遼寧省2024年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

遼寧省重點名校2024年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

22

1.過雙曲線=-孑=1（?！?力>0）左焦點廠的直線/交C的左支于A3兩點，直線AO（。是坐標原點）交C

的右支于點Z）,若D/FAB,且忸h=|。耳，則C的離心率是（）

A.立B.2C.75D.

22

2.學(xué)業(yè)水平測試成績按照考生原始成績從高到低分為A、B、C、D、E五個等級.某班共有36名學(xué)生且全部選考

物理、化學(xué)兩科，這兩科的學(xué)業(yè)水平測試成績?nèi)鐖D所示.該班學(xué)生中，這兩科等級均為A的學(xué)生有5人，這兩科中僅

有一科等級為A的學(xué)生，其另外一科等級為3,則該班（）

7級

科久ABCDE

物理1016910

化學(xué)819720

A.物理化學(xué)等級都是3的學(xué)生至多有12人

B.物理化學(xué)等級都是3的學(xué)生至少有5人

C.這兩科只有一科等級為3且最高等級為B的學(xué)生至多有18人

D.這兩科只有一科等級為B且最高等級為3的學(xué)生至少有1人

3.4+/=i是asine+bcosOKl恒成立的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

—%2

4.已知x>0,a=xb=x——，c=ln（l+x）,貝!|（）

92

A.c<b<aB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a

TTTT7T

5.已知函數(shù)/(x)=sin(ox+0)(o>O,le|W—),x=——為了(尤)的零點，x=—為y=/(x)圖象的對稱軸，且/\x)

244

在區(qū)間(工，工)上單調(diào)，則。的最大值是()

43

A.12B.11C.10D.9

6.已知平面a和直線a,b,則下列命題正確的是()

A.若a〃b,b//o-,則?！╝B.若b-La,則?！╝

C.若?！╞,bVa,則a_LaD.若a_Lb，b//a,則aJ_a

7.設(shè)4(2,—1),6(4,1),則以線段A5為直徑的圓的方程是()

A.(x-3)2+y2=2B.(x-3)2+y2=8

C.(x+3)2+y2=2D.(x+3)2+y2=8

8.設(shè)函數(shù)F(X)定義域為全體實數(shù)，令ga)=/(l九I)-"(x)|.有以下6個論斷：

①/(x)是奇函數(shù)時，g(x)是奇函數(shù)；

②/(X)是偶函數(shù)時，g(x)是奇函數(shù)；

③/(X)是偶函數(shù)時，g(x)是偶函數(shù)；

④/(X)是奇函數(shù)時，g(x)是偶函數(shù)

⑤g(x)是偶函數(shù)；

⑥對任意的實數(shù)x,g(x),,0.

那么正確論斷的編號是()

A.③④B.①②⑥C.③④⑥D(zhuǎn).③④⑤

9.ABC是邊長為2若的等邊三角形，E、R分別為AB、AC的中點，沿所把,AER折起，使點A翻折到點P

的位置，連接尸5、PC,當四棱錐尸-5CFE的外接球的表面積最小時，四棱錐尸-NCEE的體積為()

.5A/3R3A/3?V6n376

4444

10.下圖中的圖案是我國古代建筑中的一種裝飾圖案，形若銅錢，寓意富貴吉祥.在圓內(nèi)隨機取一點，則該點取自陰

影區(qū)域內(nèi)(陰影部分由四條四分之一圓弧圍成)的概率是()

1

A.B.-C.--1D.2--

237171

11.數(shù)列｛〃n｝是等差數(shù)列，ai=l,公差d￡[L2],且〃4+Xaio+4i6=15,則實數(shù)X的最大值為（）

1_5323

A.B.—C.——D.

219192

logix,0<%,1,

12.若函數(shù)/（%）=2函數(shù)g（x）=/（%）+日只有1個零點，則左的取值范圍是（）

一x(x-l)(x-3),x〉1,

A.(-1,0)B.(-°o,0)U(1,+oo)C.1)(0,+co)D?(0,1)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.某地區(qū)教育主管部門為了對該地區(qū)模擬考試成績進行分析，隨機抽取了150分到450分之間的1000名學(xué)生的成

績,并根據(jù)這1000名學(xué)生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖（如圖），則成績在［250,400）內(nèi)的學(xué)生共有__人.

14.已知數(shù)列｛4｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，若%-%=5,則4+8%的最小值為

y>x

15.已知實數(shù)x,y滿足2x-y>0,則z=」的最大值為.

_x+2

x+y<5

16.已知拋物線V=2px（夕＞0）的焦點為尸，斜率為2&的直線過產(chǎn)且與拋物線交于48兩點，。為坐標原點,

S

若A在第一象限，那么三回

?BFO

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖在棱錐尸—ABCD中，ABCD為矩形，PD上面ABC。，PB=2,NBPC=45,NPBD=30.

(1)在心上是否存在一點E,使PC，面ADE,若存在確定E點位置，若不存在，請說明理由;

(2)當E為心中點時，求二面角P—AE—￡＞的余弦值.

18.(12分)聯(lián)合國糧農(nóng)組織對某地區(qū)最近10年的糧食需求量部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：

年份20102012201420162018

需求量(萬噸)236246257276286

(1)由所給數(shù)據(jù)可知，年需求量與年份之間具有線性相關(guān)關(guān)系，我們以“年份―2014”為橫坐標x,“需求量—257”為

縱坐標V,請完成如下數(shù)據(jù)處理表格：

年份一20140

需求量一2570

(2)根據(jù)回歸直線方程夕=贏+&分析，2020年聯(lián)合國糧農(nóng)組織計劃向該地區(qū)投放糧食300萬噸，問是否能夠滿足該

地區(qū)的糧食需求？

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(玉,%)，(尤2,%)，…，(％，％)，其回歸直線夕=良+&的斜率和截距的最小二乘估計分

_“__

別為：另=9............-,a=y-bJc.

—nx

19.(12分)已知△ABC的兩個頂點A,B的坐標分別為(―0,0),(0,0),圓E是AABC的內(nèi)切圓，在邊上的

切點分別為P,Q,R,\CP\=2-42，動點C的軌跡為曲線G.

(1)求曲線G的方程；

(2)設(shè)直線/與曲線G交于M,N兩點，點。在曲線G上,。是坐標原點OM+ON=OD，判斷四邊形OMDN的面積是

否為定值?若為定值,求出該定值;如果不是,請說明理由.

20.(12分)為了解廣大學(xué)生家長對校園食品安全的認識，某市食品安全檢測部門對該市家長進行了一次校園食品安

全網(wǎng)絡(luò)知識問卷調(diào)查，每一位學(xué)生家長僅有一次參加機會，現(xiàn)對有效問卷進行整理，并隨機抽取出了200份答卷，統(tǒng)

計這些答卷的得分(滿分：100分)制出的頻率分布直方圖如圖所示，由頻率分布直方圖可以認為，此次問卷調(diào)查的

得分Z服從正態(tài)分布N(〃,2io),其中〃近似為這200人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表).

(1)請利用正態(tài)分布的知識求尸(36<Z<79.5)；

(2)該市食品安全檢測部門為此次參加問卷調(diào)查的學(xué)生家長制定如下獎勵方案：

①得分不低于〃的可以獲贈2次隨機話費，得分低于〃的可以獲贈1次隨機話費:

②每次獲贈的隨機話費和對應(yīng)的概率為：

獲贈的隨機話費(單位：元)1020

21

概率

3

市食品安全檢測部門預(yù)計參加此次活動的家長約5000人，請依據(jù)以上數(shù)據(jù)估計此次活動可能贈送出多少話費？

附：①J210標14.5;②若X~則P(〃一cr<X<//+cr)=0.6827,P(〃一2cr<X<〃+2cr)=0.9545,

尸(〃一3b<X<4+3b)=0.9973.

21.(12分)已知不等式|x+l|+|x|+|x—1]>恤+1|對于任意的xeR恒成立.

(1)求實數(shù)的取值范圍；

(2)若m的最大值為且正實數(shù)a,b,c滿足。+26+3c=".求證—1—+——>2+73.

2a+bb+2c

22.(10分)古人云：“腹有詩書氣自華.”為響應(yīng)全民閱讀，建設(shè)書香中國，校園讀書活動的熱潮正在興起.某校為統(tǒng)計

學(xué)生一周課外讀書的時間，從全校學(xué)生中隨機抽取〃名學(xué)生進行問卷調(diào)查，統(tǒng)計了他們一周課外讀書時間(單位：h)

的數(shù)據(jù)如下：

一周課外

合

讀書時間(0,2](刊(4,6](6間(8,10](10,12](12,14](14,16](16,18]

計

/h

頻數(shù)4610121424a4634n

頻率0.020.030.050.060.070.120.25P0.171

(1)根據(jù)表格中提供的數(shù)據(jù)，求。，0,〃的值并估算一周課外讀書時間的中位數(shù).

(2)如果讀書時間按(0,6],(6,12],(12,18]分組，用分層抽樣的方法從1名學(xué)生中抽取20人.

①求每層應(yīng)抽取的人數(shù)；

②若從(0,6],(6,12]中抽出的學(xué)生中再隨機選取2人，求這2人不在同一層的概率.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

如圖，設(shè)雙曲線的右焦點為工，連接。鳥并延長交右支于C，連接FC,設(shè)=x,利用雙曲線的幾何性質(zhì)可以得

到。尸=x+2a,FC=x+4a,結(jié)合RtAFDC、RtAFDF?可求離心率.

【詳解】

如圖，設(shè)雙曲線的右焦點為招，連接尸C,連接。心并延長交右支于C.

因為EO=O6,AO=O。，故四邊形為平行四邊形，故FDLDF?.

又雙曲線為中心對稱圖形，故=

設(shè)。則。尸=X+2Q,故與。=犬+2〃，故/C=X+4Q.

因為AFDC為直角三角形，tt(x+4?)2=(2x+2?)2+(X+2G)2,解得x=a.

在RtAFDB中,有4c2=4+9/,所以e=￡="g=典.

av22

故選：D.

【點睛】

本題考查雙曲線離心率，注意利用雙曲線的對稱性（中心對稱、軸對稱）以及雙曲線的定義來構(gòu)造關(guān)于a/,c的方程,

本題屬于難題.

2、D

【解析】

根據(jù)題意分別計算出物理等級為4,化學(xué)等級為3的學(xué)生人數(shù)以及物理等級為3,化學(xué)等級為A的學(xué)生人數(shù)，結(jié)合表

格中的數(shù)據(jù)進行分析，可得出合適的選項.

【詳解】

根據(jù)題意可知，36名學(xué)生減去5名全A和一科為人另一科為3的學(xué)生10-5+8-5=8人（其中物理4化學(xué)5的有5

人，物理3化學(xué)4的有3人），

表格變?yōu)椋?/p>

ABCDE

物理10—5—5=016-3=13910

化學(xué)8-5-3=019-5=14720

對于A選項，物理化學(xué)等級都是3的學(xué)生至多有13人，A選項錯誤；

對于B選項，當物理C和。，化學(xué)都是3時，或化學(xué)C和。，物理都是3時，物理、化學(xué)都是3的人數(shù)最少，至少

為13—7—2=4（人），B選項錯誤；

對于C選項，在表格中，除去物理化學(xué)都是B的學(xué)生，剩下的都是一科為3且最高等級為3的學(xué)生，

因為都是3的學(xué)生最少4人，所以一科為3且最高等級為3的學(xué)生最多為13+9+1-4=19（人），

C選項錯誤；

對于D選項，物理化學(xué)都是3的最多13人，所以兩科只有一科等級為3且最高等級為3的學(xué)生最少14-13=1（人）,

D選項正確.

故選：D.

【點睛】

本題考查合情推理，考查推理能力，屬于中等題.

3、A

【解析】

a=cosa

設(shè)｛nasine+Z?cose=sinecosa+cos6sina=sin(e+a)〈l成立；反之，a=b=0滿足

b=sina

22

asin0-\-bcosO<l9tz+Z?1,故選A.

4、D

【解析】

(2、2

令〃x)=ln(l+x)-x-+，求/'(%),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增，從而可得ln(l+x)〉x-土，設(shè)

12J2

g(x)=ln(l+%)-x,利用導(dǎo)數(shù)證出g(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，從而證出Vx>O,ln(l+x)<x,即可得到答案.

【詳解】

2

尤>0時，x〉x---x--

2

/2A12

令/'(x)=ln(l+尤)—x—,求導(dǎo)尸(x)=--------1+%=——

12J1+x1+x

Vx>0,/'(%)>0,故/(x)單調(diào)遞增：/(x)>/(0)=0

V2

??.ln(l+x)>^-y

當x>0,設(shè)g(x)=ln(l+x)-x,

1-y

=-------1=--<0,

1+X1+X

又g(o)=o.

g(x)=ln(l+x)-x<0,即Vx>0,ln(l+x)<x,

%2

故x〉ln(l+x)〉x——

故選：D

【點睛】

本題考查了作差法比較大小，考查了構(gòu)造函數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)判斷式子的大小，屬于中檔題.

5、B

【解析】

由題意可得加(-工)+0=旖，^co.-+(p=k'7T+-,故有。=2(〃一幻+1①，再根據(jù)L也.求得@,12②,

4422?34

由①②可得①的最大值，檢驗。的這個值滿足條件.

【詳解】

解：函數(shù)/W=sin(s+(p)[a>>0,191,,今，

7F1T

%=一二為/(%)的零點，％=:為y=圖象的對稱軸，

44

二.G?(一生)+0=左不，且@?工+0=k'%+生，k、k'GZ,「.。=2(〃一4)+1,即①為奇數(shù)①.

442

/(x)在G，芻單調(diào)，.?./竺.5,,12②.

432。34

由①②可得。的最大值為L

JT77-TT

當0=11時，由x=i為y=/(x)圖象的對稱軸，可得11*=+0=左"+1,ksZ,

故有"=一7，怯(-■-)+(p=k7i:,滿足》=一:為/(無)的零點，

444

同時也滿足滿足Ax)在(匕兀，W%、上單調(diào)，

故0=n為0的最大值，

故選:B.

【點睛】

本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的特征，正弦函數(shù)的周期性以及它的圖象的對稱性，屬于中檔題.

6、C

【解析】

根據(jù)線面的位置關(guān)系，結(jié)合線面平行的判定定理、平行線的性質(zhì)進行判斷即可.

【詳解】

A：當aua時，也可以滿足a〃力，b//a,故本命題不正確；

B：當aua時，也可以滿足°,方，b±a,故本命題不正確；

C：根據(jù)平行線的性質(zhì)可知：當a〃b,b±a,時，能得到故本命題是正確的；

D：當aua時，也可以滿足aJLb,b//a,故本命題不正確.

故選：C

【點睛】

本題考查了線面的位置關(guān)系，考查了平行線的性質(zhì)，考查了推理論證能力.

7、A

【解析】

計算A6的中點坐標為(3,0),圓半徑為廠=0,得到圓方程.

【詳解】

A3的中點坐標為：(3,0),圓半徑為廠=網(wǎng)=‘22+22=夜,

22

圓方程為(x—3)2+V=2.

故選：A.

【點睛】

本題考查了圓的標準方程，意在考查學(xué)生的計算能力.

8、A

【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)g(x)的奇偶性并證明.

【詳解】

當了。)是偶函數(shù)，則/(r)=/(%),

所以g(T)=f(]~X1)-1/(-%)1=/(Ix1)-1/(x)|=g(x),

所以g(x)是偶函數(shù)；

當了(X)是奇函數(shù)時，貝！1/(—X)=—/(%)，

所以g(-x)=f(\-x1)-1/(-x)1=/(IX1)-1/(x)|=g(x),

所以gCO是偶函數(shù)；

當/(X)為非奇非偶函數(shù)時，例如：f(x)=x+5,

則川-2|)=7,|/(-2)|=3,此時g(-2)>0,故⑥錯誤；

故③④正確.

故選：A

【點睛】

本題考查了函數(shù)的奇偶性定義，掌握奇偶性定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

9、D

【解析】

首先由題意得，當梯形6CEE的外接圓圓心為四棱錐尸-5CFE的外接球球心時，外接球的半徑最小，通過圖形發(fā)現(xiàn),

的中點即為梯形5c莊的外接圓圓心，也即四棱錐尸的外接球球心，則可得到PO=OC=b，進而可

根據(jù)四棱錐的體積公式求出體積.

【詳解】

如圖，四邊形6CEE為等腰梯形，則其必有外接圓，設(shè)。為梯形5CEE的外接圓圓心，

當。也為四棱錐尸-5CFE的外接球球心時，外接球的半徑最小，也就使得外接球的表面積最小，過A作的垂線

交BC于點M,交跖于點N,連接點。必在AM上，

0//M

E、R分別為A3、AC的中點，則必有AN=PN="2V,

ZAPM=90，即為直角三角形.

對于等腰梯形5CEE,如圖:

今

因為ABC是等邊三角形，E、F、M分別為A3、AC.的中點,

必有MB=MC=MF="E,

所以點〃為等腰梯形5CEE的外接圓圓心，即點。與點〃重合，如圖

M(O)

E

Bi

:.P。=OC=3BC=6，PA=Y/AO2-PO2=13。-3=屈,

所以四棱錐尸—5CFE底面BCEE的高為P°PA='娓=拒,

AM3

v-13。―131。歸26_3#

Vp-BCFE^~SBCFEfl^~X-SABC丸=g乂/X5X2,3X3X,2=^―.

故選：D.

【點睛】

本題考查四棱錐的外接球及體積問題，關(guān)鍵是要找到外接球球心的位置，這個是一個難點，考查了學(xué)生空間想象能力

和分析能力，是一道難度較大的題目.

10>C

【解析】

令圓的半徑為1,則尸=豈=」2(>2)=4_],故選c

S7171

11、D

【解析】

利用等差數(shù)列通項公式推導(dǎo)出九=生與，由2],能求出實數(shù)入取最大值.

【詳解】

,?,數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，“1=1,公差d6[L2],且。4+福10+。16=15,

,、加出13-18d

/.l+3d+k(l+9d)+l+15d=15,解得九=-------,

l+9d

13-18d15dKM

VdG[L2],k=----------=-2+--------是減函數(shù)，

l+9dl+9d

13—121

.?.d=l時，實數(shù)入取最大值為入=上-.

1+92

故選D.

【點睛】

本題考查實數(shù)值的最大值的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

12、C

【解析】

轉(zhuǎn)化g(x)=/(x)+區(qū)有1個零點為y=與丫=-6的圖象有1個交點，求導(dǎo)研究臨界狀態(tài)相切時的斜率，數(shù)形

結(jié)合即得解.

【詳解】

g(x)=/(x)+區(qū)有1個零點

等價于y=/(x)與y=-質(zhì)的圖象有1個交點.

記丸(九)=一九(％-1)(九一3)(尤＞1),則過原點作丸(%)的切線，

設(shè)切點為(為,先)，

,

則切線方程為y-h(x0)=A(x0)(x-x0),

又切線過原點，即入(%)=五'(%)/，

將丸(%)=-x0(x0-l)(%0-3),,

"(x。)=—3Xg+8%0—3

代入解得%=2.

所以切線斜率為"(2)=—3x2?+8x2—3=1,

所以左＜—1或左＞0.

故選:C

【點睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)零點問題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于較難題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、750

【解析】因為:,得二=0.：^,

所以730X蔗g+MM+AMS)X網(wǎng)=加。

14、40

【解析】

5

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,根據(jù)%-%=5,可得4=q（q_i）,因為

5(二+8)（9、

a+8a2=qq，+8aq==5q-l+^-+2,根據(jù)均值不等式，即可求得答案.

4lq—lI4TJ

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,

。3a?—5,

5

a,=---------

q(q—D

等比數(shù)列｛4｝的各項為正數(shù),

/.q>l,

5(/+8)

a4+8a2=%q(q2+8)=

q-i

(9)

=5q-l+—+2>40,當且僅當q—l=3,

Iq—i)

即q=4時，%+84取得最小值40.

故答案為：40.

【點睛】

本題主要考查了求數(shù)列值的最值問題，解題關(guān)鍵是掌握等比數(shù)列通項公式和靈活使用均值不等式，考查了分析能力和

計算能力，屬于中檔題.

一10

15、

11

【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，將目標函數(shù)理解為點（尤,y）與（-2,0）構(gòu)成直線的斜率，數(shù)形結(jié)合即可求得.

【詳解】

不等式組表示的平面區(qū)域如下所示:

數(shù)形結(jié)合可知，當且僅當目標函數(shù)過點3時，斜率取得最大值,

10

yio

故Z的最大值為/一=7T.

+211

3

故答案為：—,

【點睛】

本題考查目標函數(shù)為斜率型的規(guī)劃問題，屬基礎(chǔ)題.

16、2

【解析】

S\AF\S\AF\

如圖所示，先證明道1兩，再利用拋物線的定義和相似得AFO到就=兩=n2.

)BFO

【詳解】

由題得=~\OF\\AF\sinZAFO,S^FO=~\OF||BF\sinZBFO.

因為ZAFO+ZBFO=7i.:.sinZAFO=sinZBFO.

\AF\

所以uAFO

uBFO\BFV

過點A、B分別作準線的垂線，垂足分別為M,N,過點B作BELAM于點E,

設(shè)|BF|二m,|AF|=n,則|BN|二m,|AM|=n,

所以|AE|二n-m,因為《鉆=2/，

所以|AB|二3(mm),

所以3(n-m)=n+m,

ri

所以一=2.

m

\AF\_n

所以《皿

?BFOIBF|m

故答案為：2

【點睛】

本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的定義，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)見解析；(2)B

3

【解析】

(1)要證明PC，面AOE,由已知可得AZ>，PC,只需滿足?！?PC=O即可，從而得到點E為中點；(2)求出面AOE

的法向量，面R4E的法向量，利用空間向量的數(shù)量積，求解二面角尸-AE-O的余弦值.

【詳解】

(1)法一：要證明PC上面ADE,易知ADL面PDC,即得ADLPC,故只需.尸C=0即可,

所以由(DP+PE)^PC=O=>QP.PC+PE^PC=O=>|P目=1,即存在點E為PC中點.

法二：建立如圖所示的空間直角坐標系D—XYZ,由題意知PD=CD=L

CE=C，設(shè)PEKPB,.-.PE=APB=A(y/2,l-l),PC=(O,l,-l)，由

PCDE=PC(DP+P￡)=(0,1,-1).(722,2,1-2)=0,得2=；，

即存在點E為PC中點.

11)

(2)由⑴知。(0,0,0),A(V2,0,0),E,尸(0,0,1)

I22

￡>A=(A/2,0,0),DE=，尸4=(倉0,T),PE=',；,一；

\7\7

設(shè)面ADE的法向量為々=(%,%,zj,面PAE的法向量為%=(x2,J2,z2)

A/2X,=0

nx-DA-0

由的法向量為?八得,屬+9+；10得

珥?DE=0

同理求得々=(1,0,72)

?1??1_A/3

所以cos。=

|?1|-|?113

故所求二面角P-AE-D的余弦值為且

3

【點睛】

本題考查二面角的平面角的求法，考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計算能力.

18、(1)見解析；(2)能夠滿足.

【解析】

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，結(jié)合以“年份―2014”為橫坐標x,“需求量—257”為縱坐標V的要求即可完成表格；

(2)根據(jù)表中及所給公式可求得線性回歸方程，由線性回歸方程預(yù)測2020年的糧食需求量，即可作出判斷.

【詳解】

(1)由所給數(shù)據(jù)和已知條件，對數(shù)據(jù)處理表格如下：

年份一2014-4-2024

需求量一257-21-1101929

(2)由題意可知，變量y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系,

由(1)中表格可得，工=0，y=3.2,

._-4X(-21)+(-2)X(-11)+0X0+2x19+4x29-5x0x3.2_260_

b=-------------：———：——---：---：---：-----：---------=――=6.5,4=7—另7=3.2.由上述計算結(jié)果可

(-4)2+(-2)2+02+22+42-5X0240

知，所求回歸直線方程為，=6.5x+3.2,

利用回歸直線方程，可預(yù)測2020年的糧食需求量為：

6.5x(2020-2014)+3.2+257=299.2(萬噸)，

因為299.2<300,故能夠滿足該地區(qū)的糧食需求.

【點睛】

本題考查了線性回歸直線的求法及預(yù)測應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

19、(1)；+g=l(y/0).(2)四邊形OMZJN的面積是定值，其定值為痛.

【解析】

(1)根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)證得|C4|+|CB|=4>|A@,由此判斷出C點的軌跡為橢圓，并由此求得曲線G的方程.

(2)將直線/的斜率分成不存在或存在兩種情況，求出平行四邊形QWDN的面積，兩種情況下四邊形QWDN的面

積都為V6,由此證得四邊形OMDN的面積為定值.

【詳解】

(1)因為圓E為4ABC的內(nèi)切圓，所以|CA|+|aB|=|CP|+|q2|+|P4|+|Q5|=2|CP|+|AR|+|3R|=2eP|+|A5|=4>|A8|

所以點C的軌跡為以點A和點3為焦點的橢圓（點C不在X軸上），

所以c=^^2.,a=2,/>=，

22

所以曲線G的方程為上+上=1（丁。0）,

42

（2）因為OM+ON=O。，故四邊形。，WDN為平行四邊形.

當直線I的斜率不存在時，則四邊形QWDN為為菱形，

故直線MN的方程為x=-1或x=l,

此時可求得四邊形OMDN的面積為寂.

當直線I的斜率存在時，設(shè)直線I方程是y=kx+m,

22

代入到—+—=1,得（1+2依）/+4左7WX+2m2-4=0,

42

-4km2

2m-422

/.Xl+X2=yXlX2=......-,△=8(4^+2-m)>0,

1+2421+2左2

.2m2ak?

+

??Jiy2=k(xi+X2)+2m=-一X

l+2k"

\m\

點O到直線MN的距離d=~r=,

J1+公

—4KVVI/yn

由。M+ON=0。,得XD=?2,yo=——r，

l+2kl+2k'

?.?點O在曲線C上,所以將D點坐標代入橢圓方程得l+2k2=2m2,

由題意四邊形OMDN為平行四邊形,

2。14/+2"|m|_2V2|m|V4Z:2+2-m2

AOMDN的面積為S=71+FxX,=7=

1+2左221+2左2

由l+2k2=2m2得S=^J6,

故四邊形OMDN的面積是定值，其定值為幾.

【點睛】

本小題主要考查用定義法求軌跡方程，考查橢圓中四邊形面積的計算，考查橢圓中的定值問題，考查運算求解能力,

屬于中檔題.

20、（1）0.8186；（2）估計此次活動可能贈送出100000元話費

【解析】

(1)根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可求P(36<ZW79.5)的值.

(2)設(shè)某家長參加活動可獲贈話費為X元，利用題設(shè)條件求出其分布列，再利用公式求出其期望后可得計此次活動

可能贈送出的話費數(shù)額.

【詳解】

(1)根據(jù)題中所給的統(tǒng)計表，結(jié)合題中所給的條件，可以求得

〃=35x0.025+45x0.15+55x0.2+65x0.25+75x0.225+85x0.1+95x0.05

=0.875+6.75+11+16.25+16.875+8.5+4.75=65

又36M65-20TU，79.5^65+7210.

所以P(36<ZW79.5)

=-x0.9545+-x0.6827

22

=0.8186；

(2)根據(jù)題意，某家長參加活動可獲贈話費的可能值X有10,20,30,40元，且每位家長獲得贈送1次、2次話費

的概率都為一，

2

121

得10元的情況為低于平均值，概率尸=一乂彳二7，

233

得20元的情況有兩種，得分低于平均值，一次性獲20元話費；得分不低于平均值，2次均獲贈10元話費，概率

?111227

F=-X—+—X—X—=——,

2323318

1912

得30元的情況為：得分不低于平均值，一次獲贈10元話費，另一次獲贈20元話費，其概率為。=彳義仁義彳義彳二式，

2339

得40元的其情況得分不低于平均值，兩次機會均獲20元話費，概率為P=1><?x2=±.

23318

所以變量X的分布列為:

X10203040

1721

P

318918

1721

某家長獲贈話費的期望為E(X)=10x§+20義行+30X§+40XR=20.

所以估計此次活動可能贈送出100000元話費.

【點睛】

本題考查正態(tài)分布、離散型隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，注意與正態(tài)分布有關(guān)的計算要利用該分布的密度函數(shù)圖象

的對稱性來進行，本題屬于中檔題.

21、(1)[-3,1](2)證明見解析

【解析】

⑴法一：|.x+l|+|x-l|>|(^+l)-(x-l)|=2,|x|>0,#|x+l|+|x|+|x-l|>2,貝！]加+1區(qū)2,由此可得答案;

法二