2024年高三數(shù)學(xué)二輪備考真題演練之不等式(解析)

2024年高三數(shù)學(xué)二輪備考真題演練

不等式

一、選擇題

1.(2023?天津卷)函數(shù)/(%)的圖象如下圖所示，則/(%)的解析式可能為()

?%2+2?%2+1

【答案】D

【解析】【解答】根據(jù)圖象可知該函數(shù)為偶函數(shù)，

對(duì)A,f(r)=-/(%)，故該函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意，錯(cuò)誤；

對(duì)B,f(-%)=鬻三=一八%)，故該函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意，錯(cuò)誤；

對(duì)C,/(%)=5丁多F〉0,故此函數(shù)函數(shù)值均為正數(shù)，不符

7V72

X+2久2+2X2+2

合題意，錯(cuò)誤；

故選:D.

【分析】由函數(shù)結(jié)合奇偶性判斷可排除A、B,對(duì)C得特殊結(jié)構(gòu)利用基本不等式得

出函數(shù)值為大于0可排除，從而得出答案D.

2.(2023?全國(guó)乙卷)已知實(shí)數(shù)％,y滿足/+y2—4%—2y—4=0,則％—y的

最大值是()

A.1+這B.4C.1+3V2D.7

2

1

【答案】c

【解析】【解答】x2+y2-4x-2y-4=0,整理得(％-2)2+(y-I)2=9

其中圓心。為(2,1),半徑r=3.

另x-y=k,如下圖，易知當(dāng)直線x-y=k與圓-2/+(y-1尸=9相切時(shí)取得最

大

|2X11k|

即點(diǎn)0到直線x-y=k的距離為0A=R=3=/2^=3.解得k=1+3A/2

由k最大，即k取1+3企

故選：C

【分析】將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得出圓心與半徑，將x-y最大值轉(zhuǎn)化

為線性規(guī)劃問題，在可行域范圍內(nèi)分析并計(jì)算可得答案。

3.(2023?新高考I卷)已知集合乂={4,-1,0,1,2},N={X|X2^-6>0},則M

AN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}

C.{-2}D.{2}

【答案】C

【解析】【解答】V%2-X-6>0,?.(%-3)(%+2)>0,即

N={x/x>3或x4—2},則MN={—2}o故選C

【分析】利用一元二次不等求解集合N,進(jìn)而求集合M與N的交集。

2

（%-2>0,

4.（2022?浙江）若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件12%+y—7<0,則z=3%+4y

\x-y-2<0,

的最大值是（）

A.20B.18C.13D.6

【答案】B

（x—2>0,

【解析】【解答】根據(jù)約束條件<2x+y-7<0,畫出可行域，

\x-y-2<0,

可知過點(diǎn)a,3?時(shí)取到最大值18.

故答案為：B

【分析】先作出不等式組表示的平面區(qū)域，然后結(jié)合圖象求解即可.

（%+y:2,

5.（2022?全國(guó)乙卷）若x,y滿足約束條件1%+2y44,則z=2久—y的最大

（y>。，

值是（）

A.-2B.4C.8D.12

【答案】C

3

【解析】【解答】由題意作出可行域（陰影部分所示），目標(biāo)函數(shù)z=2%-y轉(zhuǎn)化

為y=2x-z,

上下平移直線y=2%-z,可知當(dāng)直線過點(diǎn)（4,0）時(shí)，直線截距最小，z最

大，

所以zmax=2X4-0=8.

故選：C

【分析】作出可行域，數(shù)形結(jié)合即可得解.

6.（2022?全國(guó)甲卷）設(shè)全集U={—2,—1,0,1,2,3）,集合A=

{-1,2},B={%|/一叔+3=0},則Cu（AUB）=（）

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

【答案】D

【解析】【解答】解：由題意得，B={%|/—4%+3=0}={1,3},所以AU

B={-1,1,2,3},

所以QQ4UB）={-2,0}.

故選：D

【分析】先求解方程求出集合B,再由集合的并集、補(bǔ)集運(yùn)算即可得解.

7.（2022?新高考I卷）設(shè)a=0.1e°,，b=-,c=—ln0.9,則（）

9

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

4

【答案】c

【解析】【解答】解：令2=乂口b=^~,c=-ln(l-x),

1-x

貝ljlna-lnb=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x),

令y=x+ln(l-x),x￡(0,0.1],

則y/=]_--=會(huì)<0,

1-x1-x

所以y<0,

所以InaWlnb,

所以b>a,

a-c=xex+ln(l-x),x￡(0,0.1],

令y=xe*+ln(l-x),x￡(0,0.1],

/,1(l+x)(l-x)ex-l

y—xev+ev----=----------,

，1-x1-x

令k(x)=(l+x)(l—x)ex—1,

所以k'(x)=(l-2x-x2)e'>0,

所以k(x)>k(0)〉0,

所以y'>0,

所以a-c>0,

所以a>c,

綜上可得，c<a<b,

故選：C

【分析】分別構(gòu)造函數(shù)y=x+ln(l-x),x￡(0,0.1],y=xex+ln(l-x),x￡(0,

0.1],根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再運(yùn)用作差法比較大小即可得解.

8.(2022?新高考I卷)若集合M={%|?<4},N={%|3%>1},則MnN

)

5

1

A.{%|0<%<2]B.<%|-<%<2]

1

C.[%I3<%<16]D.<%|-<%<16}

【答案】D

【解析】【解答】解：由題意得，M=(%|0<%<16},N={x\x>|),則Mn

1

N-{%|-<%<16},

故選：D

【分析】先由不等式的解法求得集合M,N,再根據(jù)交集的運(yùn)算求得答案.

9.(2022?浙江學(xué)考)不等式%2-4%<0的解集是()

A.(0,4)B.(—4,0)

C.(一,4)D.(—8,0)u(4,+8)

【答案】A

【解析】【解答】％2_4%<0=%。_4)<0,解得0<%<4,所以解集為

(0,4)-

故答案為：A

【分析】利用一元二次不等式求解集的方法，進(jìn)而得出不等式%2-4%<0的

解集。

xX

10.(2022?浙江學(xué)考)若log2(2-1)-%<log2(Z-2+32)對(duì)任意％e(0,

+8)恒成立，則2的取值范圍是O

1111

A.怠,+8)B.(0,-)C.(-,+8)D.(0,-)

【答案】A

xXx

【解析】【解答】由log2(2-1)-%<log2(A-2+3A),可得log2(2-1)-

%X

log22<log2(A-2+3A),所以<logzU,2久+32),因?yàn)楹瘮?shù)y=

6

10g2x在（0,+8）上單調(diào)遞增，所以蜂!<（2久+3）4=房二<4在（0,

+8）上恒成立，令t=2x（t>1）,則點(diǎn)上<4在（1,+8）上恒成立，令

t_11_1V1_1

y—t（t+3）—（1）+告+5'則'（1）+占+5—2l（t-D±+59'當(dāng)且僅當(dāng)t=

3,即%=log23時(shí)，取等號(hào)，所以A>|o

故答案為：A

xX

【分析】由log2（2-1）-%<log2（A-2+3A）,可得log2^-<log2（A-

2X+32）,再利用函數(shù)y=log2%在（0，+°°）上單調(diào)遞增，所以

（2久+3）A=2；2,3）<4在（0，+8）上恒成立，令t=2\t>1）,則

f—1t—11

石石<4在（1,+8）上恒成立，令y=近西=（-）+j，再利用均值不等

'Jt—1

1

式求最值的方法得出y=（i）+*+5的最大值，再結(jié)合不等式恒成立問題求解方

法，進(jìn)而得出實(shí)數(shù)a的取值范圍。

「%+1>0

11.（2021?浙江）若實(shí)數(shù)X,y滿足約束條件x-y<0，則z=%—

.2%+3y—1<0~

的最小值是（）

311

A.-2B.--C.——D.—

2210

【答案】B

「%+1>0

【解析】【解答】畫出滿足約束條件%-y<o的可行域，

.2%+3y—1<0

如下圖所示：

7

將目標(biāo)函數(shù)z=%-2y化為y=2x-2z,由丫二_；_0，解得

乙（乙%?□V-_L—U

,即4（T，1）,

當(dāng)直線y=2x-2z過A點(diǎn)時(shí)，

z=x—取得最小值為一日.

故答案為：B.

【分析】先畫出可行域，然后由目標(biāo)函數(shù)，作出直線y=2%-2z,當(dāng)直線過A

點(diǎn)時(shí)，得到最優(yōu)解，從而計(jì)算出結(jié)果。

12.（2022?浙江學(xué)考）不等式組+0表示的平面區(qū)域是（）

（%+y+z<U

【解析】【解答】畫出直線%—2y+5=0,經(jīng)過一、二、三象限，對(duì)應(yīng)圖中的

實(shí)線，代入（0,0）可得5之0成立，所以％—2y+5之0表示的區(qū)域?yàn)橹本€

8

%-2y+5=0及直線右下方；畫出直線x+y+2=0,經(jīng)過二、三、四象限,

對(duì)應(yīng)圖中的虛線，代入（0,0）可得2<0不成立，所以%+y+2<0表示的

區(qū)域?yàn)橹本€%+y+2=0及直線左下方，所以對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)锽.

故答案為：B

【分析】利用已知條件結(jié)合二元一次不等式組畫出可行域，從而找出不等式組表

示的平面區(qū)域。

二、填空題

—2x+3y<3

13.（2023?全國(guó)甲卷）設(shè)x,y滿足約束條件3%-2y<3,設(shè)z=3%+2y,則

、%+y>1

z的最大值為.

【答案】15

O1

【解析】【解答】由Z=3%+2y得y=+』z,

故當(dāng)直線/：y=-弓％+緊截距最大時(shí)，z取得最大值，

根據(jù)題意畫出可行域如上圖，易得當(dāng)直線Z過點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值,

解布口，即4（3,3）

9

zmI/vay=3x3+2x3=15

故答案為：15

【分析】利用約束條件畫出可行域，由目標(biāo)函數(shù)分析求截距最大值。

3%—2y<3,

14.（2023?全國(guó)甲卷）若x,y滿足約束條件—2%+3y<3,則z=3x+2y的

x+y>1,

最大值為

【答案】15

【解析】【解答】由z=3%+2y得y=-萬(wàn)％+]Z,

故當(dāng)直線/：y=-日久+/z截距最大時(shí)，z取得最大值,

根據(jù)題意畫出可行域如上圖，易得當(dāng)直線/過點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值,

即4(3,3)

=3x3+2x3=15

【分析】利用約束條件畫出可行域，由目標(biāo)函數(shù)分析求截距最大值。

15.（2023?天津卷）在△ABC中，4=60。，BC=1,點(diǎn)。為4B的中點(diǎn)，點(diǎn)E為

CD的中點(diǎn)，若設(shè)通=a,AC=b,則標(biāo)可用出B表不為；若

10

BF=^BC,則荏的最大值為

【答案】三五十工木-

4224

【解析】【解答】如圖所示，

第一空：?.?點(diǎn)。為4B的中點(diǎn)，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)

-1-

=-AB,

2

->1->-1->q—>1_、1~》

由平行四邊形法則易得

4E=-2(^1AC+AD7)=-2AC+-4AB=4-a+-2b

第二空：由?.,衣=]就，

T1T

；?BF=-BC.

3

TT——1—T1TT2717

^AF=AB+BF=AB+-3BC=AB+-3C1BA+AC)7=3-a+-3b.

-'-AE-AF=(-a+-b)-(-a+-b}=-a2+-b2+-\a\\b\cos^A=-a2+

\427\3376612II||6

川二胴w

又?「4=60°,BC=1,

lai+M-11_>->72T2

根據(jù)余弦定理得：cos/4=——,1,—=-,即a-b=a+b—1

2I4H2

又.b4莊忖，

-2

?t2t2lai+1^1冷刀4曰t272c

??a+b_]v-!_L，角牛得CL+b工2,

-2

11

T2T272

?1T2—>215J—>29T2

??—a+-b+引磯a+6b+△a+bT)J(a+

6624

—>2513

b)———V-

,24—24

—>T

故當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，荏的最大為捺

，4

故答案填：n.

【分析】根據(jù)題意，將其中兩邊視為基底向量，由平行四邊形法則易表示AE;

同理利用基底向量可表示/，進(jìn)而表示版.方，表示后的結(jié)構(gòu)易聯(lián)想到使用基

本不等式求其最大值，由基底夾角結(jié)合第三邊=1可聯(lián)想使用余弦定理得出平

方和與乘積的等量關(guān)系，消元且使用基本不等式可求得荏.荏的最大值.

X—3y<—1

16.（2023?全國(guó)乙卷）若x,y滿足約束條件%+2y<9,則z=2%—y的最大

、3x+y>7

值為..

【答案】8

【解析】【解答】根據(jù)題意作出滿足不等式組表示的平面可行域，如下圖:

y=2。x-z/I

由z=2%-y,得y=2%—z,—z表示直線y=2%-z在y軸上的截距,

???截距越小z越大，

由上圖可只當(dāng)直線y=2x-z經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)z最大,

12

由kFX二91解得即C（5,2）,此時(shí)L2X5—2=8.

故答案為：8

【分析】找出滿足題意的可行域，對(duì)目標(biāo)函數(shù)分析結(jié)合一次函數(shù)分析得出z的最大

值。

17.（2022?全國(guó)甲卷）已知△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，ZADB=

Ar一

120°,AD=2,CD=2BD.當(dāng)—取得最小值時(shí)，BD=________________.

AD

【答案】V3—1或-1+V^

【解析】【解答】解：設(shè)CD=2BD=2m>0,

則在4ABD中，AB=BD2+AD2-2BD?ADcosZADB=m2+4+2m，

i^AACD中，AC=CD2+AD2-2CD?ADcosZADC=4m2+4-4m，

AC2_4m2+4-4m_4(m2+4+2m)-12(l+m)/12、/12

=4--------o—-4—

所以海=m2+4+2mm2+4+2m(m+l)+------2|(m+l)x^

'7m+l

4-2V3，

當(dāng)且僅當(dāng)加+1=高即…遍一1時(shí)，等號(hào)成立,

所以當(dāng)當(dāng)取最小值時(shí)，m=V3—1,即BD=遍—1.

AD

故答案為：V3-1.

【分析】設(shè)CD=2BD=2m>0,利用余弦定理表示出與后，結(jié)合基本不等式即可得

AB2

解.

18.（2022?新高考I卷）若曲線y=（%+a）靖有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a

13

的取值范圍是.

【答案】a>0或a<-4

【解析】【解答】解：易得曲線不過原點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為(x。，(x0+a)e、。)，則切線斜率

為f(xo)=(xo+a+l)e*o,

可得切線方程為y-(xo+a)e*o=(xo+a+l)e*o(x-xo),又切線過原點(diǎn)，

xx

可得-(xo+a)eo=-xo(xo+a+l)e0,化簡(jiǎn)得總+ax0—a=0(>K),

又切線有兩條，即方程※有兩不等實(shí)根，由判別式△:a2+4a>0,得a〈-4或a>0.

故答案為:a〈-4或a>0.

【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線方程，再結(jié)合切線過原點(diǎn)，易得方程賄+

a%。-a=0有兩不等實(shí)根，由△>()求解即可.

三、解答題

19.(2023?全國(guó)甲卷)已知/(%)=2|%—a|—a,a>0.

(1)解不等式/(%)<%

(2)若y=/(%)與坐標(biāo)軸圍成的面積為2,求a.

【答案】(1)依題意"%)去絕對(duì)值得

(a—2%,%《a

/(%)=2|x—a\—a=\

(2%—3a,x>a

①當(dāng)％4a時(shí)，由/(%)<%,即a—2x<x,解得%>；,*/a>0,此時(shí);<%<

a

②當(dāng)%>a時(shí)，由f(%)<%,即2%—3a<%,解得％<3a,Va>0,此時(shí)a<%V

3a

綜上/(%)<%的解集是％E3a)；

(2)令f(%)=0,解得%=§或當(dāng)，

當(dāng)％=a時(shí)/⑷——a，

14

Va>0,此時(shí)OV^VaV:,且—a<0,故其函數(shù)圖象大致為

AQ,0),B(*0),C(a,-a),D(0,a)

：?SAABC+S^AOD-~|?|ycI+[x\0A\'\0D\=^a2+^a2=2,解得a=2V6.

【解析】【分析】(1)根據(jù)％<a和%>a分段去絕對(duì)值求解不等式；

⑵結(jié)合a>0分析畫出草圖利用面積建立等量關(guān)系求出a.

20.(2023?全國(guó)甲卷)已知f(%)=2|%-a|—匿a>0.

(1)求不等式/(%)<%的解集；

(2)若曲線y=/(%)與％軸所圍成的圖形的面積為2,求a.

【答案】(1)依題意f(%)去絕對(duì)值得

(a—2x,%《a

/(%)=2\x—a\—a=\

(2%—3a,x>a

①當(dāng)%4a時(shí)，由/(%)<%,即a—2x<x,解得%>；,Va>0,此時(shí);<%<

a

②當(dāng)%>a時(shí)，由/(%)<%,即2%—3a<%,解得%<3a,Va>0,此時(shí)a<%<

3a

綜上/(%)<%的解集是％eQ,3a

(2)令/(%)=0,解得％=§或當(dāng)，

15

當(dāng)％=a時(shí)/⑷=—a,

Va>0,此時(shí)0<：a<當(dāng)，且—a<0,故其函數(shù)圖象大致為

???4傅，0），喉，0）,C（a,-a）

2

?*-SRABC-|\AB\'\yc\=|a=2,解得a=2

【解析】【分析】（1）根據(jù)％<a和%>a分段去絕對(duì)值求解不等式；

⑵結(jié)合a>0分析畫出草圖利用面積建立等量關(guān)系求出a。

21.（2023?全國(guó)乙卷）已知f（%）=2團(tuán)+|%—2|

（1）求不等式"%）<6-%的解集；

（2）在直角坐標(biāo)系％Oy中，求不等式組卜空20所確定的平面區(qū)域的面

積.

【答案】（1）依題意可得，根據(jù)去絕對(duì)值零點(diǎn)分段易得

-3%+2,%<0

%+2,0<%<2,畫出/(%)和y=6-％圖形如下:

{3%—2,x>2

16

聯(lián)立［:3%+216二%,解得4―2,8),C(2,4),由圖形可知/(%)<6—%的解

I_乙_(3—X

集為｛%|-2<%<2｝；

,”鼠。確定的平面區(qū)域?yàn)棰胖屑吓淙缦聢D、

（2）分析知不等式組

11

又8（0,2）,。（0,6）,?，?S>ABC=S^ABD+S^BCD=318。|,孫|+|%cl）=鼻義4X

（2+2）=8,

???不等式組1*71c確定的平面區(qū)域面積為8.

【解析】【分析】（1）討論絕對(duì)值內(nèi)的符號(hào)分段去絕對(duì)值，根據(jù)圖形聯(lián)立求交點(diǎn)解

得不等式；

（2）結(jié)合（1）得出不等式組表示的平面區(qū)域，再求面積。

17

22.(2023?上海卷)函數(shù)/(%)=-+(工°x+c(a,ceR)

(1)當(dāng)a=O是，是否存在實(shí)數(shù)c,使得/(%)為奇函數(shù)；

(2)函數(shù)/(%)的圖像過點(diǎn)(1,3),且/(%)的圖像與％軸負(fù)半軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求

實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2

【答案】(1)當(dāng)a=0時(shí)，止匕時(shí)

.,./(%)的定義域?yàn)椋0,

?〃、_x2-x+c_-x2+x-c

??/(-%)=[[=—Z-'

若此時(shí)了(%)為奇函數(shù)，則/(%)+/(-%)=￥=2W0,

即/(%)。-/(-%)，故不存在實(shí)數(shù)c使得了(%)為奇函數(shù).

(2)由函數(shù)/(%)的圖像過點(diǎn)(1,3),.?.3=”需上，解得c=l，

令/(%)—0，則%;幼久+1—o,則％2+(3a+1)%+1=0(%W—a)

'."(%)的圖像與％軸負(fù)半軸有兩個(gè)交點(diǎn)

方程%2+(3a+1)%+1=0在x軸負(fù)半軸有兩個(gè)解.

(△=(3a+-4>0

二.+&=-3a—1<0,解得a>：

(久1.檢=1>0

又W—a,此時(shí)a?—(3a+l)a+1W0,解得a。5，aW—1

綜上所述：a的取值范圍為G，0U(|,+8)

【解析】【分析】(1)由奇函數(shù)定義先得出定義域，計(jì)算/(%)+/(-%)是否為0即可

判斷；

(2)有函數(shù)交點(diǎn)分析轉(zhuǎn)化成方程根的分析問題，即分析分子二次函數(shù)部分的根分布

情況及考慮分母不為0情況即得答案.

333

毗

證

-7--1

a2+D2+2-

23.(2022?全國(guó)乙卷)已知a,b,c都是正數(shù),

1

(1)abc<-9；

18

(2)+—+.

b+ca+ca+b27abe

33

【答案】（1）證明：因?yàn)閍>0,b>0c>。，則成〉o，Z）2>0>

3

>0，

333

所以成+>2+c2>3333

02-b2-C2

即（abc^<：所以abc<1當(dāng)且僅當(dāng)al=晨=c；即a=b=c=，1

時(shí)取等號(hào).

(2)證明：因?yàn)閍>0,b>0,c>0,

所以b+c>2y[bc，a+c>2y[ac，a+b>2y[ab，

333

所以awa=成b,bb2cjcc2

----———

b+c_2y/bc27abea+c_2y[ac27abea+b_2y[ab27abe

333333

abca2&2c2成+成+1

----1-----1----——H---H-------------------

b+ca+ca+b2y/abc27abe27abe27abe27abe

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào).

【解析】【分析】（1）利用三元均值不等式即可證明;

（2）利用基本不等式及不等式的性質(zhì)證明即可.

24.（2022?新高考I卷