廣東省2024屆高三年級下冊廣州一?？己筇嵘頂?shù)學(xué)試題

廣東2024屆高三廣州一?？己筇嵘?/p>

數(shù)學(xué)試題一

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個

選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合4={x|/一5%46},集合8={x|x之a(chǎn)},若8U（CR力），貝1Ja的取值范圍

為（）

A.（—8,-1）B.（-00,1]C.[6,4-00）D.（6,+oo）

2.若復(fù)數(shù)a?—a—2+（|a—1|—l）i（aeR）是純虛數(shù)，貝U（）

A.a=—1B.a7-1且a豐2C.a—1D.a42

3.己知等差數(shù)列{即}中，SR是它的前n項和，若Si6>O,S*<0,則當(dāng)％最大時，n的

值為（）

A.8B.9C.10D.16

4.降水量是指水平地面上單位面積的降水深度（單位：mm）.氣象學(xué)中，把24小時內(nèi)

的降水量叫作日降雨量，等級劃分如下:

降水量/mm0.1?9.910?24.925?49.950?99.9

等級小雨中雨大雨曝雨

某數(shù)學(xué)建模小組為了測量當(dāng)?shù)啬橙盏慕邓?，制作了一個上口直徑為20cm,底面直徑

為8cm,深度為20cm的圓臺形水桶（軸截面如圖所示）.若在一次降水過程中用此桶接

了24小時的雨水恰好是桶深的^則當(dāng)日的降雨所屬等級是（

B.中雨C.大雨D.暴雨

22

5.已知橢圓E：京+a=l（a>6>0）的左焦點為此如圖，過點尸作傾斜角為60。的直

線與橢圓E交于4B兩點，M為線段A8的中點，若5|FM|=|OF|（。為坐標(biāo)原點），則

橢圓E的離心率為（）

7.已知(a-b)2=c(b-c),若a,b,c€(0,+8),且a,仇c均不相等，現(xiàn)有如下說法:

2

①e2a>y；②log式力2+9)+log4(c+9)<0；<五基.則正確說法的個數(shù)為(

A.0B.1C.2D.3

8.已知：sin(20°-e)+sin(20°+6)+sin(40°-e)=0,則tan。=()

A.-V3B.--C.—D.A/3

33

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知單位向量出弦的夾角為。，則下列結(jié)論正確的有()

A.(a+b)1(a—b)

B.2在3方向上的投影向量為(港石注

C.若|2+山=1,則8=60°

D.若伍+1)*=0-南-優(yōu)貝展〃3

10.已知4B為隨機事件，PQ4)=0.5,P(B)=0.4,則下列結(jié)論正確的有()

A.若4,8為互斥事件，貝UPQl+B)=0.9

B.若4B為互斥事件,則P/+月)=0.1

C.若4B相互獨立，則P（A+B）=0.7

D.若若P（B|4）=0.3,則=0.5

11.已知函數(shù)f（X）=二,久e（0,+8）,則（）

A./（?有且只有一個極值點

B./（X）在+8）上單調(diào)遞增

C.不存在實數(shù)a€（0,+8）,使得f（a）=64

D./（?有最小值eT

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.數(shù)列｛的3中，Sn是數(shù)列｛%3的前n項和，已知%=1,03=7,數(shù)列｛log2（an+1）｝為

等差數(shù)列，則$5=.

13.現(xiàn)調(diào)查某地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將該地區(qū)分成面積相近的200個地塊，從這些

地塊中簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣本，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)（和%）（i=

1,2,…,20）,其中孫力分別表示第i個樣本的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動

物的數(shù)量，構(gòu)造向量之=（久1一元孫一天…，久20-元），?=（丫1—可…，丫20一刃，

其中元卷上型，_=yi+y2^..+y2%并計算得￡陷々=60,￡區(qū)%=1200,

￡言1%%=4400,m=9,\b\=100,由選擇性必修二教材中的知識，我們知道打?qū)?/p>

數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)r=cOS（d,b）,則上述數(shù)據(jù)=1,2,…,20）的相關(guān)系數(shù)

V—.

14.已知動點P在拋物線y2=8x上，過點P引圓（久-+必=4的切線，切點分別為4

B,則|48|的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（本題13分）在中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知△力BC的面

xnr-a2sinfisinC

積S=C0S4?

（1）求tanA；

（2）若sinBsinC=a=2,求爐+。2.

16.（本題15分）如圖，P為圓錐的頂點，AB是底面圓。的一條直徑，M,N是底面圓

弧加的三等分點，E,F分別為PM,尸。的中點.

p

(1)證明：點B在平面EFN內(nèi).

(2)若AB=P。=4,求平面P4M與平面PAB夾角的余弦值.

17.(本題15分)記函數(shù)/(%)的導(dǎo)函數(shù)為尸(%),尸(%)的導(dǎo)函數(shù)為嚴(yán)(%),設(shè)。是f(x)的

定義域的子集，若在區(qū)間。上廣(久)W0,則稱/(久)在D上是“凸函數(shù)”.已知函數(shù)/(久)=

asi-nx—x2.

⑴若/⑺在［o］上為“凸函數(shù)”，求a的取值范圍；

(2)若a=2,判斷g(%)=/(%)+1在區(qū)間(0,TC)上的零點個數(shù).

22

18.(本題17分)已知雙曲線CJ-A=l(a>0,6>0)只經(jīng)過點

azbz

4(5,2)，4(5,—2),4(-3,陰，4式-4,。)4(4,3),4(—5,2)中的兩個點.

⑴求C的方程；

(2)設(shè)直線人:久=-a,l2-.x=a與x軸分別交于點Bi，B2，點P在C的右支上且與B2不重合，

過點P作C的切線與分別交于點D，E,直線與直線&D交于點Q,直線PQ與x軸交

于點M,判斷耨是否為定值，若為定值，求出該定值，若不為定值，說明理由.

19.(本題17分)己知上學(xué)期間，甲每天7:30之前到校的概率為|,

(1)設(shè)M為事件“在上學(xué)期間隨機選擇三天，甲在7:30之前到校的天數(shù)恰為2天”，求事件M

發(fā)生的概率；

(2)已知乙每天7:30之前到校的概率為右且甲、乙兩位同學(xué)每天到校情況相互獨立..

①在上學(xué)期間隨機選擇兩天，記X為甲7:30之前到校的天數(shù)，記丫為乙7:30之前到校的

天數(shù)，f=X-丫，求f的分布列和數(shù)學(xué)期望；

②在上學(xué)期間隨機選擇幾天，若在這兀天中，甲7:30之前到校的天數(shù)多于乙,則記九=1,

否則記%=0,分別比較。(〃2)的大小和。(〃4)，。①5)的大小，直接寫出結(jié)論.

參考答案：

1.D

【詳解】因為/={x\x2—5%<6}={x\x2—5x—6<0}={x|—1<x<6},

CRA={x\x<-1或%>6],

因為集合8={%|%之a(chǎn)},Bc（CR24）,所以a>6,

故選：D.

2.A

【詳解】由題意可得：a2-a-2=0,解得a=一1或a=2,又|a-1|一1H0,所以a=-1.

故選：A

3.A

【詳解】

??,等差數(shù)列{冊}中,S16>0,S17<0,

16（%+。16）16（。8+。9）17（。9+的）＜Q

??S16>0,S"

22一2

故他+的＞0,a9V0,繼而他＞。，

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知前8項均為正數(shù)項,

???數(shù)列的前8項和最大;

故選：A.

4.C

【詳解】

設(shè)上口半徑為R,下口半徑為丁，桶深為h,水面半徑為q,

貝M=7cm,

降水量的體積V=|（irr2+Jir^+nrr^?|=等（r2+廳+丁q）=310ncm3,

降水深度為==鬻=3.1cm=31mm,屬于大雨等級.

TIR210011

故選：C.

5.B

【詳解】

依題意，橢圓的左焦點為F（—c,O）,\FM\=||OF|=|c,

過M作MM'1久軸，垂足為M',由NMFM'=60°,

得=^FM|=*,=爭尸M=*,則M（/c湍O,

設(shè)401，%）,83必），則有濘1=tan60。=b，a詈=一看,左產(chǎn)=興

Xi-%24.LUZJ.U

由與+寫=1,寫+著=1,兩式相減得回+空⑴+仇+竺…=o,

a2-bza2-bza2-bz

6.A

【詳解】因為/(%)=cos(e%-e-%-久)，%G[-2,2],

則f(―%)=cos(e-x—ex+%)=/(%)=cos(ex—e~x—x)=/(%),

所以/(%)為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，故排除C、D；

又f(2)=cos(e2-e12一2),由于g<e?--2<2n,所以/(2)>0,故排除B；

故選：A

7.C

【詳解】依題意，有小+62+c2=2ab+be.

因為M+fa2>2ab,所以小+b2+c2>2ab+c2,即2ab+be>2ab+c2,故b>c.

又M+/J2+C2=a2+-b2+-b2+C2>a2+-Z)2+be,當(dāng)且僅當(dāng)b=2c時等號成立；

444

所以2ab+be>a2+-h2+be,

4

故2ab>a2+jb2>|b2+ab,當(dāng)且僅當(dāng)b=2c=2a時等號同時成立，

但cHa,所以2ab>|b2+ab=>ab>|h2,

故2a>b,所以2a>b>c.

故①正確.

22

因為b>c,所以爐+9>c+9,即log/8?+9)>log4(c+9),

所以log式力2+9)+Iog4(c2+9)VO②正確.

4

因為2a>c,所以4a2+6>c2+6,

所以告〈捻，③錯誤.

4a2+6c2+6

故選:c.

8.D

【詳解】由sin(20。一。)+sin(20°+。)+sin(40°-6)=0

n2sin2O°cos0+sin4O°cos0=cos4O°sin0,

UH召_sind_2sin20°+sin40°_2sin20°+sin(60o-20°)

、cos0cos40°cos40°

_|sin2(r+率os20。_V3sin(20°+30°)_

cos40°cos40°?

故選：D

9.AB

【詳解】

因為a,3都是單位向量，所以m=\b\=1,

所以(a+石)?Q—另)=原一中=o,即0+3)1伍一方)，故A正確；

a在另方向上的投影向量為|d|cos。=|d|'-j|j=(a-b)b,故B正確；

若M+山=1,貝!］原+22?3+京=i,即之不=—義，即cos8=—之，

因為0°W8W180°,所以9=120°,故C錯誤；

若(2+b)-a=(a-b)-a,則濟+&.習(xí)=*一d.

所以2i=0,即故D錯誤.

故選：AB

10.ACD

【詳解】對于A,若4B為互斥事件，貝UPQ4+B)=PQl)+P(B)=0.9,即可得A正確；

對于B,由PQ4)=05P(B)=0.4可得P(I)=0.5,P(B)=0.6,

又48為互斥事件，則P(A8)=0,又P(才+月)=P(4u月)=P(而)=1—0=1,即B錯

誤；

對于C,若4B相互獨立，則P(4B)=PQ4)P(B)=0.2,

所以PQ4+B)=PQ4)+P(B)-PQ4B)=0.5+0.4-0.2=0.7,即C正確；

對于D,若P(B|2)=符=等=0.3,所以P(2B)=0.15；

i(/I)U.5

可得P(ZB)=P(B)-P(4B)=0.25,

所以P但才）=需=嚅=鏢=°.5,即D正確.

故選：ACD

11.ABD

【詳解】由y=久“得Iny=%ln%,令z=%ln%,則函數(shù)z=%ln%可以看作為函數(shù)z=Iny與函

數(shù)y=/的復(fù)合函數(shù)，

因為z=lny為增函數(shù)，所以z=%1口%與）7=/單調(diào)性、圖象變換等基本一致，

zf=Inx+1,由/=0得％=工，列表如下：

e

1

X（吟(")

zr-0+

1

Z/

e

由表知，z=xlnx在（0,》上單調(diào)遞減，在C，+8）上單調(diào)遞增，在久=：時，取得極小值（最

小值）一士

e

所以，八久）=/在6,+8）上單調(diào)遞增，在傅,+8）上單調(diào)遞增，即B正確；

在x=工時，取得唯一極值（極小值，也是最小值）eT<e。=1<64,即A、D都正確，C

e

錯誤.

故選：ABD.

12.57

【詳解】令“=log2(an+1)，1的=l,a3=7,瓦=1,b3=3,

又?jǐn)?shù)列｛%｝為等差數(shù)列，所以公差d=l,

6n=1+n—1=n,BPlog2(an+1)=n,

n

??.an=2—1,

?*?S5=%+CI2+…+05=(2+22+…+2^)_5=-----—5—57.

1—2

故答案為：57.

13.8

9

【詳解】由題干數(shù)據(jù)，￡陷陽=60,E言1%=1200可得元=3/=60,

根據(jù)夾角公式的定義，r=cos(a,b)=而石,另=々一元)(%-辦

根據(jù)￡陷(々一元)(%-9)=2-xyt-yxt+x-y)=濯1久%-%濯1%-

yZf=iXz+Ef=iX-y=

￡巴—20%-y—20%-y+20%-y=，巴勺%—20%-y=4400—20X3X60=

800,

TTT

-r曰J、ab8008

J=COS<%b>=I』=--=

|a||d|9009

故答案為：!

14?等

設(shè)圓心為0i(5,0),半徑為2,則四邊形ZPBOi的面積S=]2B|?|P。/=2S&4Poi=2x

-1

l\AP\-\A0r\^\AP\x2,

所以網(wǎng)=制

又在RTAPAOr中，|2P|=J|PO/2—優(yōu)。/2=J|P0i|2_4,

所以BBU嗝m二4/二高，

2

設(shè)P(Xo，yo)，則|P0/2=(%o-5)2+yj=(%o-5)2+8x0-XQ-2x0+25=(x0-l)+

24,

所以當(dāng)沏=1時,IP。/?有最小值24,

此時有最小值4=等

故答案為：字

15.(l)tan?l=|；

(2)20.

【詳解】(1)由題意可知，S=-absinC=^^

2cos?l

由sinC。0,得bcosA=2asinB,

由正弦定理可知，sinBcos/=2sinAsinB,

由sinB>0,得cos/=2sin4即tanZ=列”■=-

C0Si42

2

/_17.AasinBsinC

(或S=-bcsmA=------------

2cos4

由正弦定理可知：工sinBsinCsin/=sinAsinBsinC

2cos/

因為sin/sinBsinCW0,所以tanZ==-.)

cos7l2

(2)由tanA=%可知角力為銳角，

所以｛cosA~2,得sin/=w，cos/=——,

lsin224+cos2A=1°

因為sinBsinC=1,

22

由余弦定理。2=b+c-2bccosAf

得爐+。2=。2+2bccosA=4+8V5x誓=20

16.(1)證明見解析

⑵理

'719

【詳解】(1)連接0N,MN,BN,如圖，

因為M,N是底面圓弧腦的三等分點,

???^AOM=乙MON=乙BON=

3

v0A=0M=ON=OB,

.-.AOAM,△OMNAOBN均為等邊三角形，

OM=MN=OB=BN,則四邊形。MN8為菱形，，OM〃BN,

因為E,F分別為PM,P。的中點，EF〃M。，

BN//EF,故點B在平面EFN內(nèi).

（2）作。xlAB,以。x,OB,OP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

因為4B=P0=4,貝必(0,—2,0),P(0,0,4),M(—

故方=(0,-2,-4),PM=(-V3,-l,-4),

設(shè)平面P4M的法向量沆=(x,y,z),貝-4z=°,

[PM?m=-V3x—y—4z=0

令y=2V3,得x=2,z=—V3,所以布=(2,2g,一百)，

易知平面PAB的一個法向量為元=(1,0,0),

設(shè)平面PZM與平面P4B的夾角為仇

則cos。=|cos(fn71)1=團(tuán)劃=-----------=2^^,

人JI''"\m\\n\,4+12+3x119'

故平面P2M與平面P4B夾角的余弦值為警.

17.(1)[-2,+8)

(2)1個

【詳解】(1)由/(%)=asin]——可得其定義域為R,且/(%)=acos%-2%,

所以/"(%)=—asinx—2,

若f(x)在[o,3上為“凸函數(shù)”可得/⑺=-asinx-2<0在[。"恒成立，

當(dāng)a20時，顯然符合題意；

當(dāng)a<0時，需滿足—asin；-2<0,可得—2<a<0；

綜上可得a的取值范圍為［-2,+8）；

(2)若a=2,可得g(%)=2sinx—x2+1,所以g'(%)=2cosx—2%,

令九(%)=2cosx—2x,則h'(%)=-2sinx—2；

易知"(%)=-2sinx-2<0在區(qū)間(0,n)上恒成立，

因此可得九(%)=g'(%)=2cosx—2%在(0,TI)上單調(diào)遞減；

顯然"C)=2cos合2x”8話>0,“(2=2COS：-2x^=V2-=<0；

根據(jù)零點存在定理可得存在久oE使得g'(%o)=2cosx0-2%0=0,

因此可知當(dāng)久e(0,&)時，“(%)>0,即g(%)在(O,%o)上為單調(diào)遞增;

當(dāng)%e(%o，n)時，g'(%)<0,即g(%)在(%()m)上為單調(diào)遞減;

又。(。)=2sin0-02+1=1,顯然在(O,%o)上g(%)不存在零點；

而g(n)=2sirm-IT2+1=1-TT2<0,結(jié)合單調(diào)性可得在(刈冗)上g(%)存在一個零點;

綜上可知，g(%)=/(%)+1在區(qū)間(0用)上僅有1個零點.

18.(1)V-T=1

(2)是定值，定值為2

【詳解】(1)根據(jù)雙曲線的對稱性可知：&(5,2),4(5,-2)，4(-5,2)不在雙曲線(；上，

且4式一4,0),4(4,3)有且僅有一個在雙曲線C上，

若&(-3,甯，4(-4,0)在雙曲線C上,

15

—---^-=1fa2=16

a?b2,解得60,不合題意；

(916―c0=1Y(b=----7

若&(—3,手)，4(4,3)在雙曲線C上，

15

2—工=12_

9一正一，解得｛:2=3

16__9__1=3

(/一記

綜上所述：｛,二:，C的方程為9—1=1.

(2)翳為定值，定值為2,理由如下：

設(shè)P(%o，yo),%o>2,切線PD:y=mx+n,

ry=mx+n

聯(lián)立方程，次,消去y得(3-4血2)%2一87rm%一(4/+12)=0,

I43一

m

則(AAA22工二4l2I19An，整理得幾2