內(nèi)蒙古阿拉善2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

內(nèi)蒙古阿拉善2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.某歌手大賽進(jìn)行電視直播，比賽現(xiàn)場(chǎng)有6名特約嘉賓給每位參賽選手評(píng)分，場(chǎng)內(nèi)外的觀眾可以通過網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)給每位

參賽選手評(píng)分.某選手參加比賽后，現(xiàn)場(chǎng)嘉賓的評(píng)分情況如下表，場(chǎng)內(nèi)外共有數(shù)萬名觀眾參與了評(píng)分，組織方將觀眾評(píng)

分按照[70,80）,[80,90）,[90,100]分組，繪成頻率分布直方圖如下：

嘉賓ABCDEF

評(píng)分969596899798

嘉賓評(píng)分的平均數(shù)為1,場(chǎng)內(nèi)外的觀眾評(píng)分的平均數(shù)為兀，所有嘉賓與場(chǎng)內(nèi)外的觀眾評(píng)分的平均數(shù)為最，則下列選項(xiàng)

正確的是（）

A..-x=—X.——+-B?.x->—X——,+-C.x-<—X——.+-Dn?x—>—>x->X,——+

2222

2.已知/為拋物線V=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線上，且刊=5,過點(diǎn)口的動(dòng)直線/與拋物線瓦。交于兩點(diǎn)，。為

坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為〃.給出下列四個(gè)命題：

①在拋物線上滿足條件的點(diǎn)A僅有一個(gè)；

②若P是拋物線準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn)，則+的最小值為2而；

③無論過點(diǎn)尸的直線/在什么位置，總有=

④若點(diǎn)C在拋物線準(zhǔn)線上的射影為。，則三點(diǎn)3、O、。在同一條直線上.

其中所有正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

3.已知將函數(shù)/。）=411（8+"）（0<?<6,-^<夕<、）的圖象向右平移g個(gè)單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖

IT

象，若/'（X）和g（x）的圖象都關(guān)于x=—對(duì)稱，則0的值為（）

4

3

A.2B.3C.4D.-

2

4.函數(shù)y=sin|x|+尤在xe[—2區(qū)2句上的大致圖象是（）

5.若不等式必+依+120對(duì)于一切x,O，:恒成立，則。的最小值是()

5c

A.0B.-2C.——D.-3

2

6.已知集合A={xH<x<2},B={x|x>l},貝!JAU5=

A.(-1,1)B.(1,2)C.(-1,+oo)D.(1,+oo)

7.已知等差數(shù)列{4}的前"項(xiàng)和為S〃，且。4=-3,兀=24,若%+%=0(/,jeN*,且貝1的取

值集合是()

A.{1,2,3}B.{6,7,8}C.{1,2,3,4,5}D.{6,7,8,9,10)

8.函數(shù)y=tan—光的部分圖象如圖所示，貝）（OA+OB^AB=（）

A.6B.5C.4D.3

X

9.已知集合4={X|1<〃,"尺},B={X\2<16}9若AB,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

A.0B.RC.(rc,4]D.(—8,4)

10.在ABC中，BD=gDC,則第=()

1321-

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

4433

C.-AB+-ACD.-AB--AC

3333

11.已知448(7中，忸。|=2,54-3。=—2.點(diǎn)尸為3c邊上的動(dòng)點(diǎn)，則PC-(PA+PB+PC)的最小值為()

325

A.2B.-----C.—2D.------

412

12.設(shè)函數(shù)g(x)的定義域都為R,且/(%)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

A.(%)是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)

C.是奇函數(shù)D.是奇函數(shù)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖所示，平面BCGB1L平面ABC,ZABC=120°,四邊形BCC1B1為正方形，且AB=BC=2,則異面直線BG

與AC所成角的余弦值為

14.曲線y=er，+2在點(diǎn)(0,3)處的切線方程為.

15.《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓，如圖是易經(jīng)八卦(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦)，每一卦由三根

線組成(“一,”表示一根陽線，”■,”表示一根陰線)，從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有兩根陽線，四根

陰線的概率為.

f7

》坎;l;水

地

16.某校共有師生1600人，其中教師有1000人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個(gè)容量為80的樣本，則

抽取學(xué)生的人數(shù)為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

l+cosa

x=

1-costz

17.(12分)在直角坐標(biāo)系中，曲線G的參數(shù)方程為，(e為參數(shù)).以。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極

2sin(z

y=

1-coscu

軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為。=%(46(。,兀))，將曲線4向左平移2個(gè)單位長度得到曲線C.

(1)求曲線C的普通方程和極坐標(biāo)方程；

11

(2)設(shè)直線/與曲線。交于A,3兩點(diǎn)，求網(wǎng)+西的取值范圍.

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=(x—a)加x(awR),它的導(dǎo)函數(shù)為/'(九).

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求/''(%)的零點(diǎn)；

(2)當(dāng)a=0時(shí)，證明：f(x)<ex+cosx-l.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=|x+l|-14-2x].

(1)求不等式/"(1)…;。一1)的解集；

21

(2)若函數(shù)/(%)的最大值為加，且2〃+b=m(〃>0/>。)，求一+—的最小值.

ab

x=sin。-3cos。一2

20.(12分)在直角坐標(biāo)系九0y中，曲線G的參數(shù)方程為八。.八(。為參數(shù))，坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸

y=cos，+3sin〃

正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。2的極坐標(biāo)方程為夕sin[6+彳)=-2.

(1)求曲線G的普通方程和曲線02的直角坐標(biāo)方程；

(2)若曲線G、C?交于A、B兩點(diǎn),。是曲線G上的動(dòng)點(diǎn)，求“BD面積的最大值.

21.(12分)如圖，設(shè)A是由〃x〃個(gè)實(shí)數(shù)組成的〃行"列的數(shù)表，其中砌①尸1,2,3,…，〃)表示位于第i行第，

列的實(shí)數(shù)，且劭e{1,-1}.記s(",")為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合.對(duì)于A?“，n),記n⑷為A的第i行各數(shù)之積,

nn

Cj(A)為A的第/列各數(shù)之積.令/(A)=ZMA)+Zq(A)

*1J=I

anan???din

tt21“22。2n

????????????

aniani???Clnn

(I)請(qǐng)寫出一個(gè)AeS(4,4),使得44)=0；

(II)是否存在Ae5(%9),使得44)=0?說明理由；

(in)給定正整數(shù)〃，對(duì)于所有的AeS(〃，〃)，求/(A)的取值集合.

_1,

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=ln---<xr+x(aN0).

2%

(1)討論函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

/(XJ+/(x)3,c

(2)若/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)占,超,證明,〔\2'>彳一m2.

JC]I'Xi?i"

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

計(jì)算出工、Z，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【詳解】

96+95+96+89+97+98

由表格中的數(shù)據(jù)可知，%=亡95.17,

6

由頻率分布直方圖可知，9=75x0.2+85x0.3+95x0.5=88,則(＞兀,

由于場(chǎng)外有數(shù)萬名觀眾，所以，兀＜7(號(hào)邃＜].

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查平均數(shù)的大小比較，涉及平均數(shù)公式以及頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2、C

【解析】

①：由拋物線的定義可知M同=。+1=5,從而可求A的坐標(biāo)；②：做A關(guān)于準(zhǔn)線x=-1的對(duì)稱點(diǎn)為A',通過分析

可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)|K4|+|PO|取最小值，由兩點(diǎn)間的距離公式，可求此時(shí)最小值|A'O|；③：設(shè)出直線/方程,

聯(lián)立直線與拋物線方程,結(jié)合韋達(dá)定理,可知焦點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而可求kMB+kMC=0,從而可判斷出ZOMB,ZOMC

的關(guān)系；④：計(jì)算直線。05的斜率之差，可得兩直線斜率相等，進(jìn)而可判斷三點(diǎn)5、。、。在同一條直線上.

【詳解】

解：對(duì)于①，設(shè)人(。力)，由拋物線的方程得尸。,0),貝!||AF|=a+l=5,故a=4,

所以4(4,4)或(4,T),所以滿足條件的點(diǎn)A有二個(gè)，故①不正確；

對(duì)于②，不妨設(shè)4(4,4),則A關(guān)于準(zhǔn)線X=—1的對(duì)稱點(diǎn)為4(—6,4),

^\PA\+\OP\=\PA'\+\OP\＞\A'O\=452=2y/13,

當(dāng)且僅當(dāng)4,尸,O三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，故②正確；

對(duì)于③，由題意知，M(-l,0),且/的斜率不為0,則設(shè)/方程為：x=my+l(m^0),

設(shè)/與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為5(%,%),C(%,%)，聯(lián)立直線與拋物線的方程為,

“，整理得/_4加y—4=0,則%+%=4根,=-4,所以

y~=4x

222

%]+x2=4m+2,xrx2=(my；+l)(my2+1)=-4m+4m+1=1

則%(七+訪

kMB+kMC=+%=%(%2+1)+1)=2%+2%+2—

%1+1X,+1(%1+l)(x2+1)Xx+X2+x1x2+1

2XA777-2^77X4

=—-------------=0.故M5MC的傾斜角互補(bǔ)，所以NOMB=NQWC,故③正確.

4m2+2+1+1

對(duì)于④，由題意知。(一1,%),由③知，%+%=4瓶,%%=-4

則kOB=&=—，400=_為，由*一*=一+%=---也々=0,

七％為%

知k°B=koD，即三點(diǎn)5、。、。在同一條直線上，故④正確.

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的定義，考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了拋物線的性質(zhì)，考查了直線方程，考查了兩點(diǎn)的

斜率公式.本題的難點(diǎn)在于第二個(gè)命題，結(jié)合初中的“飲馬問題”分析出何時(shí)取最小值.

3、B

【解析】

因?yàn)閷⒑瘮?shù)/(x)=sin(or+。)(0＜?＜6,—三＜(p吟)的圖象向右平移?個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象,

乙乙J

71\

可得g(%)=sin《％一()+0結(jié)合已知，即可求得答案.

=sina)x--a)+(p\9

【詳解】

將函數(shù)/(x)=sin(s+。)(0＜。＜6,〈工)的圖象向右平移《個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象

223

/.g(x)=sinx-^71\+(p=sin[a)x-^a)+(p\,

3

TT

又/⑺和g(x)的圖象都關(guān)于X=］對(duì)稱,

71,71

—0+（p=k、兀-\—

412

,由，（K，&GZ）,

兀冗JI

一8------0）+（0-k.7T+—

〔432

得§0=（左I一左,）7T,（K，&eZ）,

即0＞=3(勺一左2)(K，左2GZ),

又0＜。＜6,

-'?&）=3.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角函數(shù)圖象平移和根據(jù)圖象對(duì)稱求參數(shù)，解題關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)圖象平移的解法和正弦函數(shù)圖象

的特征，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4、D

【解析】

討論x的取值范圍，然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷.

【詳解】

當(dāng)xNO時(shí)，y=sinx+x,貝！）y'=cosx+120,

所以函數(shù)在［0,2句上單調(diào)遞增，

令g(x)=cosx+l,貝!Jg'(x)=—sinx,

根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，

當(dāng)xe［0,句時(shí)，g,(%)=-sin%<0,故切線的斜率變小，

當(dāng)尤?肛2句時(shí)，g'(x)=—sinx>0,故切線的斜率變大，可排除A、B；

當(dāng)％<。時(shí)，y=-sinx+x9貝?。輞'=—cosx+12。，

所以函數(shù)在［-2況0］上單調(diào)遞增，

令/z(x)=-cos%+l,//(x)=sinx,

當(dāng)X?-2萬,一句時(shí)，//(x)=sinx>0,故切線的斜率變大，

當(dāng)xw［-%,0］時(shí)，/z,(x)=sinx<0,故切線的斜率變小，可排除C,

故選:D

【點(diǎn)睛】

本題考查了識(shí)別函數(shù)的圖像，考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.

5,C

【解析】

試題分析：將參數(shù)a與變量x分離，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，即可得到結(jié)論.

解：不等式x?+ax+lK)對(duì)一切xC(O,工］成立，等價(jià)于aN-x」對(duì)于一切％e(0,《成立，

2xI2.

???y=-x-L在區(qū)間(0,g］上是增函數(shù)

x<2_

?

??—X—1S---1------9幺=—5

x22

a>-—

2

???a的最小值為-3故答案為C.

2

考點(diǎn)：不等式的應(yīng)用

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了不等式的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中

檔題

6、C

【解析】

根據(jù)并集的求法直接求出結(jié)果.

【詳解】

VA-{%|-1<x<2},B={%|>1},

**.AB=(—1,+oo),

故選C.

【點(diǎn)睛】

考查并集的求法，屬于基礎(chǔ)題.

7、C

【解析】

首先求出等差數(shù)列的首先和公差，然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足4+%=。的i的取值集合.

【詳解】

設(shè)公差為d,由題知為=-3=%+3d=-3,

Sd

l2=24=12alH----1—=24,

解得％=-9,[=2,

所以數(shù)列為-9,-7,-5,-3,-1,1,3,5,7,9,11,,

故於{123,4,5}.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解，屬于基礎(chǔ)題.

8、A

【解析】

根據(jù)正切函數(shù)的圖象求出A、5兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出結(jié)果.

【詳解】

(JI兀、JI

由圖象得，令y=tan[丁x—彳[=(),即一x----kn,k&Z

H2J42

4=0時(shí)解得x=2,

令〉=tan|7x—u1=1，即—x——=一，解得x=3，

142j424

.?.A(2,0),3(3,1),

/.OA=(2,0),05=(3,1),AB=(1,1),

.?.((9A+(9B)AB=(5,1).(1,1)=5+1=6.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查正切函數(shù)的圖象，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于綜合題，但是難度不大，解題關(guān)鍵是利用圖象與正切函數(shù)圖

象求出坐標(biāo)，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)果，屬于簡(jiǎn)單題.

9、D

【解析】

先化簡(jiǎn)3=卜|2'<16}="|尤<4},再根據(jù)A={x|xWa,aeA},且45求解.

【詳解】

因?yàn)?={x[2*＜16}={x|尤＜4},

又因?yàn)锳={x|xWa,awR},且AB,

所以。＜4.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合的基本運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

10、B

【解析】

在AB,AC上分別取點(diǎn)E、F，使得AE=2EB,AF=^FC,

21

可知AEZ加為平行四邊形，從而可得到AD=AE+AF=—A3+—AC,即可得到答案.

33

【詳解】

如下圖，BD=-DC,在上分別取點(diǎn)E、/，使得AE=2獨(dú),AF=LRC,

22

21

則AEDF為平行四邊形，故4。=4石+4尸=—45+—4。,故答案為B.

33

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，考查了學(xué)生邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

11、D

【解析】

以3c的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，可得5（—1,O）,C（1,O）,設(shè)P（a,O）,A（x,y）,運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示,

求得點(diǎn)A的軌跡，進(jìn)而得到關(guān)于“的二次函數(shù)，可得最小值.

【詳解】

以5c的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖的直角坐標(biāo)系，

可得6（—1,0）,C（L0）,設(shè)尸（a,0）,A（x,y）,

由54BC=—2,

可得(％+1,y),(2,0)=2x+2=-2,即x=-2,ywO,

貝!]PC.(JPA+PJB+PC)=(1-Q,0).(X-a-1-a+1-Q,y+0+0)

=(1_Q)(X—3Q)=—_2_3Q)—3Q2_a_2

當(dāng)。=，時(shí)，PC-(PA+P3+PC)的最小值為一生.

6''12

本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查轉(zhuǎn)化思想和二次函數(shù)的值域解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

12、C

【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：/(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，

f(-x)=-/(%),g(-x)=g(x),

f(-x).g(-x)=-f(x).g(x),故函數(shù)是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤，

If(-X)l，g(-X)=|/(x)|.g(x)為偶函數(shù)，故3錯(cuò)誤，

/(-x).ig(-x)i=-y(x).ig(x)?是奇函數(shù)，故c正確.

lf(-x).g(-x)Hf(x).g(x)l為偶函數(shù)，故。錯(cuò)誤，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、旦

4

【解析】

將AC平移到和8G相交的位置，解三角形求得線線角的余弦值.

【詳解】

過3作5D//AC,過C作CD//A6,畫出圖像如下圖所示，由于四邊形ABC。是平行四邊形，故5D//AC,所

以NG5D是所求線線角或其補(bǔ)角?在三角形3CQ中，忸GHCQkziBDMZG，故

8+12—8_76

cosNC、BD=

2x2行x

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查空間兩條直線所成角的余弦值的計(jì)算，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

14->5x+y—3=0.

【解析】

先利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，再寫出切線方程.

【詳解】

因?yàn)椋?=—5廣汽所以切線的斜率左=-5e0=-5,所以切線方程是：j—3=-5(x—0),即y=—5x+3.

故答案為y=-5x+3.

【點(diǎn)睛】

⑴本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的求導(dǎo)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)函數(shù)

y=于(x)在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)/'(%)是曲線y=/(幻在P(x0,/(不))處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程是

=—(尤一%)?

3

15、——

14

【解析】

觀察八卦中陰線和陽線的情況為3線全為陽線或全為陰線各一個(gè)，還有6個(gè)是1陰2陽和1陽2陰各3個(gè)。抽取的兩

卦中共2陽4陰的所有可能情況是一卦全陰、另一卦2陽1陰，或兩卦全是1陽2陰。

【詳解】

八卦中陰線和陽線的情況為3線全為陽線的一個(gè)，全為陰線的一個(gè)，1陰2陽的3個(gè)，1陽2陰的3個(gè)。抽取的兩卦中

共2陽4陰的所有可能情況是一卦全陰、另一卦2陽1陰，或兩卦全是1陽2陰。

63

.?.從8個(gè)卦中任取2圭卜，共有《0=28種可能，兩卦中共2陽4陰的情況有=6,所求概率為P=三=瓦。

3

故答案為：—o

14

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型，解題關(guān)鍵是確定基本事件的個(gè)數(shù)。本題不能受八卦影響，我們關(guān)心的是八卦中陰線和陽線的條數(shù),

這樣才能正確地確定基本事件的個(gè)數(shù)。

16、1

【解析】

直接根據(jù)分層抽樣的比例關(guān)系得到答案.

【詳解】

分層抽樣的抽取比例為黑=±，,抽取學(xué)生的人數(shù)為600x白=1.

16002020

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分層抽樣的計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)C的極坐標(biāo)方程為02sin26-4〃cos6-8=O,普通方程為9=4(x+2)；(2)4與

【解析】

2aCa

cos—2cos一

(1)根據(jù)三角函數(shù)恒等變換可得X=——2y=一六,可得曲線q的普通方程，再運(yùn)用圖像的平移得依題意

.2a

sin——sin

22

得曲線C的普通方程為，利用極坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)互化的公式可得方程;

(2)法一：將。=4代入曲線C的極坐標(biāo)方程得p2sin2q-40cosq-8=0,運(yùn)用韋達(dá)定理可得

二血+血=3"百，根據(jù)％80,兀)，可求得血+血的范圍;

x=tcos（p

法二:設(shè)直線/的參數(shù)方程為.（，為參數(shù)，。為直線的傾斜角），代入曲線。的普通方程得

y=tsm（p

11111

t2sin2夕一4/cos0一8=0運(yùn)用韋達(dá)定理可得，----1----=一l+sii?。，根據(jù)夕e（0,兀），可求得----+的范

|(9A|\OB\2|。4|

圍；

【詳解】

c2?2?..aaa

t,2cos—cos—4sin-cos—2cos一

2sin。

⑴工_l+cosa_______2=____2222

'I」cose2?2￡.a

2sinsin2s嗚sin—

222

a

4Acos2一

.../=----看=4x,即曲線C1的普通方程為/=4x,

sin2—

2

依題意得曲線C的普通方程為y2=4（X+2）,

令x=X?cos6,y=夕sin。得曲線C的極坐標(biāo)方程為p2sin2e-4pcos6-8=0；

（2）法一：將代入曲線C的極坐標(biāo)方程得p2sin2q-4Qcos4—8=0,則

4cos48

8十02=初,％2=一行,加2<°，”"2異號(hào)

4cos6>02+32

1+_J_J_J_=何1+。2)2-4夕|/?222

=+=ysin0Osin3Q=：Jl+sin2〃

OA8

\\\OB\|A||P2||AA|IAAI

sin24

向+血嗎亭

0QG(O,JL),「.sin%G(0,1],

X=rCOS69

法二:設(shè)直線/的參數(shù)方程為.（■為參數(shù)，9為直線的傾斜角），代入曲線。的普通方程得

y=tsm（p

t2sin2-4tcos^7-8=0,

4cos08

則4+%2=柱＜0,，4也異號(hào)

sin2(pg一品十

4cos夕232

1111K1-胃J(6+:)2-4%1Nsin2(psin2(p

畫十南丁^H8

sin?0

11Ayf21

(PG(0,7i),/.sincpG(0,1]+M25T]-

【點(diǎn)睛】

本題考查參數(shù)方程與普通方程，極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化，求解幾何量的取值范圍，關(guān)鍵在于明確

極坐標(biāo)系中極徑和極角的幾何含義，直線的參數(shù)方程，參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.

18、(1)見解析；(2)證明見解析.

【解析】

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/'(%),判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，計(jì)算/'。)=勿1+1—1=0即為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)；

⑵當(dāng)a=0時(shí)，分類討論x的范圍，可令新函數(shù)Mx)="+cosx—Rnx-l,計(jì)算新函數(shù)的最值可證明

/(x)<ex+cosx-1.

【詳解】

⑴〃九)的定義域?yàn)?。，+8)

當(dāng)a-1時(shí),/(x)=(x—1^lux>/，(x)=/nx+l—,

易知/(x)=/nx+l-l為(0,+s)上的增函數(shù)，

又/⑴=血1+1-1=0,

所以x=l是“X)的唯一零點(diǎn)；

(2)證明：當(dāng)a=0時(shí)，f(x}=xlnx,

①若0<xVI,貝!Ie"+cosx-l>0，xlwc<0

所以/(xjVe*+CQSX-1成立，

②若尤>1,+cosx-xlnx-\,貝！J〃(x)=e*,

令m(x)=h'(x),則加(x)=ex---cosx,

因?yàn)榫?gt;1,所以加(x)>e—1—1>0,

從而加(九)在(1,+s)上單調(diào)遞增，

所以m(x)>m(l)=e—sinl-1>0,

即小)=h'(x)X),力⑺在(L+oo)上單調(diào)遞增；

所以/z(x)>Ml)=e+cosl—1>0,即xlnx<ex+cosx-1>

故/(x)Ve*+cosx—\.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，單調(diào)性，零點(diǎn)的求法.注意分類討論和構(gòu)造新函數(shù)求函數(shù)的最值的應(yīng)用.

19、(1)[1,4](2)3

【解析】

x—5,x<—1,

(1)化簡(jiǎn)得到/(x)=<3x-3,-lM2,,分類解不等式得到答案.

—X+5,x>2.

(2)/(x)的最大值加=/(2)=3,2〃+人=3(〃>0/>。)，利用均值不等式計(jì)算得到答案.

【詳解】

x—5,%<—1,

(1)/(x)=|x+l|-|4-2x|=3X-3,-1M2,

-x+5,x>2.

X<—1,-M2,x>2,

因?yàn)?"(X)…g(xT)，故<

1

3x—3..(x—1)-x+5—(%-1),

解得度從2或2<%,4,故不等式/'(x)…g(x—1)的解集為[1,4].

(2)畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像可知/Xx)的最大值7〃=/(2)=3.

因?yàn)?。+匕=3(。>0,匕〉0),所以2+，」(2。+/2+工]=尸2+竺+5]-X(2X2+5)=3,

ab3yab)3\ba)3

當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?=l時(shí)，等號(hào)成立，故2+工的最小值是3.

ab

【點(diǎn)睛】

本題考查了解不等式，均值不等式求最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.

20、(1)q:(X+2)2+/=10,G：x+石y+4=0；(2)3(^0+1).

【解析】

(1)在曲線G的參數(shù)方程中消去參數(shù)凡可得出曲線Q的普通方程，將曲線的極坐標(biāo)方程變形為

0cos。+?sin，+4=0,進(jìn)而可得出曲線C2的直角坐標(biāo)方程;

(2)求出點(diǎn)。到直線A5的最大距離，以及直線C?截圓G所得弦長|A卻，利用三角形的面積公式可求得△ABD面

積的最大值.

【詳解】

x+2-sin。一3cos。

(1)由曲線G的參數(shù)方程得＜

y=cos8+3sin。

「.(x+2)2+丁=(sin3cos8)2+(cos?+3sine)2=io.

所以，曲線G的普通方程為(％+2)2+y2=io,

將曲線。2的極坐標(biāo)方程變形為pcose+6〃sine+4=0,

所以，曲線的直角坐標(biāo)方程為x+Gy+4=0；

(2)曲線是圓心為(一2,0),半徑為廠=可為圓,

2

圓心(一2,0)到直線x+百y+4=0的距離為d==1,

A/12+3

所以，點(diǎn)。到直線x+百y+4=0的最大距離為d+r=l+廝，|蝴=2〃-屋=6,

因此，AABD的面積為最大值為?(d+r)=gx6x(l+^^)=3(V10+1).

【點(diǎn)睛】

本題考查曲線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程之間的相互轉(zhuǎn)換，同時(shí)也考查了直線截圓所形成的三角形面積最值

的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

21、(I)答案見解析；(II)不存在，理由見解析;(III){2(n—2左)|左=0,1,2,…

【解析】

(I)可取第一行都為-1,其余的都取1,即滿足題意；

(II)用反證法證明：假設(shè)存在，得出矛盾，從而證明結(jié)論；

(III)通過分析正確得出/(A)的表達(dá)式，以及從Ao如何得到Ai,A2……，以此類推可得到心.

【詳解】

(I)答案不唯一，如圖所示數(shù)表符合要求.

-1-1-1-1

1111

1111

1111

(II)不存在Ae5(9,9),使得/(4)=0,證明如下:

假如存在AeS(9,9),使得1(A)=0.

因?yàn)槭瑼)e{l,—1},c.(A)e{l,-l}(z；j=1,2,3,...,9),

所以彳(A),々(A),馬(A),q(A),C2(A)....C9(A)這18個(gè)數(shù)中有9個(gè)1,9個(gè)-1.

令M=/J(A)-^(A)...^(A)-C1(A)-C2(A)...C9(A).

一方面，由于這18個(gè)數(shù)中有9個(gè)1,9個(gè)-1,從而"=(—1)9=—1①，

另一方面，/(A)"(A)…為(A)表示數(shù)表中所有元素之積(記這81個(gè)實(shí)數(shù)之積為加)；

。1(4＞。2(4%..09(4)也表示根，從而M=療=1②，

①，②相矛盾，從而不存在AeS(9,9),使得/(A)=0.

(Ill)記這“2個(gè)實(shí)數(shù)之積為

一方面,從“行”的角度看,有刀=6(A>G(A)…G(A)；

另一方面，從“歹!T的角度看，有p=q(A>C2(A)…c”(A)；

從而有彳(A)?&(A)…rn(A)=q(A)-c2(A)...cn(A)③，

注意到小A)e{1,-1},1(A)e{1,-1}(1<z<?,1<J<〃)，

下面考慮虱A),1A),下A),q(A),C2(A),g(A)中-1的個(gè)數(shù)，

由③知，上述2”個(gè)實(shí)數(shù)中，-1的個(gè)數(shù)一定為偶數(shù)，該偶數(shù)記為2左(0?左<〃)，則1的個(gè)數(shù)為2比24，

所以/(4)=(一1)*2左+1*(2"—2左)=2(〃一2左)，

對(duì)數(shù)表4：因=1(7,j=1,2,3,…，”),顯然/(4)=2”.

將數(shù)表4中的句由1變?yōu)?1,得到數(shù)表A，顯然(A)=2〃-4,

將數(shù)表A中的由1變?yōu)?1，得到數(shù)表4,顯然(&)=2〃—8,

依此類推，將數(shù)表Ai中的%*由1變?yōu)?1,得到數(shù)表4,

即數(shù)表4滿足：0n=/2=???=%"=T(1〈左〈“)，其余羯=1，

所以彳(A)=G(A)=...=a(A)=-1,q(A)=02(4)=...=c式A)=-1,

所以/(4)=2[(—l)x左+(〃一左)]=2”-43

由左的任意性知，/(A)的取值集合為{2(〃—2%)|左=0,1,2，…，刈.

【點(diǎn)睛】

本題為數(shù)列的創(chuàng)新應(yīng)用題，考查數(shù)學(xué)分析與思考能力及推理求解能力，解題關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)引入的概念與性質(zhì)

進(jìn)行推理求解，屬于較難題.

22、(1)見解析(2)見解析

【