【初中數(shù)學(xué)】第三章+概率的進一步認識第五章+投影與視圖+課件+北師大版九年級上冊數(shù)學(xué)期末復(fù)習課（三）+

總復(fù)習期末復(fù)習課期末復(fù)習課（三）（第三章概率的進一步認識，第五章投影與視圖）數(shù)學(xué)九年級上冊BS版知識梳理典例講練目錄CONTENTS數(shù)學(xué)九年級上冊BS版01知識梳理1.用樹狀圖或表格求概率.（1）求概率的兩種基本方法：

和

?.畫樹狀圖法

列表法

（2）畫樹狀圖法和列表法的優(yōu)缺點優(yōu)點缺點畫樹

狀圖

法可以直觀、形象地分析

問題，能夠避免重復(fù)和

遺漏當一次試驗參與的元素過多

時，用畫樹狀圖法就比較麻

煩列表

法可以清晰地表示出某個

事件發(fā)生的所有可能出

現(xiàn)的結(jié)果，從而較方便

地求出事件發(fā)生的概率易出現(xiàn)重復(fù)；當一次試驗涉

及的分步過多（一般超過兩

步）時，就不能用列表法

A

（2）頻率與概率的關(guān)系.事件的概率是一個確定的常數(shù)，而頻率是不確定的.當試驗次數(shù)

較少時，頻率的大小搖擺不定；當試驗次數(shù)增大時，頻率的大

小波動變小，并逐漸穩(wěn)定在概率附近.可見，概率是頻率的穩(wěn)定

值，而頻率是概率的近似值.（3）利用頻率估計概率.當試驗的可能結(jié)果不是有限個，或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相

等時，一般用統(tǒng)計頻率的方法來估計概率.3.投影.（1）一般地，用光線照射物體，在某個平面上得到的影子叫做

物體的投影，投影所在的平面叫做

?.（2）由同一點發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影.由平行光

線形成的投影叫做

.投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投

影叫做

?.（3）同一時刻，在同一地點，物體的高度與

?成

比例.投影面

平行投影

正投影

影子的長度

4.視圖.（1）對一個物體在三個投影面內(nèi)同時進行正投影，在正面內(nèi)由

前向后觀察物體得到的視圖，叫做

；在水平面內(nèi)由

上向下觀察物體得到的視圖，叫做

；在側(cè)面內(nèi)由左

向右觀察物體得到的視圖，叫做

?.（2）三種視圖的位置：主視圖在左上方，它下方應(yīng)是俯視圖，

左視圖在主視圖的右邊.畫三種視圖時，三個視圖要放在正確的

位置，并且注意主視圖與俯視圖的長對正，主視圖與左視圖的

高平齊，左視圖與俯視圖的寬相等.主視圖

俯視圖

左視圖

數(shù)學(xué)九年級上冊BS版02典例講練類型一

利用樹狀圖或表格計算概率

（1）如圖，轉(zhuǎn)盤的紅色扇形圓心角為120°.讓轉(zhuǎn)盤自由轉(zhuǎn)

動2次，指針1次落在紅色區(qū)域，1次落在白色區(qū)域的概率

為

?.

【思路導(dǎo)航】根據(jù)紅色扇形圓心角為120°，得出白色扇形的圓

心角的度數(shù)，將圓等分成幾個部分，畫樹狀圖或列表得出最后

的結(jié)果即可.

【點撥】利用等可能事件的概率公式計算事件的概率，需建立

在所有的結(jié)果都是等可能的基礎(chǔ)上，利用畫樹狀圖法或列表法

求解.當轉(zhuǎn)盤被分割成面積不等的扇形時，通常需要將其轉(zhuǎn)化成

等面積的扇形，否則就會出錯.（2）2022年冬奧會在中國舉行，小明和小剛都去觀看了冬奧項

目比賽.他們都喜歡的冬奧項目分別是A.短道速滑；B.冰球；C.

花樣滑冰；D.跳臺滑雪.小明和小剛計劃各自在這四個冬奧項目

中任意選擇一個觀看，每個項目被選擇的可能性相同.①小明選擇觀看項目“C.花樣滑冰”的概率是多少？②用畫樹狀圖或列表的方法，求小明和小剛恰好選擇同一項目

觀看的概率.【思路導(dǎo)航】①根據(jù)概率的定義直接求解即可；②利用畫樹狀

圖或列表的方法，列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，進而得出概率.

②畫樹狀圖（略圖）如下：由樹狀圖可知，共有16種等可能的結(jié)果，小明和小剛恰好選擇

同一項目觀看的結(jié)果有4種，

一個不透明的口袋中裝有四個完全相同的小球，把它們分別標

號為1，2，3，4.（1）隨機摸取一個小球，標號是奇數(shù)的概率為

?；

（2）隨機摸取一個小球后放回，再隨機摸取一個小球，求兩次

取出小球標號的和等于5的概率.（2）解：畫樹狀圖（略圖）如下：

類型二

概率與統(tǒng)計的綜合

（2023·遼寧）為了推進“優(yōu)秀傳統(tǒng)文化進校園”活動，學(xué)

校準備在七年級成立4個課外活動小組，分別是：A.民族舞蹈

組；B.經(jīng)典誦讀組；C.民族樂器組；D.地方戲曲組.為了了解

學(xué)生最喜歡哪一個活動小組，學(xué)校從七年級全體學(xué)生中隨機抽

取部分學(xué)生進行問卷調(diào)查，每人必須選擇且只能選擇一項，并

將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題：（1）本次調(diào)查的學(xué)生共有

人；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，求“D組”所對應(yīng)的扇形的圓心角度

數(shù)，并補全條形統(tǒng)計圖；（3）在重陽節(jié)來臨之際，學(xué)校計劃組織學(xué)生到敬老院為老人表

演節(jié)目，準備從這4個小組中隨機抽取2個小組匯報演出，請你

用列表法或畫樹狀圖法，求選中的2個小組恰好是“C組”和

“D組”的概率.100

【思路導(dǎo)航】（1）由樣本中參加“C組”的人數(shù)以及占調(diào)查人

數(shù)的百分比可求出調(diào)查總?cè)藬?shù)；（2）求出樣本中選擇“D組”

的學(xué)生所占的百分比，進而可求出相應(yīng)的圓心角度數(shù)，求出選

擇“B組”的學(xué)生人數(shù)，即可補全條形統(tǒng)計圖；（3）用樹狀圖

或表格列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果，再根據(jù)概率的定義進行

計算即可.（1）【解析】由統(tǒng)計圖可知，本次調(diào)查的學(xué)生共有35÷35％＝

100（人）.故答案為100.

補全條形統(tǒng)計圖如下：

（3）解：畫樹狀圖（略圖）如下：由樹狀圖可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中2個小組恰好是

“C組”和“D組”的結(jié)果有2種，

【點撥】解決此類問題的關(guān)鍵是分析統(tǒng)計圖，獲取信息，并熟

練掌握用畫樹狀圖或列表的方法計算概率.

為提高學(xué)生的安全意識，學(xué)校就學(xué)生對校園安全知識的了解程

度，對部分學(xué)生進行了問卷調(diào)查，將收集到的信息進行統(tǒng)計并

分成了以下四個等級：A.非常了解；B.基本了解；C.了解很

少；D.不了解.將結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖如圖所示.請你根據(jù)統(tǒng)計信息回答下列問題：（1）求扇形統(tǒng)計圖中“D”等級所在扇形的圓心角度數(shù)，并補

全條形統(tǒng)計圖；

（2）若全校約有學(xué)生1500人，請估計“A”等級的學(xué)生人數(shù)；

（3）學(xué)校要從“A”等級的甲、乙、丙、丁4名同學(xué)中隨機抽

取2人參加競賽，請用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好抽到甲、

丁兩名同學(xué)的概率.解：（3）畫樹狀圖（略圖）如下：

類型三

概率與方程、函數(shù)等的綜合

在一個不透明的口袋里裝有四個大小、材質(zhì)完全相同的小

球，上面分別標有數(shù)字1，2，2，3.

【思路導(dǎo)航】（1）直接用概率公式求解即可；（2）先畫樹狀

圖或列表，再分別求出小明勝的概率和小紅勝的概率，比較兩

個概率的大小，即可得出結(jié)論.

（2）畫樹狀圖（略圖）如下：

∴小明勝的概率＝小紅勝的概率.∴這個游戲公平.

在甲、乙兩個不透明的口袋中分別裝有大小、材質(zhì)完全相同的

小球，其中甲口袋中的四個小球上分別標有數(shù)字1，2，3，4，

乙口袋中的三個小球上分別標有數(shù)字2，3，4.先從甲口袋中任

意摸出一個小球，記下數(shù)字為

m

，再從乙口袋中任意摸出一個

小球，記下數(shù)字為

n

.（1）請用列表或畫樹狀圖的方法表示出（

m

，

n

）所有可能的

結(jié)果.解：（1）畫樹狀圖（略圖）如下：由樹狀圖可知，共有12種等可能的結(jié)果.

（2）若

m

，

n

都是方程

x2－5

x

＋6＝0的解，則小明獲勝；若

m

，

n

都不是方程

x2－5

x

＋6＝0的解，則小利獲勝.問：他們兩

人誰獲勝的概率大？類型四

投影作圖及計算

在公園有兩個垂直于水平地面且高度不同的圓柱，兩個圓

柱后面有一堵與地面互相垂直的墻，且圓柱與墻的距離皆為120

cm.敏敏觀察到高90cm的矮圓柱的影子落在地面上，其影長為

60cm；而高圓柱的部分影子落在墻上，如圖所示.已知落在地

面上的影子皆與墻面互相垂直，并視太陽光為平行光，在不計圓柱厚度與影子寬度的情況下，請回答下列問題：（1）若敏敏的身高為150cm，且此刻她的影子完全落在地面

上，則影長為多少？

（2）若同一時間量得高圓柱落在墻上的影長為150cm，則高圓柱的高度為多少？請詳細解釋或完整寫出你的解題過

程，并求出答案.【思路導(dǎo)航】根據(jù)同一時刻的兩個物體的高度與它們對應(yīng)的影

長成比例進行計算.

∴

AC

＝

AB

＋

BC

＝150＋180＝330（cm）.∴高圓柱的高度為330cm.【點撥】本題運用了平行投影、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知

識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于?？碱}型.

求平行投影中相關(guān)線段的長的方法：主要運用“同一時刻影長

與物體高度成比例”或“相似三角形的對應(yīng)邊成比例”求解，

另外，有時需作垂線構(gòu)造直角三角形.

如圖，在路燈

M

的照射下，甲的身高如圖中線段

AB

所示，他在

地面上的影子如圖中線段

AC

所示，乙的身高如圖中線段

FG

所

示，路燈

M

在線段

DE

上.（1）請你確定路燈

M

所在的位置，并畫出表示乙在燈光下形成

的影子線段；解：（1）路燈

M

的位置如圖所示，

FN

為乙

在燈光下形成的影子.（2）若路燈

M

距離地面12m

，乙的身高為1.6m

，乙與燈桿的

距離為6.5m

，請求出乙影子的長度.

類型五

幾何體的三種視圖

（1）一個空心圓柱如圖所示，其主視圖是下列圖中的

（

C

）CABCD【思路導(dǎo)航】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，可得答案.【解析】主視圖是在幾何體正面觀察物體得到的圖形.能夠看見

的部分用實線表示，不能看見的部分用虛線表示.本題圓柱的主

視圖整體是個矩形，中間包含兩條豎直的虛線，∴C選項是空心

圓柱的主視圖.故選C.【點撥】本題考查了簡單組合體的三種視圖，從正面看得到的

圖形是主視圖.注意：看不到的線畫虛線.（2）一個幾何體的三種視圖如圖所示，這個幾何體的側(cè)面積

為

?.200π

【思路導(dǎo)航】首先根據(jù)三種視圖得出這個幾何體的形狀，再根

據(jù)側(cè)面積公式列式計算即可.【解析】由題意可知，這個幾何體是圓柱，側(cè)面積是π×10×20

＝200π.故答案為200π.【點撥】由三種視圖還原幾何體的一般步驟：第一步，想象—

—根據(jù)各視圖想象幾何體的形狀；第二步，定型——綜合確定

幾何體的形狀；第三步，定大小——根據(jù)視圖“長對正、高平

齊、寬相等”的關(guān)系確定輪廓線的位置及尺寸.當涉及求