專題07 垂直平分線的性質與判定（六大類型）（解析版）

專題07垂直平分線的性質與判定（六大類型）【考點1：線段垂直平分線的性質在求線段中的應用】【考點2：線段垂直平分線的性質在求角中的應用】【考點3：線段垂直平分線的性質在實際中的應用】【考點4：線段垂直平分線的性質的綜合運用】【考點5：線段垂直平分線的判定】【考點6：線段垂直平分線的作法】【考點1：線段垂直平分線的性質在求線段中的應用】1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE垂直平分線段AD于E，且CD平分∠BCE，AC＝8cm，則AB＝（）A．10cm B．16cm C．24cm D．30cm【答案】B【解答】解：∵CE垂直平分線段AD，∴CA＝CD，∵CE⊥AD，∴∠ACE＝∠DCE，∵CD平分∠BCE，∴∠BCD＝∠DCE，∴∠ACE＝∠DCE＝∠BCD＝30°，∴∠ACD＝60°，∵CA＝CD，∴△ACD為等邊三角形，∴∠A＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝16cm，故選：B．3．如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，△ABC的周長為17cm，且△ABD的周長為11cm，則CE＝（）cm．A．6 B．3 C．2 D．1【答案】B【解答】解：∵DE是AC的垂直平分線，∴DA＝DC，AE＝CE，∵△ABC的周長為17cm，∴AB+BC+AC＝17cm，∵△ABD的周長為11cm，∴AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝11cm，∴AC＝17﹣11＝6（cm），∴CE＝3cm，故選：B．4．如圖，在△ABC中，分別以點B和點C為圓心，大于BC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N．作直線MN，交AC于點D，交BC于點E，連接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，則△ABD的周長為（）A．25 B．22 C．19 D．18【答案】C【解答】解：由題意可得，MN垂直平分BC，∴DB＝DC，∵△ABD的周長是AB+BD+AD，∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，∵AB＝7，AC＝12，∴AB+AC＝19，∴△ABD的周長是19，故選：C．5．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，分別以A、B為圓心畫弧，所畫的弧交于兩點，再連接該兩點所在直線交BC于點D，連接AD．若BD＝2，則AD的長為（）A． B． C．1 D．2【答案】D【解答】解：由作圖可知，點D在線段AB的垂直平分線上，∴AD＝BD＝2，故選：D．6．如圖，在△ABC中，邊AB的中垂線DE交AC于點D，交AB于點E，如果BC＝10，△BDC的周長為22，邊AC的長為（）A．12 B．32 C．17 D．11【答案】A【解答】解：∵邊AB的中垂線DE交AC于點D，∴DA＝DB，∵△BDC的周長為22，∴BD+BC+CD＝22，∴AD+CD+BC＝22，即AC+10＝22，∴AC＝12．故選：A．7．如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AB＝5，△ABD的周長是13，則BC的長為（）A．8 B．10 C．11 D．12【答案】A【解答】解：∵DE是AC的垂直平分線，∴AD＝CD，∵△ABD的周長是13，∴AB+AD+BD＝13，∴AB+CD+BD＝13，∴AB+BC＝13，∵AB＝5，∴BC＝8，故選：A．8．如圖，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點F，交BC于點E，若△ABC周長為16，AC＝6，則DC為（）A．5 B．8 C．9 D．10【答案】A【解答】解：∵△ABC周長為16，∴AB+BC+AC＝16，∵AC＝6，∴AB+BC＝10，∵EF垂直平分AC，∴EA＝EC，∵AB＝AE，AD⊥BC，∴BD＝DE，∴AB+BD＝AE+DE＝×（AB+BC）＝5，∴DC＝DE+EC＝AE+DE＝5，故選：A．【考點2：線段垂直平分線的性質在求角中的應用】9．如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線分別交BC，AC于點D，E，連接BE．若BE平分∠ABC，且∠A＝60°，則∠CED的度數(shù)為（）A．60° B．55° C．50° D．45°【答案】C【解答】解：∵DE是BC的垂直平分線，∴EB＝EC，∴∠EBC＝∠C，∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE，∴∠EBC＝∠C＝∠ABE，∴∠A+3∠C＝180°，∵∠A＝60°，∴∠C＝40°，∴∠CED＝90°﹣∠C＝50°，故選：C．10．如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，且分別交BC、AC于點D和E，∠B＝70°，∠C＝25°，則∠BAD為（）A．55° B．60° C．65° D．70°【答案】B【解答】解：在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝25°，則∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣25°＝85°，∵DE是AC的垂直平分線，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝25°，∴∠BAD＝85°﹣25°＝60°，故選：B．11．如圖，在△ABC中，DE垂直平分BC，若∠CDE＝64°，∠A＝28°，則∠ABD的度數(shù)為（）A．100° B．128° C．108° D．98°【答案】A【解答】解：∵DE垂直平分BC，∴BD＝DC，∴∠BDE＝∠CDE＝64°，∴∠ADB＝180°﹣64°﹣64°＝52°，∵∠A＝28°，∴∠ABD＝180°﹣28°﹣52°＝100°．故選：A．12．如圖，在△ABC中，邊AB，AC的垂直平分線交于點P，連結BP，CP，若∠A＝50°，則∠BPC＝（）A．50° B．100° C．130° D．150°【答案】B【解答】解：連接AP，延長BP交AC于D，∴∠BPC＝∠PDC+∠ACP＝∠BAC+∠ABP+∠ACP，∵點P是AB，AC的垂直平分線的交點，∴PA＝PB＝PC，∴∠ABP＝∠BAP，∠ACP＝∠CAP，∴∠BPC＝∠BAC+∠BAP+∠CAP＝∠BAC+∠BAC＝2∠BAC＝2×50°＝100°，解法二：∵AB、AC中垂線角與點P，∴點P為△ABC外接圓圓心，∴∠BPC＝2∠BAC＝100°，故選B．13．如圖，△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點F、G，若∠EAG＝40°，則∠BAC的度數(shù)是（）A．140° B．130° C．120° D．110°【答案】D【解答】解：設∠BAC＝α，∴∠C+∠B＝180°﹣α，∵DE是AB的垂直平分線，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B，同理∠GAC＝∠C，∴∠EAB+∠GAC＝∠C+∠B＝180°﹣α，∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝α﹣（180°﹣α）＝40°，∴α＝110°，∴∠BAC＝110°，故選：D．14．如圖，在△ABC中，∠A＝105°，AC的垂直平分線MN交BC于點N，且AB+BN＝BC，則∠B的度數(shù)是（）A．45° B．50° C．55° D．60°【答案】B【解答】解：連接AN，∵∠CAB＝105°，∴∠C+∠B＝180°﹣∠CAB＝75°，∵MN是AC的垂直平分線，∴AN＝CN，∴∠NAC＝∠C，∴∠ANB＝2∠C，∵CN+BN＝BC，AB+BN＝BC，∴AB＝CN，∴AB＝AN，∴∠ANB＝∠B，∴∠B＝2∠C，∴∠B＝50°，故選：B．15．如圖，D、E是△ABC的BC邊上的兩點，DM，EN分別垂直平分AB、AC，垂足分別為點M、N．若∠DAE＝20°，則∠BAC的度數(shù)為（）A．100° B．105° C．110° D．120°【答案】A【解答】解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC＝180°，則∠B+∠C＝180°﹣∠BAC，∵DM，EN分別垂直平分AB、AC，∴DA＝DB，EA＝EC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，∴∠B+∠C＝∠DAB+∠EAC，∵∠DAE＝20°，∴∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝20°，∴∠BAC﹣（∠B+∠C）＝20°，∴∠BAC﹣（180°﹣∠BAC）＝20°，解得：∠BAC＝100°，故選：A．16．如圖，△ABC中，∠BAC＝130°，AB，AC的垂直平分線分別交BC于點E，F(xiàn)，與AB，AC分別交于點D，G，則∠EAF的度數(shù)為（）A．65° B．60° C．70° D．80°【答案】D【解答】解：∵DE垂直平分AB，F(xiàn)G垂直平分AC，∴EB＝EA，F(xiàn)A＝FC，∴∠BAE＝∠B，∠FAC＝∠C，∵△ABC中，∠BAC＝130°，∴∠B+∠C＝50°，∴∠BAE+∠FAC＝50°，∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）＝80°；故選：D．17．如圖，△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點F、G，若∠BAC＝100°，則∠EAG的度數(shù)是（）A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】B【解答】解：∵∠BAC＝100°，∴∠C+∠B＝180°﹣100°＝80°，∵DE是AB的垂直平分線，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B，同理∠GAC＝∠C，∴∠EAB+∠GAC＝∠C+∠B＝80°，∴∠EAG＝100°﹣80°＝20°，故選：B．18．如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，E是BC的中點，過點E作BC的垂線交BD于點F，連接CF，若∠DFC＝60°，∠ACF＝40°，則∠A的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．55° D．60°【答案】B【解答】解：∵E是BC的中點，過點E作BC的垂線交BD于點F，∴FE垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠FBC＝∠FCB，∵∠CFD＝∠FBC+∠FCB＝60°，∴∠FBC＝∠FCB＝30°，∵∠ACF＝40°，∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝70°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠FBC＝60°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝50°，故選：B．19．如圖，在△ABC中，PM、QN分別是線段AB、AC的垂直平分線，若∠BAC＝110°，則∠PAQ的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】A【解答】解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°，∵PM、QN分別是線段AB、AC的垂直平分線，∴AP＝BP，CQ＝AQ，∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝70°，∵∠BAC＝110°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝110°﹣70°＝40°，故選：A．20．如圖，在△ABC中，I是三角形角平分線的交點，O是三邊垂直平分線的交點，連接AI，BI，AO，BO，若∠AOB＝140°，則∠AIB的大小為（）A．160° B．140° C．130° D．125°【答案】D【解答】解：連接CO，∵∠AOB＝140°，∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣140°＝40°，∴∠OCA+∠OAC+∠OCB+∠OBC＝180°﹣40°＝140°，∵O是三邊垂直平分線的交點，∴OA＝OC，OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，∴∠OCA+∠OCB＝70°，∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣70°＝110°，∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，∴∠IAB+∠IBA＝（∠CAB+∠CBA）＝55°，∴∠AIB＝180°﹣55°＝125°，故選：D．21．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點F、G．若∠BAC＝130°，則∠EAF＝80°．【答案】80．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線，F(xiàn)G是AC的垂直平分線，∴AE＝BE，AF＝CF，∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAF，∵∠BAC＝130°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝50°，∴∠BAE+∠CAF＝50°，∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAF）＝130°﹣50°＝80°．故答案為：80．【考點3：線段垂直平分線的性質在實際中的應用】22．如圖，小艷用鉛筆可以支起一張均勻的三角形卡片，關于這個支起的這個位置，以下說法正確的是（）A．三角形的三條高的交點 B．三角形的三條角平分線的交點 C．三角形的三條中線的交點 D．三角形三邊的垂直平分線的交點【答案】C【解答】解：小艷用鉛筆支起這張質地均勻的三角形卡片，這個點是三條中線的交點，即這個三角形的重心，故選：C．23．如圖，有A、B、C三個居民小區(qū)的位置成三角形，現(xiàn)決定在三個小區(qū)之間修建一個購物超市，使超市到三個小區(qū)的距離相等，則超市應建在（）A．在AC，BC兩邊高線的交點處 B．在AC，BC兩邊中線的交點處 C．在AC，BC兩邊垂直平分線的交點處 D．在∠A，∠B兩內(nèi)角平分線的交點處【答案】C【解答】解：根據(jù)線段的垂直平分線的性質：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．則超市應建在AC，BC兩邊垂直平分線的交點處．故選：C．24．如圖，兔子的三個洞口A、B、C構成△ABC，獵狗想捕捉兔子，必須到三個洞口的距離都相等，則獵狗應蹲守在（）A．三個角的角平分線的交點 B．三條邊的垂直平分線的交點 C．三角形三條高的交點 D．三角形三條中線的交點【答案】B【解答】解：獵狗到△ABC三個頂點的距離相等，則獵狗應蹲守在△ABC的三條邊垂直平分線的交點．故選：B．25．元旦聯(lián)歡會上，同學們玩搶凳子游戲，在與A、B、C三名同學距離相等的位置放一個凳子，誰先搶到凳子誰獲勝．如果將A、B、C三名同學所在位置看作△ABC的三個頂點，那么凳子應該放在△ABC的（）A．三邊中線的交點 B．三條角平分線的交點 C．三邊上高的交點 D．三邊垂直平分線的交點【答案】D【解答】解：∵三角形的三條垂直平分線的交點到三角形三個頂點的距離相等，∴凳子應放在△ABC的三條垂直平分線的交點最合適．故選：D．26．如圖是“一帶一路”示意圖，若記北京為A地，莫斯科為B地，雅典為C地，分別連接AB、AC、BC，形成了一個三角形．若想建立一個貨物中轉倉，使其到A、B、C三地的距離相等，則中轉倉的位置應選在（）A．三邊垂直平分線的交點 B．三邊中線的交點 C．三條角平分線的交點 D．三邊上高的交點【答案】A【解答】解：∵中轉倉到A、B、C三地的距離相等，∴中轉倉的位置應選在△ABC三邊的垂直平分線的交點處，故選：A．【考點4：線段垂直平分線的性質的綜合運用】27．如圖，在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E．（1）若BC＝6，求△ADE的周長；（2）若∠BAC＝130°，求∠DAE的度數(shù)．【答案】（1）6；（2）80°．【解答】解：（1）在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E，∴DB＝DA，EA＝EC，又BC＝6，∴△ADE的周長＝AD+DE+EA＝BD+DE+EC＝BC＝6；（2）∵∠BAC＝130°，∴∠B+∠C＝50°，∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠BAD＝∠B，∠EAC＝∠C，∴∠BAD+∠EAC＝50°，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠EAC）＝130°﹣50°＝80°．28．如圖，在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E．（1）若BC＝10，求△ADE的周長；（2）設直線DM、EN交于點O．①試判斷點O是否在BC的垂直平分線上，并說明理由；②若∠BAC＝100°，求∠BOC的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E，∴AD＝BD，AE＝CE，C△ADE＝AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝10；（2）①如圖，點O在BC的垂直平分線上，理由：連接AO，BO，CO，∵DM，EN分別是AB，AC的垂直平分線，∴AO＝BO，OA＝OC，∴OB＝OC，∴點O在BC的垂直平分線上；②∵OM⊥AB，ON⊥AC，∴∠AMO＝∠ANO＝90°，∵∠BAC＝100°，∴∠MON＝360°﹣90°﹣90°﹣100°＝80°，∴∠BOC＝2∠MON＝160°．29．如圖，在△ABC中，DE垂直平分AB，分別交AB，BC于D，E，∠CBA＝40°，（1）求∠BED的大?。唬?）若BC＝4，AC＝3，△AEC的周長．【答案】（1）50°；（2）7．【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，∴∠EDB＝90°，∵∠CBA＝40°，∴∠BED＝90°﹣40°＝50°．（2）∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴△AEC的周長＝AE+CE+AC＝BE+CE+AC＝BC+AC＝4+3＝7．30．如圖，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分別垂直平分AB和AC．（1）求∠PAQ的度數(shù)．（2）若△APQ周長為12，BC長為8，求PQ的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設∠PAQ＝x，∠CAP＝y(tǒng)，∠BAQ＝z，∵MP和NQ分別垂直平分AB和AC，∴AP＝PB，AQ＝CQ，∴∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y，∵∠BAC＝80°，∴∠B+∠C＝100°，即x+y+z＝80°，x+z+x+y＝100°，∴x＝20°，∴∠PAQ＝20°；（2）∵△APQ周長為12，∴AQ+PQ+AP＝12，∵AQ＝CQ，AP＝PB，∴CQ+PQ+PB＝12，即CQ+BQ+2PQ＝12，BC+2PQ＝12，∵BC＝8，∴PQ＝2．31．如圖，在△ABC中，DM、EN分別垂直平分AC和BC，交AB于M、N兩點，DM與EN相交于點F．（1）若△CMN的周長為15cm，求AB的長；（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵DM、EN分別垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，BN＝CN，∴△CMN的周長＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB，∵△CMN的周長為15cm，∴AB＝15cm；（2）∵∠MFN＝70°，∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，∵AM＝CM，BN＝CN，∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．32．如圖所示，MP和NQ分別垂直平分AB和AC．（1）若△APQ的周長為12，求BC的長；（2）∠BAC＝105°，求∠PAQ的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵MP和NQ分別垂直平分AB和AC，∴AP＝BP，AQ＝CQ，∴△APQ的周長＝AP+PQ+AQ＝BP+PQ+CQ＝BC，∵△APQ的周長為12，∴BC＝12；（2）∵AP＝BP，AQ＝CQ，∴∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ，∵∠BAC＝105°，∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣105°＝75°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝105°﹣75°＝30°．【考點5：線段垂直平分線的判定】33．如圖，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線l1、l2相交于點O．求證：點O在BC的垂直平分線上：【答案】．【解答】（1）證明：連接OA，∵AB、AC的垂直平分線l1、l2相交于點O，∴OA＝OB，OA＝OC，∴OB＝OC，∴點O在BC的垂直平分線上：34．如圖，E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別是C、D．求證：（1）OC＝OD，（2）OE是線段CD的垂直平分線．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】證明：∵E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，∴DE＝CE，OE＝OE，在Rt△ODE與Rt△OCE中，，∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL），∴OC＝OD；（2）∵△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分線，∴OE是CD的垂直平分線．35．如圖，在△ABC中，點D是AB的中點，點F是BC延長線上一點，連接DF，交AC于點E，連接BE，∠A＝∠ABE．（1）求證：DF是線段AB的垂直平分線；（2）當AB＝AC，∠A＝46°時，求∠EBC及∠F的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵∠A＝∠ABE，∴EA＝EB，∵AD＝DB，∴DF是線段AB的垂直平分線；（2）解：∵∠A＝46°，∴∠ABE＝∠A＝46°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝67°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝21°，∠F＝90°﹣∠ABC＝23°．【考點6：線段垂直平分線的作法】36．直線l是一條河，P，Q是在l同側的兩個村莊．欲在l上的M處修建一個水泵站，向P，Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設方案，圖中實線表示鋪設的管道，則M處到P，Q兩地距離相等的方案是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：連接PQ，作PQ的垂直平分線交直線l于點M，故選：C．37．如圖，電信部門要在公路l旁修建一座移動信號發(fā)射塔．按照設計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)M，N的距離必須相等，則發(fā)射塔應該建在（）A．A處 B．B處 C．C處 D．D處【答案】C【解答】解：根據(jù)作圖可知：EF是線段MN的垂直平分線，所以EF上的點到M、N的距離相等，即發(fā)射塔應該建在C處，故選：C．