專題02 與三角形有關(guān)的角（八大類型）（原卷版）

專題02與三角形有關(guān)的角（八大類型）重難點(diǎn)題型歸納【題型1運(yùn)用三角形內(nèi)角和直接求角的度數(shù)】【題型2三角形內(nèi)角和定理與角平分線、高的綜合運(yùn)算】【題型3三角形內(nèi)角和定理與平分線的性質(zhì)綜合運(yùn)用】【題型4三角形內(nèi)角和定理與折疊問題綜合】【題型5三角形內(nèi)角和定理與新定義問題綜合】【題型6運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系】【題型7判斷直角三角形】【題型8運(yùn)用直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)】【題型1運(yùn)用三角形內(nèi)角和直接求角的度數(shù)】1．（2023?石家莊三模）根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，可得x+y的值為（）A．180 B．110 C．100 D．702．（2023春?渝中區(qū)校級期中）△ABC中，若∠A+∠B＝4∠C，則∠C度數(shù)為（）A．32° B．34° C．36° D．38°3．（2023春?沈北新區(qū)期中）△ABC中，∠A＝45°，∠B＝63°，則∠C＝（）A．72° B．92° C．108° D．180°4．（2023春?歷下區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠B的度數(shù)是（）A．20° B．30° C．40° D．60°【題型2三角形內(nèi)角和定理與角平分線、高的綜合運(yùn)算】5．（2023?合肥模擬）如圖，△ABC中，BD⊥AC，BE平分∠ABC，若∠A＝2∠C，∠DBE＝20°，則∠ABC＝（）?A．50° B．60° C．70° D．80°6．（2023春?東臺市月考）如圖，AD是△ABC的角平分線，且AD⊥BC，E為CA延長線上的點(diǎn)，過E作EG⊥BC于G，交AB于點(diǎn)F．（1）試說明∠3＝∠E；（2）若∠B＝32°，求∠E的度數(shù)．7．（2023春?朝陽區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，BE為角平分線，若∠BFC＝114°，求∠BCF的度數(shù)．8．（2023春?建湖縣期中）如圖，AD是△ABC的高，AE平分∠BAC．（1）若∠B＝76°，∠C＝48°，求∠DAE的度數(shù)；（2）若∠B﹣∠C＝42°，求∠DAE的度數(shù)．9．（2023春?濟(jì)南期中）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝56°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于點(diǎn)D，DF⊥CE于點(diǎn)F，求∠CDF的度數(shù)．【題型3三角形內(nèi)角和定理與平分線的性質(zhì)綜合運(yùn)用】10．（2023?蜀山區(qū)模擬）如圖，一副直角三角尺如圖擺放，點(diǎn)D在BC的延長線上．EF∥BD，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，則∠CED的度數(shù)是（）A．5° B．10° C．15° D．25°11．（2023?陜西模擬）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為AB邊上一點(diǎn)，CE平分∠ACM，DE∥BC．若∠B＝43°，∠E＝52°，則∠A的度數(shù)為（）A．51° B．61° C．65° D．75°12．（2023?滑縣二模）如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，過點(diǎn)C的射線CE與AD平行，若∠B＝60°，∠ACB＝30°，則∠ACE的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．55° D．60°13．（2023春?泗陽縣期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、BC上，且DE∥AC，∠BDE＝60°，∠C＝55°，求∠B的度數(shù)（）A．60° B．65° C．70° D．75°14．（2023?長沙一模）如圖，過三角形ABC頂點(diǎn)C作EF∥AB，∠ACE＝65°，∠B＝30°，則∠ACB的度數(shù)是（）A．105° B．85° C．80° D．75°15．（2023?定遠(yuǎn)縣二模）如圖，直線a∥b，在Rt△ABC中，點(diǎn)C在直線a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，則∠B的度數(shù)為（）A．56° B．34° C．36° D．24°16．（2023?大慶三模）如圖，∠CAD和∠CBD的平分線相交于點(diǎn)P，若∠C＝28°，∠D＝22°，則∠P的度數(shù)為（）A．22° B．25° C．28° D．30°17．（2023春?廣饒縣期中）如圖，BE、CF是△ABC的角平分線，∠ABC＝80°，∠ACB＝60°，EB、CF相交于D，則∠CDE的度數(shù)是（）A．130° B．70° C．80° D．75°18．（2023春?長沙期中）如圖，△ABC中，D是AC上一點(diǎn)，過D作DE∥BC交AB于E點(diǎn)，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)，連接DF．若∠1＝∠AED．（1）求證：DF∥AB．（2）若∠1＝55°，DF平分∠CDE，求∠C的度數(shù)．19．（2023春?鹽城月考）如圖，在△ABC中，CF⊥AB于F，ED∥CF，∠1＝∠2．（1）問：FG∥BC嗎？為什么？（2）若∠A＝60°，∠AGF＝70°，求∠B的度數(shù)．20．（2023春?夏邑縣月考）如圖，點(diǎn)D，E分別在三角形ABC的邊AB，AC上，點(diǎn)F在線段CD上，且∠3＝∠B，DE∥BC．（1）求證：∠1+∠2＝180°；（2）若DE平分∠ADC，∠2＝2∠B，求∠1的度數(shù)．21．（2023春?開福區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，AF平分∠BAC交BC于點(diǎn)F，點(diǎn)D、E分別在CA，BA的延長線上，AF∥CE，∠D＝∠E．（1）求證：BD∥AF；（2）若∠BAD＝80°，∠ABD＝2∠ABC，求∠ACF的度數(shù)．22．（2022秋?鄒平市校級期末）如圖，△ABC中，BE⊥AC于點(diǎn)E，AF是∠CAB的平分線，交BE于點(diǎn)F，∠C＝78°，∠CBA＝38°，求∠AFB的度數(shù)．23．（2023春?永川區(qū)期末）如圖，∠B＝42°，∠1＝∠2+10°，∠ACD＝64°，∠ACD的平分線與BA的延長線相交于點(diǎn)E．（1）請你判斷BF與CD的位置關(guān)系，并說明理由；（2）求∠3的度數(shù)．24．（2023春?石獅市校級期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝65°，∠C＝35°，AD是△ABC的角平分線．（1）求∠ADC的度數(shù)．（2）過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，BE延長線交AC于點(diǎn)F．求∠AFE的度數(shù)．25．（2023春?鼓樓區(qū)期末）△ABC中，∠ABC平分線BD與AC相交于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為E．（1）如圖1，若∠ABC＝90°，則∠EDB＝°；（2）如圖2，若△ABC是銳角三角形．過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F．依題意補(bǔ)全圖2，用等式表示∠FED，∠EDB與∠ABC之間的數(shù)量關(guān)系并證明；（3）若△ABC是鈍角三角形，其中90°＜∠BAC＜180°．過點(diǎn)E作EF∥BC，交直線AC延長線于點(diǎn)F，直接寫出∠FED，∠EDB與∠ABC之間的數(shù)量關(guān)系．25．（2023春?江都區(qū)月考）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是線段AC上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），過點(diǎn)E作EF∥BC交射線BD于點(diǎn)F，∠CEF的角平分線所在直線與射線BD交于點(diǎn)G．（1）如圖1，點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動．①若∠ABC＝40°，∠C＝70°，則∠BGE＝°；②若∠A＝50°，則∠BGE＝°；③探究∠BGE與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若點(diǎn)E在線段DC上運(yùn)動時，直接寫出∠BGE與∠A之間的數(shù)量關(guān)系．【題型4三角形內(nèi)角和定理與折疊問題綜合】26．（2022秋?邯山區(qū)校級期末）如圖，將△ABC一角折疊，若∠1+∠2＝80°，則∠B+∠C＝（）A．40° B．100° C．140° D．160°27．（2022秋?靖西市期末）如圖，在三角形紙片ABC中，∠BAC的平分線AE交BC于點(diǎn)E，將△CED沿DE折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處．（1）求證：∠BAE＝∠C．（2）若∠BAE＝32°，求∠B的度數(shù)．28．（2022春?交城縣校級期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上的一點(diǎn)，∠B＝50°，∠BAD＝30°，將△ABD沿AD折疊得到△AED，AE與BC交于點(diǎn)F．（1）求∠AFC的度數(shù)；（2）求∠EDF的度數(shù)．29．（2022秋?沂水縣期末）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度數(shù)．30．（2023春?鎮(zhèn)江期中）已知△ABC，∠ABC＝80°，點(diǎn)E在BC邊上，點(diǎn)D是射線AB上的一個動點(diǎn)，將△BDE沿DE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處．（1）如圖1，若∠ADB'＝110°，則∠CEB'的度數(shù)是；（2）利用備用圖畫圖并探究當(dāng)CB'∥AB時，∠CB'E與∠ADB'滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；31．（2022秋?城關(guān)區(qū)校級期末）如圖1，一張三角形ABC紙片，點(diǎn)D，E分別是△ABC邊上兩點(diǎn)．研究（1）：如果沿直線DE折疊，使點(diǎn)A落在CE上的點(diǎn)A'處，則∠BDA'與∠A的數(shù)量關(guān)系是；研究（1）：如果折成圖2的形狀，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的數(shù)量關(guān)系是；研究（3）：如果折成圖3的形狀，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的數(shù)量關(guān)系是什么，并說明理由．32．（2022春?福山區(qū)期中）折紙是我國一項(xiàng)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)，這項(xiàng)具有中國特色的傳統(tǒng)文化在幾何中可以得到新的解讀．已知在△ABC中，∠A＝80°，請根據(jù)題意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1﹣∠2）與∠A的數(shù)量關(guān)系．（1）如圖①，若沿圖中虛線DE截去∠A，則∠1+∠2＝．（2）如圖②，若沿圖中虛線DE將∠A翻折，使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)A′處，則∠1+∠2＝．（3）如圖③，翻折后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度數(shù)．（4）如圖④，△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度數(shù)．【題型5三角形內(nèi)角和定理與新定義問題綜合】33．（2023春?青羊區(qū)校級期中）我們定義：在一個三角形中，若一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的7倍，則這樣的三角形稱之為“德馨三角形”．如：三個內(nèi)角分別為100°，70°，10°的三角形是“德馨三角形”．如圖，點(diǎn)E在△ABC的邊AC上，連結(jié)BE，作∠AEB的平分線交AB于點(diǎn)D，在BE上取點(diǎn)F，使∠BFD+∠BEC＝180°，∠EDF＝∠C．若△BCE是“德馨三角形”，則∠C的度數(shù)為．34．（2022?西城區(qū)校級開學(xué)）定義：當(dāng)三角形中一個內(nèi)角α是另一個內(nèi)角的兩倍時，我們稱此三角形為“倍角三角形”，其中α稱為“倍角”，如果一個“倍角三角形”的一個內(nèi)角為90°，那么倍角α的度數(shù)是．35．（2022春?宛城區(qū)校級月考）當(dāng)三角形中的一個內(nèi)角α是另一個內(nèi)角β的兩倍時，我們定義此三角形為“特征三角形”．其中α稱為“特征角”，若一個“特征三角形”恰好是直角三角形，則這個“特征三角形”的“特征角”的度數(shù)為．36．（2022春?安溪縣期末）新定義：在△ABC中，若存在最大內(nèi)角是最小內(nèi)角度數(shù)的n倍（n為大于1的正整數(shù)），則稱△ABC為“n倍角三角形”．例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，則∠C＝30°，因?yàn)椤螦最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC為“3倍角三角形”．（1）在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，則△DEF為“2倍角三角形”．（2）如圖，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分線相交于點(diǎn)D，若△ABD為“6倍角三角形”，請求出∠ABD的度數(shù)．37．（2022秋?福田區(qū)校級期末）我們定義：【概念理解】在一個三角形中，如果一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的4倍，那么這樣的三角形我們稱之為“完美三角形”．如：三個內(nèi)角分別為130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．【簡單應(yīng)用】如圖1，∠MON＝72°，在射線OM上找一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥OM交ON于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)作射線AD，交線段OB于點(diǎn)C（點(diǎn)C不與C、B重合點(diǎn)）（1）∠ABO＝°，△AOB（填“是”或“不是”）“完美三角形”；（2）若∠ACB＝90°，求證：△AOC是“完美三角形”；【應(yīng)用拓展】如圖2，點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，連接DC，作∠ADC的平分線交AC于點(diǎn)E，在DC上取一點(diǎn)F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度數(shù)．38．（2022秋?荔城區(qū)校級月考）我們定義：在一個三角形中，若一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的4倍，則這樣的三角形稱之為“和諧三角形”．如：三個內(nèi)角分別為130°，40°，10°的三角形是“和諧三角形”．【概念理解】如圖1，∠MON＝60°，點(diǎn)A在邊OM上，過點(diǎn)A作AB⊥OM交ON于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)作射線AD，交線段OB于點(diǎn)C（點(diǎn)C不與O，B重合）（1）∠ABO的度數(shù)為，△AOB（填“是”或“不是”）“和諧三角形”；（2）若∠ACB＝84°，試說明：△AOC是“和諧三角形”．【應(yīng)用拓展】如圖2，點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，連結(jié)DC，作∠ADC的平分線交AC于點(diǎn)E，在DC上取點(diǎn)F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和諧三角形”，請直接寫出∠B的度數(shù)．【題型6運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系】39．（2023春?江北區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，P為線段AD上的一個動點(diǎn)，PE⊥AD交BC的延長線于點(diǎn)E．（1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度數(shù)；（2）當(dāng)P點(diǎn)在線段AD上運(yùn)動時，猜想∠E與∠B，∠ACB的數(shù)量關(guān)系，并證明．40．（2023春?儀征市月考）如圖，將△ABC沿射線BA方向平移到△A'B'C'的位置，連接AC'，CC'．（1）AA'與CC'的位置關(guān)系為；∠A′+∠CAC′+∠AC′C＝；（2）設(shè)∠AC'B'＝x，∠ACB＝y(tǒng)，試探索∠CAC'與x，y之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．41．（2022秋?邢臺期末）材料閱讀：如圖①所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品﹣﹣圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”．解決問題：（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A，∠B，∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下兩個問題：Ⅰ．如圖②，把一塊三角尺DEF放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊DE，DF恰好經(jīng)過點(diǎn)B，C，若∠A＝40°，則∠ABD+∠ACD＝°．Ⅱ．如圖③，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，若∠A＝40°，∠BPC＝130°，求∠BDC的度數(shù)．42．（2023春?虹口區(qū)期末）△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AE是△ABC的高．（1）如圖1，若∠B＝40°，∠C＝60°，請說明∠DAE的度數(shù)；（2）如圖2（∠B＜∠C），試說明∠DAE、∠B