山西省2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2023~2024學(xué)年度高二1月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解指數(shù)不等式化簡集合，再利用集合的交集運算即可得解.【詳解】由，得，解得，因為，所以，又，所以.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的模為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義求出，從而求出其模.【詳解】因為，又，所以，所以，所以或.

故選：B3.下列說法中，正確的是（）A.數(shù)列可表示為集合B.數(shù)列與數(shù)列是相同的數(shù)列C.數(shù)列的第項為D.數(shù)列可記為【答案】C【解析】【分析】利用數(shù)列定義即可逐個選項判斷即可得解.【詳解】對于A，由數(shù)列的定義易知A錯誤；對于B，兩個數(shù)列排列次序不同，是不同的數(shù)列，故B錯誤；對于C，數(shù)列的第項為，故C正確；對于D，因為，所以，這與數(shù)列定義不相符，故D錯誤.故選：C.4.若函數(shù)，則（）A.0 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求導(dǎo)，再令即可得解.【詳解】，所以.故選：A.5.若，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)已知結(jié)合平方關(guān)系求出，再代入即可得解.【詳解】因為，所以，又，所以，即，又，所以，所以，所以.故選：B.6.已知半徑為1的圓經(jīng)過點，其圓心到直線的距離的最大值為（）A. B. C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】設(shè)圓的圓心為，即可得到圓的圓心的軌跡方程，求出點到直線的距離，即可得解.【詳解】設(shè)圓的圓心為，則，即圓的圓心的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，其中點到直線的距離，則圓心到直線的距離的最大值為.故選：D7.已知公差不為0的等差數(shù)列滿足，則的最小值為（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】先通過等差數(shù)列的性質(zhì)得到，再利用基本不等式中1的妙用來求解最值.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，取“”號．故選：C．8.已知函數(shù)，若，則下列式子大小關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合得到，由函數(shù)單調(diào)性得到，故，從而得到，得到答案.【詳解】在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，因為，故，所以，故，所以，當(dāng)時，，故，，則，故，綜上，，A正確.故選：A二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列通項公式中，對應(yīng)的數(shù)列是遞增數(shù)列的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)對于一次函數(shù)，二次函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可.【詳解】對于A，因為，由二次函數(shù)的單調(diào)性可得數(shù)列為遞增數(shù)列；對于B，因為，由一次函數(shù)的單調(diào)性可得數(shù)列是遞減數(shù)列；對于C，因為，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得數(shù)列是遞減數(shù)列；對于D，因為，當(dāng)時，數(shù)列是遞增數(shù)列，當(dāng)時，數(shù)列為遞增數(shù)列，而，所以數(shù)列是遞增數(shù)列.故選：AD.10.2023年7月31日國家統(tǒng)計局發(fā)布了制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）如下圖所示：則下列說法正確的是（）A.從2022年7月到2023年7月，這13個月的制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）的極差為B.2023年7月份，制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）為，比上月上升0.3個百分點C.從2023年1月到2023年7月，這7個月的制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）的第71百分位數(shù)為D.從2022年7月到2022年12月，這6個月的制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）的平均數(shù)約為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)折線圖中的數(shù)據(jù)，結(jié)合極差、平均數(shù)、百分位數(shù)定義與計算方法逐一判斷即可.【詳解】由圖知，制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）的最大值為，最小值為，所以極差為，故A錯誤；由圖可知，2023年7月份，制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）為，6月份為，則7月比6月上升個百分點，故B正確；從2023年1月到2023年7月，這7個月制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）從小到大的順序為，因為，所以第71百分位數(shù)為第5個數(shù)，即為，故C正確；由圖可知從2022年7月到2022年12月，這6個月的制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）的平均數(shù)為，故D正確.故選：BCD.11.已知正四棱錐的底邊長為2，高為2，且各個頂點都在球的球面上，則下列說法正確的是（）A.直線與平面所成角的余弦值為B.平面截球所得的截面面積為C.球的體積為D.球心到平面的距離為【答案】ACD【解析】【分析】在直角，求得，可判定A正確；設(shè)正四棱錐外接球的半徑為，得到平面截球所得的截面圓的半徑為，可得判定B錯誤；求得由外接球的半徑為，結(jié)合球的體積，可判定C正確；設(shè)等腰的外接圓的圓心，外接圓的半徑為，結(jié)合球的性質(zhì)，可判定D正確.【詳解】如圖所示，因為正四棱錐的底邊長為2，高為2，且各個頂點都在球的球面上，連接，且，則平面，，對于A中，在直角，，可得，所以，所以A正確；對于B中，設(shè)正四棱錐外接球的半徑為，在直角中，，可得，即，解得，則平面截球所得的截面圓的半徑為，所以截面圓的面積為，所以B錯誤；對于C中，由外接球的半徑為，所以球的體積為，所以C正確；對于D中，設(shè)等腰的外接圓的圓心，外接圓的半徑為，取的中點，連接，則點在上，且，在直角中，可得，即，解得，根據(jù)球的性質(zhì)，可得平面，在直角中，可得，即球心到平面的距離為，所以D正確.故選：ACD.12.已知為雙曲線的左、右焦點，為平面上一點，若，則（）A.當(dāng)為雙曲線上一點時，的面積為4B.當(dāng)點坐標(biāo)為時，C.當(dāng)在雙曲線上，且點的橫坐標(biāo)為時，的離心率為D.當(dāng)點在第一象限且在雙曲線上時，若的周長為，則直線的斜率為【答案】ABD【解析】【分析】依題意可得為直角三角形，設(shè)，，利用勾股定理及雙曲線的定義求出，即可判斷A，對稱性可知為等腰直角三角形，即可求出，從而得到，即可判斷B，曲線與雙曲線的交點即為，聯(lián)立雙曲線方程，求出，即可求出，從而求出，即可判斷C，由雙曲線的定義及所給條件求出，即可得到為等邊三角形，從而判斷D.【詳解】因為為平面上一點，且，所以為直角三角形，設(shè)，，在中由勾股定理可得①，由雙曲線的定義可得②，②式的平方減①式可得，所以，故A正確；由對稱性可知為等腰直角三角形，因此，又且，所以，故B正確；因為，所以點在以為直徑的圓上，所以該圓的圓心為原點，半徑為，即曲線與雙曲線的交點即為，由，則，即（負(fù)值舍去），所以，所以離心率，故C錯誤；由題意可知，，則，所以，即為等邊三角形，則直線的斜率為，故D正確.故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵是雙曲線的定義及性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線上一點與兩焦點構(gòu)成的三角形，稱為雙曲線的焦點三角形，與焦點三角形有關(guān)的計算或證明常利用正弦定理、余弦定理、，得到，的關(guān)系．.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設(shè)單位向量的夾角的余弦值為，則____________.【答案】##【解析】【分析】利用向量的數(shù)量積的運算法則直接計算即可得解.【詳解】因為單位向量的夾角的余弦值為，則，所以，則.故答案為：.14.已知拋物線的焦點為，點，若點為拋物線上任意一點，當(dāng)取最小值時，點的坐標(biāo)為____________.【答案】【解析】【分析】首先得到拋物線的焦點坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，過點作垂直準(zhǔn)線交于點，由拋物線的定義可得，即可得到平行于軸時取最小值，從而求出點坐標(biāo).【詳解】拋物線焦點為，準(zhǔn)線方程為，過點作垂直準(zhǔn)線交于點，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時取等號，即平行于軸時取最小值，此時，則，即，所以.故答案為：15.某市舉辦花展，園方挑選紅色、黃色、白色鮮花各1盆，分別贈送給甲、乙、芮三人，每人1盆，則甲沒有拿到白色鮮花的概率是____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意甲、乙、丙三人拿到白色鮮花的概率相等，都為，進而求出甲沒有拿到白色鮮花的概率．【詳解】設(shè)事件為甲拿到白色鮮花，根據(jù)題意有紅色、黃色、白色鮮花各1盆，分別贈送給甲、乙、丙三人，每人1盆，甲、乙、丙三人拿到白色鮮花的概率相等，都為，所以，則甲沒有拿到白色鮮花的概率．故答案為：．16.若存在實數(shù)使得，則的值為____________.【答案】【解析】【分析】利用同構(gòu)法將不等式轉(zhuǎn)化為，再利用導(dǎo)數(shù)證得，進而得到，從而求得的值，由此得解.【詳解】因為，所以，令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；所以，可得，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，又，所以，故，此時的值為.故答案為：.【點睛】結(jié)論點睛：兩個常見的重要不等式：（1）；（2）.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17.已知函數(shù)，且為極值點.（1）求實數(shù)的值；（2）判斷是極大值點還是極小值點，并分別求出極大值與極小值.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由題意可得，即可得解；（2）根據(jù)極大值點，極小值點的定義即可判斷出極大值點和極小值點，進而可求出極大值和極小值.【小問1詳解】，因為為函數(shù)的極值點，所以，解得，經(jīng)檢驗符合題意，所以；【小問2詳解】由（1）得，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以為極大值點，極大值為，為極小值點，極小值為.18.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且．（1）求角；（2）設(shè)是邊上一點，為角平分線且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解；（2）在中，，得到，再由為角平分線，得到，然后利用余弦定理求解.【小問1詳解】解：由正弦定理得，即，利用余弦定理可知，因為，所以；【小問2詳解】在中，，所以，即，因為為角平分線，所以，所以，由余弦定理，得，則，因此．19.已知數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）v（2）【解析】【分析】（1）分類討論與，利用作差法即可得解；（2）利用錯位相減法即可得解.【小問1詳解】因為，當(dāng)時，，兩式相減，得，則，當(dāng)時，，則，滿足上式，所以.【小問2詳解】由（1）得，所以，則，兩式相減，得，所以.20.如圖，在直四棱柱中，，與相交于點，，為線段上一點，且.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形相似得到，再由，得到，即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得.【小問1詳解】因為，所以，所以，又為線段上一點，且，所以，在中，又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】直四棱柱中，平面，又，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，可得，，所以平面的一個法向量，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，可得，，所以平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面的夾角的大小為，所以，即平面與平面的夾角的余弦值為．21.已知函數(shù).（1）證明：；（2）設(shè)，求證：對任意的，都有成立.【答案】（1）證明過程見解析（2）證明過程見解析【解析】【分析】（1）構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷新構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性進行運算證明即可；（2）根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，結(jié)合分析法、構(gòu)造函數(shù)法進行運算證明即可.【小問1詳解】設(shè)，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，于是有，即.小問2詳解】要證明成立，即證明成立，即證明成立，也就是證明成立，因為，所以原問題就是證明成立，由，設(shè)，即證明，也就是證明成立，設(shè)，所以當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，即有，從而成立.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷其單調(diào)性，運用函數(shù)的單調(diào)性進行證明.22.已知橢圓的長軸長為，點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是經(jīng)過橢圓下頂點的兩條直線，與橢圓相交于另一點與圓相交于另一點，若的斜率不等于0，的斜率等于斜率的3倍，證明：直線經(jīng)過定點.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）依題意可得，解得、即可；（2）設(shè)、的斜率分別為、，，即可得到，，聯(lián)立直