甘肅武威市涼州區(qū)2024年高考模擬卷數(shù)學(xué)試題含解析

甘肅武威市涼州區(qū)2024年高考卷數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若復(fù)數(shù)z=（2+i）（l+i）（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

-------1,-1<x<0

已知〃x)=<"x+l)

2.,若方程/（%）-2田;=a-1有唯一解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（)

—,0<x<1

12

A.{-8}o(l,+co)

C.{-8}u-,1D(2,+QO)D.{-32}o[l,2]o(4,+oo)

3.如圖是國(guó)家統(tǒng)計(jì)局于2020年1月9日發(fā)布的2018年12月到2019年12月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格的漲跌幅情況折線圖.

（注：同比是指本期與同期作對(duì)比；環(huán)比是指本期與上期作對(duì)比.如：2019年2月與2018年2月相比較稱同比，2019

年2月與2019年1月相比較稱環(huán)比）根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.2019年12月份，全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比持平

B.2018年12月至2019年12月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比均上漲

C.2018年12月至2019年12月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格同比均上漲

D.2018年11月的全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格高于2017年12月的全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格

22

4.已知雙曲線E:=—3=1(?！??！?)的左、右焦點(diǎn)分別為月，F(xiàn)］,尸是雙曲線E上的一點(diǎn)，且|環(huán)|=2|「耳］.

ab

若直線與雙曲線E的漸近線交于點(diǎn)且M為的中點(diǎn)，則雙曲線￡的漸近線方程為()

A.y=±^xB.y=~~xC.y=±2xD.y=±3x

5.設(shè)函數(shù)滿足/(—x)=/(x)J(x+2)=/(x),則y=/(x)的圖像可能是

A.B.

6.若復(fù)數(shù)z=(〃7+l)+(2-相)i(meR)是純虛數(shù)，則---=()

z

A.3B.5C.y/5D.375

1nx

7.已知函數(shù)/(x)=——x2+2ex-a(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

X

A.^-oo,e2+-B.^-oo,e2+-^j

C.e2—g,+oojD.卜一1,+s]

8.設(shè)a=0.82°5,Z?=sinl,c=lg3,則a,b,c三數(shù)的大小關(guān)系是

A.a<c<bB.a<b<C

C.c<b<aD.b<c<a

22

9.已知橢圓C：鼻+2=1(。〉6〉0)的左、右焦點(diǎn)分別為《，工，點(diǎn)P(ax)，。(—七,—%)在橢圓c上，其

ab

中公＞0,x〉o,若|P0=2|O閭，篝》］?，則橢圓C的離心率的取值范圍為()

0,卷、

B.(0,76-2]

A..2J

(

C.,A/3-1D.0,73-1]

10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（）

11.定義在R上的奇函數(shù)“X）滿足3—x）+/（x—3）=0,若/（1）=1,/（2）=-2,則

/（1）+/（2）+/（3）++/（2020）=（）

A.-1B.0C.1D.2

1JI

12."sinx=—"是"x=2左乃H■—（左eZ）”的（）

26

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2x-y<6

13.設(shè)x,V滿足約束條件<x+y23,若z=x+3y+a的最大值是10,則。=.

14.西周初數(shù)學(xué)家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)勾股定理的一個(gè)特例：勾三，股四，弦五.此發(fā)現(xiàn)早于畢達(dá)哥拉斯定理五

百到六百年.我們把可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)稱為勾股數(shù).現(xiàn)從3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13這11個(gè)數(shù)中隨

機(jī)抽取3個(gè)數(shù)，則這3個(gè)數(shù)能構(gòu)成勾股數(shù)的概率為.

15.連續(xù)擲兩次骰子，分別得到的點(diǎn)數(shù)作為點(diǎn)P的坐標(biāo)，則點(diǎn)P落在圓好+必=19內(nèi)的概率為.

2

16.過(guò)M（-2,0）且斜率為弓的直線/交拋物線C：/=2內(nèi)（"〉0）于A,3兩點(diǎn)，產(chǎn)為C的焦點(diǎn)若的面積等于

的面積的2倍，則0的值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）2019年是五四運(yùn)動(dòng)100周年.五四運(yùn)動(dòng)以來(lái)的100年，是中國(guó)青年一代又一代接續(xù)奮斗、凱歌前行的100

年，是中口青年用青春之我創(chuàng)造青春之中國(guó)、青春之民族的100年.為繼承和發(fā)揚(yáng)五四精神在青年節(jié)到來(lái)之際，學(xué)校組

織“五四運(yùn)動(dòng)100周年”知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽的一個(gè)環(huán)節(jié)由10道題目組成，其中6道A類題、4道5類題，參賽者需從10

道題目中隨機(jī)抽取3道作答，現(xiàn)有甲同學(xué)參加該環(huán)節(jié)的比賽.

(1)求甲同學(xué)至少抽到2道8類題的概率；

23

(2)若甲同學(xué)答對(duì)每道A類題的概率都是；，答對(duì)每道8類題的概率都是二，且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立.現(xiàn)已知甲同

35

學(xué)恰好抽中2道A類題和1道5類題，用X表示甲同學(xué)答對(duì)題目的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

18.(12分)已知王,七,七e(0,+oo),且滿足占+%+W=3尤逮2尤3，證明：占尤2+%2毛+%%23.

19.(12分)已知函數(shù)〃*)=竺上—ln(x+l)(a〉0),且曲線y=/(x)在x=l處的切線方程為y=L+。.

(1)求/(%)的極值點(diǎn)與極值.

(2)當(dāng)％〉g,xe[0,_Hx>)時(shí)，證明：/(x)<Ax2.

20.(12分)中國(guó)古建筑中的窗飾是藝術(shù)和技術(shù)的統(tǒng)一體，給人于美的享受.如圖(1)為一花窗；圖(2)所示是一

扇窗中的一格，呈長(zhǎng)方形，長(zhǎng)30cm,寬26cm,其內(nèi)部窗芯(不含長(zhǎng)方形邊框)用一種條形木料做成，由兩個(gè)菱形和

六根支條構(gòu)成，整個(gè)窗芯關(guān)于長(zhǎng)方形邊框的兩條對(duì)稱軸成軸對(duì)稱.設(shè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為xcm和ycm,窗芯

所需條形木料的長(zhǎng)度之和為L(zhǎng).

(1)試用x,y表示L；

(2)如果要求六根支條的長(zhǎng)度均不小于2cm,每個(gè)菱形的面積為130cm2,那么做這樣一個(gè)窗芯至少需要多長(zhǎng)的條形

木料(不計(jì)榨卯及其它損耗)？

21.(12分)如圖，在正四棱錐P-ABC。中，底面正方形的對(duì)角線AC,加交于點(diǎn)。且。

2

(1)求直線BP與平面PC。所成角的正弦值;

(2)求銳二面角5—尸￡>—C的大小.

22.(10分)如圖，平面四邊形ABC。中，BC//AD,ZADC=90°,ZABC=120°,E是AO上的一點(diǎn),

48=6。=2",/是EC的中點(diǎn)，以EC為折痕把△即C折起，使點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)尸的位置，且PCLBF.

(1)證明：平面PECL平面A6CE；

(2)求直線PC與平面R43所成角的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

將z整理成。+方的形式，得到復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的的點(diǎn)，從而可選出所在象限.

【詳解】

解：z=(2+i)(l+i)=2+『+3i=l+3，，所以z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,3)在第一象限.

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo).易錯(cuò)點(diǎn)是誤把i2當(dāng)成1進(jìn)行計(jì)算.

2、B

【解析】

求出/'(*)的表達(dá)式，畫(huà)出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象以及二次方程實(shí)根的分布，求出”的范圍即可.

【詳解】

解：令-l<x<0,貝(10<x+l<l,

貝!|/(%+1)=—,

—--1,-1<^<0

X+1,如圖示:

故/(X)="

-,0?x<l

12

由f(x)-2ax=a-1,

得/(x)=a(2x+l)-l,

函數(shù)丫=。(2了+1)-1恒過(guò)4(-2，-1),

由8(1,；),C(O,1),

-+11+1；,

=M

可得。—r1>kOA=2,J,

1+

2萬(wàn)

若方程f{x)-2ax=a-\有唯一解，

則1<2%2或2a>4,即,<a”1或。>2；

2

2

當(dāng)2a尤+“-1=-------1即圖象相切時(shí)，

x+1

根據(jù)△=(),94-8a(a-2)=0,

解得“=-16(0舍去)，

則°的范圍是{-16}u[g,lU(2,+s),

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

3、D

【解析】

先對(duì)圖表數(shù)據(jù)的分析處理，再結(jié)簡(jiǎn)單的合情推理一一檢驗(yàn)即可

【詳解】

由折線圖易知4、C正確；2019年3月份及6月份的全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比是負(fù)的,所以5錯(cuò)誤；設(shè)2018年12月份,

2018年11月份，2017年12月份的全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格分別為a,b,c,由題意可知,b=a,j=1.9%,則有

c

c=——-——<a=b,所以！>正確.

1+1.9%

故選：D

【點(diǎn)睛】

此題考查了對(duì)圖表數(shù)據(jù)的分析處理能力及進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理，屬于中檔題.

4、C

【解析】

由雙曲線定義得儼鳥(niǎo)|=40,歸耳|=2a,OM是△尸耳心的中位線，可得|。圖=,在△。明中，利用余弦定理即

可建立a，c關(guān)系，從而得到漸近線的斜率.

【詳解】

根據(jù)題意，點(diǎn)P一定在左支上.

由歸用=2|尸周及|尸閭一|尸司=2。,n\PFr\=2a,\PF2\=4a,

再結(jié)合”為P&的中點(diǎn)，得歸用=|叫|=2匹

又因?yàn)镺M是APG8的中位線，X\OM\=a,豆OMIIPF〉

從而直線PK與雙曲線的左支只有一個(gè)交點(diǎn).

a2+c2-4a2

在AOMF?中cosZMOF=

2lac

hn

由tanNMOK=—,得cosNMOK=—?——②

ac

r2b

由①②，解得二=5,即一=2,則漸近線方程為'=±2尤.

aa

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查求雙曲線漸近線方程，涉及到雙曲線的定義、焦點(diǎn)三角形等知識(shí)，是一道中檔題.

5、B

【解析】

根據(jù)題意，確定函數(shù)y=/(x)的性質(zhì)，再判斷哪一個(gè)圖像具有這些性質(zhì).

由/(—%)=f(x)得y=/(x)是偶函數(shù),所以函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于V軸對(duì)稱，可知B,D符合；由/(%+2)=于(x)

得y=/(x)是周期為2的周期函數(shù)，選項(xiàng)D的圖像的最小正周期是4,不符合，選項(xiàng)B的圖像的最小正周期是2,符

合，故選B.

6、C

【解析】

先由已知，求出m=-1,進(jìn)一步可得如色=1-2i,再利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算即可

Z

【詳解】

由z是純虛數(shù)，得加+1=0且2-機(jī)/0,所以m=一1,z=3i.

l,”6+3z6+3z??匕

因此，------==l-2z=v5.

z3z

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.

7、B

【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)/'(x),確定函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可確定參數(shù)范圍.

【詳解】

"%)=匕學(xué)一2(%-6),當(dāng)xe(0,e)時(shí)，f'(x)>Q,〃x)單調(diào)遞增,當(dāng)xe(e,+8)時(shí)，f'(x)<Q,/⑺單調(diào)

%

遞減，...在(0,+8)上/'(X)只有一個(gè)極大值也是最大值F(e)='+e2-。，顯然X.0時(shí)，/(x)f%—”時(shí),

e

f(x)f-00,

11

因此要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則/\e)=—+e9?-。>0,.?.a<e92+—.

ee

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，根據(jù)零點(diǎn)存在定理確定參數(shù)范圍.

8、C

【解析】

利用對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)以及正弦函數(shù)的性質(zhì)和計(jì)算公式，將a,b,c與上比較即可.

V52

【詳解】

由a=0.82°§〉0.8°5=

1入?,.兀6[3林

—</?=sin1<sin—=——=J—<J—

232\4V5

c=lg3<1gVio=-|lgio=,

所以有c</?<a.選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查對(duì)數(shù)值，指數(shù)值和正弦值大小的比較，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)選擇合適的中間值比較是關(guān)鍵，注意合理地進(jìn)行等

價(jià)轉(zhuǎn)化.

9、C

【解析】

根據(jù)|PQ|=2|O閭可得四邊形明。月為矩形，設(shè)因=，％根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理可得

4cmnmn-4c2

再分析”二+而的取值范圍,進(jìn)而求得2<《亍再求離心率的范圍即可.

2(a2-c2

【詳解】

設(shè)。耳=〃，PF2=相，由%>0,%〉0,知機(jī)<〃，

因?yàn)镻（X，%）,Q（_玉,—％）在橢圓C上尸0=2|0尸卜2|06|,

所以四邊形PRQF?為矩形,QK=PF2.

由胃之",可得且<生<1,

|尸上][33〃

由橢圓的定義可得加+〃=2%加2+〃2=4/①,

平方相減可得mn=2（a2-c2）②,

m2+n2mn

由①②得-------二—1—；

mnnm'

1(4J3

所以f=v+—e2,-4-

vI3

4c2/4百

即2<

所以a?-c2<c2<-c2

所以1—e2<e2<

所以;<e2<4-2點(diǎn)，

W#—<e<V3-l.

2

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了橢圓的定義運(yùn)用以及構(gòu)造齊次式求橢圓的離心率的問(wèn)題,屬于中檔題.

10、D

【解析】

由程序框圖確定程序功能后可得出結(jié)論.

【詳解】

執(zhí)行該程序可得s=0+《+*+/+?=

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查程序框圖.解題可模擬程序運(yùn)行，觀察變量值的變化，然后可得結(jié)論，也可以由程序框圖確定程序功能，然

后求解.

11、C

【解析】

首先判斷出了（X）是周期為6的周期函數(shù)，由此求得所求表達(dá)式的值.

【詳解】

由已知/（X）為奇函數(shù)，得了（—x）=—/（x）,

而/（-3-x）+/（x-3）=0,

所以“x—3）=/（x+3）,

所以〃%）=/（%+6）,即〃九）的周期為6.

由于"1）=1，/（2）=-2,/（0）=0,

所以/（3）=/（-3）=-/（3）n/⑶=0,

/（4）=/（-2）=-/（2）=2,

/（5）=/（-l）=-/（l）=-h

/（6）=/（0）=0.

所以/（1）+〃2）+/⑶+/（4）+〃5）+〃6）=0,

又2020=6x336+4,

所以〃1）+/（2）+/（3）++/（2020）=/（1）+/（2）+/（3）+/（4）=1.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性，屬于基礎(chǔ)題.

12、B

【解析】

ITT5萬(wàn)

sinx=—ox=2左乃+—(左eZ)或x=2k左+——伏eZ),從而明確充分性與必要性.

266

【詳解】

|TTSyr

由sin%=—可得：x-IkjiH——(kEZ)^X=2kji+——GZ),

266

JT1

即%=2k兀H■一(％eZ)能推出sinx=—,

62

177-

但sin%=—推不出冗=2左〃+—(左wZ)

26

14

“sinx=—”是“x=2左乃+—(左eZ)”的必要不充分條件

26

故選3

【點(diǎn)睛】

本題考查充分性與必要性，簡(jiǎn)單三角方程的解法，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、--

2

【解析】

畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合即可容易求得結(jié)果.

【詳解】

數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)3,取得最大值,

97

故可得10=—+9+。，解得。=——.

22

7

故答案為：-

2

【點(diǎn)睛】

本題考查由目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)值，屬基礎(chǔ)題.

1

14、—

55

【解析】

由組合數(shù)結(jié)合古典概型求解即可

【詳解】

從11個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)有品種不同的方法，其中能構(gòu)成勾股數(shù)的有共(3,4,5),(6,8,10),(5,12,13)三種，所以,

「31

所求概率為尸=/7=百.

故答案為白

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型與數(shù)學(xué)文化，考查組合問(wèn)題，數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí).

11

15、—

36

【解析】

連續(xù)擲兩次骰子共有6x6=36種結(jié)果，列出滿足條件的結(jié)果有11種，利用古典概型即得解

【詳解】

由題意知，連續(xù)擲兩次骰子共有6x6=36種結(jié)果，

而滿足條件的結(jié)果為：

(1,1),(1,2),(1,3),(1,1),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1)

共有11種結(jié)果，根據(jù)古典概型概率公式，

可得所求概率尸=空.

故答案為：——

36

【點(diǎn)睛】

本題考查了古典概型的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

16、2

【解析】

聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及面積關(guān)系求解即可.

【詳解】

如圖，設(shè)A(王，%),5(%2,%，由SMFB=2s9則%=2%，

'2,小

y——(%+2),016

由r3可得y-3py+4P=0,由/>0,則p>一，

y2=2px9

16

所以％+%=3°,%%=229一=42，得，=2〉豆?

故答案為：2

【點(diǎn)睛】

此題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

129

17、(1)—；(2)分布列見(jiàn)解析，期望為

315

【解析】

(1)甲同學(xué)至少抽到2道3類題包含兩個(gè)事件：一個(gè)抽到2道B類題，一個(gè)是抽到3個(gè)B類題，計(jì)算出抽法數(shù)后可

求得概率；

(2)X的所有可能值分別為01,2,3,依次計(jì)算概率得分布列，再由期望公式計(jì)算期望.

【詳解】

(1)令“甲同學(xué)至少抽到2道5類題”為事件A,則抽到2道3類題有C：煤種取法，抽到3道3類題有C；種取法，

Cfo1203

(2)X的所有可能值分別為0』,2,3,

「(X=o)=$x|=*sy轉(zhuǎn)?1+蕓?111

45

204P(X=3)=(§2)2,3_12_4

4595-45-15

???X的分布列為：

X0123

21144

P

4545915

2114429

E(X)=0x—+lx—+2x-+3x—=—

454591515

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型，考查隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.解題關(guān)鍵是掌握相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式.

18、證明見(jiàn)解析

【解析】

將無(wú)I+尤2+毛=3%％毛化簡(jiǎn)可得二7+17+^^=3,由柯西不等式可得證明.

【詳解】

解：因?yàn)槔渑c七e(0,y),X1+X2+X3=3石%2%3，

所以~~—?—-—?---=3,

>(1+1+1)2=9,

又+X2%3+X3X1)?

所以占%+%彳3+毛為23,當(dāng)且僅當(dāng)X]=x2=x3=1時(shí)取等號(hào).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查柯西不等式的應(yīng)用，相對(duì)不難，注意已知條件的化簡(jiǎn)及柯西不等式的靈活運(yùn)用.

19、(1)極小值點(diǎn)為x=0,極小值為0,無(wú)極大值；(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

⑴先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合已知及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求。，結(jié)合單調(diào)性即可求解函數(shù)的極值點(diǎn)及極值；(2)令

g(x)^kx--f(x),問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求.

【詳解】

(1)由題得函數(shù)的定義域?yàn)?-I,”).

，/、(2ax+l)(x+l)-ar2-x1x(ax+2?-1)

(1+x)2(1+x)2—

0小3a-11"口

/。)=一一，由已知得「。)=5,解得。=1

/(x)=/+：-ln(x+l)=x-ln(x+1),/'(x)=1----=~~~

令/'(九)=0,得x=0

令/'(九)>0,得x>0,.?./(九)在(0，+8)上單調(diào)遞增.

令/'(x)<0,得T<x<O；./(x)在(―1,0)上單調(diào)遞減

，/(龍)的極小值點(diǎn)為1=0,極小值為0,無(wú)極大值.

2

(2)證明：由(1)知1=1,???/(%)=---------ln(x+l)=x—ln(x+l),

x+1

令g(x)=&—/(%),

即g(x)=Ax2-x+ln(x+l)

“fJk-l

2KX\X-\----------

'(\-i+1」［24(％+1)-1］I2k

S^x-2k2kxx-l--

g+x+1

,1「八\2Axx-\----------44

xe［0,a),⑺,I2左乂0怛成乂.

-1/x+1-'

/.8⑴="2-x+ln(x+l)在［0,+co)上單調(diào)遞增

又g(0)=0,???g⑴Ng(o)=0在［0,+8)上恒成立

kx2-x+ln(x+1)20在［0,+8)上恒成立

/.kx2>x-ln(x+1),即x-In(%+1)<kx2

/./(x)<Ax2

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問(wèn)題，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬

于中檔題.

20、（1）2=82+4次+/—2（x+y）（2）16+47569

【解析】

試題分析：（1）由條件可先求水平方向每根支條長(zhǎng)15-%,豎直方向每根支條長(zhǎng)為13-因此所需木料的長(zhǎng)度之和

2

［~1-----7______15-x>2,

L=2（15-x）+4（13-^）+8x^V=82+47%2+/-2（x+y）（2）先確定范圍由｛/一）〉？可得丁丁4M3,

再由面積為130cm2,得!移=13,轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)￡=82+4）%2+（理）2—2（》+理），令仁X+"貝!)

2\xxX

I-----------520

L=82+_520+加--------］在te［33,二］上為增函數(shù)，解得L有最小值16+4質(zhì).

y/t—520+%11

a八。

試題解析：（1）由題意，水平方向每根支條長(zhǎng)為加xcm,豎直方向每根支條長(zhǎng)為

2

〃=名”=13-1cm,菱形的邊長(zhǎng)為J（：）2+亭=亡cm.從而，所需木料的長(zhǎng)度之和

TyJx2+y2

L=2(15_x)+4(13_g+8xY2=82+4也2+、2—2(%+y)cm.

15-x22,I--------------

（2）由題意，-^=13,HPy=—,又由y。可得受三國(guó)3.所以L=82+44必+（筌一2（x+理）.

2%13-->2,11Nxx

令”X+竺2,其導(dǎo)函數(shù)1—駕<0在上恒成立，故仁X+當(dāng)在［空,13］上單調(diào)遞減，所以可得

X%-11X11

te[33,——].則L=82+2[2.(%+上產(chǎn)—520-(%+—)]

11'XX

=82+2[J/-520+/-520—]

=82+2[〃-520+4-520-t]

sit2-520+1

-520372

因?yàn)楹瘮?shù)9=1/2一520和丁=pr丁在玲［33,?。萆暇鶠樵龊瘮?shù),所以

J廠—520+/11

I-----------520

乙=82+2[32—520+7^^^]在/引33,卑]上為增函數(shù)，故當(dāng)/=33,即》=13,y=20時(shí)L有最小值

，廠—520+711

16+4^569.答：做這樣一個(gè)窗芯至少需要16+cm長(zhǎng)的條形木料.

考點(diǎn)：函數(shù)應(yīng)用題

21、(1)逅；(2)60°.

3

【解析】

(1)以。及O”O(jiān)P分別為x軸,y軸,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)底面正方形邊長(zhǎng)為2,再求解BP與平面PCD的法

向量,繼而求得直線BP與平面PC。所成角的正弦值即可.

⑵分別求解平面BPD與平面PDC的法向量，再求二面角的余弦值判斷二面角大小即可.

【詳解】

解：(1)在正四棱錐P-ABC。中,底面正方形的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)。，

所以O(shè)尸，平面取A5的中點(diǎn)的中點(diǎn)￡

所以O(shè)P,。瓦O/兩兩垂直，故以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

以O(shè)E,O”O(jiān)P分別為x軸,y軸,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)底面正方形邊長(zhǎng)為2,

因?yàn)?42A3,

2

所以O(shè)P=L

所以3(1,1,0),c(-l,l,0),z)(-l,-l,0),p(0,0,1),

所以(-L-1,1),

設(shè)平面PCD的法向量是n=(%,j,z),

因?yàn)镃D=(0,—2,0),CP=(l,-l,l),

所以CD-n=-2y=0,CP-n=x-y+z=0,

取x=l,則y=0,z=-1,

所以“=(l,0,-L)

.DD、BPn76

所以的<取'心=麗=5,

所以直線BP與平面PC。所成角的正弦值為逅.

3

(2)設(shè)平面BPD的法向量是n=(%,y,z),

因?yàn)锽P=(-1,-1,1),BD=(-2,-2,1),

所以BP?片-x-y+z=0,BD-n=-2x-2y=0,

取x=l,則y=-1,z=0,

所以〃=(L—1,O),

由(1)知平面PCD的法向量是n=(1,0,-1),

,、m-n1

所以cos<m,n>=j-p=-

所以V〃z,?>=60°,

所以銳二面角B-PD-C的大小為60°.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了建立平面直角坐標(biāo)系求解線面夾角以及二面角的問(wèn)題，屬于中檔題.

22、(1)見(jiàn)解析；(2)叵

5

【解析】

(1)要證平面PECL平面A3CE,只需證政，平面PEC,而PCL5/，所以只需證MLEC,而由已知的數(shù)

據(jù)可證得AfiCE為等邊三角形，又由于歹是EC的中點(diǎn)，所以班從而可證得結(jié)論；

(2)由于在RfAPEC中，PE=DE=PF=-EC=2a,而平面PEC,平面A3CE,所以點(diǎn)P在平面A3CE的投