2024年湖北省隨州市聯(lián)考中考一模數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024年九年級3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

（時間：120分鐘滿分：120分）

一、選擇題（共10題每小題3分，共30分，在每題給出的四個選項中，只有一項符合題目要

求）

1.2024的相反數(shù)是（）

A.2024B.」一C.-2024D.不存在

2024

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)相反數(shù)：“只有符號不同的兩個數(shù)”，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：2024的相反數(shù)是一2024；

故選C.

2.2023年長沙國際馬拉松在芙蓉中路（賀龍體育中心東廣場旁）起跑，來自國內(nèi)外的26000名跑友匯成一

片紅色的海洋馳聘在長馬賽道上，他們用腳步丈量星城，感受一江兩岸、山水洲城的魅力，圖①是此次全

程馬拉松男子組頒獎現(xiàn)場.圖②是領(lǐng)獎臺的示意圖，則此領(lǐng)獎臺從正面看到的平面圖形是（）

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查主視圖，掌握三視圖的特征是解題關(guān)鍵.主視圖是從幾何體正面觀察到的視圖.

【詳解】解：領(lǐng)獎臺從正面看，是由三個長方形組成的.三個長方形，右邊最低，中間最高,

故選：A.

%—1<0

3.不等式組11八的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

x+l>0

第I頁/共24頁

D.

-i01

-I01

【答案】A

【解析】

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不

到確定不等式組的解集.

x-1<0

【詳解】解：在中,

x+l>0

由x—1<0得：x<1,

由x+120得：x>-l,

則不等式組的解集為-1Wx<1.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取

?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

4.下列說法正確的是（）

A.了解我是“創(chuàng)文明、樹新風(fēng)”活動的市民知曉情況，適合采用全面調(diào)查

B.在同圓中，等弧所對的圓心角相等

C.學(xué)校將選擇初三的一名學(xué)生參加市里的數(shù)學(xué)競賽活動，甲、乙、丙三位同學(xué)初三一學(xué)期的數(shù)學(xué)成績的

方差分別為S；=2.6,Sf=3.1,S；=2.9,選擇乙同學(xué)去最合適

D.可能性是99%的事件在一次實(shí)驗中一定會發(fā)生

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)全面調(diào)查與抽樣調(diào)查，方差，概率的意義，圓心角、弧、弦的關(guān)系，逐一判斷即可解答.

【詳解】解：A、了解我是“創(chuàng)文明、樹新風(fēng)”活動的市民知曉情況，適合采用抽樣調(diào)查，故此選項不符合

題意；

B、在同圓中，等弧所對的圓心角相等，故此選項符合題意；

C、學(xué)校將選擇初三的一名學(xué)生參加市里的數(shù)學(xué)競賽活動，甲、乙、丙三位同學(xué)初三一學(xué)期的數(shù)學(xué)成績的方

差分別為S；=2.6,S；=3.1,Sf=2.9,選擇甲同學(xué)去最合適，故此選項不符合題意；

D、可能性是99%的事件在一次實(shí)驗中不一定會發(fā)生，故此選項不符合題意；

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故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了全面調(diào)查與抽樣調(diào)查，方差，概率的意義，圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握這些數(shù)學(xué)

知識是解題的關(guān)鍵.

5.下列各運(yùn)算中，正確的運(yùn)算是()

A.^2,y/3-s/sB.(2a)

C.as-i~a4=a2D.(a-b)2=a2-b2

【答案】B

【解析】

【分析】分別按照二次根式的加法法則、積的乘方法則、同底數(shù)幕的除法法則及完全平方公式分析即可.

【詳解】解：A、?.?亞與有不是同類二次根式，

???、金與百不能合并，故A錯誤；

B、按照積的乘方的運(yùn)算法則可知，(2a)3=8",故B正確；

C、按照同底數(shù)幕的除法的運(yùn)算法則可知，〃+〃=〃，故c錯誤；

D、根據(jù)完全平方公式可知，(a-b)2=a2-2ab+b2,故D錯誤.

綜上，只有B正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加法運(yùn)算及整式乘除法的相關(guān)運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)

鍵.

6.已知直線〃將含有30。的直角三角尺ABC按如圖方式放置(NCAB=30°),其中A,C兩點(diǎn)分

別落在直線加，〃上，若4=35°,則/2的度數(shù)為()

A.25°B.30°C,35°D,40°

【答案】A

【解析】

【分析】由題意可得/ACB=90。，結(jié)合Nl=35°則可求得NACD=125°,再由平行線的性質(zhì)可求得

ZCAE=55°,即可求出N2的度數(shù).

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【詳解】解：如圖，由題意可知/ACB=90。，ZCAB=30°,

Zl=35°,

NACD=NACB+Z1=125°,

m//n,

ZCAE+ZACD=1SO°,

ZCAE=180°-NACD=55°,

Z2=NCAE-ZCAB=55°-30°=25°.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，三角板中角度計算問題，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)，兩直線

平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

7.如圖，將正方形AMNP和正五邊形ABCDE的中心。重合，按如圖位置放置，連接OP、OE,則

ZPOE=()

A.18°B.19°C.20°D.21°

【答案】A

【解析】

【分析】分別求出以點(diǎn)。為中心的正五邊形A8CDE和正方形AMNP的中心角即可.

【詳解】解：如圖，連接。4,

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A

C%口

???點(diǎn)。是正五邊形ABCDE和正方形AMNP的中心,

3600360°

ZAOP=——=90°,NAOE=——=72°,

45

NPOE=ZAOP-ZAOE

=90°-72°

=18°.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓，掌握正多邊形中心角的計算方法是正確解答的前提.

8.如圖，分別切口。于A3兩點(diǎn)，點(diǎn)C在優(yōu)弧刊以上，ZP=70°,則NC的度數(shù)為（）

C.55°D.65°

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和定理及圓周角定理，連接。4,根據(jù)切線的性質(zhì)得出

ZOAP=ZOBP=90°,再由四邊形內(nèi)角和為360度得出/A08,最后根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角

的一半求解即可，熟練掌握知識點(diǎn)并添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】連接。4,

分別切口。于A3兩點(diǎn),

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ZOAP=NOBP=90°,

NP=70°,

ZAOB=360°-ZOAP-NOBP-ZP=110°,

：.ZACB=-ZAOB=55°,

2

故選：C.

9.日照燈塔是日照海濱港口城市的標(biāo)志性建筑之一，主要為日照近海及進(jìn)出日照港的船舶提供導(dǎo)航服

務(wù).數(shù)學(xué)小組的同學(xué)要測量燈塔的高度，如圖所示，在點(diǎn)8處測得燈塔最高點(diǎn)A的仰角=45°,再

沿3。方向前進(jìn)至C處測得最高點(diǎn)A的仰角NACD=60°,BC=15.3m,則燈塔的高度大約是

（）（結(jié)果精確至Ulm,參考數(shù)據(jù)：72?1,41>V3?1,73）

BCD

A.31mB.36mC.42mD.53m

【答案】B

【解析】

【分析】在RtDADB中，得出設(shè)A。=x,則8。=尤，CD=x-15.3,在RtDADC中,

AYi—

根據(jù)正切得出tanZACD=——=---------=J3,求解即可得出答案.

CDx—15.3

【詳解】解：在RtDADB中，ZABD=45°,

AD=BD,

設(shè)AD=x,則3Z)=x,CD=x—15.3

在RtDAOC中，ZACD=60°,

Anx

tanZACD=——

CDx-15.3

，1Q36,

二?燈塔的高度AD大約是36m.

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故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形中的仰俯角問題，解題的關(guān)鍵是弄清有關(guān)的直角三角形中的有關(guān)角的度

數(shù).

10.如圖,拋物線y=ar+bx+c（a^Q）的對稱軸為直線x=-2,且過點(diǎn)（1,0）.現(xiàn)有以下結(jié)論:①M(fèi)e<0；

②5o+c=0；③對于任意實(shí)數(shù)加，者|3有26+6〃2<44-。冽2；④若點(diǎn)4（%,%）,8（%2，丁2）是圖象上任意

兩點(diǎn)，且忖+2|<上+2],則％<%，其中正確的結(jié)論是（）

12v

A.①②B.②③④C.①②④D.①②③④

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個小題中的結(jié)論是否正確，從而可以解

答本題.

【詳解】由圖象開口向上可得：a>0

由于圖像與y軸交于負(fù)半軸，可知：c<o

b

根據(jù)對稱軸公式：%=——二—2可知：b=4a

a>0

:.b>0

abc<0,故①正確

拋物線y=〃冗2+Z?x+c(〃。0)過點(diǎn)(1,0)

〃+b+c=O

?「b=4a

:.a+b+c=5a+c

即：5a+c=0,故②正確

當(dāng)x=—2時，y=4〃_2b+c取得最小值

am2+bm+c>Aa-2b+c

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Ib+bm^^a-am1（加為任意實(shí)數(shù)），故③錯誤

拋物線開口向上，對稱軸為直線x=-2,若點(diǎn)A（%,%）,8（9,%）是圖象上任意兩點(diǎn)，且

|西+2|<民+2]

則點(diǎn)A（%,%）到對稱軸的距離小于3（9,%）到對稱軸的距離

根據(jù)圖像可知：M<%，故④正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、拋物線與x軸的交點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用

二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

二、填空題（共5題，每小題3分，共15分）

11.計算：*X+『2_￥-1=___________.

x-11-x

【答案】-1

【解析】

【分析】將分式適當(dāng)變形后，利用同分母分式的減法法則運(yùn)算即可.

X2x—1

【詳解】解：原式=---------

X—1X—1

x—2x+l

x-l

=—1.

故答案為：T.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的加減法，將分式適當(dāng)變形后，利用同分母分式的減法法則運(yùn)算是解題的關(guān)

鍵.

12.請寫出一組聯(lián)b的值，使一次函數(shù)>=依+》的圖像經(jīng)過第一、三、四象限：.

【答案】k=l,b=-l（答案不唯一）

【解析】

【分析】本題考查了一次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，在一次函數(shù)>=履+6中左〉0,匕<0是解答本題的關(guān)鍵.在

一次函數(shù)>=依+>中左>0,。<0圖象經(jīng)過第一、三、四象限，選取一組符合條件的左、。值即可.

【詳解】解：在一次函數(shù)>=履+》中，若圖象經(jīng)過第一、三、四象限，k>0,b<0,不妨取左=1,b=-L

故答案為：k=l,b=-l（答案不唯一）.

13.小明從《紅星照耀中國》，《紅巖》，《長征》，《鋼鐵是怎樣煉成的》四本書中隨機(jī)挑選一本，其中拿到《紅

星照耀中國》這本書的概率為.

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【答案】-##0.25

4

【解析】

【分析】根據(jù)概率公式進(jìn)行計算即可.

【詳解】解：隨機(jī)挑選一本書共有4種等可能的結(jié)果，其中拿到《紅星照耀中國》這本書的結(jié)果有1種,

4

故答案為：一.

4

【點(diǎn)睛】本題考查概率.熟練掌握概率公式，是解題的關(guān)鍵.

14.我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，請人去買幾株椽.每株腳錢三

文足，無錢準(zhǔn)與一株椽.”其大意：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文.如果每株椽的運(yùn)費(fèi)是3

文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？若設(shè)這批椽

的數(shù)量為x株，則可列分式方程為

【答案】^=3（x-l）

【解析】

【分析】根據(jù)題意可知：X株需要6210文，（X-1）株的運(yùn)費(fèi)=一株椽的價錢，從而可以列出相應(yīng)的方程.

【詳解】解：設(shè)這批椽的數(shù)量為x株,

由題意可得：理W=3（x—1）,

X

區(qū)％(1)

故答案為:

【點(diǎn)睛】本題主要考查了從實(shí)際問題中抽象出分式方程，正確理解題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，在等邊AABC中，46=6,點(diǎn)P是邊上的動點(diǎn)，將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到

△ACQ,點(diǎn)。是AC邊的中點(diǎn)，連接。Q,則。。的最小值是.

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【答案】孚

【解析】

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可得到NBCQ=120。，當(dāng)DQLCQ時，的長最小，再根據(jù)勾股定理，即

可得到。。的最小值.

【詳解】解：如圖，由旋轉(zhuǎn)可得NACQ=NB=60。，

又：ZACB=6Q°,

：.ZBCQ=120°,

:點(diǎn)。是AC邊的中點(diǎn)，

：.CD=3,

當(dāng)DQJ_CQ時，D。的長最小,

此時，ZCDQ=30°,

13

：.CQ=^CD=-,

的最小值是延，

2

故答案為封I.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、線段最小值問題等知識點(diǎn)，找到最

短線段出現(xiàn)的點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.

三、解答題（共9題，共75分，解答就應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

16.計算:

第10頁/共24頁

【答案】V3+1

【解析】

【分析】先計零指數(shù)幕、負(fù)整數(shù)指數(shù)累和絕對值，再計算加減.

【詳解】解：+(2-V2)°-|V3-2|

=2+1+73-2

=V3+1-

【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解運(yùn)算順序，并能進(jìn)行正確地計算.

17.如圖，點(diǎn)分別在菱形A6C。的邊上，BE=DF.AE=AF.

【答案】見解析

【解析】

【分析】根據(jù)菱形性質(zhì)得出AB=AD,ZB=ZD,根據(jù)SAS推出AABE取AADF,推出AE=AF即可.

【詳解】解：證明：??,四邊形ABCD是菱形，

；.AB=AD,ZB=ZD,

itAABE和4ADF中，

AB=AD

<NB=ND,

BE=DF

.,.△ABE^AADF(SAS),

；.AE=AF.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：菱形的四條邊相等，菱形的對

角相等.

18.2023年5月10日，搭載天舟六號貨運(yùn)飛船的長征七號遙七運(yùn)載火箭，在我國文昌航天發(fā)射場點(diǎn)火發(fā)射

成功.為了普及航空航天科普知識，某校組織學(xué)生去文昌衛(wèi)星發(fā)射中心參觀學(xué)習(xí).已知該校租用甲、乙兩

種不同型號的客車共15輛，租用1輛甲型客車需600元，1輛乙型客車需500元，租車費(fèi)共8000元.問

甲、乙兩種型號客車各租多少輛？

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【答案】甲型號客車租5輛，乙型號客車租10輛

【解析】

【分析】設(shè)甲型號客車租x輛，乙型號客車租y輛，根據(jù)題意列二元一次方程組求解，即可得到答案.

【詳解】解：設(shè)甲型號客車租無輛，乙型號客車租，輛，

x+y=15

由題意得:

600x+500y=8000

x=5

解得:

y=10

答：甲型號客車租5輛，乙型號客車租10輛.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意正確列出方程組是解題關(guān)鍵.

19.某校在八年級開展了以“爭創(chuàng)文明城市，建設(shè)文明校園”為主題的系列藝術(shù)展示活動，活動項目有“繪

畫展示”“書法展示”“文藝表演”“即興演講”四組(依次記為A,B,C,。).學(xué)校要求八年級全體學(xué)

生必須參加且只能參加其中的一個項目，為了解八年級學(xué)生對這幾項活動的喜愛程度，隨機(jī)抽取了部分八

年級學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查的結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

(1)本次一共抽樣調(diào)查了一名學(xué)生;

(2)將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整;

(3)若該校八年級共有600名學(xué)生，請估計該校八年級學(xué)生選擇“文藝表演”的人數(shù);

(4)學(xué)校從這四個項目中隨機(jī)抽取兩項參加“全市中學(xué)生才藝展示活動”.用列表法或畫樹狀圖法求出

恰好抽到“繪畫展示”和“書法展示”的概率.

【答案】(1)50(2)見解析

(3)估計該校八年級學(xué)生選擇“文藝表演”的人數(shù)60人

(4)-

6

【解析】

第12頁/共24頁

【分析】(1)用D組的人數(shù)除以它所占的百分比得到調(diào)查的總?cè)藬?shù);

(2)先計算出B組的人數(shù)，然后補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；

(3)用600乘以樣本中C組人數(shù)所占的百分比即可;

(4)畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果，再找出抽到“繪畫展示”和“書法展示”的結(jié)果數(shù)，然后利用

概率公式求解.

【小問1詳解】

解：12+24%=50（人）,

所以本次一共抽樣調(diào)查了50名學(xué)生；

故答案為：50；

【小問2詳解】

8組人數(shù)為50-18-5-12=15(人),

條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充為：

【小問3詳解】

50

所以估計該校八年級學(xué)生選擇“文藝表演”的人數(shù)60人;

【小問4詳解】

畫樹狀圖為:

開始

ABCD

/T\/T\/K/N

BCDACDABDABC

共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到''繪畫展示"和''書法展示”的結(jié)果數(shù)為2,

21

所以恰好抽到“繪畫展示”和“書法展示”的概率.

126

【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出場，再從中選出符

合事件A或B的結(jié)果數(shù)目冽，然后根據(jù)概率公式計算事件A或事件8的概率.也考查了統(tǒng)計圖.

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20.已知一次函數(shù)y=fcr+6與反比例函數(shù)y=—的圖像交于A(-3,2)、B(1,n)兩點(diǎn).

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求△AOB的面積；

(3)結(jié)合圖像直接寫出不等式入+b>'的解集.

X

A

【答案】(1)一次函數(shù)的解析式為y=-2x-4,反比例函數(shù)的解析式為丫=-一

x

(2)8(3)x<-3或0<x<l

【解析】

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)設(shè)直線AB交y軸于C,則C(0,-4),根據(jù)SAAOB=&OCA+&OCB求解即可;

(3)觀察函數(shù)圖象結(jié)合兩個圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)即可求解.

【小問1詳解】

解：???反比例函數(shù)尸一的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-3,2),

x

*.m=-3X2=-6,

??,點(diǎn)3(1,n)在反比例函數(shù)圖象上，

:?n=-6.

：.B(1,-6),

-2k+b=2

把A,8的坐標(biāo)代入y=&+b,則｛,,

k+b=-6

解得k=-2,b=-4,

A

一次函數(shù)的解析式為y=-2x-4,反比例函數(shù)的解析式為？=—；

第14頁/共24頁

【小問2詳解】

解：如圖，設(shè)直線AB交y軸于C,

/?S^AOB=S^OCA+S/XOCB=—x4X3H—x4X1=8；

22

【小問3詳解】

解：觀察函數(shù)圖象知，

m

不等式kx+b>一的解集為x<-3或0<x<l.

x

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的表達(dá)式，一次函數(shù)圖象

上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答即可.

21.如圖，四邊形A6C。是口。的內(nèi)接四邊形，A3是直徑，C是比）的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作交AD

的延長線于點(diǎn)E.

（1）求證：CE是口。的切線;

⑵若BC=6,AC=8,求CE,DE的長.

io24

【答案】（1）見解析⑵DE=《，EC1

【解析】

【分析】此題考查切線的判定，圓周角定理，勾股定理定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握

相關(guān)性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

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(1)根據(jù)“連半徑，證垂直”即可，

(2)先由“直徑所對的圓周角是直角"，證DABC是直角三角形，用勾股定理求出長，再通過三角

形相似即可求解.

【小問1詳解】

證明：連接

：C為且。的中點(diǎn)，

,fo=Be-

/.Z1=Z2,

又；OA=OC,

N2=N3,

：.N1=N3,

AE//OC,

又；CELAE,

：.CELOC,0c為半徑，

為口。的切線，

【小問2詳解】

；AB為口。直徑，

二ZACB=90°,

?ZBC=6,AC=S,

AB=10,

又???/1=/2,ZAEC=ZACB=90°,

：.UAEC^OACB,

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.ECACEC_8

??----------，即m....----,

CBAB610

24

，EC=—,

5

in=IB>

:.CD=BC=6,

在中，由勾股定理得：

DE=Jcr>2_CE?=/_1g]=y.

22.“端午節(jié)”吃粽子是中國傳統(tǒng)習(xí)俗，在“端午節(jié)”來臨前，某超市購進(jìn)一種品牌粽子，每盒進(jìn)價是40

元，并規(guī)定每盒售價不得少于50元，日銷售量不低于350盒，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每盒售價定為

50元時，日銷售量為500盒，每盒售價每提高1元，日銷售量減少10盒，設(shè)每盒售價為x元，日銷售量

為P盒.

(1)當(dāng)x=60時，P=；

(2)當(dāng)每盒售價定為多少元時，日銷售利潤W(元)最大？最大利潤是多少？

(3)小強(qiáng)說：“當(dāng)日銷售利潤最大時，日銷售額不是最大，”小紅說：“當(dāng)日銷售利潤不低于8000元

時，每盒售價x的范圍為60WXW80.”你認(rèn)為他們的說法正確嗎？若正確，請說明理由；若不正確，請

直接寫出正確的結(jié)論.

【答案】(1)400

(2)當(dāng)每盒售價定為65元時，日銷售利潤W(元)最大，最大利潤是8750元.

(3)他們的說法正確，理由見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)每盒售價定為50元時，日銷售量為500盒，每盒售價每提高1元，日銷售量減少10盒,

列式計算即可；

(2)根據(jù)銷售量乘以每盒的利潤得到W=-10(x-70『+9000,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案；

(3)設(shè)日銷售額為》元，則y=—10(x—50)2+25000,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷當(dāng)日銷售利潤最

大時，日銷售額不是最大，即可判斷小強(qiáng)的說法；當(dāng)W=8000時，由8000=—10(x—70)2+9000,解

得再=60,々=80,由拋物線開口向下，得到當(dāng)60<%<80時，8000<W<9000,即可判斷小紅的說

法.

【小問1詳解】

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解：當(dāng)x=60時，p=500—10（60—50）=400（盒），

故答案為：400

【小問2詳解】

由題意得，W=/?（x-40）=[500-10（x-50）]（x-40）

=-10%2+1400x-40000=-10（x-70）2+9000,

又「p2350,即500—10（x—50）2350,

解得xW65，

V-10<0,

.,.當(dāng)x=65時，W最大，最大值為8750,

.??當(dāng)每盒售價定為65元時，日銷售利潤W（元）最大，最大利潤是8750元.

【小問3詳解】

他們的說法正確，理由如下：

設(shè)日銷售額為y元，則

y=[500-10（x-50）]x=-10x2+1000%=-10（x-50）2+25000,

V-10<0,

.?.當(dāng)x=50時，》最大，最大值為25000,

...當(dāng)x=65時，W最大，此時?為8750,

即小強(qiáng)的說法正確；

當(dāng)W=8000時，8000=-10（x-70）2+9000,解得石=60,々=80,

?.?拋物線開口向下，

...當(dāng)60<x480時，：50Wx<65,

當(dāng)日銷售利潤不低于8000元時，每盒售價x的范圍為60W%465.

故小紅的說法錯誤.

【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意正確列出函數(shù)解析式是基礎(chǔ)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和

正確計算是解題的關(guān)鍵.

23.【問題提出】如圖①，在正方形46C。中，點(diǎn)瓦尸,G分別在邊3C,A3,CD上，GF1AE.請判

斷AE與GF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【類比探究】如圖②，在矩形ABC。中，-=將矩形ABC。沿GR折疊，使點(diǎn)A落在邊上的

AB4

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點(diǎn)E處，得到四邊形REPG,EP交CD于點(diǎn)H,連接AE交GB于點(diǎn)0.則GF與AE之間的數(shù)量關(guān)系

為________

4

【拓展應(yīng)用】在（2）的條件下，若sin/EFB=wGF=3后，則CE的長為

【答案】問題提出：AE=GF,理由見詳解

GF3

類比探究：一

AE4

拓展應(yīng)用：2

【解析】

【分析】問題提出：

過點(diǎn)B作BH〃FG,交CD于點(diǎn)H,首先證明AABE也△3",由全等三角形的性質(zhì)可得

AE=BH,再證明四邊形F8//G為平行四邊形，可知Gb=BH,即可獲得答案；

類比探究：

過點(diǎn)G作GM，AB于點(diǎn)M,易知四邊形3CGM為矩形，可得GM=BC,證明△ABESAG/R,

由相似三角形的性質(zhì)可得變=也，結(jié)合些=』、GM=BC,即可獲得答案；

AEABAB4

拓展應(yīng)用：

首先求得AE=4?，然后利用三角函數(shù)可得sinNER5=gg=±,設(shè)BE=4x,則所=5%,由勾股

定理可得BF=不EF?-BE?=3x，結(jié)合折疊的性質(zhì)易知AE=EE=5x,則有AB=AE+BE=8x,

在Rt^ABE中，由勾股定理可得432+3￡2=4石2,求解即可得A3=8,BE=4,在結(jié)合題意求得

BC=6,即可獲得答案.

【詳解】問題提出：AE與GP的數(shù)量關(guān)系為AE=GE,理由如下：

如下圖，過點(diǎn)B作BH〃FG,交CD于點(diǎn)、H,

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?.?四邊形ABC。為正方形，

/.ZABC=ZC=90°,AB=BC,AB//CD,

■：GFLAE,

：.ZFOE=90°,

,ZBH//FG,

：.NBQE=NFOE=90°,

NEBQ+NBEQ=ZBEQ+ZEAB=90°,

NEBQ=ZEAB,

在□ABE和△反方中，

ZEAB=NEBQ

<AB=BC,

ZABE=ZC=90°

：.BABE^JBCH(ASA),

：.AE=BH,

?：AB//CD,BH//FG,

四邊形FBHG為平行四邊形，

GF=BH,

：.AE=GF；

類比探究：

過點(diǎn)G作GMLAB于點(diǎn)M,如下圖,

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則NGME=90°,

?..四邊形ABC。為矩形，

ZABC=ZC=90°,

.??四邊形5CGM為矩形，

/.GM=BC,

由折疊的性質(zhì)，可得GE垂直平分AE,

：.ZAFO+ZBAE=9Q°,

又,?NFGM+ZAFO=1800-NGMF=90°,

：.NBAE=ZFGM,

ZABE=ZGMF=90°,

LABEs^GMF,

.GFGM

"AE~AB

.BC3

?AB=4'

GFGMBC3

AEABAB4

GF3

故答案為：一=一

AE4

拓展應(yīng)用:

GF3廠

IFFGF=35

4

;在RtZXBER中,sinNEFB=—,

5

4

sinZEFB=-

EF5

設(shè)BE=4x，則EF=5x，

BF=4EF2-BE-=3x，

由折疊性質(zhì)可得AF=EF=5x,

AB=AF+BF=8x,

???在5中，由勾股定理可得入產(chǎn)+5爐二人爐，

即(8x)2+(4x)2=(46)2,解得玉=1,x2=-1(不合題意，