2024年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：幾何圖形的最值問題

2024年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：幾何圖形的最值問題

一、單選題

1.如圖，等腰三角形A8C的底邊8c長為6,腰AC的垂直平分線EP分別交邊AC、AB

于點(diǎn)E,F,若Z）為8c邊的中點(diǎn)，〃為線段E尸上一動(dòng)點(diǎn)，若三角形COW的周長的

最小值為13,則等腰三角形ABC的面積為（）

A.78B.39C.42D.3()

2.如圖，在RJABC和RfVADE中，ZBAC=ZZME=90°,AC=AD=3,AB=AE=5.連

接BD,CE,將4A￡>￡繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中當(dāng)ND8A最大時(shí)，AACE的

面積為().

A.6B.6近C.9D.9&

3.如圖，凸四邊形ABC￡＞中，NA=90o,NC=90o,ND=60o,AD=3,AB=,若點(diǎn)仞、

N分別為邊C2A。上的動(dòng)點(diǎn)，則BMN的周長最小值為（）

A.2娓B.3瓜C.6D.3

4.如圖，AACB中，CA=CB=4,/AC8=90。，點(diǎn)尸為CA上的動(dòng)點(diǎn)，連8尸，過點(diǎn)A

作AM_LBP于當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí),線段&W的中點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長為（）

B

A.----7cB.72nC.6兀D.2n

2

5.如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4,且NABC=NABE=60。，G為對(duì)角線BD（不

含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將4ABG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AEBF,當(dāng)AG+BG+CG取

最小值時(shí)EF的長（）

3G

6.如圖，在RtMBC中，ZC=90\AC=4,BC=3,點(diǎn)。是AB的三等分點(diǎn)，半圓O

與AC相切，M,N分別是8c與半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值和最大值之和是（）

A.5B.6C.7D.8

7.如圖，菱形ABC。的邊A8=8,ZB=60°,P是AB上一點(diǎn)，BP=3,。是CD邊上一

動(dòng)點(diǎn)，將梯形沿直線P。折疊，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4.當(dāng)C4的長度最小時(shí)，CQ的長為

)

8.如圖，在等腰RtAABC中，4c=8C=4夜，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上,

M為PC的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長是（）

二、填空題

9.如圖，點(diǎn)P是N49B內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=3cm,點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線。4和射線。8

上的動(dòng)點(diǎn)，4。8=30°,則一PMN周長的最小值是.

。是8c的中點(diǎn)，E為AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)8關(guān)于

￡>E的對(duì)稱點(diǎn)"在△ABC內(nèi)（不含△ABC的邊上），則BE長的范圍為

11.如圖，等邊三角形A8C的邊BC上的高為6,是BC邊上的中線，M是線段49

上的-一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E是AC中點(diǎn)，則EM+CM的最小值為

12.如圖，正△ABC的邊長為2,過點(diǎn)B的直線LAB,且AABC與△4BC關(guān)于直線/

對(duì)稱，。為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，則AO+CO的最小值是.

外心為0,BC=18,Zft4C=60°,分別以A8,AC為腰向形

外作等腰直角三角形與△ACE,連接BE,C。交于點(diǎn)P，則0P的最小值是.

D

14.如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為。O,P是。。上一動(dòng)點(diǎn)，則&%+PB的

最小值為.

15.如圖，已知正方ABC。的邊長為6,圓8的半徑為3,點(diǎn)P是圓8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

則PD-^PC的最大值為.

16.如圖，AB是半圓。的直徑，點(diǎn)。在半圓。上，AB=13,A￡>=5,C是弧8。上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AC,過。點(diǎn)作O//LAC于H.連接2H,在點(diǎn)C移動(dòng)的過程中，的

最小值是_.

三、解答題

17.如圖，在長度為1個(gè)單位長度的小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、8、C在小

正方形的頂點(diǎn)上.

(1)在圖中畫出與43C關(guān)于直線/成軸對(duì)稱的ARC.

(2)在直線/上找一點(diǎn)P,使P8+PC的長最短.

18.如圖，在AABC中，AB^AC,AO是AABC底邊BC上的中線，點(diǎn)P為線段AB上一

點(diǎn).

(1)在A。上找一點(diǎn)E,使得PE+E8的值最??；

(2)若點(diǎn)尸為48的中點(diǎn)，當(dāng)/8PE滿足什么條件時(shí)，AABC是等邊三角形，并說明理

由.

19.如圖，等邊.43C的邊長為6,AO是5c邊上的中線，M是A￡＞上的動(dòng)點(diǎn)，E是AB

邊上一點(diǎn)，若AE=2,求EW+&W的最小值.

20.如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于半徑長為2的。。，點(diǎn)P在圓弧A8上以2倍速度從

8向4運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在圓弧8c上以1倍速度從C向8運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P,0,。三點(diǎn)處于同

一條直線時(shí)，停止運(yùn)動(dòng).

(1)求點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)總長度；

(2)若M為弦PB的中點(diǎn)，求運(yùn)動(dòng)過程中CM的最大值.

參考答案：

1.D

【分析】連接AZ),由于丁ABC是等腰三角形，點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn)，可得AD上BC,再根

據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線E尸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A,故AD的長為

CM+MD的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論.

【詳解】解：如圖：連接A。，交EF于點(diǎn)

是等腰三角形，點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn)，

：.AD1BC,CD=-BC=3,

2

EF是線段AC的垂直平分線，

點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A,AM=CM,

，此時(shí)△CDM的周長最小，

：.CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=13,

r.4)=13—C￡)=13—3=10,

■■-5zA-Ai/siorc=-2?CAD=-2x6xl0=30,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積，熟知等

腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

2.A

【分析】先分析出。的軌跡為以A為圓心A。的長為半徑的圓，當(dāng)與該圓相切時(shí)，NDBA

最大，過C作CPLAE于F,由勾股定理及三角函數(shù)計(jì)算出3D、C尸的長，代入面積公式求

解即可.

【詳解】解：由題意知，。點(diǎn)軌跡為以4為圓心4。的長為半徑的圓，

當(dāng)8。與。點(diǎn)的軌跡圓相切時(shí)，NO8A取最大值，此時(shí)/BD4=90。，如圖所示，

答案第1頁，共21頁

c、、、J

-----

過C作于凡

VZDAE=90°,ZBAC=90°,

：.ZCAF=ZBADf

在放△A3。中，由勾股定理得：BD=[52一乎=牛

：.由sinNCA尸二sinNBAD得：

CFBD

~AC~~ABf

哈4

12

解得：CF=-f

,此時(shí)三角形ACE的面積=6,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn).此題綜合性較強(qiáng)，解

題關(guān)鍵是利用D的軌跡圓確定出/OBA取最大值時(shí)的位置.

3.C

【分析】由軸對(duì)稱知識(shí)作出對(duì)稱點(diǎn)，連接兩對(duì)稱點(diǎn)，由兩點(diǎn)之間線段最短證明最短，

多次用勾股定理求出相關(guān)線段的長度，平角的定義及角的和差求出角度的大小，最后計(jì)算出

的周長最小值為6.

【詳解】解：作點(diǎn)B關(guān)于CQ、40的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)"和點(diǎn)B",

連接B7T交。C和A。于點(diǎn)M和點(diǎn)N,DB,連接MB、NB；

再DC和A￡＞上分別取一動(dòng)點(diǎn)M'和N'（不同于點(diǎn)A/和N）,

連接M'ff,N'B利N'B”,如圖1所示：

答案第2頁，共21頁

EM'=BM',B"N'=BN',

X=ffM+MN+NIT,

MB=ME,NB=N『，

:.NB+NM+BM<BM'+MK+BN',

3MN=NB+NM+BM時(shí)周長最??；

連接過點(diǎn)8'作于*。的延長線于點(diǎn)H,

如圖不2所不：

在/?心Afi￡>中，A￡>=3,AB=6,

DB=-JAD2+AB2=舟+(3y=2G,

.-.Z2=30o,

.?.Z5=30°,DB=DB",

又Z4ZX?=Z1+Z2=6O°,

答案第3頁，共21頁

.-.Zl=30o,

.?.Z7=30°,DB'=DB,

.?.Zfi,￡)/r=Zl+Z2+Z5+Z7=120o,

DB'=DB"=DB=2y/3，

又NB'￡)B"+N6=180°,

.?.Z6=60°,

HD=J5,HE=3,

在用△877B"中，由勾股定理得：

B'B"=-JHB'2+HB"2=舊+(3廚=x/27+9=6.

=NB+NM+BM=6,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了軸對(duì)稱一最短路線問題，勾股定理，平角的定義和兩點(diǎn)之間線段最

短等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱-最短路線問題，難點(diǎn)是構(gòu)建直角三角形求兩點(diǎn)

之間的長度.

4.A

【詳解】解：設(shè)AB的中點(diǎn)為0,連接NQ,如圖所示：

為Bm的中點(diǎn)，Q為AB的中點(diǎn)，

:.NQ為4BAM的中位線，

'：AMLBP,

:.QN1BN,

：.ZQNB=90°,

???點(diǎn)N的路徑是以Q8的中點(diǎn)。為圓心，;A8長為半徑的圓交CB于。的Q￡>,

：C4=CB=4,ZACB=90°,

:.AB=?CA=4h,NQBO=45。，

:.NDOQ=90。,

Q。為。。的《周長，

...線段的中點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長為：竺作竺g=變兀，

180-2

故選：A.

答案第4頁，共21頁

5.D

【分析】根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短“，當(dāng)G點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AG+BG+CG的值

最小，即等于EC的長.

?.?將AABG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AEBF,

，BE=AB=BC,BF=BG,EF=AG,

...△BFG是等邊三角形.

，BF=BG=FG,.

，AG+BG+CG=FE+GF+CG.

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，

/.當(dāng)G點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的長,

過E點(diǎn)作EF±BC交CB的延長線于F,

.,.ZEBF=180o-120°=60°,

VBC=4,

，BF=2,EF=2g,在Rt^EFC中，

VEF2+FC2=EC2,

.?.EC=4G.

VZCBE=120°,

NBEF=30°,

VZEBF=ZABG=30°,

，EF=BF=FG,

答案第5頁，共21頁

.\EF=-CE=^,

33

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱最短路線問題,

正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

6.B

【分析】設(shè)。。與AC相切于點(diǎn)D,連接0Q,作QPL3c垂足為P交。。于F,此時(shí)垂線

段0P最短，PF最小值為OP-OF,當(dāng)N在4B邊上時(shí)，M與B重合時(shí)，MN經(jīng)過圓心，經(jīng)

過圓心的弦最長，根據(jù)圖形與圓的性質(zhì)即可求解.

【詳解】如圖，設(shè)。。與AC相切于點(diǎn)。，連接?！?gt;,作0PL3C垂足為P交。。于F,

此時(shí)垂線段0P最短，PR最小值為OP-OF,

VAC=4,BC=3,

：.A8=5

VNOPB=90°,

：.OPAC

,點(diǎn)。是AB的三等分點(diǎn)，

.2.10OPOB2

??OB=-x5=—,=——=—,

33ACAB3

Q

：.OP=-

3f

TOO與AC相切于點(diǎn)。，

：.ODA.AC,

：.OD//BC,

.ODOAI

BCAB3

:.OD=lf

o5

.?.MN最小值為OP-OP=]-1=§,

如圖，當(dāng)N在AB邊上時(shí)，M與B重合時(shí)，MN經(jīng)過圓心，經(jīng)過圓心的弦最長,

…，口」,士10,13

MN取大值=1+1=1,

513/

-+——=6,

33

???MN長的最大值與最小值的和是6.

答案第6頁，共21頁

故選股

【點(diǎn)睛】此題主要考查圓與三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知圓的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì).

7.B

【詳解】作C7/LAB于"，如圖.

:菱形ABCZ）的邊AB=8,ZB=60°,

...△ABC為等邊三角形，

同

；.CH=^-AB=4y/3,AH=BH=4.

2

'：PB=3,:.HP=1.

在RSC”P中，CP=?4而+F=7.

,/梯形APQD沿直線PQ折疊，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A，，

...點(diǎn)4在以P點(diǎn)為圓心，雨為半徑的弧上，

二當(dāng)點(diǎn)4在PC上時(shí)，C4的值最小，

，ZAPQ^ZCPQ,而CD//AB,

：.ZAPQ=ZCQP,

：.ZCQP=ZCPQ,

：.CQ=CP=1.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì).解答本題的關(guān)鍵是確定4在尸C上時(shí)C4的長度最小.

8.B

【詳解】分析：取4B的中點(diǎn)0、AC的中點(diǎn)E、8c的中點(diǎn)尸，連結(jié)。C、OP、0M、0E、

答案第7頁，共21頁

OF、EF,如圖，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得至ljAB=&BC=8,貝ljOC=-AB=4,OP=-AB=4,

再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得OM，PC,則NCMO=90。，于是根據(jù)圓周角定理得到點(diǎn)M在以

OC為直徑的圓上，由于點(diǎn)P點(diǎn)在A點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)在E點(diǎn)；點(diǎn)P點(diǎn)在B點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)在F點(diǎn),則

利用四邊形CEOF為正方得到EF=OC=4,所以M點(diǎn)的路徑為以EF為直徑的半圓，然后根

據(jù)圓的周長公式計(jì)算點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長.

詳解：取4B的中點(diǎn)0、AC的中點(diǎn)E、BC的中點(diǎn)F,連結(jié)OC、OP、OM,OE、OF.EF,

如圖,：在等腰RtZiABC中,AC=8C=4及，8c=8,.，.。。=；48=4,0P=；AB=4.

為PC的中點(diǎn)，.?.OMLPC,.?./CMO=90。，.?.點(diǎn)M在以0C為直徑的圓上，點(diǎn)尸

點(diǎn)在A點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)在E點(diǎn)；點(diǎn)P點(diǎn)在B點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)在尸點(diǎn)，易得四邊形CEO尸為正方形，

EF=0C=4,點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑為以E尸為直徑的半圓，.?.點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長=g?4兀=2兀.故

選B.

點(diǎn)睛：本題考查了軌跡：點(diǎn)按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)所形成的圖形為點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡.解決此題的關(guān)健

是利用等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理確定M點(diǎn)的軌跡為以EF為直徑的半圓.

9.3cm

【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于04、08的對(duì)稱點(diǎn)C、D,連接C。，分別交。4、OB于點(diǎn)M、N,

連接。只OGOD、PM、PN,當(dāng)點(diǎn)M、N在C。上時(shí)，的周長最小.

【詳解】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于0408的對(duì)稱點(diǎn)C、D,連接C￡>,分別交04OB于點(diǎn)M、

:點(diǎn)P關(guān)于0A的對(duì)稱點(diǎn)為C,關(guān)于0B的對(duì)稱點(diǎn)為D,

答案第8頁，共21頁

PM=CM,OP=OC,NCOA=ZPOA；

???點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D,

：.PN=DN,OP=OD,ZDOB=ZPOB,

；?OC=OD=OP=3cm,

ZLCOD=Z.COA+NPOA+NPOB+NDOB=2ZPOA+2ZPOB=2ZAOB=60°,

：.△<%>￡>是等邊三角形，

CD-OC=OD=3（cm）.

，一PMV的周長的最小值=PM+MTV+PN=CM+ACV+NCD=3cm.

故答案為：3cm.

【點(diǎn)睛】本題主要考查最短路徑問題和等邊三角形的判定.作點(diǎn)尸關(guān)于OA、。8的對(duì)稱點(diǎn)

C、。是解題的關(guān)鍵所在.

95

10.-<BE<-

52

【分析】首先根據(jù)運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)分析出點(diǎn)B'的運(yùn)動(dòng)軌跡在以。為圓心，為半徑的圓弧上，然

后分點(diǎn)恰好落在A3邊上和點(diǎn)B'恰好落在AC邊上兩種情況討論，分別利用勾股定理以及

等腰三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行求解和證明即可得出兩種臨界情況下8E的長度，從而得出結(jié)

論.

【詳解】解：???點(diǎn)B與B'關(guān)于DE對(duì)稱，

ABD=B'D,則點(diǎn)8'的運(yùn)動(dòng)軌跡在以。為圓心，為半徑的圓弧上，

①如圖所示，當(dāng)點(diǎn)恰好落在AB邊上時(shí)，此時(shí)，連接AO和OE,

由題意及“三線合一”知，AD±BD,BD=；BC=3,

.,.在中，AD=y/AB2-BD2=>/52-32=4>

此時(shí)，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，DEJ.AB,

，由等面積法，-AB.DE=-AD.BD,

22

.nc.12

5

在向8DE中，BE=>]BD2-DE2=1；

答案第9頁，共21頁

A

②如圖所示，當(dāng)點(diǎn)皆恰好落在AC邊上時(shí)，連接A￡＞、DE、,

由題意，BD=Dff=DC,

，ADBB=ZDffB,ZDB'C=ZDCB1,

ZDBff+ZDCB'=ADSB+ZDffC,

即：NBCB+NCBB1=/BBC,

：.Zfi5(C=90°,

叩：BB'1AC,

,點(diǎn)8與&關(guān)于。E對(duì)稱，

:.DE1BR,BE=BE,

二DE//AC,

:.ZBED=NBAC,ADEB^ZABE,

由對(duì)稱的性質(zhì)，ABED=ADES,

：.ZAB'E=ABAC,

/.AE=B'E,

：.AE=BE^B'E,

即：此時(shí)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，

.?.此時(shí)，BE=-AB=-,

22

95

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和判定，以及勾股定理解直角三角形等，能夠根據(jù)題意

準(zhǔn)確分析出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，并構(gòu)建適當(dāng)?shù)娜切芜M(jìn)行求解是解題關(guān)鍵.

答案第10頁，共21頁

11.6

【分析】連接BE交AD于M,則BE就是EM+CM的最小值，通過等腰三角形的“三線合一”,

可得BE=AD即可得出結(jié)論.

【詳解】解：連接BE,與A。交于點(diǎn)M.

\'AB=AC,AO是8c邊上的中線，

二8、C關(guān)于A。對(duì)稱，則EM+CM=EM+BM,

則BE就是EM+CM的最小值.

?.?E是等邊△ABC的邊AC的中點(diǎn)，A。是中線

BE=AD=6,

.?.EM+CM的最小值為6,

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)一“三線合一”、等邊三角形的性質(zhì)和軸對(duì)稱等知

識(shí)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是找到M點(diǎn)的位置.

12.4

［分析］根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及軸對(duì)稱的性質(zhì)得到NABC=ZA'BC'=60°,4B=AB=BC=2,

證明△CB￡＞也△A'8O,得到CD=A'Q,推出當(dāng)A、D、A'三點(diǎn)共線時(shí)，AQ+CQ最小，此時(shí)

AD+CD=A'B+AB=4.

【詳解】解：如圖，連接AD,

?.?正△ABC的邊長為2,△48。與4關(guān)于直線/對(duì)稱，

：.ZABC=ZA'BC'=60°,A'B=AB=BC=2,

：.ZCBC'=60°,

.\ZCBC'=ZA'BC',

,:BD=BD,

答案第II頁，共21頁

：./\CBD^/\A!BD,

：.CD=A'D,

：.AD+CD=A'D+CD,

.,.當(dāng)AD、,三點(diǎn)共線時(shí),AD+CZ)最小，此時(shí)AO+CQ=AB+AB=4,

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，最短路

徑問題，正確掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

13.9-36

【分析】由與AACE是等腰直角三角形，得到NBAD=ZCAE=90°,ADAC=/BAE,

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NM>C=NABE,求得在以8C為直徑的圓上，由/WC的外心

為。，N8AC=60。，得到N8OC=120。，如圖，當(dāng)PO1BC時(shí)，。尸的值最小，解直角三角

形即可得到結(jié)論.

【詳解】解：“9與ZXACE是等腰直角三角形，

:.ZBAD=ZCAE=90°,

：.ZDAC=ZBAE,

在4c與中，

AD=AB

-ZDAC=ZBAE,

AC=AE

：.DAC^BAE(SAS),

:.ZADC=ZABE,

:.NPDB+NPBD=90。,

：.ZDPB=90°,

.?.P在以BC為直徑的圓上，

..ABC的外心為。，44c=60。,

答案第12頁，共21頁

.\ZBOC=120°,

如圖，當(dāng)PO18C時(shí)，OP的值最小,

BC=18,

:.BH=CH=9,OH^-OB

2

BH=y]OB2-OH2=&OH

:.OH=3拒,PH=9,

OP=9-3也.

則。P的最小值是9-36，

故答案為：9-35/3.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的

性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

14.2>/5

【分析】&PA+PB=a（%+交P8）,利用相似三角形構(gòu)造"PB即可解答.

22

【詳解】解：設(shè)。。半徑為，，

OP=r=BC=2,OB=72r=2y[2?

取。8的中點(diǎn)/,連接P/,

OI=IB=y/2,

答案第13頁，共21頁

?.?條尋曰空=迪=血，

OIV20P2

...第=器，/0是公共角，

:.△BOPSRPOI,

.PI01叵

^~PB~~OP~^2"

:.PI=&PB,

2

??.AP+正PB=AP+P/,

2

.,?當(dāng)A、尸、/在一條直線上時(shí)，AP+正P3最小,

2

作/￡J_A8于E,

,?NA3O=45。，

：?IE=BE=—BI=1,

2

：.AE=AB-BE=3f

???"/="+產(chǎn)=加，

JAP+注PB最小值=AI=如,

2

???血弘+尸3=收（雨+—P3）,

2

???gPA+PB的最小值是0A/=&x屈=2后.

故答案是2不.

【點(diǎn)睛】本題是“阿氏圓''問題，解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形.

15.史

2

3

【分析】如圖，連接BP,在8c上取一點(diǎn)M,使得BM==,進(jìn)而證明△BRVfs/XBCP,

則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的任意時(shí)刻，均有PM=；PC,從而將問題轉(zhuǎn)化為求PD-PM的最大值.連接

PD,在△「￡)〃中，P￡)-PM<OM,故當(dāng)。、M、P共線時(shí)，PZ)-PM=￡>M為最大值，勾股定

理即可求得DM.

3

【詳解】如圖，連接BP,在BC上取一點(diǎn)M,使得8M=5，

答案第14頁，共21頁

AD

.BMBP

/PBM=/CBP

?.ABPMS/\BCP

.MP_BM1

'^C~~BP~2

:.MP=-PC

2

:.PD--PC=PD-MD

2

在△POM中，PD-PMVDM,

當(dāng)D、M、尸共線時(shí)，PO-PM=OM為最大值,

四邊形ABC。是正方形

/.ZC=90°

15

在用8W中,DM=>JDC2+MC2=

~2

答案第15頁，共21頁

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，構(gòu)造gpc是解題的

關(guān)鍵.

167^1-5

--T~

【分析】連接BO,取4。的中點(diǎn)E,連接8E,由題意先判斷出點(diǎn)H在以點(diǎn)E為圓心，AE

為半徑的圓上，當(dāng)B、H、E三點(diǎn)共線時(shí)，BH取得最小值,然后在直角三角形中，利用勾股

定理求出8E的長，利用直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出EH的長，由

=即可算出的長度.

【詳解】解：連接BO,取4。的中點(diǎn)E,連接BE,如下圖：

D

...點(diǎn)，在以點(diǎn)E為圓心，4E為半徑的圓上，當(dāng)8、H、E三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值

???AB是直徑

ZBDA=90

在用J3ZM中，AB=13,AD=5

由勾股定理得：BD2=AB2-AD2

即：BD2=169-25=144

?/BD>0

：.30=12

為A￡>的中點(diǎn)

DE=-AD^-

22

在RfBOE中，BA12,DE=-

2

由勾股定理得：BE2=DE2+BD2

即：B￡2=—+144=—

44

???BE>0

答案第16頁，共21頁

?即-時(shí)

??DtL=--------

2

又AC,且點(diǎn)E為AO的中點(diǎn)

EH=)

2

5

BH=BE-EH=-——

222—一

故答案為:V60I-5

2

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理解三角形，直徑所對(duì)的圓周角為直角，直角三角形斜邊上的中線

等于斜邊的一半，隱圓問題的處理等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，能夠判斷出從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)

鍵.

17.(1)見解析

(2)見解析

【詳解】(1)解：如圖，△AQC即為所求.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-軸對(duì)稱變換、軸對(duì)稱一最短路線問題，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解

答本題的關(guān)鍵.

18.(1)見解析；(2)ZBPE=90°,理由見解析

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知A。垂直平分BC,再根據(jù)兩點(diǎn)間線段最

短的性質(zhì)，連接CP交AO于點(diǎn)E,并連接BE,即可得解；

(2)因?yàn)槭瑸锳B的中點(diǎn)，要使△ABC是等邊三角形，則需BC=AB,根據(jù)等腰三角形三線

合一的性質(zhì)，所以CPLAB,即NBPE=90。.

答案第17頁，共21頁

【詳解】解：（1）如圖，連接CP交A8于點(diǎn)E,則點(diǎn)E為所求;

（2）NBPE=9。。,理由如下：

ZBPE=90°

C.CPVAB,

?點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，

垂直平分A8

CA=CB

"：AB=AC

.'.AB=AC=BC

.?.△ABC是等邊三角形

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形三線合一的性質(zhì)以及對(duì)稱、兩點(diǎn)間線段最短、線段中垂線

定理，熟練掌握這些性質(zhì)定理