專題05 難點探究專題：全等三角形中的動態(tài)問題（解析版）

專題05難點探究專題：全等三角形中的動態(tài)問題考點一利用全等三角形中的動點求時間問題（利用分類討論思想）考點二利用全等三角形中的動點求線段長問題考點三利用全等三角形中的動點求線段長最小值問題考點四利用全等三角形中的動點綜合問題典型例題典型例題考點一利用全等三角形中的動點求時間問題（利用分類討論思想）例題：（2021·山東臨沂·八年級期中）如圖，，垂足為點A，射線，垂足為點B，，．動點E從A點出發(fā)以3cm/s的速度沿射線AN運動，動點D在射線BM上，隨著E點運動而運動，始終保持．若點E的運動時間為，則當________個秒時，與全等．【答案】2或6或8【解析】【分析】分兩種情況：①當E在線段AB上時，②當E在BN上，再分別分成兩種情況AC=BE，AB=BE進行計算即可．【詳解】解：①當E在線段AB上，AC=BE時，

AC=6，BE=6，AE=12-6=6，點E的運動時間為(秒)．②當E在BN上，AC=BE時，AC=6，BE=6，AE=12+6=18．點E的運動時間為(秒)．③當E在BN上，AB=BE時，AE=12+12=24.點E的運動時間為(秒)④當E在線段AB上，AB=BE時，這時E在A點未動，因此時間為秒不符合題意．故答案為：2或6或8．【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．【變式訓練】1．（2021·全國·七年級專題練習）已知：如圖，在長方形中，延長到點，使，連接，動點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿向終點運動，設(shè)點的運動時間為秒，當?shù)闹禐開______時，和全等．【答案】2或11【解析】【分析】分兩種情況討論，根據(jù)題意得出BF=2t=4和AF=26-2t=4即可求得答案．【詳解】解：∵為直角三角形，且AB=DC，∴當≌時，有BF=2t=CE=4，解得：t=2；當≌時，有AF=CE=4，此時=4，解得：，故答案為：2或11．【點睛】本題考查全等三角形的判定，注意到為直角三角形，且AB=DC，故只有BF=2t=4和AF=26-2t=4兩種情況．2．（2019·江蘇·鎮(zhèn)江實驗學校八年級階段練習）已知正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA=8cm，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．動點P以每秒2cm的速度從點B出發(fā)沿線段BC方向運動，動點Q同時以每秒8cm的速度從B點出發(fā)沿正方形的邊BA-AD-DC-CB方向順時針作折線運動，當點P與點Q相遇時停止運動，設(shè)點P的運動時間為t．連接PA，當t的值為___________________秒時，PAB和QAD全等．【答案】0.8秒或．【解析】【分析】分點Q在AB，AD，DC，BC邊上這幾種情況進行討論，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊相等，進而列出方程求得t的值．【詳解】解：①當點Q在邊AB上時，如圖1，∵AB＝AD，∠ABP＝∠DAQ＝90°，要使PAB和QAD全等，只能是PAB≌QDA，∴BP＝AQ，∵AQ＝8－8t，BP＝2t，∴8－8t＝2t，∴t＝0.8，②當點Q在邊AD時，不能構(gòu)成QAD，③當點Q在邊CD上時，如圖2，同①的方法得，要使PAB和QAD全等，只能是PAB≌QAD，∴BP＝DQ，∴2t＝8t－16，∴t＝，④當點Q在邊BC時，QAD不是直角三角形，而PAB是直角三角形，所以，不能全等；即：當PAB和QAD全等時，t的值為0.8或，故答案為：0.8或．【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是分類討論，用方程的思想解決問題．考點二利用全等三角形中的動點求線段長問題例題：（2019·江蘇·宜興市周鐵中學八年級階段練習）已知：如圖，∠B=90°AB∥DF，AB=3cm，BD=8cm，點C是線段BD上一動點，點E是直線DF上一動點，且始終保持AC⊥CE，若AC=CE,則DE的長為______.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)全等得出對應(yīng)邊相等，即可得出答案.【詳解】解：∵∠B=90°，AB∥DF，∴∠D=∠B=90°，∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°，∴∠ECD+∠CED=90°，∠ACB+∠ECD=90°，∴∠ACB=∠CED；∴在△ABC和△CDE中∴△ABC≌△CDE（AAS），∴AB=CD=3cm，∴DE=BC=8cm-3cm=5cm故答案為5.【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2020·江蘇·泰州中學附屬初中八年級階段練習）如圖，△ABC中，點D在邊BC上，DE⊥AB于E，DH⊥AC于H，且滿足DE=DH，F(xiàn)為AE的中點，G為直線AC上一動點，滿足DG＝DF，若AE=4cm，則AG=_____cm．【答案】2或6.【解析】【詳解】∵DE⊥AB，DH⊥AC，∴∠AED=∠AHE=90°.在△ADE和△ADH中，∵AD=AD,DE=DH,∴△ADE≌△ADH(HL),∴AH=AE=4cm.∵F為AE的中點，∴AF=EF=2cm.在△FDE和△GDH中，∵DF=DG,DE=DH,∴△FDE≌△GDH(HL),∴GH=EF=2cm.當點G在線段AH上時，AG=AH-GH=4-2=2cm;當點G在線段HC上時，AG=AH+GH=4+2=6cm;故AG的長為2或6.2．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，AO⊥OM，OA=7，點B為射線OM上的一個動點，分別以O(shè)B，AB為直角邊，B為直角頂點，在OM兩側(cè)作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，連接EF交OM于P點，當點B在射線OM上移動時，則PB的長度____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意過點E作EN⊥BM，垂足為點N，首先證明△ABO≌△BEN，得到BO=ME；進而證明△BPF≌△MPE并分析即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點E作EN⊥BM，垂足為點N，∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°，∴∠BAO=∠NBE，∵△ABE、△BFO均為等腰直角三角形，∴AB=BE，BF=BO；在△ABO與△BEN中，，∴△ABO≌△BEN（AAS），∴BO=NE，BN=AO；∵BO=BF，∴BF=NE，在△BPF與△NPE中，，∴△BPF≌△NPE（AAS），∴BP=NP=BN，BN=AO，∴BP=AO=×7=．故答案為：．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理以及全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形并靈活運用有關(guān)定理進行分析．考點三利用全等三角形中的動點求線段長最小值問題例題：（2021·重慶八中八年級開學考試）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠CAB交BC于D點，E，F(xiàn)分別是AD，AC上的動點，則CE+EF的最小值為________．【答案】【解析】【分析】在AB上取點F′，使AF′=AF，過點C作CH⊥AB，垂足為H．因為EF+CE=EF′+EC，推出當C、E、F′共線，且點F′與H重合時，F(xiàn)E+EC的值最?。驹斀狻拷猓喝鐖D所示：在AB上取點F′，使AF′=AF，過點C作CH⊥AB，垂足為H．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，又AE=AE，∴△AEF≌△AEF′（SAS），∴FE=EF′，∵S△ABC=AB?CH=AC?BC，∴CH=，∵EF+CE=EF′+EC，∴當C、E、F′共線，且點F′與H重合時，F(xiàn)E+EC的值最小，最小值為，故答案為：．【點睛】本題主要考查的是勾股定理的應(yīng)用、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線，明確當C、E、F′共線，且點F′與點H重合時，CE+EF的值最?。咀兪接柧殹?．（2021·全國·八年級專題練習）如圖，在線段兩側(cè)作和，使，，為邊上一點，滿足，為直線上的動點，連接、．已知，，的周長為3.6，則的最小值為______．【答案】2.8【解析】【分析】在BC上取CD′=BD，連接AD′，證明△ACD′≌△ABD，得到AD′=AD，∠CAD′=∠BAD，從而證明△AED′≌△AED，得到D′E=DE，∠AED′=∠AED，過A作AF⊥BC，AF與BC交于點F，從而推斷出BP+DP=BP+D′P最小值為P點與E點重合時，BP與D′P共線，BP+D′P=BD′，利用勾股定理求出BD′的長度即可．【詳解】解：在BC上取CD′=BD，連接AD′，∵AC=AB，∴∠C=∠ABC，∵∠ABC=∠ABD，∴∠C=∠ABD，又CD′=BD，AC=AB，∴△ACD′≌△ABD（SAS），∴AD′=AD，∠CAD′=∠BAD，∴∠DAD′=∠BAC，∵2∠EAD=∠BAC=∠DAD′，∴∠D′AE=∠DAE，又AD′=AD，AE=AE，∴△AED′≌△AED（SAS），∴D′E=DE，∠AED′=∠AED，∴D′在直線BD上，過A作AF⊥BC，AF與BC交于點F，∵CD′=BD，D′E=DE，∴CD′+D′E+EB=BC=BD+DE+BE=3.6，∵P為AE上的動點，故BP+DP=BP+D′P最小值為P點與E點重合時，BP與D′P共線，BP+D′P=BD′，∵△ABC中，AB=AC=3，BC=3.6，AF⊥BC，AD′=AD=2.6，∴F為BC中點，即CF=BF=BC=×3.6=1.8，∴AF=，∴D′F=，∴BD′=BF+D′F=1.8+1=2.8，∴BP+DP的最小值為2.8，故答案為：2.8．【點睛】本題考查了最短路徑問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵正確作出輔助線，利用全等三角形的性質(zhì)得到相等線段．2．（2019·湖北·武漢大學附屬外語學校八年級階段練習）△ABC是邊長為2的等邊三角形，點P為直線BC上的動點，把線段AP繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60°至AE，O為AB邊上一動點，則OE的最小值為____．【答案】．【解析】【分析】根據(jù)題意連接EC，作CH⊥AB于H，首先證明CE∥AB，再求出平行線之間的距離即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接EC，作CH⊥AB于H．∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，∵∠PAE=∠BAC=60°，∴∠PAB=∠EAC，∵PA=EQ，BA=CA，∴△PAB≌△EAC(SAS)，∴∠ABP=∠ACE，∵∠ABP=180°﹣60°=120°，∴∠ACE=120°，∴∠BCE=120°﹣60°=60°，∴∠ABC=∠BCE，∴CE∥AB，∴點E的運動軌跡是直線CE(CE∥AB)，∵CB=CA=AB=2，CH⊥AB，∴BH=AH=1，∴CH，根據(jù)垂線段最短，可知OE的最小值=CH．故答案為：．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換和等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)和垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．考點四利用全等三角形中的動點綜合問題例題：（2022·遼寧葫蘆島·八年級期末）如圖，在中，．點D是直線上一動點（點D不與點B，C重合），，連接．(1)如圖1，當點D在線段上時，直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，當點D在邊的延長線上時，請?zhí)骄烤€段與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；(3)如圖3，若點D在邊的延長線上，且點A，E分別在直線的兩側(cè)，其他條件不變，若，直接寫出的長度．【答案】(1)CE+CD=BC，證明見解析(2)CE=BC+CD，證明見解析(3)CE=4【解析】【分析】（1）根據(jù)條件AB=AC，∠BAC=90°，AD=AE，∠DAE=90°，判定△ABD≌△ACE（SAS），即可得出BD和CE之間的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得到CE+CD=BC；（2）根據(jù)已知條件，判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，再根據(jù)BD=BC+CD，即可得到CE=BC+CD；（3）根據(jù)條件判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，即可解決問題．(1)解：如圖1，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∴BC=BD+CD=CE+CD，(2)線段BC，CD與CE之間存在的數(shù)量關(guān)系為BC=CE-CD．理由：如圖2中，由（1）同理可得，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，∴在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∴BD=BC+CD，即CE=BC+CD．(3)如圖3，由（1）同理可得，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，即∠BAD=∠EAC，同理，△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∵CD=10，BC=6，∴DB=DC-BC=4，∴CE=4．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．解決問題的關(guān)鍵是掌握：兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．解題時注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等．【變式訓練】1．（2021·河南商丘·八年級期中）如圖1，中，，，點、別在邊、上，且//．(1)求證：；(2)圍繞點旋轉(zhuǎn)，使其一邊落在線段上（如圖2所示），連接、并延長相交于點．試求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析部分．(2)50°．【解析】【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)證明∠ADE＝∠AED，推出AD＝AE即可解決問題．（2）證明△BAD≌△CAE（SAS），推出∠ABD＝∠ACE，可得∠BAD＝∠CMD＝50°．(1)證明：如圖1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴AB﹣AD＝AC﹣AE，即BD＝EC．(2)解：如圖2中，∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ADB＝∠CDM，∴∠BMC＝∠BAD＝50°．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．2．（2022·遼寧葫蘆島·八年級期末）如圖①，點C在線段AB上（點C不與A，B重合），分別以AC，BC為邊在AB同側(cè)作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE，BD交于點P．(1)觀察猜想：1.AE與BD的數(shù)量關(guān)系為______；2.∠APD的度數(shù)為______；(2)數(shù)學思考：如圖②，當點C在線段AB外時，（1）中的結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結(jié)論再給予證明．【答案】(1)①AE＝BD；②60°(2)上述結(jié)論成立．∠APD＝60°，證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件只要證明△DCB≌△ACE，即可證明出AE于BD的數(shù)量關(guān)系，以及∠APD的角度；（2）根據(jù)△ACD，△BCE均為等邊三角形，可知＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，進而可知∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，從而可證△DCB≌△ACE（SAS），則DB＝AE，∠CDB＝∠CAE，根據(jù)∠DCA＝∠DPA＝60°可證∠APD＝60°．(1)解：∵△ACD和△CBE都是等邊三角形，∴AC=DC，CE=CB，∠ACD=∠ECB=60°，∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠DCB=∠DCE＋∠ECB，∴∠DCB=∠ACE，∴△DCB≌△ACE，∴AE=BD，∠BDC=∠CAE，又∵∠DOP=∠COA，∴∠APD=∠ACD=60°，故答案是：AE=BD，60°；(2)上述結(jié)論成立，∵△ACD，△BCE均為等邊三角形，∴DC＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，∴∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS），∴DB＝AE，∠CDB＝∠CAE，如圖，設(shè)BD與AC交于點O，易知∠DOC＝∠AOP（對頂角相等），∴∠CDB＋∠DCA＝∠CAE＋∠DPA，∴∠DCA＝∠DPA＝60°，即∠APD＝60°．【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解決本題的關(guān)鍵．課后訓練課后訓練一、選擇題1．（2020·廣西百色·八年級期末）如圖，在長方形中，，，延長到點，使．動點從點出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿方向向終點運動．設(shè)點的運動時間為秒，當和全等時，的值是（

）A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7【答案】C【分析】分兩種情況進行討論，根據(jù)題意得出和即可求得．【詳解】解：因為，若，，根據(jù)證得，由題意得：，所以，因為，若，，根據(jù)證得，由題意得：，解得．所以，當?shù)闹禐?或7秒時．和全等．故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握判定方法有：，，，，．2．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，在銳角△ABC中，∠BAC=45°，點B到AC的距離為2，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是（

）A．1 B．1.5 C．2 D．3【答案】C【分析】在AC上截取AE=AN，連接BE，由AD平分∠CAB，可得∠EAM=∠NAM，然后根據(jù)SAS可證△AEM≌△ANM，可得MN=ME,然后根據(jù)BM+MN=BM+ME≥BE，可得當BE⊥AC，即BE是點B到AC的距離時，BM+MN的值最小，從而求得答案.【詳解】解：如圖，在AC上截取AE=AN，連接BE，∵AD平分∠CAB，∴∠EAM=∠NAM，在△AEM和△ANM中，∵∴△AEM≌△ANM(SAS)，∴MN=ME，∴BM+MN=BM+ME≥BE，當BE⊥AC，即BE是點B到AC的距離時,BM+MN的值最小，∵點B到AC的距離為2，∴BM+MN的最小值是2.故選：C.【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、點到直線的距離，通過構(gòu)造全等三角形把MN轉(zhuǎn)化成ME是解題的關(guān)鍵.二、填空題3．（2022·江蘇南通·一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD⊥BC于點D，點E、F分別是線段AB、AD上的動點，且BE＝AF，則BF+CE的最小值為_____．【答案】【分析】過點作，使，連接，，可證明，則當、、三點共線時，的值最小，最小值為，求出即可求解．【詳解】解：過點作，使，連接，，，，，，，，，當、、三點共線時，的值最小，，，，在中，，故答案為：．【點睛】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，通過構(gòu)造三角形全等，將所求的問題轉(zhuǎn)化為將軍飲馬求最短距離是解題的關(guān)鍵．4．（2021·江蘇鹽城·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，點O是AB邊的中點，點P是射線AC上的一個動點，BQ∥CA交PO的延長線于點Q，OM⊥PQ交BC邊于點M．當CP＝1時，BM的長為_____．【答案】2.5或1【分析】如圖，設(shè)BM=x，首先證明BQ=AP，分兩種情形，利用勾股定理，構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：如圖，設(shè)BM＝x，在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝＝8，∵QB∥AP，∴∠A＝∠OBQ，∵O是AB的中點，∴OA＝OB，在△OAP和△OBQ中，，∴△OAP≌△OBQ（ASA），∴PA＝BQ＝6﹣1＝5，OQ＝OP，∵OM⊥PQ，∴MQ＝MP，∴52+x2＝12+（8﹣x）2，解得x＝2.5．當點P在AC的延長線上時，同法可得72+x2＝12+（8﹣x）2，解得x＝1，綜上所述，滿足條件的BM的值為2.5或1．故答案為：2.5或1．【點睛】本題考查勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學會用分類討論的思想思考問題．5．（2022·江蘇·八年級單元測試）如圖,在中,．點在直線上,動點從點出發(fā)沿的路徑向終點運動;動點從點出發(fā)沿路徑向終點運動．點和點分別以每秒和2cm的運動速度同時開始運動,其中一點到達終點時另一點也停止運動,分別過點和作直線于直線于．當點運動時間為___________秒時,與全等．【答案】2或6##6或2【分析】對點P和點Q是否重合進行分類討論，通過證明全等即可得到結(jié)果；【詳解】解：如圖1所示：與全等，，，解得∶；如圖2所示：點與點重合，與全等，，解得∶；故答案為∶或．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，準確分析計算是解題的關(guān)鍵．三、解答題6．（2022·江西吉安·七年級期末）如圖，在長方形ABCD中，，動點P從點B出發(fā)，沿BC方向以2cm/s的速度向點C勻速運動：同時動點Q從點C出發(fā)，沿CD方向以2cm/s的速度向點D勻速運動，當一個點停止運動時，另一個點也停止運動．設(shè)運動時．解答下列問題：(1)當點C在線段PQ的垂直平分線上時，求t的值；(2)是否存在某一時刻t，使?若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由：【答案】(1)2(2)存在某一時刻t，使，t=1．【分析】（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，列出方程可求解；（2）證出，由全等三角形的性質(zhì)可得，列出方程可求t的值．（1）解：由題意得，，∴，若點C在線段PQ的垂直平分線上，∴，即，∴；（2）解：存在某一時刻t，使．∵，，∴，∴，∴．又∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．7．（2021·江蘇南通·八年級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D是邊BC上的動點，連接AD，點C關(guān)于直線AD的對稱點為點E，射線BE與射線AD交于點F．（1）在圖中，依題意補全圖形，并求證：∠ABF=∠AEB；（2）記∠DAC＝α（α＜45°），求∠AFB的大小；（3）若AB=BD，猜想BE和AD的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）補全圖見解析，證明見解析；（2）∠AFB＝45°；（3）AD＝BE，證明見解析【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可；（3）連接DE，CE，AE，根據(jù)題意求得∠CAF＝22．5°，再證明△BED≌△ADC（ASA），即可得解；【詳解】解：（1）補完圖并小結(jié)如圖所示；連接CE，AE，由題意可知，∵點C關(guān)于直線AD的對稱點為點E，AF垂直平分CE，∴AC＝AE，∵AB＝AC，∴AB＝AE，∴∠ABF＝∠AEB；（2）如圖，由題意可知，∠EAF＝∠CAD＝α，∴∠BAE＝90°﹣2α，在△ABE中，∠BAE+∠ABF+∠AEB＝180°，∴∠ABF＝∠AEB＝45°+α，∵∠AEB＝∠EAF+∠AFB，∠EAF＝α，∴∠AFB＝45°；（3）結(jié)論：AD＝BE；證明：如備用圖，連接DE，CE，AE，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝∠ABC＝45°，在△ABD中，AB＝BD，∠BAD＝∠BDA＝67．5°，∴∠CAF＝22．5°，由（2）可知，∠ABE＝∠ABC+∠CBF＝45°+α，∠ABC＝45°，∴∠CBF＝α＝22．5°，∴∠CAF=∠CBF，∵點C關(guān)于直線AD的對稱點為點E，∴ED＝DC，∴∠EDF＝∠FDC＝∠BDA＝67．5°，∴∠BDE＝45°，∴∠BDE＝∠ACB，可證△BED≌△ADC（ASA），∴AD＝BE；【點睛】本題主要考查了幾何綜合變換，結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理證明是解題的關(guān)鍵．8．（2021·廣西·柳州二十五中八年級期中）如圖（1），AB=4cm，AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，AC=BD=3cm．點P在線段AB上以1cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由點B向點D運動，它們運動的時間為（s）．(1)若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當=1時，△ACP△BPQ是否全等？PC與PQ是否垂直？請分別說明理由；(2)如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB于A，BD⊥AB于B”改為“∠CAB=∠DBA=60°”，其他條件不變．設(shè)點Q的運動速度為cm/s，是否存在實數(shù)，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的、的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)△ACP≌△BPQ，線段PC與線段PQ垂直，理由見解析(2)存在或，使得△ACP與△BPQ全等【分析】（1）利用SAS證得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，進一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出結(jié)論即可；（2）由∠A=∠B，△ACP和△BPQ全等，則分兩種情況：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程組求得答案即可．（1）解：當t=1時，AP=BQ=1cm，∵AB=4cm，∴BP=AB-AP=3cm，又AC=3cm，∴BP=AC又∠A=∠B=90°，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS），∴∠ACP=∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．∴∠CPQ=90°，即線段PC與線段PQ垂直．（2）存在，理由：由題意，得AC=3cm，AP=tcm，BP=(4-t)cm，BQ=xtcm.①若△ACP≌△BPQ，則AC=BP，AP=BQ，則，解得；②若△ACP≌△BQP，則AC=BQ，AP=BP，則，解得：；綜上所述，存在或，使得△ACP與△BPQ全等．【解答】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．在解題時注意分類討論思想的運用．9．（2021·江蘇·南京鐘英中學八年級期中）如圖，在C中，，，，平分交斜邊于點D，動點P從點C出發(fā)，沿折線向終點D運動．(1)點P在上運動的過程中，當______時，與的面積相等；（直接寫出答案）(2)點P在折線上運動的過程中，若是等腰三角形，求的度數(shù)；(3)若點E是斜邊的中點，當動點P在上運動時，線段所在直線上存在另一動點M，使兩線段、的長度之和，即的值最小，則此時______．（直接寫出答案）【答案】(1)當時，與的面積相等(2)45°或90°或67.5°或37.5°(3)5【分析】（1）根據(jù)題意可知當CP=6時，證△PCD≌△BCD（SAS），即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意由（1）得：∠PCD=45°，分兩種情況：①點P在AC上，若PC=PD，則∠PDC=∠PCD=45°，則∠CPD=90°；若DP=DC時，∠CPD=∠PCD=45°，若CP=CD，則∠CPD=∠CDP=67.5°；②點P在AD上時，存在DP=DC，則∠CPD=∠PCD，求出∠CDP=105°，由三角形內(nèi)角和定理得∠CPD=37.5°即可；（3）由題意可知當M在CD上，且MP⊥AC時，MP最小，作MP'⊥BC于P'，則MP'∥AC，證△PCM≌△P'CM（AAS），得MP=MP'，CP=CP'，當點E、M、P'三點共線時，MP+ME的值最小，則EP'∥AC，由平行線的性質(zhì)得∠BEP'=∠A=30°，由直角三角形的性質(zhì)得BE=AB=6，BP'=BE=3，求出CP