上海市華東師大一附中2024年高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

上海市華東師大一附中2024年高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)命題函數(shù)/（x）=e*+0-*在7?上遞增，命題4：在AABC中，A>3ocosA<cos瓦下列為真命題的是（）

A.P^QB.pv(—i^)C.(^77)AqD.(可)A(—

0?

2.設(shè)復(fù)數(shù)"—1,則團(tuán)=()

1+3z

A1B④

C.-D.—

3322

3.已知三點(diǎn)A（l,0）,B（0,73）,C（2,6），則△A3C外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為（）

5721

A.-rR).----

33

2后4

Lr?-----D.-

33

4.下列說法正確的是（）

A.命題7/<0,2/Wsinx。”的否定形式是"Vx>0,2x>sinxM

B.若平面C,0,y,滿足則?！ㄊ?/p>

C.隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N（l,cr2）（。>0）,若P（0<J<l）=0.4,則尸修>0）=0.8

D.設(shè)x是實(shí)數(shù)，“x<0”是“工<1”的充分不必要條件

X

5.已知函數(shù)/（x）=Asin（a?x+0（4>0,。>0,［同<］）的部分圖象如圖所示，且/（。+九）+/（。一%）=0,貝U同

的最小值為（）

y

兀兀

A.B.

12~6

715TI

C.D.

~312

6.已知函數(shù)/(x)=Jl；g2：l，A：°方程/(%)-a=0有四個(gè)不同的根，記最大的根的所有取值為集合。，貝!)“函

x2+2x+2,x<0

數(shù)/(%)=/(%)—履("￡>)有兩個(gè)零點(diǎn)”是“左〉L，的().

2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.若|Q4|=1,|O5|=百，OAOB^O,點(diǎn)C在A3上，且NAOC=30°，設(shè)OC="2。4+〃。8(根,"eH),

rrj

則一的值為（）

n

A.-B.3C.—D.6

33

8.某程序框圖如圖所示，若輸出的S=120,則判斷框內(nèi)為()

開始

A.k>7?B.左>6?C.左>5?D.k>4?

9.為了進(jìn)一步提升駕駛?cè)私煌ò踩拿饕庾R(shí)，駕考新規(guī)要求駕校學(xué)員必須到街道路口執(zhí)勤站崗，協(xié)助交警勸導(dǎo)交通.

現(xiàn)有甲、乙等5名駕校學(xué)員按要求分配到三個(gè)不同的路口站崗，每個(gè)路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案

共有()

A.12種B.24種C.36種D.48種

10.中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是

體育和勞動(dòng)；“書”，指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”，數(shù)學(xué).某校國學(xué)社團(tuán)開展“六藝”課程講座活動(dòng)，每藝安排一節(jié)，連排

六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“樂”不排在第一節(jié)，“射”和“御”兩門課程不相鄰，貝!1“六藝”課程講座不同的排

課順序共有()種.

A.408B.120C.156D.240

11.若函數(shù)〃x)=2sin(x+26?)-cosx(0<^<|)的圖象過點(diǎn)(0,2),則()

A.函數(shù)y=/(x)的值域是［0,2］B.點(diǎn)］是y=/(x)的一個(gè)對(duì)稱中心

C.函數(shù)y=/(x)的最小正周期是2萬D.直線x=?是y=/(x)的一條對(duì)稱軸

12.已知定義在R上的偶函數(shù)Ax)滿足〃x+2)=f(一尤)，且在區(qū)間［1,2］上是減函數(shù)，令

1

a=ln2］=1；|2,c=log］2,則的大小關(guān)系為()

A./(a)</(/?)</(c)B./(a)</(c)</(Zj)

C./(&)</(a)</(c)D./(c)</(a)</(Z?)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.古代“五行”學(xué)認(rèn)為：“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”將五

種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列，但排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰，則這樣的排列方法有種.(用數(shù)字作

答)

rrj

14.若函數(shù)f(x)=sin2x+cos2x在［0,萬］和［3加㈤上均單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為.

x<3

15.若滿足x+yN2,則目標(biāo)函數(shù)z=y—2x的最大值為.

y<x

16.如圖是一個(gè)算法流程圖，若輸出的實(shí)數(shù)y的值為-I,則輸入的實(shí)數(shù)X的值為.

/輸出y/

［結(jié)束］

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知橢圓。斗+今=1(?！?力〉0)的長軸長為4,離心率e=￥

(1)求橢圓。的方程；

(2)設(shè)A,3分別為橢圓與x軸正半軸和y軸正半軸的交點(diǎn)，P是橢圓C上在第一象限的一點(diǎn)，直線K4與V軸交于

點(diǎn)"，直線9與x軸交于點(diǎn)N,問APMN與AB鉆面積之差是否為定值？說明理由.

18.(12分)某景點(diǎn)上山共有999級(jí)臺(tái)階，寓意長長久久.甲上臺(tái)階時(shí)，可以一步走一個(gè)臺(tái)階，也可以一步走兩個(gè)臺(tái)階,

1?

若甲每步上一個(gè)臺(tái)階的概率為-，每步上兩個(gè)臺(tái)階的概率為彳.為了簡便描述問題，我們約定，甲從0級(jí)臺(tái)階開始向

上走，一步走一個(gè)臺(tái)階記1分，一步走兩個(gè)臺(tái)階記2分，記甲登上第〃個(gè)臺(tái)階的概率為匕，其中“wN*，且“<998.

(1)若甲走3步時(shí)所得分?jǐn)?shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)證明：數(shù)列｛月由一片｝是等比數(shù)列；

(3)求甲在登山過程中，恰好登上第99級(jí)臺(tái)階的概率.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=sinox+cos[ox+Wj,其中xeR,a?>0.

(1)當(dāng)o=l時(shí)，求/的值；

jr

(2)當(dāng)/(元)的最小正周期為萬時(shí)，求/Xx)在0,-上的值域.

_4_

20.(12分)已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(—0,0),(72,0),01E是4ABC的內(nèi)切圓，在邊上的

切點(diǎn)分別為P,Q,R,\CP\=2-y/2，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線G.

(1)求曲線G的方程；

(2)設(shè)直線/與曲線G交于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)O在曲線G上,。是坐標(biāo)原點(diǎn)OM+ON=OD，判斷四邊形OMDN的面積是

否為定值?若為定值,求出該定值;如果不是,請(qǐng)說明理由.

21.(12分)已知數(shù)列｛%｝,其前“項(xiàng)和為S“，若對(duì)于任意加，“eN*,且加。“，都有一^二5+4+冊(cè)—4.

m+nm-n

(1)求證：數(shù)列｛a,J是等差數(shù)列

(2)若數(shù)列匕｝滿足c〃=%+i%+2—a；("eN*),且等差數(shù)列｛4｝的公差為g,存在正整數(shù)，q,使得4+%,求

同的最小值.

22.(10分)已知〃力=卜+1|+卜+3].

(1)解不等式/'(x)<6；

(2)若a,4c均為正數(shù)，且〃a)+/0)+c=lO,求/+c?的最小值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

命題函數(shù)/(%)="+"'在(-8,0)上單調(diào)遞減，即可判斷出真假.命題好在AABC中，利用余弦函數(shù)單調(diào)性

判斷出真假.

【詳解】

解：命題P：函數(shù)/(x)=e'+er,所以/'(尤)=產(chǎn)—H'，當(dāng)x<0時(shí)，尸(%)<0,即函數(shù)在(一9。)上單調(diào)遞減，

因此是假命題.

命題4：在AABC中，A6e(O,；T),y=cosx在(0,不)上單調(diào)遞減，所以A>BocosA<cosB,是真命題.

則下列命題為真命題的是(力)Aq.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、正弦定理、三角形邊角大小關(guān)系、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

2、D

【解析】

先用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算將復(fù)數(shù)Z化簡,然后用模長公式求Z模長.

【詳解】

初2-i(2-0(1-30--l-7z_1J_.

?，

1+3，(l+3z)(l-3z)101010

則比/總+［高嗡

L=也=也

0V22

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的基本概念和基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.

3、B

【解析】

因?yàn)椤髟?。外接圓的圓心在直線的垂直平分線上，即直線工=1上

可設(shè)園心P（l,p）,由P4=P砥:|p|=,1+（p-問2,得p=竽

園心坐標(biāo)為P（1,竽）

2

/12y/21

所以國心到原點(diǎn)的距離|OP|=</1+

33

選B.

考點(diǎn)：圓心坐標(biāo)

4、D

【解析】

由特稱命題的否定是全稱命題可判斷選項(xiàng)A；a,,可能相交，可判斷B選項(xiàng)；利用正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)C；

,<1n%<0或x>1,利用集合間的包含關(guān)系可判斷選項(xiàng)D.

x

【詳解】

命題“三不<0,2/Wsinx?！钡姆穸ㄐ问绞恰癡xWO,2x>sinx”，故A錯(cuò)誤；

2,則必分可能相交，故B錯(cuò)誤；若尸（0<。<1）=0.4,則？（1<。<2）=0.4,所以

1-04-041

年<0）===0.1,故PC>0）=0.9,所以C錯(cuò)誤；由一<1,得x<0或

2x

故“x<0”是“工<1”的充分不必要條件，D正確.

x

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查命題的真假判斷，涉及到特稱命題的否定、面面相關(guān)的命題、正態(tài)分布、充分條件與必要條件等，是一道容

易題.

5、A

【解析】

。是函數(shù)/（元）的零點(diǎn)，根據(jù)五點(diǎn)法求出圖中零點(diǎn)及y軸左邊第一個(gè)零點(diǎn)可得.

【詳解】

311TT7TTTTT

由題意7，7=萬，.?.函數(shù)/（x）在y軸右邊的第一個(gè)零點(diǎn)為一+—=——，在y軸左邊第一個(gè)零點(diǎn)是

41266412

71冗71

~6~7~~12f

.?.何的最小值是?

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的周期性，考查函數(shù)的對(duì)稱性.函數(shù)/(%)=Asin(@r+9)的零點(diǎn)就是其圖象對(duì)稱中心的橫坐標(biāo).

6、A

【解析】

作出函數(shù)f(x)的圖象，得到D=(2,4],把函數(shù)F(x)=f(x)—kx(xeD)有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為y=kx與y=f(x)在(2,

4]上有交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，即可求得k的取值范圍，再根據(jù)充分、必要條件的定義即可判斷.

【詳解】

作出函數(shù)f(x)=]!咋24》>0的圖象如圖，

x+2%+2,%?0

由圖可知，D=(2,4],

函數(shù)F(x)=f(x)-kx(xcD)有2個(gè)零點(diǎn)，即f(x)=kx有兩個(gè)不同的根，

也就是丫=入與丫=**)在(2,4]上有2個(gè)交點(diǎn)，則k的最小值為g；

設(shè)過原點(diǎn)的直線與y=log2x的切點(diǎn)為(Xo,log2x0),斜率為——,

X.Q1H，

1

Ix/、

則切線方程為y-log2=—-X。)，

x0ln2

把(o,o)代入,可得一log,Xo=—J；,即x0=e,.?.切線斜率為工，

m2eln2

.?.k的取值范圍是

12eln2)

...函數(shù)F(x)=f(x)—kx(xeD)有兩個(gè)零點(diǎn)”是“k>!”的充分不必要條件，

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上

某點(diǎn)處的切線方程，試題有一定的綜合性，屬于中檔題.

7,B

【解析】

利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可算出.

【詳解】

解：NAOC=30°

cos<OC,OA>=

=V3

m2|OA|+ImnOA-OB+n2網(wǎng)畫2

|OA|=1,|OB|=A/3,OA.OB=0

m6

yjm2+3n22

2

二.m=9rT

又C在上

:.m>0,n>0

m

-二3

n

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了向量的基本運(yùn)算的應(yīng)用，向量的基本定理的應(yīng)用及向量共線定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用.

8、C

【解析】

程序在運(yùn)行過程中各變量值變化如下表:

KS是否繼續(xù)循環(huán)

循環(huán)前11

第一圈24是

第二圈311是

第三圈426是

第四圈557是

第五圈6120否

故退出循環(huán)的條件應(yīng)為k>5?

本題選擇C選項(xiàng).

點(diǎn)睛：使用循環(huán)結(jié)構(gòu)尋數(shù)時(shí)，要明確數(shù)字的結(jié)構(gòu)特征，決定循環(huán)的終止條件與數(shù)的結(jié)構(gòu)特征的關(guān)系及循

環(huán)次數(shù).尤其是統(tǒng)計(jì)數(shù)時(shí)，注意要統(tǒng)計(jì)的數(shù)的出現(xiàn)次數(shù)與循環(huán)次數(shù)的區(qū)別.

9、C

【解析】

先將甲、乙兩人看作一個(gè)整體，當(dāng)作一個(gè)元素，再將這四個(gè)元素分成3個(gè)部分，每一個(gè)部分至少一個(gè)，再將這3部分

分配到3個(gè)不同的路口，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得選項(xiàng).

【詳解】

把甲、乙兩名交警看作一個(gè)整體，5個(gè)人變成了4個(gè)元素，再把這4個(gè)元素分成3部分，每部分至少有1個(gè)人，共有C：

種方法，再把這3部分分到3個(gè)不同的路口，有種方法，由分步計(jì)數(shù)原理，共有?禺=36種方案。

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查排列與組合，常常運(yùn)用捆綁法，插空法，先分組后分配等一些基本思想和方法解決問題，屬于中檔題.

10、A

【解析】

利用間接法求解，首先對(duì)6門課程全排列，減去“樂”排在第一節(jié)的情況，再減去“射”和“御”兩門課程相鄰的情況，最

后還需加上“樂”排在第一節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰的情況；

【詳解】

解：根據(jù)題意，首先不做任何考慮直接全排列則有震=720（種），

當(dāng)“樂”排在第一節(jié)有團(tuán)=120（種），

當(dāng)“射”和“御”兩門課程相鄰時(shí)有尺6=240（種），

當(dāng)“樂”排在第一節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰時(shí)有用/=48（種），

則滿足“樂”不排在第一節(jié)，“射”和“御”兩門課程不相鄰的排法有720-120-240+48=408（種），

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意“樂”的排列對(duì)“射”和“御”兩門課程相鄰的影響，屬于中檔題.

11、A

【解析】

根據(jù)函數(shù)/（九）的圖像過點(diǎn)（0,2）,求出凡可得/（x）=cos2x+l,再利用余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，得出結(jié)論.

【詳解】

由函數(shù)〃x）=2sin（x+2e>cosx（0<^<|）的圖象過點(diǎn)（0,2）,

可得2sin26=2,即sin28=1,

/.20=-0=-

2499

故〃%）=2sin（%+2，）?cosx=2cos2x=cos2x+l,

對(duì)于A,由—1VCOS2XV1,則0K/（x）<2,故A正確；

對(duì)于B,當(dāng)x=?時(shí)，/^=1,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,T=U=/，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)X=￡時(shí)，/^=1,故D錯(cuò)誤；

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二倍角的余弦公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，需熟記性質(zhì)與公式，屬于基礎(chǔ)題.

12、C

【解析】

可設(shè)尤e［0,1］,根據(jù)/\尤)在R上為偶函數(shù)及了(％+2)=/(一x)便可得到：/(x)=/(-x)=/(-%+2),可設(shè)七,

x2e［0,l］,且不<々，根據(jù)Ax)在［1,2］上是減函數(shù)便可得出/&)</(%),從而得出Ax)在［0』上單調(diào)遞增，再

根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算得到。、b、。的大小關(guān)系，從而得到〃a)J0)J(c)的大小關(guān)系.

【詳解】

c=log2=-1

解：因?yàn)閘nl<ln2<lne,即又=1

2

設(shè)%根據(jù)條件，f(x)=/(-%)=/(-%+2),-x+2e[l,2]；

若再，馬e[0,l],且玉vx?9則：—玉+2>—x?+2；

/(x)在［1,2］上是減函數(shù);

.?J(f+2)</(-%+2)；

</(%);

???/⑴在［0』上是增函數(shù)；

所以〃。)="2)=〃0),/(c)=/(-l)=/(l)

/(^)</(?)</(<1)

故選:C

【點(diǎn)睛】

考查偶函數(shù)的定義，減函數(shù)及增函數(shù)的定義，根據(jù)單調(diào)性定義判斷一個(gè)函數(shù)單調(diào)性的方法和過程：設(shè)玉</，通過條

件比較/(占)與/(々)，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1.

【解析】

試題分析：由題意，可看作五個(gè)位置排列五種事物，第一位置有五種排列方法，不妨假設(shè)排上的是金，則第二步只能

從土與水兩者中選一種排放，故有兩種選擇不妨假設(shè)排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只

能排上土，故總的排列方法種數(shù)有5x2xlxlxl=l.

考點(diǎn)：排歹!J、組合及簡單計(jì)數(shù)問題.

點(diǎn)評(píng)：本題考查排列排列組合及簡單計(jì)數(shù)問題，解答本題關(guān)鍵是理解題設(shè)中的限制條件及“五行”學(xué)說的背景，利用分

步原理正確計(jì)數(shù)，本題較抽象，計(jì)數(shù)時(shí)要考慮周詳.

【解析】

化簡函數(shù)，求出〃龍)在［0,?］上的單調(diào)遞增區(qū)間，然后根據(jù)〃尤)在0,-和［3m,村上均單調(diào)遞增，列出不等式求

解即可.

【詳解】

由/(x)=sin2x+cos2x=A/2sin(2x+工)知，

4

當(dāng)xe［0,句時(shí)，/(x)在［0,g］和苧，乃上單調(diào)遞增，

8X_

/(%)在0,—和［3%句上均單調(diào)遞增,

m〈兀

,萬一百

.5n'

3m>——

[8

5%—71

——<m<一,

244

5%n

m的取值范圍為:

24

5萬n

故答案為:

24*7,

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列出關(guān)于機(jī)的方程組，屬中檔題.

15、-1

【解析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答

案.

【詳解】

由圖可得，當(dāng)直線y=2x+z過點(diǎn)3時(shí)，直線在y軸上的截距最大，

x+y=2（x=l/、

由'得，即6（1,1）,貝！|z有最大值z=1—2=—1,

[y=i

故答案為-1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”:

（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的

目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.

1

16、——

4

【解析】

根據(jù)程序框圖得到程序功能，結(jié)合分段函數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】

log,（2%+1）,^<0

解：程序的功能是計(jì)算y=卜,

2,x>Q

若輸出的實(shí)數(shù)y的值為-i,

則當(dāng)尤<0時(shí)，由1。82（2%+1）=—1得了=-；,

當(dāng)%>0時(shí)，由2%=—1，此時(shí)無解.

故答案為：4

【點(diǎn)睛】

本題主要考查程序框圖的識(shí)別和判斷，理解程序功能是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

2

17、(1)匕+無2=1(2)是定值，詳見解析

4

【解析】

a=2

(1)根據(jù)長軸長為4,離心率e=@,則有，￡=g求解.

2a2

a2-b2=c2

(2)設(shè)P(毛,%)(%>0,%>0)，則4/2+為2=4,直線%x-i),令尤=0得，y”=—?jiǎng)t

%-1

\BM\=\2-yM\,直線尸3:1=止2%+2,令y=0,得/=二^,貝?。輡⑷V|=卜赤|，再根據(jù)

X2%_2

S"MN—~(SAM42V~^^PAN)—(^ABAN~^APAN)=^AMAN—^^BAN求解?

【詳解】

a=2

c_A/3

(1)依題意得

a2

a2-b2=c2

a=2

解得

b=l

2

則橢圓C的方程乙+爐=1.

4

(2)設(shè)>0,%>0),則4/2+為2=4,

直線PA：y=%

5—1

令X=0得，坨=-^7,

%—1

貝!|忸M=|2_%|=2+3

%0—1

直線P5:y=如二x+2,

令y=0,得樂=-，

%-2

則=—4=1+&|,

一^APMN-^APAB=(S^MW-^APAN)—(^ABAN~^APAN)=^AMAN~~^ABAN

=-\AN\-\BM\=-2+^-1+^^=2.

22x()—1%-21

【點(diǎn)睛】

本題主要考查橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系，還考查了平面幾何知識(shí)和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

18、見解析

【解析】

(1)由題可得X的所有可能取值為3,4,5,6,

11212

且尸(X=3)=(-)3=—,P(X=4)=C^X-X(-)2=-,

P(X=5)=C；x(|)2x|=|,尸(X=6)=(|)3=:，

所以X的分布列為

X3456

1248

P

279927

1o4R

所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=3x萬+4乂§+5、+6*藥=5.

192

(2)由題可得《+2=］與+1+§C，所以匕+2-匕+1=-§(匕+1-5)，

又＜=1葭￡=；?+少1=7?所以七一￡=4占0,

42

所以｛EM-月｝是以§為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.

(3)由(2)可得%=(%—%)+(%-舄7)++(￡-《)+6

^x[l-(-1)98]

134

H--=---------x

i+23515

3

V31,

19、(1)(2)—,1

2

【解析】

(1)根據(jù)。=1,得到函數(shù)/Xxhsinx+cosa+J),然后，直接求解的值;

O

rr

(2)首先，化簡函數(shù)/(x)=sin(Gx+]),然后，結(jié)合周期公式，得到。=2,再結(jié)合工￡0,,及正弦函數(shù)的性

質(zhì)解答即可.

【詳解】

71

(1)因?yàn)椤?1,所以/Cx)=sinx+cosX+—

7171TC_V3

——l-COS—+—

336一2

(2)因?yàn)?(x)=sincox+cosa)x+—

I6

.兀.

sincox+coscoxcos---sincoxsi.n—71

66

22

=sin

Icox+—3

即/(x)=sin[ox+g

2〃

因?yàn)門=——=兀，所以G=2

CD

所以/(x)=sin新+g

冗

因?yàn)閄Ct

~,c717n1357萬T

所以2%+不￡—

336

所以當(dāng)x=0時(shí)，f(x)力.當(dāng)》=工時(shí)，/3=1(最大值)

212

77]

當(dāng)％=:時(shí)，/(%)=-

42

77"JTJT

/(X)在0,—是增函數(shù)，在—是減函數(shù).

12124

???/(x)的值域是1,1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了簡單角的三角函數(shù)值的求解方法，兩角和與差的正弦、余弦公式，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，考

查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

22_

20、(1)?+1_=1(y/O).(2)四邊形的面積是定值，其定值為

【解析】

⑴根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)證得|C4|+|CB|=4>MM，由此判斷出C點(diǎn)的軌跡為橢圓，并由此求得曲線G的方程.

(2)將直線/的斜率分成不存在或存在兩種情況，求出平行四邊形QWZW的面積，兩種情況下四邊形QWDN的面

積都為甚,由此證得四邊形OMDN的面積為定值.

【詳解】

(1)因?yàn)閳A后為小ABC的內(nèi)切圓，所以|C4|+|CB|=|CP|+|CQ|+|B1|+|QB|=2|CP|+|AK|+|5R|=2|CP|+|45|=4>|AB|

所以點(diǎn)C的軌跡為以點(diǎn)A和點(diǎn)3為焦點(diǎn)的橢圓(點(diǎn)。不在*軸上)，

所以c=yp2,a=2,b=,

22

所以曲線G的方程為L+2L=I(y^O),

42

(2)因?yàn)镼M+QN=8,故四邊形QWZW為平行四邊形.

當(dāng)直線I的斜率不存在時(shí)，則四邊形QWDN為為菱形，

故直線MN的方程為x=-1或x=l,

此時(shí)可求得四邊形OMDN的面積為痛.

當(dāng)直線I的斜率存在時(shí)，設(shè)直線I方程是y=kx+m,

代入到—+—=1^(l+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0,

42

-4km2m2-4

/.X1+X2=-----------三,X1X2=——2左24=8(4幺+2-zw2)>0,

l+2k2

.,.yi+y2=k(xi+X2)+2m=心?,\MN\=71+A:2x2aE+2-/

J.十乙K1+2左2

點(diǎn)o到直線MN的距離d=~r=,

J1+左2

—A/fYj

由。M+ON=8,得知=?”,=--7T，

1+2左-\+2k~

?.?點(diǎn)O在曲線C上,所以將D點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得l+2k2=2m2,

由題意四邊形OM0V為平行四邊形,

2虎義，4左2+2—刃22^2|m|14k2+2-療

OMDN的面積為S=Jl+rx

1+2公1+2公

由l+2k2=2m2得S=,

故四邊形OMDN的面積是定值，其定值為#.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查用定義法求軌跡方程，考查橢圓中四邊形面積的計(jì)算，考查橢圓中的定值問題，考查運(yùn)算求解能力，

屬于中檔題.

21、(1)證明見解析；(