上海市華東師大一附中2024年高三二診模擬考試數學試卷含解析

上海市華東師大一附中2024年高三二診模擬考試數學試卷

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設命題函數/（x）=e*+0-*在7?上遞增，命題4：在AABC中，A>3ocosA<cos瓦下列為真命題的是（）

A.P^QB.pv(—i^)C.(^77)AqD.(可)A(—

0?

2.設復數"—1,則團=()

1+3z

A1B④

C.-D.—

3322

3.已知三點A（l,0）,B（0,73）,C（2,6），則△A3C外接圓的圓心到原點的距離為（）

5721

A.-rR).----

33

2后4

Lr?-----D.-

33

4.下列說法正確的是（）

A.命題7/<0,2/Wsinx。”的否定形式是"Vx>0,2x>sinxM

B.若平面C,0,y,滿足則。〃尸

C.隨機變量J服從正態(tài)分布N（l,cr2）（。>0）,若P（0<J<l）=0.4,則尸修>0）=0.8

D.設x是實數，“x<0”是“工<1”的充分不必要條件

X

5.已知函數/（x）=Asin（a?x+0（4>0,。>0,［同<］）的部分圖象如圖所示，且/（。+九）+/（。一%）=0,貝U同

的最小值為（）

y

兀兀

A.B.

12~6

715TI

C.D.

~312

6.已知函數/(x)=Jl；g2：l，A：°方程/(%)-a=0有四個不同的根，記最大的根的所有取值為集合。，貝!)“函

x2+2x+2,x<0

數/(%)=/(%)—履("￡>)有兩個零點”是“左〉L，的().

2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.若|Q4|=1,|O5|=百，OAOB^O,點C在A3上，且NAOC=30°，設OC="2。4+〃。8(根,"eH),

rrj

則一的值為（）

n

A.-B.3C.—D.6

33

8.某程序框圖如圖所示，若輸出的S=120,則判斷框內為()

開始

A.k>7?B.左>6?C.左>5?D.k>4?

9.為了進一步提升駕駛人交通安全文明意識，駕考新規(guī)要求駕校學員必須到街道路口執(zhí)勤站崗，協助交警勸導交通.

現有甲、乙等5名駕校學員按要求分配到三個不同的路口站崗，每個路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案

共有()

A.12種B.24種C.36種D.48種

10.中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數”合稱“六藝”.“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是

體育和勞動；“書”，指各種歷史文化知識；“數”，數學.某校國學社團開展“六藝”課程講座活動，每藝安排一節(jié)，連排

六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“樂”不排在第一節(jié)，“射”和“御”兩門課程不相鄰，貝!1“六藝”課程講座不同的排

課順序共有()種.

A.408B.120C.156D.240

11.若函數〃x)=2sin(x+26?)-cosx(0<^<|)的圖象過點(0,2),則()

A.函數y=/(x)的值域是［0,2］B.點］是y=/(x)的一個對稱中心

C.函數y=/(x)的最小正周期是2萬D.直線x=?是y=/(x)的一條對稱軸

12.已知定義在R上的偶函數Ax)滿足〃x+2)=f(一尤)，且在區(qū)間［1,2］上是減函數，令

1

a=ln2］=1；|2,c=log］2,則的大小關系為()

A./(a)</(/?)</(c)B./(a)</(c)</(Zj)

C./(&)</(a)</(c)D./(c)</(a)</(Z?)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.古代“五行”學認為：“物質分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”將五

種不同屬性的物質任意排成一列，但排列中屬性相克的兩種物質不相鄰，則這樣的排列方法有種.(用數字作

答)

rrj

14.若函數f(x)=sin2x+cos2x在［0,萬］和［3加㈤上均單調遞增，則實數機的取值范圍為.

x<3

15.若滿足x+yN2,則目標函數z=y—2x的最大值為.

y<x

16.如圖是一個算法流程圖，若輸出的實數y的值為-I,則輸入的實數X的值為.

/輸出y/

［結束］

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知橢圓。斗+今=1(?！?力〉0)的長軸長為4,離心率e=￥

(1)求橢圓。的方程；

(2)設A,3分別為橢圓與x軸正半軸和y軸正半軸的交點，P是橢圓C上在第一象限的一點，直線K4與V軸交于

點"，直線9與x軸交于點N,問APMN與AB鉆面積之差是否為定值？說明理由.

18.(12分)某景點上山共有999級臺階，寓意長長久久.甲上臺階時，可以一步走一個臺階，也可以一步走兩個臺階,

1?

若甲每步上一個臺階的概率為-，每步上兩個臺階的概率為彳.為了簡便描述問題，我們約定，甲從0級臺階開始向

上走，一步走一個臺階記1分，一步走兩個臺階記2分，記甲登上第〃個臺階的概率為匕，其中“wN*，且“<998.

(1)若甲走3步時所得分數為X,求X的分布列和數學期望；

(2)證明：數列｛月由一片｝是等比數列；

(3)求甲在登山過程中，恰好登上第99級臺階的概率.

19.(12分)已知函數/(x)=sinox+cos[ox+Wj,其中xeR,a?>0.

(1)當o=l時，求/的值；

jr

(2)當/(元)的最小正周期為萬時，求/Xx)在0,-上的值域.

_4_

20.(12分)已知△ABC的兩個頂點A,B的坐標分別為(—0,0),(72,0),01E是4ABC的內切圓，在邊上的

切點分別為P,Q,R,\CP\=2-y/2，動點C的軌跡為曲線G.

(1)求曲線G的方程；

(2)設直線/與曲線G交于M,N兩點，點O在曲線G上,。是坐標原點OM+ON=OD，判斷四邊形OMDN的面積是

否為定值?若為定值,求出該定值;如果不是,請說明理由.

21.(12分)已知數列｛%｝,其前“項和為S“，若對于任意加，“eN*,且加。“，都有一^二5+4+冊—4.

m+nm-n

(1)求證：數列｛a,J是等差數列

(2)若數列匕｝滿足c〃=%+i%+2—a；("eN*),且等差數列｛4｝的公差為g,存在正整數，q,使得4+%,求

同的最小值.

22.(10分)已知〃力=卜+1|+卜+3].

(1)解不等式/'(x)<6；

(2)若a,4c均為正數，且〃a)+/0)+c=lO,求/+c?的最小值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】

命題函數/(%)="+"'在(-8,0)上單調遞減，即可判斷出真假.命題好在AABC中，利用余弦函數單調性

判斷出真假.

【詳解】

解：命題P：函數/(x)=e'+er,所以/'(尤)=產—H'，當x<0時，尸(%)<0,即函數在(一9。)上單調遞減，

因此是假命題.

命題4：在AABC中，A6e(O,；T),y=cosx在(0,不)上單調遞減，所以A>BocosA<cosB,是真命題.

則下列命題為真命題的是(力)Aq.

故選：C.

【點睛】

本題考查了函數的單調性、正弦定理、三角形邊角大小關系、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬

于基礎題.

2、D

【解析】

先用復數的除法運算將復數Z化簡,然后用模長公式求Z模長.

【詳解】

初2-i(2-0(1-30--l-7z_1J_.

?，

1+3，(l+3z)(l-3z)101010

則比/總+［高嗡

L=也=也

0V22

故選：D.

【點睛】

本題考查復數的基本概念和基本運算,屬于基礎題.

3、B

【解析】

因為△月3。外接圓的圓心在直線的垂直平分線上，即直線工=1上

可設園心P（l,p）,由P4=P砥:|p|=,1+（p-問2,得p=竽

園心坐標為P（1,竽）

2

/12y/21

所以國心到原點的距離|OP|=</1+

33

選B.

考點：圓心坐標

4、D

【解析】

由特稱命題的否定是全稱命題可判斷選項A；a,,可能相交，可判斷B選項；利用正態(tài)分布的性質可判斷選項C；

,<1n%<0或x>1,利用集合間的包含關系可判斷選項D.

x

【詳解】

命題“三不<0,2/Wsinx?！钡姆穸ㄐ问绞恰癡xWO,2x>sinx”，故A錯誤；

2,則必分可能相交，故B錯誤；若尸（0<。<1）=0.4,則？（1<。<2）=0.4,所以

1-04-041

年<0）===0.1,故PC>0）=0.9,所以C錯誤；由一<1,得x<0或

2x

故“x<0”是“工<1”的充分不必要條件，D正確.

x

故選：D.

【點睛】

本題考查命題的真假判斷，涉及到特稱命題的否定、面面相關的命題、正態(tài)分布、充分條件與必要條件等，是一道容

易題.

5、A

【解析】

。是函數/（元）的零點，根據五點法求出圖中零點及y軸左邊第一個零點可得.

【詳解】

311TT7TTTTT

由題意7，7=萬，.?.函數/（x）在y軸右邊的第一個零點為一+—=——，在y軸左邊第一個零點是

41266412

71冗71

~6~7~~12f

.?.何的最小值是?

故選：A.

【點睛】

本題考查三角函數的周期性，考查函數的對稱性.函數/(%)=Asin(@r+9)的零點就是其圖象對稱中心的橫坐標.

6、A

【解析】

作出函數f(x)的圖象，得到D=(2,4],把函數F(x)=f(x)—kx(xeD)有零點轉化為y=kx與y=f(x)在(2,

4]上有交點，利用導數求出切線斜率，即可求得k的取值范圍，再根據充分、必要條件的定義即可判斷.

【詳解】

作出函數f(x)=]!咋24》>0的圖象如圖，

x+2%+2,%?0

由圖可知，D=(2,4],

函數F(x)=f(x)-kx(xcD)有2個零點，即f(x)=kx有兩個不同的根，

也就是丫=入與丫=**)在(2,4]上有2個交點，則k的最小值為g；

設過原點的直線與y=log2x的切點為(Xo,log2x0),斜率為——,

X.Q1H，

1

Ix/、

則切線方程為y-log2=—-X。)，

x0ln2

把(o,o)代入,可得一log,Xo=—J；,即x0=e,.?.切線斜率為工，

m2eln2

.?.k的取值范圍是

12eln2)

...函數F(x)=f(x)—kx(xeD)有兩個零點”是“k>!”的充分不必要條件，

故選A.

【點睛】

本題主要考查了函數零點的判定，考查數學轉化思想方法與數形結合的解題思想方法，訓練了利用導數研究過曲線上

某點處的切線方程，試題有一定的綜合性，屬于中檔題.

7,B

【解析】

利用向量的數量積運算即可算出.

【詳解】

解：NAOC=30°

cos<OC,OA>=

=V3

m2|OA|+ImnOA-OB+n2網畫2

|OA|=1,|OB|=A/3,OA.OB=0

m6

yjm2+3n22

2

二.m=9rT

又C在上

:.m>0,n>0

m

-二3

n

故選：B

【點睛】

本題主要考查了向量的基本運算的應用，向量的基本定理的應用及向量共線定理等知識的綜合應用.

8、C

【解析】

程序在運行過程中各變量值變化如下表:

KS是否繼續(xù)循環(huán)

循環(huán)前11

第一圈24是

第二圈311是

第三圈426是

第四圈557是

第五圈6120否

故退出循環(huán)的條件應為k>5?

本題選擇C選項.

點睛：使用循環(huán)結構尋數時，要明確數字的結構特征，決定循環(huán)的終止條件與數的結構特征的關系及循

環(huán)次數.尤其是統(tǒng)計數時，注意要統(tǒng)計的數的出現次數與循環(huán)次數的區(qū)別.

9、C

【解析】

先將甲、乙兩人看作一個整體，當作一個元素，再將這四個元素分成3個部分，每一個部分至少一個，再將這3部分

分配到3個不同的路口，根據分步計數原理可得選項.

【詳解】

把甲、乙兩名交警看作一個整體，5個人變成了4個元素，再把這4個元素分成3部分，每部分至少有1個人，共有C：

種方法，再把這3部分分到3個不同的路口，有種方法，由分步計數原理，共有?禺=36種方案。

故選：C.

【點睛】

本題主要考查排列與組合，常常運用捆綁法，插空法，先分組后分配等一些基本思想和方法解決問題，屬于中檔題.

10、A

【解析】

利用間接法求解，首先對6門課程全排列，減去“樂”排在第一節(jié)的情況，再減去“射”和“御”兩門課程相鄰的情況，最

后還需加上“樂”排在第一節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰的情況；

【詳解】

解：根據題意，首先不做任何考慮直接全排列則有震=720（種），

當“樂”排在第一節(jié)有團=120（種），

當“射”和“御”兩門課程相鄰時有尺6=240（種），

當“樂”排在第一節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰時有用/=48（種），

則滿足“樂”不排在第一節(jié)，“射”和“御”兩門課程不相鄰的排法有720-120-240+48=408（種），

故選：A.

【點睛】

本題考查排列、組合的應用，注意“樂”的排列對“射”和“御”兩門課程相鄰的影響，屬于中檔題.

11、A

【解析】

根據函數/（九）的圖像過點（0,2）,求出凡可得/（x）=cos2x+l,再利用余弦函數的圖像與性質，得出結論.

【詳解】

由函數〃x）=2sin（x+2e>cosx（0<^<|）的圖象過點（0,2）,

可得2sin26=2,即sin28=1,

/.20=-0=-

2499

故〃%）=2sin（%+2，）?cosx=2cos2x=cos2x+l,

對于A,由—1VCOS2XV1,則0K/（x）<2,故A正確；

對于B,當x=?時，/^=1,故B錯誤；

對于C,T=U=/，故C錯誤；

對于D,當X=￡時，/^=1,故D錯誤；

故選：A

【點睛】

本題主要考查了二倍角的余弦公式、三角函數的圖像與性質，需熟記性質與公式，屬于基礎題.

12、C

【解析】

可設尤e［0,1］,根據/\尤)在R上為偶函數及了(％+2)=/(一x)便可得到：/(x)=/(-x)=/(-%+2),可設七,

x2e［0,l］,且不<々，根據Ax)在［1,2］上是減函數便可得出/&)</(%),從而得出Ax)在［0』上單調遞增，再

根據對數的運算得到。、b、。的大小關系，從而得到〃a)J0)J(c)的大小關系.

【詳解】

c=log2=-1

解：因為lnl<ln2<lne,即又=1

2

設%根據條件，f(x)=/(-%)=/(-%+2),-x+2e[l,2]；

若再，馬e[0,l],且玉vx?9則：—玉+2>—x?+2；

/(x)在［1,2］上是減函數;

.?J(f+2)</(-%+2)；

</(%);

???/⑴在［0』上是增函數；

所以〃。)="2)=〃0),/(c)=/(-l)=/(l)

/(^)</(?)</(<1)

故選:C

【點睛】

考查偶函數的定義，減函數及增函數的定義，根據單調性定義判斷一個函數單調性的方法和過程：設玉</，通過條

件比較/(占)與/(々)，函數的單調性的應用，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1.

【解析】

試題分析：由題意，可看作五個位置排列五種事物，第一位置有五種排列方法，不妨假設排上的是金，則第二步只能

從土與水兩者中選一種排放，故有兩種選擇不妨假設排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只

能排上土，故總的排列方法種數有5x2xlxlxl=l.

考點：排歹!J、組合及簡單計數問題.

點評：本題考查排列排列組合及簡單計數問題，解答本題關鍵是理解題設中的限制條件及“五行”學說的背景，利用分

步原理正確計數，本題較抽象，計數時要考慮周詳.

【解析】

化簡函數，求出〃龍)在［0,?］上的單調遞增區(qū)間，然后根據〃尤)在0,-和［3m,村上均單調遞增，列出不等式求

解即可.

【詳解】

由/(x)=sin2x+cos2x=A/2sin(2x+工)知，

4

當xe［0,句時，/(x)在［0,g］和苧，乃上單調遞增，

8X_

/(%)在0,—和［3%句上均單調遞增,

m〈兀

,萬一百

.5n'

3m>——

[8

5%—71

——<m<一,

244

5%n

m的取值范圍為:

24

5萬n

故答案為:

24*7,

【點睛】

本題主要考查了三角函數的圖象與性質，關鍵是根據函數的單調性列出關于機的方程組，屬中檔題.

15、-1

【解析】

由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數得答

案.

【詳解】

由圖可得，當直線y=2x+z過點3時，直線在y軸上的截距最大，

x+y=2（x=l/、

由'得，即6（1,1）,貝！|z有最大值z=1—2=—1,

[y=i

故答案為-1.

【點睛】

本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標函數的最值，屬簡單題.求目標函數最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”:

（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標函數對應的最優(yōu)解對應點（在可行域內平移變形后的

目標函數，最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標代入目標函數求出最值.

1

16、——

4

【解析】

根據程序框圖得到程序功能，結合分段函數進行計算即可.

【詳解】

log,（2%+1）,^<0

解：程序的功能是計算y=卜,

2,x>Q

若輸出的實數y的值為-i,

則當尤<0時，由1。82（2%+1）=—1得了=-；,

當%>0時，由2%=—1，此時無解.

故答案為：4

【點睛】

本題主要考查程序框圖的識別和判斷，理解程序功能是解決本題的關鍵，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

2

17、(1)匕+無2=1(2)是定值，詳見解析

4

【解析】

a=2

(1)根據長軸長為4,離心率e=@,則有，￡=g求解.

2a2

a2-b2=c2

(2)設P(毛,%)(%>0,%>0)，則4/2+為2=4,直線%x-i),令尤=0得，y”=—則

%-1

\BM\=\2-yM\,直線尸3:1=止2%+2,令y=0,得/=二^,貝?。輡⑷V|=卜赤|，再根據

X2%_2

S"MN—~(SAM42V~^^PAN)—(^ABAN~^APAN)=^AMAN—^^BAN求解?

【詳解】

a=2

c_A/3

(1)依題意得

a2

a2-b2=c2

a=2

解得

b=l

2

則橢圓C的方程乙+爐=1.

4

(2)設>0,%>0),則4/2+為2=4,

直線PA：y=%

5—1

令X=0得，坨=-^7,

%—1

貝!|忸M=|2_%|=2+3

%0—1

直線P5:y=如二x+2,

令y=0,得樂=-，

%-2

則=—4=1+&|,

一^APMN-^APAB=(S^MW-^APAN)—(^ABAN~^APAN)=^AMAN~~^ABAN

=-\AN\-\BM\=-2+^-1+^^=2.

22x()—1%-21

【點睛】

本題主要考查橢圓的方程及直線與橢圓的位置關系，還考查了平面幾何知識和運算求解的能力，屬于中檔題.

18、見解析

【解析】

(1)由題可得X的所有可能取值為3,4,5,6,

11212

且尸(X=3)=(-)3=—,P(X=4)=C^X-X(-)2=-,

P(X=5)=C；x(|)2x|=|,尸(X=6)=(|)3=:，

所以X的分布列為

X3456

1248

P

279927

1o4R

所以X的數學期望E(X)=3x萬+4乂§+5、+6*藥=5.

192

(2)由題可得《+2=］與+1+§C，所以匕+2-匕+1=-§(匕+1-5)，

又＜=1葭￡=；?+少1=7?所以七一￡=4占0,

42

所以｛EM-月｝是以§為首項，為公比的等比數列.

(3)由(2)可得%=(%—%)+(%-舄7)++(￡-《)+6

^x[l-(-1)98]

134

H--=---------x

i+23515

3

V31,

19、(1)(2)—,1

2

【解析】

(1)根據。=1,得到函數/Xxhsinx+cosa+J),然后，直接求解的值;

O

rr

(2)首先，化簡函數/(x)=sin(Gx+]),然后，結合周期公式，得到。=2,再結合工￡0,,及正弦函數的性

質解答即可.

【詳解】

71

(1)因為。=1,所以/Cx)=sinx+cosX+—

7171TC_V3

——l-COS—+—

336一2

(2)因為/(x)=sincox+cosa)x+—

I6

.兀.

sincox+coscoxcos---sincoxsi.n—71

66

22

=sin

Icox+—3

即/(x)=sin[ox+g

2〃

因為T=——=兀，所以G=2

CD

所以/(x)=sin新+g

冗

因為XCt

~,c717n1357萬T

所以2%+不￡—

336

所以當x=0時，f(x)力.當》=工時，/3=1(最大值)

212

77]

當％=:時，/(%)=-

42

77"JTJT

/(X)在0,—是增函數，在—是減函數.

12124

???/(x)的值域是1,1.

【點睛】

本題主要考查了簡單角的三角函數值的求解方法，兩角和與差的正弦、余弦公式，三角函數的圖象與性質等知識，考

查了運算求解能力，屬于中檔題.

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20、(1)?+1_=1(y/O).(2)四邊形的面積是定值，其定值為

【解析】

⑴根據三角形內切圓的性質證得|C4|+|CB|=4>MM，由此判斷出C點的軌跡為橢圓，并由此求得曲線G的方程.

(2)將直線/的斜率分成不存在或存在兩種情況，求出平行四邊形QWZW的面積，兩種情況下四邊形QWDN的面

積都為甚,由此證得四邊形OMDN的面積為定值.

【詳解】

(1)因為圓后為小ABC的內切圓，所以|C4|+|CB|=|CP|+|CQ|+|B1|+|QB|=2|CP|+|AK|+|5R|=2|CP|+|45|=4>|AB|

所以點C的軌跡為以點A和點3為焦點的橢圓(點。不在*軸上)，

所以c=yp2,a=2,b=,

22

所以曲線G的方程為L+2L=I(y^O),

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(2)因為QM+QN=8,故四邊形QWZW為平行四邊形.

當直線I的斜率不存在時，則四邊形QWDN為為菱形，

故直線MN的方程為x=-1或x=l,

此時可求得四邊形OMDN的面積為痛.

當直線I的斜率存在時，設直線I方程是y=kx+m,

代入到—+—=1^(l+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0,

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-4km2m2-4

/.X1+X2=-----------三,X1X2=——2左24=8(4幺+2-zw2)>0,

l+2k2

.,.yi+y2=k(xi+X2)+2m=心?,\MN\=71+A:2x2aE+2-/

J.十乙K1+2左2

點o到直線MN的距離d=~r=,

J1+左2

—A/fYj

由。M+ON=8,得知=?”,=--7T，

1+2左-\+2k~

?.?點O在曲線C上,所以將D點坐標代入橢圓方程得l+2k2=2m2,

由題意四邊形OM0V為平行四邊形,

2虎義，4左2+2—刃22^2|m|14k2+2-療

OMDN的面積為S=Jl+rx

1+2公1+2公

由l+2k2=2m2得S=,

故四邊形OMDN的面積是定值，其定值為#.

【點睛】

本小題主要考查用定義法求軌跡方程，考查橢圓中四邊形面積的計算，考查橢圓中的定值問題，考查運算求解能力，

屬于中檔題.

21、(1)證明見解析；(