【初中數(shù)學(xué)】第4章+相似三角形中常作的輔助線++課件+北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

第四章圖形的相似專題7相似三角形中常作的輔助線數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版專題解讀典例講練目錄CONTENTS數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版01專題解讀◎問題綜述在幾何圖形的研究中，常常需要添加輔助線來幫助解決問

題.在相似三角形的有關(guān)問題中，常用的輔助線有：（1）過一

點(diǎn)作平行線來構(gòu)造“A”型或“X”型；（2）過一點(diǎn)作垂線來

構(gòu)造“垂直”型.在作輔助線時(shí)，要考慮所添加的輔助線是否能

夠構(gòu)造出一組或多組相似三角形或得到成比例的線段或等角、

等線段，從而為證明三角形相似或進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算與證明創(chuàng)造

條件.數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版02典例講練類型一

作平行線構(gòu)造“A”型或“X”型

三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫三角形的重心.

如圖，點(diǎn)

G

是△

ABC

的重心，求證：

AD

＝3

GD

.

【思路導(dǎo)航】過點(diǎn)

D

作

DH

∥

AB

，交

CE

于點(diǎn)

H

，即可證明△

AEG

∽△

DHG

，進(jìn)而求得

AG

＝2

GD

，即可得出結(jié)論.證明：如圖，過點(diǎn)

D

作

DH

∥

AB

，交

CE

于點(diǎn)

H

.

∵

AD

是△

ABC

的中線，∴點(diǎn)

D

是

BC

的中點(diǎn).∴

DH

是△

BCE

的中位線.∴

BE

＝2

DH

.

∵

CE

是△

ABC

的中線，∴

AE

＝

BE

.

∴

AE

＝2

DH

.

∵

DH

∥

AB

，∴△

AEG

∽△

DHG

.

∴

AG

＝2

GD

.

∴

AD

＝3

GD

.

【點(diǎn)撥】解答本題的關(guān)鍵是通過作平行線構(gòu)造相似三角形.一般

是過已知比例線段（或求證比例線段）的端點(diǎn)或分點(diǎn)構(gòu)造

“A”型或“X”型相似.

證明：如答圖，過點(diǎn)

D

作

DG

∥

BC

，交

AB

于點(diǎn)

G

，則△

ADG

∽△

ACB

，△

EBF

∽△

DGF

.

∵

BE

＝

AD

，

答圖類型二

作垂線構(gòu)造“垂直”型

如圖，從?

ABCD

的頂點(diǎn)

C

分別向

AB

和

AD

的延長(zhǎng)線引垂線

CE

和

CF

，垂足分別為

E

，

F

.

求證：

AB

·

AE

＋

AD

·

AF

＝

AC2.【思路導(dǎo)航】過點(diǎn)

B

作

BM

⊥

AC

于點(diǎn)

M

，過點(diǎn)

D

作

DN

⊥

AC

于

點(diǎn)

N

，通過構(gòu)造相似三角形，利用其性質(zhì)，即可證明.

∴

AD

·

AF

＝

AC

·

AN

.

②

∵四邊形

ABCD

是平行四邊形，∴

AD

＝

BC

，

AD

∥

BC

.

∴∠

DAN

＝∠

BCM

.

∴△

ADN

≌△

CBM

（AAS）.∴

AN

＝

CM

.

【點(diǎn)撥】熟練掌握輔助線的作法并能根據(jù)題意構(gòu)造出相似三角

形，利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行線段的轉(zhuǎn)化是解此題的關(guān)鍵.題

中若有直角，則可考慮作垂線.

解：如答圖，過點(diǎn)

B

作

BH

⊥

CE

于點(diǎn)

H

.

∵∠

BEC

＝60°，∴∠

EBH

＝30°.

∵

BE

＝2

CD

，∴

EH

＝

CD

.

∵∠

BHF

＝∠

BDC

＝90°，∠

BFH

＝∠

CFD

，∴△

BHF

∽△

CDF

.

答圖類型三

作延長(zhǎng)線構(gòu)造相似三角形

如圖，在梯形

ABCD

中，已知

AD

∥

BC

，∠

BCD

的平分線

CH

⊥

AB

于點(diǎn)

H

，

BH

＝3

AH

，且四邊形

AHCD

的面積為21，求

△

HBC

的面積.【思路導(dǎo)航】因?yàn)閱栴}涉及四邊形

AHCD

，所以可延長(zhǎng)

BA

，

CD

相交于點(diǎn)

P

，構(gòu)造相似三角形（△PA

D

∽△

PBC

），把問題

轉(zhuǎn)化為相似三角形的面積比進(jìn)行解決.解：如圖，延長(zhǎng)

BA

，

CD

交于點(diǎn)

P

.

∵

CH

⊥

AB

，

CH

平分∠

BCD

，∴

CB

＝

CP

，且

BH

＝

PH

.

∵

BH

＝3

AH

，∴PA∶

AB

＝1∶2.∴PA∶

PB

＝1∶3.∵

AD

∥

BC

，∴△PA

D

∽△

PBC

.

∴

S△PA

D

∶

S△

PBC

＝1∶9.

∴

S△PA

D

∶

S△

PCH

＝2∶9.∴

S△PA

D

∶

S四邊形

AHCD

＝2∶7.∵

S四邊形

AHCD

＝21，∴

S△PA

D

＝6.∴

S△

PBC

＝54.

【點(diǎn)撥】對(duì)于一些梯形問題，若題目中的條件難以統(tǒng)一起來使

用，可考慮延長(zhǎng)對(duì)邊，構(gòu)造三角形，運(yùn)用相似三角形的知識(shí)來

解決.

如圖，在Rt△

ABC

中，已知

CD

為斜邊

AB

上的高，點(diǎn)

E

為

CD

的

中點(diǎn)，

AE

的延長(zhǎng)線交

BC

于點(diǎn)

F

，

FG

⊥

AB

于點(diǎn)

G

.

求證：

FG2

＝

CF

·

BF

.

證明：如答圖，延長(zhǎng)

GF

，與

AC

的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)

H

.

∵

CD

⊥

AB

，

FG

⊥

AB

，∴

CD

∥

FG

.

∴△

ACE

∽△

AHF

，△

ADE

∽△

AGF

.

又∵點(diǎn)

E

為

CD

的中點(diǎn)，∴

ED

＝

EC

.

∴

FG

＝

FH

.

由題意知，∠

FCH

＝∠

FGB

＝90°，∠

CFH

＝∠

GFB

，

答圖∴

FG

·

FH

＝

CF

·

BF

.

∵

FG

＝

FH

，∴

FG2＝

CF

·

BF

.

答圖答圖類型四

坐標(biāo)系中構(gòu)造平行線（或垂線）化斜為直

【思路導(dǎo)航】由

S△

CAD

∶

S△

CBD

＝2∶3可得

AD

∶

BD

＝2∶3，再

分別過點(diǎn)

A

，

D

作

y

軸的平行線，將線段關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，

問題可解.【解析】如圖，分別過點(diǎn)

A

，

D

作

y

軸的平行線，過點(diǎn)

B

作這兩

條平行線的垂線，垂足分別為

E

，

F

.

∵

S△

CAD

∶

S△

CBD

＝2∶3，∴

AD

∶

BD

＝2∶3.∴

BD

∶

AB

＝3∶5.∵

AE

∥

DF

，∴△

DFB

∽△

AEB

.

∴

BE

＝8－2＝6，

AE

＝4－1＝3.

【點(diǎn)撥】在解決與平面直角坐標(biāo)系有關(guān)的問題（或函數(shù)問題）

中，常常將面積關(guān)系或其他已知關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段關(guān)系，然后將

線段關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，達(dá)到化斜為直的目的.

【解析】如答圖，分別過點(diǎn)

A

，

P

作

y

軸的平行線，過點(diǎn)

B

作這

兩條平行線的垂線，垂足分別為

E

，

F

.

∵點(diǎn)

P

，

Q

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴

O

為

PQ

的中點(diǎn).∴

S△

AOQ

＝

S△

AOP

，

S△

BOQ

＝

S△

BOP

.

∵

S△

AOQ

∶

S△

BOQ

＝5∶4，∴

S△

AOP

∶

S△

BOP

＝5∶4.∴