寧夏銀川、昆明2024屆高三年級下冊3月聯(lián)合考試（一模）理科數(shù)學試卷（解析版）

機密★啟用前【考試時間：3月1日15:00—17:00]

銀川一中、昆明一中高三聯(lián)合考試一模

理科數(shù)學

命題人：銀川一中高三理科數(shù)學命題組審題人：昆明一中高三理科數(shù)學審題組

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼

在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.寫

在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿

紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

4.選考題的作答：先把所選題目的題號在答題卡上的指定的位置用2B鉛筆涂黑.答案寫在

答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

5.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

一一一“A=f—1,0,1）B=\x\x=mn,meA,HeA?—>入??=

1.已知集合I"I,I?,則集合2的真子集個數(shù)是（）.

A.4B.7C.8D.15

【答案】B

【解析】

【分析】先求出集合2,再求真子集個數(shù)即可.

【詳解】由題意得3={.尤=加"，S64,〃€4}={—1,0,1},

故集合B的真子集個數(shù)為23-1=7.

故選：B

x-2y+l>Q

2.已知實數(shù)x,y滿足卜+y—GO,則z=2x—y的最大值是（）.

x<2

5

A.5B.-C.0D.-1

2

【答案】A

【解析】

【分析】作出可行域，轉(zhuǎn)化為求截距最小值，利用幾何意義求解即可.

【詳解】若求z=2x-y的最大值，轉(zhuǎn)化為求y=2x-z截距的最小值,

作出可行域如圖

中弋/：x-2y+l=0

y=2xx=2

顯然y=2x—z過點B時截距最小，聯(lián)立方程組x+y—1=0,x=2,

解得x=2,y=-l,故3(2,—1),將3(2,—1)代入z=2x—y中，得z=5.

故選：A

3.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=a+歷(aeR,/?wR)對應(yīng)向量oz(。為坐標原點)，設(shè)|OZ|=r,以射線Ox為

始邊，OZ為終邊逆時針旋轉(zhuǎn)的角為氏則z=r(cos6+isin。)，法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)棣莫弗定理：

Z1=4(cosq+isinq),z2=(cos6^+isin幻，則穌=AiG[cos(a+2)+isin(a+e2)],由棣莫

弗定理導出了復(fù)數(shù)乘方公式：z"=[r(cose+isin8)J'=r"(coszze+isin〃。)，則復(fù)數(shù)(-1+J可所對

應(yīng)的點位于().

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】由題意公式代入求解即可.

2

【詳解】當z=—1+時，丫=2,0=—Tt,

故(一1+=210(cosy7i+sinym)=210(-1+^i)=-512+512臺.

顯然卜1+后『在第二象限.

故選:B

4.已知/,m,"是三條不同的直線，a,P，y是三個不同的平面，則下列命題中正確的為()

A.若///"z,a!I/3,I±a,則根

B.若///tz,a//13,貝M//〃

C.若。J_尸，。上y,則a///

D.若/J_zn,mLn,Iua,〃ua,則加J_。

【答案】A

【解析】

【分析】利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系判斷求解.

【詳解】解：I,m,w是三條不同的直線，a,",y是三個不同的平面，

對于A,若/〃m，a//，，ILa,則由線面垂直的性質(zhì)得小，尸，故A正確；

對于B,若Illa,alIp,貝必〃，或/u分，故B錯誤；

對于C,若。_L〃，01丫,則a與y平行或相交，故C錯誤；

對于D,若m±n,Iua,〃ua,則m與a平行、相交或mutz,故D錯誤.

故選：A.

5.設(shè)a,b為實數(shù),則0.3">0.3〃是log3工>log3」的（）.

ab

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性解不等式，得到解集，從而得到答案.

【詳解】0.3">0.3&，而>=0.3"在R上單調(diào)遞減，故a<b,

log3->log3-,而y=log3x在（0,+。）上單調(diào)遞增，

ab

故一〉一〉0,故0<a<Z?,

ab

故log3->log3-00.3°>0.3",但0.3°>0.3"/log3->log3

a'bab

故0.3">0.3"是log->logy的必要不充分條件.

3a3b

故選：B

2

6.已知雙曲線。］：/+乙=1（機70）與。2：/—丁2=2共焦點，則C1的漸近線方程為（）.

m

A.x±y=OB.yf2x+y=0C.x+y/3y=0D.y/3x+_y=0

【答案】D

【解析】

【分析】利用雙曲線的性質(zhì)計算即可.

22

【詳解】易知。2：必—=5=1,其焦點坐標為（±2,0）,

對于雙曲線G：/+匕=1（"-0）,可得772<0,其焦點坐標為（土J匚加0）,

故1一加=4nzn=—3,

2

此時G：_?—1_=1,則其漸近線方程為氐±y=0.

故選：D

7.一袋中有大小相同的3個白球和4個紅球，現(xiàn)從中任意取出3個球，記事件A:“3個球中至少有一個白

球”，事件3:“3個球中至少有一個紅球"，事件C:“3個球中有紅球也有白球”，下列結(jié)論不正確的

是（）

A.事件A與事件B不為互斥事件B.事件A與事件。不是相互獨立事件

C.P（C|A）=|yD.P（AC）>P（AB）

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，取出的3個球的可能情況為：3個紅球；1個紅球2個白球；2個紅球1個白球；3個

白球，進而依次分析事件A、事件8、事件C,及其概率，再討論各選項即可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，取出的3個球的可能情況為：3個紅球；1個紅球2個白球；2個紅球1個白球；3個

白球.

C331

故事件A包含：1個紅球2個白球；2個紅球1個白球；3個白球，且尸（A）=l-3=有；

C334

事件B包含：1個紅球2個白球；2個紅球1個白球；3個紅球，且。（8）=1--^=一；

C阻+C；C；_30_6

事件C包含：1個紅球2個白球；2個紅球1個白球，且尸(。)=

357

所以，P(幽=c；c；\c?=g,P(AC)=《C；+C?_6

C777

因為則事件A與事件8不為互斥事件，A選項正確;

C；C；+C?_6

")=--------=-7=尸(A)尸(C),故事件A與事件C不是相互獨立事件，B正確;

7

c；c-6=/卬)

P(AB)=,故D錯誤;

6

P(CA)=?善=者=當，故C正確;

35

故選：D.

8.已知角滿足sina=-；,cos(a+/?)sin/=；,則sin(a+2/7)的值為()

11115

A.——B.——C.—D.—

1241212

【答案】D

【解析】

【分析】由sin。=sin[(。+/)-/7],求得sin(a+6)cos6=：,結(jié)合sin(a+2尸)=sin[(a+夕)+切，代

入即可求解.

[詳解】由sin(/=sin[(?+/?)-/7]=sin(?+/7)cos13-cos((z+/7)sin/3,

可得sin(tz+0cos萬一；=一：,所以sin(a+0cosP=g，

sin(i+2/3)=sin[(a+/?)+/?]=sin(i+/?)cos/?+cos(a+，)sin；=，.

故選：D.

9.設(shè)定義在R上的函數(shù)y=/(%)滿足對VxeR都有/(x+2)+/(x)=0,且當xe(0,4］時,

V，(x)-/(x)>0,若a=6/(2022),Z?=4/(2023),c=3/(2024),則a、b、c的大小關(guān)系是

().

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>c>a

【答案】c

【解析】

【分析】利用函數(shù)的周期性、構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)研究其單調(diào)性比大小即可.

【詳解】由〃x+2)+〃x)=0n/(x+4)+/(x+2)=0n〃x+4)=/(x),

即T=4為y=/⑴的一個周期，所以a=6/(2022)=6/(2),Z?=4/(3),c=3/(4),

令g(x)=/Hng，(x)=4(x)；〃x),

XX

由己知可得XG(0,4］時，g，(x)>0ng(尤)=單調(diào)遞增，

所以了?</?</『=6/(2)<4/(3)<3/(4),即C正確.

故選：C

10.窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷，圖

2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.如圖2,若正八邊形A5cDEFGH的邊長為2，P是正八

邊形A4CDEFGH八條邊上的動點，則AP.A5的最小值為()

圖1

A.72B.OC.-272D.-472

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)P的位置進行分類討論，根據(jù)向量數(shù)量積運算求得正確答案.

【詳解】設(shè)AP,A3=e,

當P與A重合時，APAB=0;

當尸在線段A3(除A)、線段BC、線段。，線段￡>E,線段即(除尸)點上運動時,

0<^<|,cos0>0,所以AP.AB=|APHAB|-cose>0,

當P與E重合時，6）=-1,所以AP43=網(wǎng)?網(wǎng)-053=0,

以A為原點，AB，A/分別為羽V軸建立平面直角坐標系，

根據(jù)正八邊形的性質(zhì)可知AF=2+12xsinx2=2+272,2cos：=后，

則*0,2+2&）,6卜后,2+祀）,“卜立，后）,3（2,0）,

直線GF的方程為y=x+2+20,直線GH的方程為尤=—0,直線AH的方程為丁=一％,

當P在線段GF（除產(chǎn)）上運動時，設(shè)x+2+2＜x＜0）,

所以4245=1,了+2+2后）（2,0）=%6卜點,0）,

當P在線段GH上運動時，設(shè)。卜后,。（應(yīng)＜/40+2）,

所以APAB=b"4（2,0）=-2VL

當P在線段AH（除A）上運動時，設(shè)。（%—力卜正＜工＜0）,

所以APAB=（x,—x）-（2,0）=2xe12啦,0）.

綜上所述，AP-AB的最小值為-20.

11.在正四棱臺ABC?！狝4GR中，A5=2A4，AAl=y/3.當該正四棱臺的體積最大時，其外接球

的表面積為（）

c57%

B.33不C.------D.57兀

2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)正棱臺的性質(zhì)，表示出棱臺的高與邊長之間的關(guān)系，根據(jù)棱臺的體積公式，將體積函數(shù)式子

表示出來，利用不等式求解最值，得到棱臺的高.因為外接球的球心一定在棱臺上下底面中心的連線及其延

長線上，通過作圖，數(shù)形結(jié)合，求出外接球的半徑，得到表面積.

圖1

設(shè)底邊長為。，原四棱錐的高為力，如圖1,分別是上下底面的中心，連結(jié)01A-0A,根

據(jù)邊長關(guān)系,知該棱臺的高為｝則匕BGAMD1la2h

324

由且四邊形AOO14為直角梯形，OA=^ABi=^a，OA=^AB=^a，可得

2

+也

4

k/+/+48—

728

W3)

48

當且僅當/=48—2/，即a=4時等號成立，此時棱臺的高為1.

上底面外接圓半徑彳=AQ=/，下底面半徑廠=AO=2正，設(shè)球的半徑為R，顯然球心M在。a所

在的直線上.

顯然球心M在OO］所在的直線上.

圖2

當棱臺兩底面在球心異側(cè)時，即球心M在線段上，如圖2,設(shè)=則Q"=l-x,

0<x<l,顯然M4==E

則，有-產(chǎn)+/=—#2,即'（2亞『+%2=J（可+（一）2

圖3

當棱臺兩底面在球心異側(cè)時，顯然球心M在線段。1。的延長線上，如圖3,設(shè)QW=X,則

故選：D.

/、flIn2x|,0<x<l

12.已知函數(shù)/a）=fin（2：x）+ln2若存在。<。<人<。<2使得〃〃）=/9）=/（。），

則-~+~—I的取值范圍是（）

abbeca

9+歷、

D.

【答案】A

【解析】

【分析】In（2-x）+ln2=ln2（2-x）,易得y=ln2x與y=ln（2—x）+ln2的圖象關(guān)于直線1=1對稱,

由a,4c大小關(guān)系易判斷人+c=2,ab=,，再將工+2+工全部代換為含。的式子得竺叱0,令

4abbeca8。一1

t=Sa-l,利用換元法和對勾函數(shù)性質(zhì)進而得解.

【詳解】?.Tn（2—x）+ln2=ln[2（2—x）],y=ln2x與y=ln（2—x）+ln2的圖象關(guān)于直線1=1對

稱，作出/（九）的大致圖象如圖所示,

,即—In2a=ln2Z?,]n4ab=0,得〃/?=一,

4

1,11,11

*.<一<Z?<41,一<—<1,得/n:<a〈大，

224a42

111a+b+cQ+24(a+2)16a(a+2)

.——+——十——

?,abbecaabcc018tz—1

42-元

1111J+18.

設(shè)”8a—1,則fe(l,3),——十——+——

abbeca4

t+?N2歷,當且僅當^=后取到等號，

故當1?1,3）時,令g）=f+:+18,%⑺單減,/z（l）=36,/z（3）=y,

故1='+g17l8卜1,9.

4

故選：A

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知點。（也”）為拋物線C:/=8x上的點，且點尸到拋物線C的焦點尸的距離為5,則機=

【答案】3

【解析】

【分析】利用拋物線的定義計算即可.

【詳解】由題意可知拋物線的焦點/（2,0）,8m=n2

則伊司=+〃2=J（m+2）2=m+2=5^>m=3.

故答案為：3

14.若+以的展開式中所有項的系數(shù)和為384,則展開式中V的系數(shù)為

【答案】91

【解析】

【分析】利用系數(shù)和求出參數(shù)，用二項式定理展開求系數(shù)即可.

7

I的展開式中所有項的系數(shù)和為384,

7

1

令％=1,故(1+2)(。+1丫=384,解得a=l,故求x+—I中V的系數(shù)即可

X

令7—2廠=3,解得r=2,此時d的系數(shù)為C；=21,

令7—2廠=1,解得r=3,此時犬的系數(shù)為2-C；=35x2=70,

綜上展開式中d的系數(shù)為21+70=91.

故答案為：91

【點睛】.

15.若兩圓+y2+61嬴+9加-9=0（相>0）和％2+y2-46丁一1+4〃=0（〃>0）恰有三條公切線,

貝U4+3的最小值為

mn

【答案】10

【解析】

【分析】根據(jù)兩圓外切得到方程，求出9機+4〃=16,對不等式△+”變形后，利用基本不等式求出最小

mn

值.

【詳解】二+9+6向+9加-9=0（加>0）的圓心為4（—3面,0）,半徑為

1I----------------

rx=5J36加一4（9加一9）二3,

x2+y2-4五y一1+4〃=0（〃>0）的圓心為3（0,26），半徑為馬二;"16一-4（-1+4.）=1,

兩圓外切，則|AB|=?+G，即J91n+4〃=3+1，

故9根+4〃=16,

立、八、八遼"16n9m+4nn9mIn9m

又機>0,〃>。，故一+一=一+-------=一+—+4A>2----------+4A=10,

mnmnmnvmn

當且僅當烏=%,即m=3,〃=電時，等號成立，

mn217

故4+3的最小值為10.

mn

故答案為：10

16.在_ABC中，BC=A/3AC./BAC=1,點。與點B分別在直線AC的兩側(cè)，且AZ）=1,

DCX，則BD的長度的最大值是.

【答案】3百

【解析】

【分析】先判斷JRC為直角三角形，設(shè)/A￡>C=6?,AC=x,由正弦定理得到/ACD與。之間的數(shù)量

關(guān)系sinNACD=2R一,由余弦定理得到x與。之間的數(shù)量關(guān)系/=4-2百cos，，最后在.8DC中，

X

由余弦定理及所得結(jié)論得到BO?=6sin。-6由cosO+15,利用正弦型函數(shù)的值域即得8。的長度的最大

值.

A

【詳解】

BCACjr

如圖,ABC中，由正弦定理:可得:sinZABC=-因/BAC=—,則

sinABACsinAABC23

TT7T

ZABC=-即NAC3二一.

6f2

ATyAr

設(shè)AC=x,則3C=氐，AADC中，設(shè)NADC=e,由正弦定理，——-——=-則得：

sinZACDsin0

./人「八sin6

sinZ.ACD=------,

x

2

由余弦定理可得：AC~=AD-+DC--2AD-DCcos6，§P%=4-2A/3cos6>.

7T

在工加C中，由余弦定理，BD2=BC2+CD2-2BC-CDcosZBCD=3x2+3-6xcos(-+ZACD)

2

sin0

=3x2+3+6xsinZACD=3x2+3+6x-——=3(4—26cos6)+3+6sine=6sin8-6百cos6+15

x

TT

=12sin(8-；)+15,

1

TT"IT/TVTTIT、7r

因0<8<兀，則—<e—<—，則當?！獣r，即。=—時，BD?=27,止匕時

333326

咻=3?

故答案為：3K.

【點睛】思路點睛：本題主要考查利用正、余弦定理求邊長的最大值問題，屬于難題.

解決此類題型的思路就是，要善于在圖形中選設(shè)與已知條件和所求結(jié)論都相關(guān)的角，借助于正、余弦定理

將所求量表示成關(guān)于角的三角函數(shù)式，最后根據(jù)三角函數(shù)的值域求得最值.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考

題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.已知公差不為零的等差數(shù)列｛a,J的前〃項和為5〃，%=5,且%，4，%成等比數(shù)列.

(1)求｛。“｝的通項公式；

1n3

⑵若心菰不，證明：??<丁

【答案】(1)a“="+l(〃wN*)；

(2)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列及等比數(shù)列的定義與性質(zhì)計算即可；

(2)利用裂項相消法求和即可證明不等式.

【小問1詳解】

%+3d—5

設(shè)｛叫的公差為次，。)，則根據(jù)題意有］儂+2行=%(%+6d)'

解之得｛1_］，所以4=4+d("—l)=〃+l，

即｛。,｝的通項公式為4=?+l(neN*)；

【小問2詳解】

由上可知2s〃=2義("1+"")"="+3〃,

"2

]

所以勿=

〃(〃+2)〃+2

2S"-an+1

n11_￡1111311

則〉=弓+---------------1-----------------

i=\N1~32-4n—1〃+1n〃+242〃+22〃+4

11

易知------------1------------>0(〃GN*),

2n+22幾+4

63113

/b.=-----------<—.

42〃+22〃+44

18.某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學生進行一次安全意識測試，根據(jù)測試成績評定

，，合格”與，，不合格”兩個等級，同時對相應(yīng)等級進行量化：“合格”記5分，“不合格”記0分.現(xiàn)隨

機抽取部分學生的成績，統(tǒng)計結(jié)果及對應(yīng)的頻率分布直方圖如圖所示.

等級不合格合格

得分[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]

頻數(shù)624y

⑴若測試的同學中，分數(shù)在［20,40）、［40,60）、［60,80）、［80,100］內(nèi)女生的人數(shù)分別為2人、8

人、16人、4人，完成下面2x2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為性別與安全意識有關(guān)?

等級

不合格合格總計

性另

男生

女生

總計

（2）用分層抽樣的方法從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中，共選取10人進行座談，再從這10

人中任選4人，記所選4人的量化總分為X,求X的分布列及數(shù)學期望E（X）.

附：K=其中〃=Q+Z?+c+d.

[a+b)[c+d)[a+c)[b+d)

2

P(K>k0)0.100.0500.010

k。2.7063.8416.635

【答案】（1）填表見解析，沒有

（2）分布列見解析，E（X）=12

【解析】

【分析】（1）分析可知抽取的學生答卷總數(shù)為60,求出了、＞的值，可完善2x2列聯(lián)表，計算出K2的觀

測值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論；

（2）分析可知抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人，則X的可能取值為0、5、10、15、

20,求出隨機變量X在不同取值下的概率，可得出隨機變量X的分布列，由此可求得E（X）的值.

【小問1詳解】

解：由頻率分布直方圖可知得分在［20,40）的頻率為0.005x20=0.1,

故抽取的學生答卷總數(shù)為-8=60,,-.x=60x0.3=18,y=60x0.2=12,

由題中信息完善2x2列聯(lián)表如下:

等級

不合格合格總計

性另

男生141630

女生102030

總計243660

所以，"OXS—…I”

24x36x30x309

故沒有99%的把握認為性別與安全意識有關(guān).

【小問2詳解】

解：“不合格”和“合格”的人數(shù)比例為24:36=2:3,

因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人，

.?.X的可能取值為0、5、10、15、20,

P（X=0）===——,P（X=5）=E^=—，P（X=10）=E^=±,

I）C：o210I，C：o35I7C：o7

P"=15)=詈哈唳=20)=島/

JoZ1Jo,今

故X的分布列為:

X20151050

1841

P2

1421735210

iX34]

所以，E(X)=20x——+15x——+10x—+5x——+0x——=12.

v71421735210

19.如圖，已知四邊形ABC。和CD所都是直角梯形，AB//DC,DC//EF,AB=5,DC=3,

EF=LZBAD=ZCDE=60°,且二面角尸—OC—5的大小為60°.

E

（1）證明：平面BCF，平面ABC。；

（2）在線段AE上是否存在點M,使得二面角4—5C—廠的大小為45。，若存在，請求出點的位置;

若不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析

（2）存在點使得二面角M—5C—廠的大小為45。，AM=-AE.

7

【解析】

【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理進行證明即可；

（2）建立空間直角坐標系，利用二面角的定義，結(jié)合空間向量夾角公式進行求解即可.

【小問1詳解】

因為四邊形ABCD和EECD都是直角梯形，

所以QCLCF,DCYCB,且CB=C,CF,CBu平面

所以，。。，平面5。廠，

因為。Cu平面ABCD,所以平面ABC。1平面

【小問2詳解】

過點E、D分別作直線。C、A3的垂線EG、DH垂足為G、H.

由已知和平面幾何知識易知，DG=AH=2,ZEFC=ZDCF=ZDCB=ZABC=90°,

則四邊形EFCG和四邊形DCBH是矩形，所以在Rt_EGD和RtVQH4中，EG=DH=2瓜

假設(shè)在AE上存在點M,使得二面角M-BC-F的大小為45°.

由（1）知。平面則NBCb是二面角尸—OC—5的平面角，

所以N5CE=60。，所以△5CE是正三角形.

取的中點N,則F7VL5C,又FNu平面

所以FNL平面ABCD,過點N作A3平行線NK,

則以點N為原點，NK,NB、N/所在直線分別為了軸、＞軸、z軸建立空間直角坐標系N-移z,

設(shè)3=；14￡（04；141）,則4（5,后0）,B（0,A/3,0）,C（0,-V3,0）,E（l,0,3）,

則M（5—44,點—后,3九），則3M=（5—4尢—后,32）,BC=（0,-2A/3,0）,

設(shè)平面BCM的法向量為1tl=(x,y,z),

n.BC=Q-2島=0（

由《42-5

，得/、r，取珥=1,0,

“i.BM=0（5-42）x-V32y+3Zz=0I32

1

cos450=--------

又平面BC尸的法向量為=(1，°，°)，所以1^1.?21

整理化簡的7萬—40/1+25=0,解得4=9或;1=5(舍去).

7

所以存在點使得二面角M—5C—廠的大小為45。，S.AM=-AE.

7

22

20.已知橢圓E:=+3=l(a〉6〉0)的左，右焦點分別為片，工，且E，工與短軸的一個端點。構(gòu)成一

a~b~

個等腰直角三角形，點尸在橢圓E上，過點F2作互相垂直且與x軸不重合的兩直線AB,CD分

別交橢圓E于A,3,C,D,且M,N分別是弦A民CD的中點.

(1)求橢圓的方程；

(2)求證：直線過定點;

(3)求△跖明面積的最大值.

【答案】(1)—+/=1

2

(2)證明見解析(3)-

9

【解析】

【分析】(1)根據(jù)條件列出方程組求解;

(2)設(shè)直線AB的方程為x=^y+l，〃件0,根據(jù)已知條件，利用韋達定理和中點公式求得

2m，2Cm2m、

M,N，然后按照其橫坐標是否相等，分別研究直線的方程,

2MN

加2+2'm+2、2加2+1'1+2療,

從而得到結(jié)論;

（3）求得AMNB2面積S關(guān)于加的表達式，然后利用換元思想，設(shè)m+—=22）,轉(zhuǎn)化為關(guān)于方的函數(shù),

m

利用函數(shù)的單調(diào)性求解得到.

【小問1詳解】

/

22

因為橢圓E:j+與=l（a〉6〉0）經(jīng)過點尸0叵

ab

7

13

所以壽+后=1,因為耳，工與短軸的一個頂點Q構(gòu)成一個等腰直角三角形，

所以6=c,1-b~+c2=2b2,

13

所以——-+—=1,解得/=2,〃=1,

2x2/4b2

2

所以橢圓方程為土+丁=1.

2-

【小問2詳解】

證明：設(shè)直線AB方程為x=7孫+1,（川。0）,

則直線CD的方程為x=-—y+l,

m

x=my+1

聯(lián)立X221,消去x得+2）/+2沖-1=0,

—+y=1

I2,

2m1

設(shè)A（菁，％），3（9，％），則%+%=—

4

所以西+々=（冽/+1）+％+1）=7"（M+%）+2=

>+2,

2m

由中點坐標公式得M

m2+2m2+2

rc2、

將M的坐標中的加用-,代換，得CD的中點N2mm

m、2加2+1'1+2加2,

2

當機2=i時，MN所在直線為％=-

3

3/71ITI3/77(2?

當相2/1時，k=直線MN的方程為丁+丁77=。/21、X——7-T,

MN2(m-1)m+221m-1)km+2y

生,mf3八

整理得y=,:-x-1,

〃廠一112)

32

令一x-4,可得x=—,即有y=。，

23

所以直線MN過定點R,且為R1|,0

【小問3詳解】

方法一：8MN面積為

3

s=：L%-珀|=》-￡|mm1|m+m|

m2+21+2m2212m4+5m2+2

m+—=t(t>2YS=——；—J_］

令m、)22/+12.1,

/2t+-

t

iiO/2_i1

由y=2t+7，y=2—j='產(chǎn)」，在［2,+s)上y'>0,y=2/+,遞增，則在［2,+s)上遞減，所

以當f=2,即加=±1時，S取得最大值為工，

9

則MNg面積的最大值為g.

V"/+加2

，質(zhì)1=

m2+2

1

——\-m

m

則,MN。面積5=；、|九里卜|叫|=2—

-4m+—+2

]S=—<_

令〃z+—=（22）,貝ij—4『+2一人2~9,當且僅當/=2,

m4rH—

t

即加=1時，MN耳面積的最大值為，.

所以跖明面積的最大值為

21.設(shè)m為實數(shù)，函數(shù)/（x）=lnx-7nx.

（1）求函數(shù)/（尤）的單調(diào)區(qū)間；

（2）當加=e時，直線y=奴+人是曲線y=/（x）的切線，求a+2。的最小值；

⑶若方程/（*）=（2-加卜+〃（neR）有兩個實數(shù)根%,42（玉<42），證明：2x,+x2>-|.

（注:e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）

【答案】（1）當機<0時，函數(shù)/⑺的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,+8）；當機>0時，函數(shù)/（尤）的單調(diào)遞增區(qū)間為

（0,1）,單調(diào)遞減區(qū)間為（工,+8）;

mm

（2）—e—2In2；

（3）詳見解析.

【解析】

【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，分類討論根據(jù)其正負判斷函數(shù)的單調(diào)性，即得；

（2）根據(jù)導數(shù)的幾何意義得切線方程，進而可得。+2〃的表達式，構(gòu)造函數(shù)，然后利用導數(shù)求最值即

得；

（3）由題可得ln±=2（x「％），利用換元法變形為1型=2儂2-%），從而將證明2%+々〉￡,轉(zhuǎn)化

%22

為證明（2^+1）111，再構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求其最值進而即得.

【小問1詳解】

因為f^=lnx-mx,

所以/'（x）=」—"?="?x+l,（%〉。），

JCX

當mWO時，/'（%）>0在（0,+8）上恒成立，函數(shù)/（X）在（0,+8）上單調(diào)遞增；

當加>0時，由/'（%）>0,解得0<x<—，函數(shù)/（九）在（。,一）上單調(diào)遞增，

mm

由r（x）＜o,解得%＞工，函數(shù)了⑺在（工,+8）上單調(diào)遞減；

mm

綜上，當相40時，函數(shù)〃幻的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,+8）；當機＞0時，函數(shù)/（九）的單調(diào)遞增區(qū)間為

（0」），單調(diào)遞減區(qū)間為（一,+00）;

mm

【小問2詳解】

當冽=e時，/(x)=ln.x-ex,設(shè)切點為(%Jn%-%)，

則切線斜率左=/'(%)='—e,

xo

(1A(1A

切線方程為y一(ln/-e%)=-----e(%一/)，y=----ex+Inx0—1,

lxo)\xo

1

?,.〃=-----e,Z?=lnx0-l,

xo

所以〃+2b-F2InXQ—e—2,

%

4^(xo)=-+21nxo-e-2-則g'(x())=-r+—=2x°,，

1%x0x0

由g'(x())<0，可得O<Xo<g,由g'(%0)>0,可得天〉；,

???8(/)在1°，3］上單調(diào)遞減,在［j,+s］上單調(diào)遞增,

所以g(%0)1mn=g［；］=-e—21n2,即”+2)最小值為一e-21n2；

小問3詳解】

由f^x)=lnx-mx=(2-tn)x+n,可得lnx—2x="，