北師大第二附屬中學(xué)2024屆高考數(shù)學(xué)三模試卷含解析

北師大第二附屬中學(xué)2024屆高考數(shù)學(xué)三模試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.對于定義在R上的函數(shù)y=/(%),若下列說法中有且僅有一個是錯誤的，則錯誤的一個是()

A./(九)在(f,0]上是減函數(shù)B./(九)在(0,+。)上是增函數(shù)

C./(九)不是函數(shù)的最小值D.對于xeR,都有=—%)

22

2.設(shè)雙曲線=-二=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點(diǎn)，過B,C

ab

分別作AC,AB的垂線交于點(diǎn)D.若D到直線BC的距離小于Q+而定，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是

()

A.(-1,0)(0,1)

B.(-0),-1)(1什)

C.(-72,0).(0,72)

D.(-8,-夜)U(元,+8)

3.已知|2a+q=2,a為e[—4,0],則同的取值范圍是()

A.[0,1]B.g,lC.[1,2]D.[0,2]

22

4.已知雙曲線亍—方=1的漸近線方程為其±y=0,則匕=()

昱

A.2不B.73C.D.4A/3

2

5.若復(fù)數(shù)Z滿足(l+3i)z=(l+i)2,則|z|=()

A.在~B6麗D.叵

15.----C.

4525

6.點(diǎn)0在AABC所在的平面內(nèi)，|。4|=|。制=|。。|,|AB|=2,卜。卜1,AO=2AB+//AC(2,//eR),且

42-〃=2Q0),則陷=()

A.-B.近C.7D.J7

32

7.定義在R上的函數(shù)/(尤)滿足/'(4)=1,f(x)為/(x)的導(dǎo)函數(shù)，已知y=f(x)的圖象如圖所示，若兩個正數(shù)a1

滿足/(2。+加＜1,則。的取值范圍是()

a+1

D.(-oo,3)

8.如圖所示，直三棱柱的高為4,底面邊長分別是5,12,13,當(dāng)球與上底面三條棱都相切時球心到下底面距離為8,

C.D.

?二

9.阿基米德(公元前287年一公元前212年)是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，他和高斯、牛頓并列被稱

為世界三大數(shù)學(xué)家.據(jù)說，他自己覺得最為滿意的一個數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二，并

且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”.他特別喜歡這個結(jié)論，要求后人在他的墓碑上刻著一個圓柱容器里放了一

個球，如圖，該球頂天立地，四周碰邊，表面積為54"的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則該球的體積為()

64〃

10.若集合M={L3},N={1,3,5},則滿足MUX=N的集合X的個數(shù)為（）

A.1B.2

C.3D.4

11.中國的國旗和國徽上都有五角星，正五角星與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的正五角星中，以A、5、

C、。、石為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形，且則AT—叵口￡5=（）

22

A.浮QRB.鋁RQC.存RDD.鋁RC

12.某校團(tuán)委對“學(xué)生性別與中學(xué)生追星是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，利用2x2列聯(lián)表，由計(jì)算得K2。7.218,參照下表:

PgNk。）0.010.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

得到正確結(jié)論是（）

A.有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無關(guān)”

B.有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”

C.在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無關(guān)”

D.在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在如圖所示的三角形數(shù)陣中，用%（z>J）表示第i行第j個數(shù)（z,/eN*）,已知aiA=1-eN*）,且當(dāng)行3

時，每行中的其他各數(shù)均等于其“肩膀”上的兩個數(shù)之和,即k=+（2<J<Z-1）,若am2>2019,則正

整數(shù)旭的最小值為.

0

￡1

22

312

44

7777

8448

152172115

16T2T16

I/J/

14.已知拋物線C:V=4x的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸且斜率為1的直線與拋物線C交于點(diǎn)A,B,以線段AB為直徑的圓E

上存在點(diǎn)RQ,使得以PQ為直徑的圓過點(diǎn)。(-2"),則實(shí)數(shù)/的取值范圍為

15.如圖，直線/是曲線y=/(x)在x=3處的切線，貝！|八3)=.

16.已知等比數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，％,+%=4,%+。3-42-4=1，則內(nèi)的值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)某芯片公司對今年新開發(fā)的一批5G手機(jī)芯片進(jìn)行測評，該公司隨機(jī)調(diào)查了100顆芯片，并將所得統(tǒng)計(jì)數(shù)

據(jù)分為[9,10)[10,11),[11,12),[12,13),[13,14]五個小組(所調(diào)查的芯片得分均在[9,14]內(nèi))，得到如圖所示的頻率分布

直方圖，其中a—b=O18.

(1)求這100顆芯片評測分?jǐn)?shù)的平均數(shù)(同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替).

（2）芯片公司另選100顆芯片交付給某手機(jī)公司進(jìn)行測試,該手機(jī)公司將每顆芯片分別裝在3個工程手機(jī)中進(jìn)行初測。

若3個工程手機(jī)的評分都達(dá)到11萬分，則認(rèn)定該芯片合格；若3個工程手機(jī)中只要有2個評分沒達(dá)到11萬分，則認(rèn)

定該芯片不合格；若3個工程手機(jī)中僅1個評分沒有達(dá)到11萬分，則將該芯片再分別置于另外2個工程手機(jī)中進(jìn)行二

測，二測時，2個工程手機(jī)的評分都達(dá)到11萬分，則認(rèn)定該芯片合格；2個工程手機(jī)中只要有1個評分沒達(dá)到11萬分,

手機(jī)公司將認(rèn)定該芯片不合格.已知每顆芯片在各次置于工程手機(jī)中的得分相互獨(dú)立，并且芯片公司對芯片的評分方

法及標(biāo)準(zhǔn)與手機(jī)公司對芯片的評分方法及標(biāo)準(zhǔn)都一致（以頻率作為概率）.每顆芯片置于一個工程手機(jī)中的測試費(fèi)用均

為300元，每顆芯片若被認(rèn)定為合格或不合格，將不再進(jìn)行后續(xù)測試，現(xiàn)手機(jī)公司測試部門預(yù)算的測試經(jīng)費(fèi)為10萬元,

試問預(yù)算經(jīng)費(fèi)是否足夠測試完這100顆芯片？請說明理由.

18.（12分）為響應(yīng)“堅(jiān)定文化自信，建設(shè)文化強(qiáng)國”，提升全民文化修養(yǎng)，引領(lǐng)學(xué)生“讀經(jīng)典用經(jīng)典”，某廣播電視臺

計(jì)劃推出一檔“閱讀經(jīng)典”節(jié)目.工作人員在前期的數(shù)據(jù)采集中，在某高中學(xué)校隨機(jī)抽取了120名學(xué)生做調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果

顯示：樣本中男女比例為3:2,而男生中喜歡閱讀中國古典文學(xué)和不喜歡的比例是7:5,女生中喜歡閱讀中國古典文學(xué)

和不喜歡的比例是5:3.

（1）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)聯(lián)表判斷是否有95%的把握認(rèn)為喜歡閱讀中國古典文學(xué)與性別有關(guān)系？

男生女生總計(jì)

喜歡閱讀中國古典文學(xué)

不喜歡閱讀中國古典文學(xué)

總計(jì)

（2）為做好文化建設(shè)引領(lǐng)，實(shí)驗(yàn)組把該校作為試點(diǎn)，和該校的學(xué)生進(jìn)行中國古典文學(xué)閱讀交流.實(shí)驗(yàn)人員已經(jīng)從所調(diào)

查的120人中篩選出4名男生和3名女生共7人作為代表，這7個代表中有2名男生代表和2名女生代表喜歡中國古

典文學(xué).現(xiàn)從這7名代表中任選3名男生代表和2名女生代表參加座談會，記J為參加會議的人中喜歡古典文學(xué)的人數(shù),

求5的分布列及數(shù)學(xué)期望￡年）

附表及公式：K-=----------、"----------,n^a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)S+d)

0.050.0250.0100.0050.001

k°3.8415.0246.6357.87910.828

19.（12分）已知拋物線G：寸=2px（。＞0）上橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離為4.

（1）求P的值；

（2）設(shè)（0</<2）為拋物線G上的動點(diǎn)，過尸作圓（龍+1）2+/=1的兩條切線分別與y軸交于A、B

兩點(diǎn).求IA卻的取值范圍.

20.（12分）已知函數(shù)/（x）=/一nu+21nx+4.

（1）當(dāng)加=5時，求7（幻的單調(diào)區(qū)間.

（2）設(shè)直線/是曲線y=/（x）的切線，若/的斜率存在最小值-2,求的值，并求取得最小斜率時切線/的方程.

（3）已知/Xx）分別在七，七（七/%）處取得極值，求證：/（石）+/（%2）<2.

21.（12分）某中學(xué)準(zhǔn)備組建“文科”興趣特長社團(tuán)，由課外活動小組對高一學(xué)生文科、理科進(jìn)行了問卷調(diào)查，問卷共

100道題，每題1分，總分100分，該課外活動小組隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的問卷成績（單位：分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將數(shù)

據(jù)按照[0,20）,[20,40）,[40,60）,[60,80）,[80,100]分成5組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示，若將不低于

60分的稱為“文科方向”學(xué)生，低于60分的稱為“理科方向”學(xué)生.

理科方向文科方向總計(jì)

男110

女50

總計(jì)

（1）根據(jù)已知條件完成下面2x2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為是否為“文科方向”與性別有關(guān)？

（2）將頻率視為概率，現(xiàn)在從該校高一學(xué)生中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中“文

科方向”的人數(shù)為4,若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求J的分布列、期望E（J）和方差。（J）.

參考公式：其中"一+"c+d-

參考臨界值:

0.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

22.(10分)已知頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線「的焦點(diǎn)尸在y軸正半軸上，圓心在直線y上的圓E與X軸相切,

2

且E,尸關(guān)于點(diǎn)”(—1,0)對稱.

(1)求E和「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)M的直線/與E交于4B,與「交于C,D,求證：

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

根據(jù)函數(shù)對稱性和單調(diào)性的關(guān)系，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

由/(x+l)=/(l—x)得/(X)關(guān)于X=1對稱，

若關(guān)于x=1對稱，則函數(shù)在(0,+co)上不可能是單調(diào)的，

故錯誤的可能是3或者是。，

若。錯誤，

則在(-8,0］上是減函數(shù)，在/Xx)在(0,+s)上是增函數(shù)，則/'(0)為函數(shù)的最小值，與C矛盾，此時C也錯誤,

不滿足條件.

故錯誤的是3,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，結(jié)合對稱性和單調(diào)性的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

2、A

【解析】

由題意i.C(c-)，

aa

根據(jù)雙曲線的對稱性知。在x軸上，設(shè)則由

b1b2

BD,AS得：____a_=_Lc_jr=|_也，

c-xc-a|a*(a-c)|

因?yàn)椤５街本€的距離小于a+所以

b*Ir-j—ub*iia

|a*(a-c)|cr

1}h

即0〈一<1,所以雙曲線漸近線斜率左=土一e(—l,O)u(O,l),故選A.

aa

3、D

【解析】

設(shè)〃z=2a+b，可得a2=a-m-2a2e[-4,01,構(gòu)造(a-1加2，結(jié)合上”=2,可得a-^-meH

L」4164]_22

根據(jù)向量減法的模長不等式可得解.

【詳解】

設(shè)m=2a+b>貝!J帆=2,

b=m—2a,a-b=a-m—2a2eI，。]，

1-、i-?1.1-21-2

/.(a—m)L-a--a*mT---m<2H---m

421616

m21

|加|2=標(biāo)=%所以可得：4=_L,

82

11119

9929

配方可得—=—7712V2(a——tn)<4+-^=-,

28482

…1「13一

所以e—,

又Si'歸"一，機(jī)<||a|+|1]加||

444

則同e[0,2].

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量的運(yùn)算綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

4、A

【解析】

22萬

根據(jù)雙曲線方程3-方=1(6>0),確定焦點(diǎn)位置，再根據(jù)漸近線方程島±y=0得到,=百求解.

【詳解】

22

因?yàn)殡p曲線上—1=1(b>0),

4b2

所以a=2,又因?yàn)闈u近線方程為氐±y=0,

所以"上出，

a2

所以/?=2^/3.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

5、D

【解析】

31

先化簡得z=g+gi,再求|z|得解.

【詳解】

…2i2i(l-3i)31.

Z-l+3i--10——g+J，

所以|z|=^.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

6、D

【解析】

54

確定點(diǎn)。為AABC外心，代入化簡得到％4=彳，再根據(jù)5C=AC—A3計(jì)算得到答案.

63

【詳解】

由囪=煙=兇

可知，點(diǎn)。為AABC外心,

--1-21-2

則ABAO=—A3=2,ACAO=-AC—,XAO=AAB+jiiAC9

22

2

AO-AB=AAB+]nAC-AB=42+ptAC-AB=2,

所以21①

AO.AC=XAB.AC+//AC=AAB-AC+//=—,

因?yàn)?2—〃=2,(2)

54

聯(lián)立方程①②可得％=因?yàn)?C=AC—A5,

63

所以BC?nAd+AB?—2AC-AB=7，即,C卜近.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量模長的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

7、C

【解析】

6+1

先從函數(shù)單調(diào)性判斷2〃+人的取值范圍，再通過題中所給的〃涉是正數(shù)這一條件和常用不等式方法來確定——的取值

4+1

范圍.

【詳解】

由丁=/(x)的圖象知函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+。)單調(diào)遞增，而2a+b〉0,故由/(2a+3<1=/(4)可知2a+/?<4.

/?+14—2a+17_

故tr<---------=-2+<5,

a+1a+1a+1

b+1b+171

=-2+綜上得3的取值范圍是(3,5).

又有a+1ajb----

2^~2[+13

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)單調(diào)性和不等式的基礎(chǔ)知識，屬于中檔題.

8、A

【解析】

設(shè)球心為，三棱柱的上底面的內(nèi)切圓的圓心為，該圓與邊切于點(diǎn)，根據(jù)球的幾何性質(zhì)可得

為直角三角形，然后根據(jù)題中數(shù)據(jù)求出圓二半徑，進(jìn)而求得球的半徑，最后可求出球的體積.

【詳解】

如圖，設(shè)三棱柱為----且———；1--；，高._

<<<<

所以底面-為斜邊是的直角三角形，設(shè)該三角形的內(nèi)切圓為圓-，圓與邊切于點(diǎn)-，

^JU/U/UjU/UjUjU/」，?，u

則圓-的半徑為^

Uj—,一,

一r.二.——

設(shè)球心為一,則由球的幾何知識得-----為直角三角形，且:

所以

即球二的半徑為八予

所以球二的體積為.“(加，=罕

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查與球有關(guān)的組合體的問題，解答本題的關(guān)鍵有兩個:

(1)構(gòu)造以球半徑二、球心到小圓圓心的距離二和小圓半徑二為三邊的直角三角形，并在此三角形內(nèi)求出球的半徑,

這是解決與球有關(guān)的問題時常用的方法.

(2)若直角三角形的兩直角邊為-斜邊為則該直角三角形內(nèi)切圓的半徑合理利用中間結(jié)論可提

高解題的效率.

9、C

【解析】

設(shè)球的半徑為R,根據(jù)組合體的關(guān)系，圓柱的表面積為S=2兀臚+2^-7?x27?=54〃，解得球的半徑R=3,再

代入球的體積公式求解.

【詳解】

設(shè)球的半徑為尺，

根據(jù)題意圓柱的表面積為S=2兀臥+2?7?x27?=54萬，

解得R=3,

44

所以該球的體積為廠=—nN=—x萬x33=36乃.

33

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查組合體的表面積和體積，還考查了對數(shù)學(xué)史了解，屬于基礎(chǔ)題.

10、D

【解析】

X可以是{5},{1,5},{3,5},{1,3,5}共4個,選D.

11、A

【解析】

利用平面向量的概念、平面向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，便可解決問題.

【詳解】

解：AT—^^~ES=SD—SR=RD=^^QR.

22

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題以正五角星為載體，考查平面向量的概念及運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬

于基礎(chǔ)題.

12、B

【解析】

通過K?a7.218與表中的數(shù)據(jù)6.635的比較，可以得出正確的選項(xiàng).

【詳解】

解:K?。7.218>6.635,可得有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”，故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2022

【解析】

根據(jù)條件先求出數(shù)列｛42｝的通項(xiàng)，利用累加法進(jìn)行求解即可.

【詳解】

'anA=]一^7，5?2),

下面求數(shù)列｛4.2｝的通項(xiàng)，

由題意知,="n+%-1.2，(“23),

4.2一4-1.2=4-1/=]_^T，(“23),

a_)+(??_1-4-2.2)+…+(%.2-。2.2)+。2.2=+"一耳,

an2=(tz?2-n122

數(shù)列｛4.2｝是遞增數(shù)列，且々021.2<2019<020222，

,用的最小值為2022.

故答案為：2022.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列｛%,2｝的通項(xiàng)是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng)，屬于難題.

14,[-1,3]

【解析】

由題意求出以線段AB為直徑的圓E的方程,且點(diǎn)D恒在圓E夕卜，即圓E上存在點(diǎn)P,Q，使得DP，。。，則當(dāng)DP,DQ

JF

與圓E相切時，此時NP'DQ'N',由此列出不等式，即可求解。

【詳解】

x=y+1。

由題意可得，直線A3的方程為％=y+L聯(lián)立方程組2二，可得y2—4y-4=0,

y=4x''

設(shè)4（%,%）,5（%2，%），則%+%=4,%%=-4,

設(shè)￡（4,%）,貝！I%='2y2=2,xE=yE+1=3,

又|AB|=Xy+%2+2=%+1+%+1+2=8,

所以圓E是以（3,2）為圓心，4為半徑的圓，所以點(diǎn)。恒在圓E外.

圓E上存在點(diǎn)尸,。，使得以PQ為直徑的圓過點(diǎn)。（—2/）,即圓E上存在點(diǎn)尸,。，使得。PLOQ,設(shè)過。點(diǎn)的兩

直線分別切圓E于尸,Q'點(diǎn)，

冗514>V2

要滿足題意，則“叫出所以西=而再而彳=

整理得/_4/-3<0,解得2-夕</<2+近，

故實(shí)數(shù)t的取值范圍為［2-77,2+77］

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，以及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中準(zhǔn)確求得圓E的方程，

把圓E上存在點(diǎn)P,Q,使得以尸。為直徑的圓過點(diǎn)。（-2,。，轉(zhuǎn)化為圓E上存在點(diǎn)RQ,使得。尸，DQ是解答的

關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題。

1

15>一?

2

【解析】

求出切線/的斜率，即可求出結(jié)論.

【詳解】

由圖可知直線/過點(diǎn)（3,3）［o,g）,

3--

可求出直線/的斜率小21，

3-02

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，r（3）=1.

故答案為:1.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)與曲線的切線的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

16、72-1

【解析】

運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可解得4.

【詳解】

a6+a5=41%(1+4)=4

解:

%+6一。2一6=]6(l+q)—tZ](l+q)=]

44

。3*~^~-%*工=1,%=4(4_q),<74-4<72+4=0,

(q2-2)2=0,q'=2,:.q=\[2,=4,

ad+qg"=4,(0+l)q=1,

1

a=A/2-1.

{0+1

故答案為：V2-1.

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)11.57(2)預(yù)算經(jīng)費(fèi)不夠測試完這100顆芯片，理由見解析

【解析】

(1)先求出。=025,Z7=0J07,再利用頻率分布直方圖的平均數(shù)公式求這100顆芯片評測分?jǐn)?shù)的平均數(shù)；(2)先求

出每顆芯片的測試費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望，再比較得解.

【詳解】

(1)依題意，(005+a+〃+035+028)xl=1,故a+Z?=032.

又因?yàn)閍—b=(M8.所以a=025,匕=007,

所求平均數(shù)為95x0.05+105x025+115x035+125x028+135x007

=0.475+2625+4.025+35+0.945=1157(萬分)

(2)由題意可知，手機(jī)公司抽取一顆芯片置于一個工程機(jī)中進(jìn)行檢測評分達(dá)到11萬分的概率。=0.0.28+0.07=0.7.

設(shè)每顆芯片的測試費(fèi)用為X元，則X的可能取值為600,900,1200,1500,

P(X=600)=032=009,P(X=900)=0.73+0.7x032+03x0.7x03=0.469,

P(X=1200)=Cx03x072x03=01323,P(X=1500)=C；x03x0.72x0.7=03087,

故每顆芯片的測試費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為

E(X)=600x0.09+900x0.469+1200x01323+1500x03087=1097.91(元)，

因?yàn)?00X1097.91>100000,

所以顯然預(yù)算經(jīng)費(fèi)不夠測試完這100顆芯片.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查頻率分布直方圖的平均數(shù)的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的

理解掌握水平.

17

18、(1)見解析，沒有(2)見解析，—

6

【解析】

(D根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫2x2列聯(lián)表，計(jì)算出K?的值，由此判斷出沒有95%的把握認(rèn)為喜歡閱讀中國古典文學(xué)與

性別有關(guān)系.

(2)先判斷出J的所有可能取值，然后根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出分布列并求得數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

(1)

男生女生總計(jì)

喜歡閱讀中國古典文學(xué)423072

不喜歡閱讀中國古典文學(xué)301848

總計(jì)7248120

片=120(42x18-3。義3。)2=O,208<3.841

72x48x72x48

所以，沒有95%的把握認(rèn)為喜歡閱讀中國古典文學(xué)與性別有關(guān)系.

(2)設(shè)參加座談會的男生中喜歡中國古典文學(xué)的人數(shù)為m,女生中喜歡古典文學(xué)的人數(shù)為"，則。m+”.且4=2,3,4

C4。2cle11

P(^=2)=P(m=l,n=l)=21=-

C2cleUClC2C21

P《=3)=P(加=2/=l)+P(加=l/=2)=2；；=

UC4c3，

產(chǎn)(。=4)=尸(加=2,"=2)=:震

C4c36

所以J的分布列為

J234

1j_

p

326

貝!IE?=2X：+3X1+4X!=^.

32oo

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查2x2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題.

19、(1)p=2；(2)0<\AB\<2

【解析】

(1)根據(jù)橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離為4,由拋物線的定義得到3+'=4求解.

2

I%一左(毛+1)|

(2)設(shè)過點(diǎn)P(/，%)的直線方程為V-%=左(X-%),根據(jù)直線與圓(x+l)2+y2=1相切，則有=1,

產(chǎn)+1

整理得：(/2+2%)42_2%(%+1)左+(%2_1)=0,根據(jù)題意4(0,為_勺/)，5(0,為_左2%)，建立

I%&|%/J(匕+&『一4匕』，將韋達(dá)定理代入求解.

【詳解】

(1)因?yàn)闄M坐標(biāo)為3的點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離為4,

由拋物線的定義得：3+3=4,

2

解得：。=2.

(2)設(shè)過點(diǎn)q(％,%)的直線方程為y一為=左(》一玉))，

因?yàn)橹本€與圓(%+1)2+丁=1相切，

所以少1)1=1,

整理得：(/2+2%)左2—2%(%+1)左+(為2—1)=0,

2

_2y0(x0+l)_y0-l

?十長2一2,n為長2-2,n'

x0+2X0X0+2X0

由題意得：A(0,y0-Zqx0),B(O,yo-k2x0)

所以|A同二|左「左21%=/J(K+A)2—4,#2，=2J。(.；2j(Xo+2『+(/+2)+l'

因?yàn)椤?lt;%?2,

111

所以-------<—

x0+22

所以0<|AB|W2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查拋物線的定義及點(diǎn)與拋物線，直線與圓的位置關(guān)系，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

W

20、(1)單調(diào)遞增區(qū)間為(2,4)；單調(diào)遞減區(qū)間為［g,2］；(2)m=6,2x+y-l=0i(3)證明見解析.

【解析】

(1)由/'(%)的正負(fù)可確定/(%)的單調(diào)區(qū)間;

(2)利用基本不等式可求得x=l時，/'(%)取得最小值4-m，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知4-m=-2,從而求得加，

求得切點(diǎn)坐標(biāo)(1,/。))后，可得到切線方程;

(3)由極值點(diǎn)的定義可知外,馬是2公一g+2=0的兩個不等正根，由判別式大于零得到機(jī)的取值范圍，同時得到

2

韋達(dá)定理的形式；化簡/(玉)+/(%)為-?+6,結(jié)合加的范圍可證得結(jié)論.

【詳解】

(1)由題意得：/(九)的定義域?yàn)?0,+e),

當(dāng)加=5時，/(x)=x2-5x+21nx+4,

二當(dāng)了€(0，1］和(2,+8)時，/(%)>0；當(dāng)時，/,(%)<0,

.?./(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為〔0,(2,+8)；單調(diào)遞減區(qū)間為］;,21

7IT2

(2),x>0,所以.?./'(x)=2x+?—加22加=4—根(當(dāng)且僅當(dāng)2%=—,即％=1時取等號),

Xy%

切線/的斜率存在最小值-2,「Z—"二—2,解得：m=6,

.-./(1)=1-6+4=-1,即切點(diǎn)為(1,—1),

從而切線方程/：y+l=-2(為一1),即：2x+y-l=0.

/一、、c22x2-mx+2

(3)/'(x)=2x+——m=--------------,

XX

/(X)分別在玉，%(%W%)處取得極值，

%,(%wy)是方程2廠—+2=0,即2f一蛆+2=0的兩個不等正根.

m

則八=加一16>0,解得：加之>16,且%+%2=5>。，%X2=1.

x2

-*-/(i)+〃％2)=片+/—袱西+x2)+8+21n(xl%2)+x2)-2x1x2-m(x1+x2)+8+21n(x1x2)

(mV入.m門…<m2

=--2xl-mx——b8+21nl=------1-6,

^2)24

加2

機(jī)2>16，------F6<2,

4

即不等式%)+/(%)<2成立.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)證明不等

式等知識；本題中證明不等式的關(guān)鍵是能夠通過極值點(diǎn)的定義將問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐辉畏匠谈姆植紗栴}.

21、(1)列聯(lián)表見解析，有；(2)分布列見解析，|,連.

【解析】

(1)由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)在［60,80)、［80,100］之間的學(xué)生人數(shù)，可得列聯(lián)表.根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算K?的值，結(jié)合

參考臨界值表可得到結(jié)論；

(2)從該校高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求出該人為“文科方向”的概率P.由題意J?6(3,p),求出分布列，根據(jù)公式

求出期望和方差.

【詳解】

(1)由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)在［60,80)之間的學(xué)生人數(shù)為0.0125x20x200=50,在［80,100］之間的學(xué)生人數(shù)為

0.0075x20x200=30,所以低于60分的學(xué)生人數(shù)為120.因此列聯(lián)表為

理科方向文科方向總計(jì)

男8030110

女405090

總計(jì)12