四川省內(nèi)江市2024屆高三一模數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

內(nèi)江市高中2024屆第一次模擬考試題

數(shù)學(xué)（理科）

1.本試卷包括第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共4頁(yè).全卷滿分150分，考

試時(shí)間120分鐘.

2.答第I卷時(shí)，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈

后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)；答第H卷時(shí)，用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡規(guī)定的區(qū)域內(nèi)作

答，字體工整，筆跡清楚；不能答在試題卷上.

3.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡收回.

第I卷（選擇題，共60分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個(gè)小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的，把正確選項(xiàng)的代號(hào)填在答題卡的指定位置.）

----=a+bi（a,beR）

1.已知i是虛數(shù)單位，若1+i，則。一人的值是（）

A.—1B.—C.—D.1

32

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，得到F=T，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件，求得。力的值，即可求解.

【詳解】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得1-i下=高高一

因?yàn)?---=a+bi(a,beR),即a=0,b=-l,所以a—〃=1.

1+i

故選：D.

2.集合A={x|-1<尤<1},B=^x\x<a^,若=,則a的取值范圍為（）

A.[-1,1]B.(-1,1]C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用數(shù)軸分析可得.

【詳解】由數(shù)軸可知，當(dāng)—l<aWl時(shí)滿足題意,

即”的取值范圍為（T』.

故選：B

B：/

___uJ_4__?

-1a1x

3.如圖是一個(gè)電子元件在處理數(shù)據(jù)時(shí)的流程圖：則下列正確的是()

A./(-3)=1

B./(1)=3

C.若/(力=16,則x=2或拒

D,若〃尤)=16,貝緘=2或—舊

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)流程圖的作用得/(x)=](：+2)"'1,即可結(jié)合選項(xiàng)逐一代入求解.

X2+2,X<1

【詳解】根據(jù)流程圖可知/(%)=](：+2)，％21,

x~+2,x<l

對(duì)于A,/(-3)=32+2=11,故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,/(1)=32=9,故B錯(cuò)誤，

當(dāng)時(shí)，/(x)=(x+2y=16nx=2或％=-6(舍去)，

2

當(dāng)X<1時(shí)，/(x)=x+2=16=>X=-A/14ngx=A/14(舍去)，

故當(dāng)/(尤)=16,則x=2或—J五，故C錯(cuò)誤，D正確，

故選：D

x-y+5>0

4.若實(shí)數(shù)x,y滿足，則z=x+y的最大值為()

0<x<2

A.5B.7C.9D.6

【答案】C

【解析】

【分析】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，通過(guò)平移即可求2=光+'的最大值.

【詳解】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：(陰影部分).

設(shè)2=犬+丫得y=—x+z,

平移直線丁=一1+2,

由圖象可知當(dāng)直線y=—x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線y=—x+z的截距最大，

此時(shí)Z最大.

x-y+5=0[x=2

由1；，解得1,，即42,7),

x=2[y=7

代入目標(biāo)函數(shù)z=x+y得z=2+7=9.

即目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值為9

故選：C.

5.已知/(X)=%2+3V'(1),則/''(2)=()

A1B.2C.4D.8

【答案】A

【解析】

【分析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，并令x=1代入可求得了'⑴.將/”)的值代入f'[x}可得導(dǎo)函數(shù)f'[x},即可求得了'(2)的

值.

詳解】函數(shù)/(x)=f+3靖⑴，則小)=2x+3廣⑴,

令x=1代入上式可得/''(1)=2+3r(1),則/'(1)=一1,

所以/'(x)=2x+3x(-l)=2x-3,

則/（2）=2x2-3=l,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的定義與運(yùn)算法則，在求導(dǎo)過(guò)程中注意/'(1)為常數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

6.已知向量a=b=(cos0,sin6)),其中〃"，夕eR.若忖=則，則當(dāng)。."〈萬(wàn)恒成立時(shí)實(shí)數(shù)

2的取值范圍是()

A.入=或九<B.4>2或2<—2

C._72<A<^2D.-2<2<2

【答案】B

【解析】

【分析】先求出向量a力的模，然后由數(shù)量積定義結(jié)合三角函數(shù)有界性可得a小的最大值，然后可解.

【詳解】由題知，同=4W=4Aos28+sin。6=4,

所以a?/?=4cosa,6<4,當(dāng)a力同向時(shí)等號(hào)成立，

所以，要使。力<彳2恒成立，只需3>4,解得幾>2或4<—2.

故選：B

7.已知函數(shù)/'(x)=|lnx|,若0<a<6.且/(。)=//)，則2。+/?的取值范圍是()

A.(20,+00)B.[2后,+@C.(3,+oo)D.[3,-H?)

【答案】B

【解析】

【分析】畫出/(x)=|lnx|的圖象，數(shù)形結(jié)合可得0<a<l/>1,ab=L然后利用基本不等式即可求

出答案

【詳解】/(x)=|lnx|的圖象如下:

因?yàn)?<a<".且/（a）=/（人）

所以|ln《=|lnH且

所以一lna=ln/?,所以〃/?二1

所以2a+b22yf2ab=20

當(dāng)且僅當(dāng)2a=b,即。=曰/=J5時(shí)等號(hào)成立

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了基本不等式的運(yùn)用，用到了數(shù)形結(jié)合的思想，屬

于中檔題.

8.已知。￡（0,兀），且3cos2。一8cos。=5,則sina=（）

AV5R2

33

C.-D.且

39

【答案】A

【解析】

【分析】用二倍角的余弦公式，將已知方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于cosa的一元二次方程，求解得出cosa,再用同

角間的三角函數(shù)關(guān)系，即可得出結(jié)論.

【詳解】3cos2c—8cosa=5,得6cos之0一8cosa—8=0，

2

即3cos4cos。-4=0，解得cose=-§或cosa=2（舍去），

又-ae（O,^'）,sina=Vl-cos2a=-

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換和同角間的三角函數(shù)關(guān)系求值，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能

力，屬于基礎(chǔ)題.

9.隨著生活水平的提高，私家車已成為許多人的代步工具.某駕照培訓(xùn)機(jī)構(gòu)仿照北京奧運(yùn)會(huì)會(huì)徽設(shè)計(jì)了科

目三路考的行駛路線，即從A點(diǎn)出發(fā)沿曲線段B一曲線段C一曲線段D,最后到達(dá)E點(diǎn).某觀察者站在點(diǎn)

M觀察練車場(chǎng)上勻速行駛的小車P的運(yùn)動(dòng)情況，設(shè)觀察者從點(diǎn)A開(kāi)始隨車子運(yùn)動(dòng)變化的視角為。=ZAMP

（。＞0）,練車時(shí)間為3則函數(shù)6=/⑺的圖像大致為（）

【答案】D

【解析】

【分析】結(jié)合圖象，根據(jù)單調(diào)性確定選項(xiàng).

【詳解】觀察圖像，可知隨著時(shí)間的增加，剛開(kāi)始角度為0并且在增加，排除A；

在藍(lán)線中間一段變化不大，然后角度減少到達(dá)紅線段，故排除B、C,

接著角度增加，后面又略減少到綠線段，之后一直增加，并且角度要大于前面幾段，

故選:D.

10.中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙.假設(shè)中國(guó)空間站要安排甲、乙、

丙、丁、戊5名航天員開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排3人，問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙與夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙各安排1人.若甲、

乙兩人不能同時(shí)在一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，則不同的安排方案共有（）

A.8種B.14種C.20種D.16種

【答案】B

【分析】分甲、乙都不在天和核心艙和甲、乙恰好有一人在天和核心艙兩種情況求解可得.

【詳解】第一類，甲、乙都不在天和核心艙共有A；=2種;

第二類，甲、乙恰好有一人在天和核心艙，先排天和核心艙有C；C；=6種，

然后排問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙與夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙有A；=2種，

所以，甲、乙恰好有一人在天和核心艙共有6x2=12種.

綜上，甲、乙兩人不能同時(shí)在一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)共有2+12=14種.

故選：B

11.設(shè)函數(shù)/⑺是定義在(TO,0)D(0,XO)上的奇函數(shù)，/'(X)為/⑺的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)尤>0時(shí)，

xlnx-/,(x)+/(x)>0,則使得(X，2),⑴go成立的x的取值范圍()

X-1

A.(-^,-2]L(0,l)B.[-2,0)J(0,1)

C.[-2,0).(1收)D.(F-2]—(1收)

【答案】A

【解析】

【分析】先構(gòu)造新函數(shù)尸(%)=/(%)?Inx,通過(guò)求導(dǎo)，再結(jié)合已知條件可判斷出當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>Q,

當(dāng)x<0時(shí)，/(%)<0,最后分情況解不等式可得答案.

【詳解】令尸(x)=/(x)」nx,E，(x)=r(x)lnx+犯=『ln『/'(x)+/(x),

XX

當(dāng)x>0時(shí)，x-ln%./,(x)>0,廣(x)>0,原函數(shù)單調(diào)遞增，

又因?yàn)榇?1)=0,所以當(dāng)xe(0,1)時(shí)，F(xiàn)(x)<0,

此時(shí)，lnx<0,所以>(x)>。,

當(dāng)xe(L+oo)時(shí)，F(xiàn)(x)>0,此時(shí)，lnx〉0,所以/(x)>0,

所以當(dāng)xw(0,~H?)時(shí)，/(x)>0,

又因?yàn)?(幻是奇函數(shù)，當(dāng)xw(—8,0)時(shí)，/(%)<0,

求(x+2)](x)4o’分兩種情況求解，

x-1

當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0,只需在解得xf—2,

x-1

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)>0,只需(x+2)/0,解得0<x<l

x-1

所以X的范圍是(F,—2]J(0,1)

故選：A

12.已知函數(shù)/(%)=—2a(ln%+%)有兩個(gè)零點(diǎn)，則。的最小整數(shù)值為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】先將函數(shù)化為/(x)=eX+Mx—2a(lnx+x),令f=x+lnx,進(jìn)而只需說(shuō)明g(。=e'—2〃在R

上有兩個(gè)零點(diǎn)，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，討論出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，最后通過(guò)放縮法解決問(wèn)題.

【詳解1于(x)=xex-2a(lnx+x)-ex+lnx-2a(lnx+x),

設(shè)/=x+lnx(尤>0),f=1+1>0,即函數(shù)在(0,+。)上單調(diào)遞增，易得teR,于是問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)

g⑺=e'一2〃在R上有兩個(gè)零點(diǎn),g'⑺=er-2tz,

若aWO,則g'?)>0,函數(shù)g?)在R上單調(diào)遞增，至多有1個(gè)零點(diǎn)，不合題意，舍去；

若a>0,則xe(Yo,ln2a)時(shí)，gr(t)<0,g(f)單調(diào)遞減，xw(ln2a,+oo)時(shí)，g(f)單調(diào)

遞增.

因?yàn)楹瘮?shù)g(f)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以gQ)min=g0n2a)=2a(l-ln2a)<0na>],

而g(0)=l>0,

限定”1,記00)=e'一心"(f)=e'—1>0,即在(1,+8)上單調(diào)遞增，于是

tt產(chǎn)

^(Z)=er-r>^(l)=e-l>O=>ez>t,貝卜>2時(shí),e2>-^>e?>—,止匕時(shí)

2

2G=；?-8。)，因?yàn)閍〉：，所以8a>4e>l，于是.>8a時(shí)，g(/)>0.

綜上：當(dāng)。〉￡時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，a的最小整數(shù)值為2.

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題有一定難度，首先/(x)=xe，-2a(lnx+x)=el+lnx-2?(lnx+x)這一步的變形非常重要，

注意此種變形的運(yùn)用；其次，運(yùn)用放縮法說(shuō)明函數(shù)g(f)>o時(shí)，用到了e'>/(需證明)，進(jìn)而得到

t2

ef>-,這種處理方法非常普遍，注意歸納總結(jié).

4

第n卷(非選擇題，共為分)

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.)

13.數(shù)列｛?！埃?，％=2，am+n=aman，若ak+1=1024,貝ijk=.

【答案】9

【解析】

【分析】令m=1，由遞推公式可知為等比數(shù)列，然后可解.

【詳解】令=1,則an+l=axan=2a”,

因?yàn)閝=2,所以數(shù)列｛a“｝是以2為首項(xiàng)和公比的等比數(shù)列，

故數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式為an=2",

所以，%+|=2?2"=2"|=1024=21°,

所以，左+1=10,得左=9,

故答案為：9

14.在二項(xiàng)式lx?-工了的展開(kāi)式中，含丁的項(xiàng)的系數(shù)是.

x

【答案】10

【解析】

【詳解】分析：先根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求含/的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，再確定對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù).

25rrr103r

詳解：Tr+l=C；(x)-(--)=C；(-l)x-,

X

所以令10—3廠=4得r=2,即含/的項(xiàng)的系數(shù)是以(—1)2=10.

點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略

(1)求展開(kāi)式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第r+1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出「值即可.

(2)已知展開(kāi)式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第r+1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出廠

值，最后求出其參數(shù).

15.某汽車公司最近研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對(duì)100輛汽車進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程的測(cè)試.現(xiàn)

對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖:

根據(jù)大量的測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽車的單次最大續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布N(〃,b2),用樣本

平均數(shù)最和標(biāo)準(zhǔn)差S分別作為〃、〃的近似值，其中樣本標(biāo)準(zhǔn)差S的近似值為50,現(xiàn)任取一輛汽車，則它

的單次最大續(xù)航里程Xe[250,400]的概率為.

(參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X~N(〃,b2),則P(〃—crWXW〃+cr)“0.6827,

p(//-2cr<x<//+2cr)?0.9545,P(〃-3bWXW〃+3cr卜0.9973)

【答案】0.8186

【解析】

【分析】計(jì)算文=300,確定XN(300,502),再根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)計(jì)算概率即可.

【詳解】5=205x0.002x50+255義0.004x50+305x0.009x50+355x0.004x50

-+405x0.001x50=300,

故XN(300,502),P(250<X<400)

=l-1[l-P(//-2cr<X<//+2cr)]-1[l-P(//-(7<X<//+cr)]=0.8186.

故答案為：0.8186

16.設(shè)函數(shù)/(x)=sin，x+1](0〉O),已知在[0,2可有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論：

①在(0,2K)有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)②f(x)在(0,2K)有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)

③〃%)在卜木]單調(diào)遞增④0的取值范圍是

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是.

【答案】①③④

【解析】

71

【分析】對(duì)①②可以通過(guò)作圖判別，對(duì)于④令f=0X+w（o>O）「xe[O,2?],根據(jù)題意得到不等式

JT\TnC\7T1TnC7T1CDn7T49〃71

2（071+ye[5464），解出范圍即可，對(duì)于③證明出當(dāng)歷J時(shí),+—<-----<—

10551051002

即可.

【詳解】己知/（x）=sin"+g（?！?）在[0,2%]有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，如圖,

4

O

其圖象的右端點(diǎn)的橫坐標(biāo)在la,b）上，此時(shí)/（x）在（0,2萬(wàn)）有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)，但了⑺在（0,2萬(wàn)）可能有2或

3個(gè)極小值點(diǎn),所以①正確,②不正確;

71

令1二口尤+《(刃>0),XG[0,2^-],

71c兀L.

te一，2a)兀+一且丁=5111/，

55

[0,2用上有且僅有5個(gè)零點(diǎn),

7171

.?.y=siiH在+-上有且僅有5個(gè)零點(diǎn),

n711229、

10)71+y€[54,6?),G￡不，而J,故④正確.

5

當(dāng)J時(shí),fe7137171

122907171117i491

又。e一，—??'------------1—e

510J105~25,766

49萬(wàn)7i71①兀71

----<一,?

1002'5,10+小。牛2

71(07171

y=sin/在1￡y,io-+y上單調(diào)遞增.

y=/（x）在0,木上單調(diào)遞增，故③正確.

故答案為：①③④

jr

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：令/=0X+1(0>O),利用整體思想將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為丁=5也。來(lái)研究.

(2)當(dāng)(y>0時(shí),y=sin|ox+?)的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)平移、伸縮變換得至!j,y=sin|0X+?

的增、減區(qū)間可通過(guò)討論y=sinx的增、減區(qū)間得到.

三、解答題(共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，第17~21題為必考題，每

個(gè)試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.)

(-)必考題：共60分.

17.已知等差數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和為S.，4=3,醺+%=30.

(1)求4及S,,；

(2)若b"="受-,求數(shù)列也｝的前九項(xiàng)和T,.

2

【答案】（1）=2/7-1,Sn=n

1

"+1）2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列基本量的計(jì)算可得公差和首項(xiàng)，即可求解,

(2)根據(jù)裂項(xiàng)求和即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)公差為d,則由4=3，項(xiàng)+%=30可得:

ax+d—3a}=1

<解得<.

5%+10d+q+2d—30\d=2

所以%=l+2（〃—l）=2“—l,S”=（1+2,），2

【小問(wèn)2詳解】

4+i=2九+1=J__]

SJS“+J”2.（“+I）2—“2（“+i）2,

1（"+1）2

18.某企業(yè)為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，匯聚科研力量，加強(qiáng)科技創(chuàng)新，準(zhǔn)備加大研發(fā)資金投入，為了解年研發(fā)資金

投入額X（單位：億元）對(duì)年盈利額y（單位：億元）的影響，通過(guò)對(duì)“十二五”和十三五規(guī)劃發(fā)展10年期

間年研發(fā)資金投入額占和年盈利額X?=1,2,…,10）數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，建立了兩個(gè)函數(shù)模型：y=a+/3x1,

y=e「，其中￡、/、彳、/均為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，令%=W，、=lny（z,=L2,,10）,

經(jīng)計(jì)算得如下數(shù)據(jù)：

x=26y=215u=680v=5.36

10101010

^(x,-x)2=100=22500筋)(％-》)=260X(y1-y)2=4

i=li=li=li=l

^10(v,.-v)2=410

^(x,-x)(v;-v)=18

i=li=l

（1）請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個(gè)模型擬合度更好？

（2）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；（系數(shù)精確到0.01）

（3）若希望2024年盈利額y為800億元，請(qǐng)預(yù)測(cè)2024年的研發(fā)資金投入額x為多少億元？（結(jié)果精確到

0.01）

附：相關(guān)系數(shù)廠=I-,參考數(shù)據(jù)：In2=0.693,ln5=1.609.

尼—途（…）2

回歸直線上瓦+令中：人且七-------------，旌“除

可2

1=1

【答案】（1）模型y=d，+'的擬合程度更好.

（2）y=e018-^0-68

（3）33.35

【解析】

【分析】（1）計(jì)算相關(guān)系數(shù)得到G〉4〉0,得到答案.

（2）根據(jù)公式計(jì)算4=0.18,t=0.68,得到回歸方程.

（3）取800=6°」8*+°-68,解方程得到答案.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)｛%｝和｛%｝的相關(guān)系數(shù)為可，雙｝和｛匕｝的相關(guān)系數(shù)為弓,

馬>(>0,因此從相關(guān)系數(shù)的角度，模型y=e〃+'的擬合程度更好.

【小問(wèn)2詳解】

先建立v關(guān)于x的線性回歸方程，由y=e獨(dú)"得lny=Xx+t,即v=&+f,

i=l

所以V關(guān)于X的線性回歸方程為v=0.18x+0.68，即y=e018x+0-68.

【小問(wèn)3詳解】

8()o=e°i8x+°68,即ln800=0.18x+0.68,ln800=51n2+21n5?6.683,

6.683=0.18x+0.68,解得x=33.35.

所以2024年的研發(fā)資金投入量的約為33.35億元.

1,

19.己知函數(shù)/'(x)=—lnx,(aeZ).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求〃x)的極值;

(2)若不等式/(%)之(1—a)x+l恒成立，求整數(shù)。的最小值.

【答案】(1)/(x)極小值=；,無(wú)極大值；(2)2.

【解析】

【分析】(1)將。=1代入，求出導(dǎo)函數(shù)/‘(X),利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)

而求出極值.

（2）不等式等價(jià)于2（ln：+x+l）在（0,+s）上恒成立,設(shè)8口）=型半五?，xe（0,+8）,利用

廠+2xx~+2x

導(dǎo)數(shù)求出g（x）的最大值即可求解.

【詳解】解：（1）當(dāng)。=1時(shí)，yf（x）=CY+1）（x~1）（x>o）,

X

令/'（x）=。得九=1（或尸-1舍去），

???當(dāng)xe（O,l）時(shí)，f\x）<0,單調(diào)遞減，

當(dāng)xe（l,+oo）時(shí)，f\x）>0,八>）單調(diào)遞增，

???/（X）極小值=〃1）=g，無(wú)極大值?

(2)/(x)>(l-a)x+l,即-lnx>(l-6i)x+l,

即+2%)221nx+2x+2,

?*-x>0,即%之+2%>0,

原問(wèn)題等價(jià)于a>2（”+x+l）在（0,+s）上恒成立,

x+2x

、［z、2（lnx+x+1）小、、/、

設(shè)g（x）=K2X'-8）’則只需a"（x）3

2(%+1)(%+2In%)

由g'（x）2,令/z(x)=x+21nx,

2

???^(x)=l+->0,：.h(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

%

???〃⑴=1>0,〃I

???存在唯一的飛￡i1，使得/z(Xo)=Xo+21nXo=O,

??,當(dāng)X￡(O,%o)時(shí)，/z(x)<0,則g'(x)>o,g(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)工?工,+00）時(shí),h（x）>0,則g'（x）<0,g（無(wú)）單調(diào)遞減,

2InXQ+2XQ+2—XQ+2%0+2冗0+21

???g(%)max=g(%)=

%o+2%+2x0x；+2x0x0'

1

，。2—即可.

，-e（1,2）,故整數(shù)a的最小值為2

%

20.ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,0,c,a=6,bsin-------=asinB.

2

（1）求A的大?。?/p>

（2）M為內(nèi)一點(diǎn)，AM的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。，,求，1BC的面積.

請(qǐng)?jiān)谙旅嫒齻€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件補(bǔ)充在橫線上，使一ABC存在，并解決問(wèn)題.

①M(fèi)為1ABC的重心，AM=2瓜

②M為的內(nèi)心，AD=3也;

③〃為二A6C的外心，AM^4.

【答案】（1）A=1

（2）答案見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理以及二倍角公式求解；（2）根據(jù)正弦定理，余弦定理和面積公式即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

：bsin'+C=asinB,/.Z?sin———=asinB,HPbcos—=asinB

222

AAAA

由正弦定理得，sinBcos—=sinAsinB,BpsinBcos—=2sin—cos—sinB,

'-2222

VA,Be(0,^-),/.sinB>0,cos—^0,sin—=-,又4J0,工］,4=A=ZE

222212)263

【小問(wèn)2詳解】

=2RnR=―=273

設(shè)，ABC外接圓半徑為R,則根據(jù)正弦定理得，sinA06

2x——

2

若選①：為該三角形的重心，則。為線段的中點(diǎn)且AD=3A〃=36，

2

又AD=；(AB+AC),|ADF=；(|A3F+1ACF+21AB|?|AC|?cosA),

22

即27二;卜之+/+bc),又由余弦定理得〃2=〃+/一2仇7cosA，即36=b+c-be,解得b=c=6,

S*=,sinA=9G；

jJT

若選②：???M為.ABC的內(nèi)心，ZBAD=ZCAD=-ZBAC=-,由S=S+S小。得

1,.711f.乃17f.???L73r-1…be

—besin~=~c-ADsinADsin—,,AD=3v3，??—be=3v3x—(/?+c)，即b+c=—,

232626223

由余弦定理可得加+°2—36=be，即(6+c)2—36c=36,...代工一3機(jī)'—36=0,

即3c+9)(~^■—4|=0,be>0>Z?c=36,SA.BC=—ftesin—=—x36x^-=9>j3.

I9JAABC2322

若選③：〃為_(kāi)45。的外心，則40為外接圓半徑，AM=2日與所給條件矛盾，故不能選③.

1.m,.

21.已知函數(shù)y（x）=x——sinx----In%+1.

22

（1）當(dāng)m=2時(shí)，試判斷函數(shù)"X）在（私+8）上的單調(diào)性;

2

(2)存在為,々e(0,+co),*%2,/(X1)=/(X2),求證：xxx2<m.

【答案】（1）函數(shù)f（x）在（兀,+8）上單調(diào)遞增；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】（1）求出了‘（X）,當(dāng)xe5,十功時(shí)，f\x）最小值大于零，則/⑺在（兀,+8）上單調(diào)遞增;

（2）令，t=包,將工科2<病轉(zhuǎn)化為二〉〃，再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明最小值小于。.

西In%

【詳解】（1）（方法一）當(dāng)相=2時(shí)，/（%）=x--sinx-lnx+1,/'（%）=1--cos%--,

22x

當(dāng)％￡（肛+00）時(shí)，/"（%）=1--COSX——>1--——>0,

2x271271

所以，當(dāng)租=2時(shí)，函數(shù)/（九）在（九,+8）上單調(diào)遞增.

（方法二）當(dāng)相=2時(shí)，/（%）=%--sinx-lnx+1,f\x）=1-—cos%--,

22x

由1—cosx—=0cosx=2—,

2xx

222

結(jié)合函數(shù)丁=以九%與y=2——圖象可知：當(dāng)％￡(肛+8)時(shí)，COS%<1,2——>2——>1,

XX71

2

所以兩函數(shù)圖象沒(méi)有交點(diǎn)，且2—->cosx.

X

所以當(dāng)XdO,+oo)時(shí)，/f(x)=l--COSX-->0.

2x

所以，當(dāng)加=2時(shí)，函數(shù)/(X)在(兀,+8)上單調(diào)遞增.

(2)證明：不妨設(shè)0<尤|<尤2，由/(可)=/(*2)得，

1.in、,1.m、,

Xy~~sinXy——In%+1=%—5sinx2——In/+］，

/.^(lnx2-In玉)―玉(sinx2-sin玉).

設(shè)g(x)=x—sinx,則g'(x)=1—cosx20,故g(x)在(0,+oo)上為增函數(shù),

x2-sinx2>x1-sin玉,從而x2-xr>sinx2-sinx1,

-^(lnx2-In玉)=%—%(sinx2-sinx^>—(x2一再)，

x-x

/.m>——-7--------

Inx2-In玉

要證玉％2<為?只要證加>J%%

下面證明：產(chǎn)二？一>JR,即證‘一>生

Inxj-ln%!比至王

/

Xt_1r-?—1

令。=17,則，>1,即證明——,只要證明：Inf——尸<0,

占InfyJt

設(shè)〃(7)=111/一字，“《)=_("-?一<0,則丸(。在(1,y)單調(diào)遞減,

業(yè)2ta

當(dāng)，>1時(shí)，h(t)<h(V)=0,從而In/---廣<0得證，即■;2—>A/%%，

“Inx2一In%

2

m>,即X[X2<m.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙變量問(wèn)題可通過(guò)換元將兩個(gè)變量轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)證明不等

式.

(-)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.并用2B鉛筆將所選題號(hào)涂

黑，多涂、錯(cuò)涂、漏涂均不給分.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

22.在直角坐標(biāo)系xQy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為

夕cos6=4.

(1)/為曲線G上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段加上，且滿足10MH3=16,求點(diǎn)P的軌跡