意；

當-2<a<e-2時，/⑴的最小值=--1<0,

\2+a)2+a

因為/[:[=(2+a)：>0,

所以王使得/(無。)=0,不符合題意；

2+aJ