廣東省廣州市2024屆高三年級下冊2月月考數(shù)學(xué)試題

廣東省廣州市第六十五中學(xué)2024屆高三下學(xué)期2月月考數(shù)學(xué)

試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.樹人中學(xué)國旗班共有50名學(xué)生，其中男女比例3:2,平均身高174cm,用等比例分

層隨機(jī)抽樣的方法,從中抽取一個容量為20的樣本，若樣本中男生的平均身高為178cm,

樣本中女生人數(shù)與女生平均身高的估計(jì)值分別為（）

A.8人168cmB.8人170cmC.12人168cmD.12人170cm

2.若函數(shù)〃x）="=+lg（萬-1），則“X）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.B.{x|x<l}C.{x|0<x<l}D.{x|-l<x<l）

3.已知某市高三女生在國家體質(zhì)健康測試中的50米跑成績X（單位：s）近似地服從

正態(tài)分布N（8.5,/），且尸（X<9.5）=0.8,貝lJP（8.5<X<9.5）=（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

4.把函數(shù)f（x）=cosx-sinx的圖像向左平移叁個單位得到函數(shù)g（x）的圖像，下列區(qū)間

中，函數(shù)V=g（x）單調(diào)遞減的區(qū)間是（）

5.將二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)重新排列，記有理項(xiàng)（X的幕指數(shù)為整數(shù)）不相

鄰的事件為a則P（Z）=（）

11-11

A.—B.—C.—D.一

2345

6.已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑等于4的半圓，圓錐內(nèi)有一球體，則此球體最大的表

面積是（）

8反

A.4%C.167r

9

2%

7.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)片（cosa,sina）,鳥（cos?,sin/?）,/3=a+—,則

下列結(jié)論正確的個數(shù)是（）

③口用=口冏④函在理上的投影向量為記

試卷第1頁，共4頁

A.0個B.1個C.2個D.3個

8.已知/(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)xNO時，W/(x+l)=-1/(x),且當(dāng)xe[O,l)

時，/(x)=x2,若方程-丘=0(左＞0)恰有3個不同的實(shí)數(shù)解，則左的取值范圍是

()

1八「11)」11、」11、

[4)1124)|_3212J|_8032J

9.袋中裝有5張相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,從中有放回地隨機(jī)取兩

次，每次取1張卡片.4表示事件“第一次取出的卡片數(shù)字是奇數(shù)”，8表示事件“第二次

取出的卡片數(shù)字是偶數(shù)”，。表示事件“兩次取出的卡片數(shù)字之和是6"，則()

13

A.P(/u5)=lB.P(5UC)=—

C.A與B相互獨(dú)立D.3與C相互獨(dú)立

二、多選題

10.已知點(diǎn)尸在圓(丁一談+丁=1上，點(diǎn)/(一2,0),5(0,2),則()

A.ANB尸的面積大于1B.A/AP的面積小于4

C.當(dāng)NPA4最小時，sinZPBA=—D.當(dāng)NP&4最大時，smZPBA^^-

210

11.如圖所示的長方體NBCD-44GA中，邊長/3=3,AD=4,皿=5,下列結(jié)論

A.直線。片與長方體十二條棱所在的直線所成的最大的角的余弦值是"

2

B.直線。耳與長方體六個面所成的最大的角的正弦值是"

2

C.在直線。4上任取一點(diǎn)。，則。點(diǎn)必在以A點(diǎn)為球心，半徑為3的球外

D.點(diǎn)。在直線。片上，BQ1DBt,W是BC中點(diǎn)，則平面截長方體所得截

面圖形的面積是19

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

12.已矢口等比數(shù)歹式?！皚的前〃項(xiàng)和為與，且品=27,\=35,數(shù)歹!]{aj的公比1=.

13.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z,w對應(yīng)的點(diǎn)分別是(1,2),(-3,-1),則■=；

Z

14.已知點(diǎn)耳，且分別為雙曲線C：T-4=1(a>08>0)的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)A,B在C

的右支上，且點(diǎn)鳥恰好為A/?。坏耐庑?，若忸/|=忸周，則雙曲線的離心率為.

四、解答題

15.已知甲、乙兩個小組參加某項(xiàng)知識競賽的初賽.初賽分兩輪，甲小組通過第一輪與

第二輪比賽的概率分別是4:，43，乙小組通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是彳7，

543

3

j.初賽中兩輪比賽都通過的小組才具備參與決賽的資格.整個競賽中各個小組所有輪

次比賽的結(jié)果互不影響.

(1)設(shè)獲得決賽資格的小組總數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(2)已知甲、乙兩個小組經(jīng)過初賽都獲得了決賽資格，決賽以搶答題形式進(jìn)行.甲、乙兩

小組對某道題進(jìn)行搶答，搶到的概率分別是：，?，答對的概率分別是他們各自獲得決

77

賽資格的概率.求該題被搶答正確的概率.

16.如圖，平面平面8CDE,BCDE是邊長為1的正方形，48=2,ZABC=60°,

平面/BECl平面NGD=/尸，點(diǎn)/與尸不重合.

(1)求證：AE工BD；

TT

⑵若平面ABC與平面DEF所成的夾角為求三棱錐A-DEF的體積.

17.已知函數(shù)/'(x)=e*-2x.

試卷第3頁，共4頁

⑴求函數(shù)“X)的極值；

⑵討論函數(shù)g(x)=/(x)-sinx在R上的零點(diǎn)個數(shù).(參考數(shù)據(jù)：sinl?o.84,cosl?0.54)

22f1A

18.已知橢圓￡:.+a=l(a>6>0),點(diǎn)是橢圓中心與該橢圓一個頂點(diǎn)的中

點(diǎn)，點(diǎn)B為橢圓與y軸正半軸的頂點(diǎn)，且離心率為受，過點(diǎn)A的直線(與了軸不重合)

2

交橢圓E于M,N兩點(diǎn).

(1)求橢圓￡的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求A4BN面積的最大值；

(2)探究直線四和直線3N的斜率之積是否為定值？若是，求出這個值，若不是請說明

理由；

⑶若圓C的方程為1+丁=1,直線9,8N分別交圓C于P,0兩點(diǎn)，試證明：直線

PQ恒過定點(diǎn).

19.若有窮數(shù)列％,的…%(〃是正整數(shù))，滿足%=%,…，%=%即％=?！?訊

(i是正整數(shù)，且IViW"),就稱該數(shù)列為“對稱數(shù)列”.

⑴已知數(shù)列低｝是項(xiàng)數(shù)為8的對稱數(shù)列，且a，b2,b3,“成等差數(shù)列，4=1,a=10,

試寫出｛2｝的每一項(xiàng).

(2)已知｛c,｝是項(xiàng)數(shù)為2a(其中人21,且左eZ)的對稱數(shù)列，且4+1,4+2…c21t構(gòu)成首項(xiàng)

為15,公差為-2的等差數(shù)列，數(shù)列｛cj的前”項(xiàng)和為邑”，則當(dāng)人為何值時，S?.取到

最大值？最大值為多少？

(3)對于給定的正整數(shù)zrl,試寫出所有項(xiàng)數(shù)為2，-1的對稱數(shù)列，使得1,2,22...27成為

數(shù)列中的連續(xù)項(xiàng)；當(dāng)i>2000時，并分別求出所有對稱數(shù)列的前2024項(xiàng)和邑024.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.A

【分析】

根據(jù)分層抽樣的概念求出樣本女生人數(shù)，根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算法即可求樣本中女生的身高估計(jì)

值.

【詳解】

由題意可知，樣本中男生人數(shù)為20X：=12,女生人數(shù)為8,

則樣本中女生的平均身高為20*I,、「2x178

=168

O

故選：A.

2.C

【分析】

根據(jù)二次根式被開方數(shù)為非負(fù)及對數(shù)真數(shù)大于零列出不等式組，解不等式即可得到答案.

【詳解】

1-x2>0八，

由=><n0<x41

2x-l>0［尤>0

故選：C.

3.B

【分析】

根據(jù)正態(tài)分布函數(shù)的對稱性即可求解.

【詳解】由題可知X服從正態(tài)分布N(8.502),

貝I］尸(x>8.5)=0.5,又尸(尤<9.5)=0.8,故尸(x>9.5)=1-0.8=0.2,

故尸(8.5<尤<9,5)=尸(x>8.5)-尸(x>9.5)=0.5-0.2=0.3.

故尸(8.5<X<9.5)=0.3.

故選：B.

4.D

【分析】

用輔助角公式化簡作)解析式，根據(jù)函數(shù)圖象平移求出g(x)解析式，在利用三角函數(shù)單調(diào)性

即可求解.

答案第1頁，共17頁

【詳解】/(x)=V5COS(X+￡J,貝l]g(X)=V^COs[x+5+(J=V^COs[x+T

Vy=cosx的單調(diào)遞減區(qū)間為[2左鞏乃+2左l](左EZ),

STT'冗77

故由2k兀4x+——<7i+2k7i得---+2k7i<x<——\-2kn.kGZ

444

故函數(shù)y=g（”單調(diào)遞減區(qū)間是-?+21br,?+2"，左eZ

選項(xiàng)僅由2萬）在該區(qū)間內(nèi)，

故選：D.

5.A

【分析】

根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求出有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，再利用排列組合的知識進(jìn)行求解即可.

【詳解】

L<1Y型初

展開式的通項(xiàng)公式為4+1=&（?『，一=C；x2,0<r<3,

當(dāng)廠=1,3時，展開式的項(xiàng)為有理項(xiàng)，

即二項(xiàng)式（五+'）3的展開式中有2項(xiàng)為有理項(xiàng)，展開式共4項(xiàng),

X

A2A21

利用插空法可得：尸（/）=U^=w，

A42

故選：A.

6.D

【分析】

當(dāng)球體和圓錐內(nèi)切時，其半徑最大，表面積最大，作出圓錐的軸截面圖象，根據(jù)幾何關(guān)系即

可求解.

【詳解】

由題可知，圓錐母線長為4,設(shè)其底面半徑為

貝1］有2萬廠=4%，解得「=2.

當(dāng)球體與圓錐內(nèi)切時，其表面積最大，設(shè)球體半徑為R,作出圓錐的軸截面，如圖：

答案第2頁，共17頁

點(diǎn)。為球心，尸為圓錐底面圓心，￡,廠表示切點(diǎn),

則CF=yjAC2-AF2=273.

因?yàn)镈EL/CCFL/B.

則5心/3=冬=煞,即然不］,解得公斗.

則球體表面積為4萬尺2=容，

故選：D.

7.C

【分析】

兀

對于①，直接由向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式以及兩角差的余弦公式、/?=a+胃2即可判斷；對于

②，由向量模的坐標(biāo)運(yùn)算公式、平方關(guān)系以及兩角差的余弦公式即可判斷；對于③，判斷

I亞亞『二麗2-亞2是否恒為0即可；對于④，由投影向量的計(jì)算公式驗(yàn)算即可.

【詳解】對于①，因?yàn)槎?cosa,sina),O￡=(cos￡,sin/7),p=a+^-,

所以-0P2=cosacos夕+sinasin￡=cos(a-13)=cosp故①錯誤;

__?2兀

對于②，因?yàn)?lt;鳥=(cos￡—cosa,sin6一sina),(3=a+—,

所以

\PXP2|=J(cosR-cosaRgin/?-sina,

=J2—2(cosacos夕+sinasin(3)=j2-2cos(a-7?)=<2+1=百,故②正確；

對于③,/片=(cosa+1,sina),AF{=(cos/7+1,sin6，p=a+—,

22222

所以日用_曰舄|=AP1-AP2=(coscr+1)+sin?-|^(cosy5+1J+sin/?J,

=2+2coscr-(2+2cos/?)=2coscr-2cos|cr+—|,

答案第3頁，共17頁

不妨取a=0,貝"祠2T亞(=2cosc-2儂卜+^]=2+1=3力0,即止匕時國國亞

故③錯誤；

對于④，因?yàn)?|=Jcos2￡+s版￡=1,又麗.謔=-；，

__OP.OR,OR,1—

所以?！┰凇ｉT上的投影向量為和=?扃=-5°鳥，故④正確.

綜上所述，結(jié)論正確的個數(shù)是2.

故選：C.

8.B

【分析】由題意首先得當(dāng)x=0時，有/(x)-h=0,從而當(dāng)xwO時，左=〃立恰有兩個不

X

同的實(shí)數(shù)解，通過遞推關(guān)系在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出了=尸u)=拶的圖象和直線

V=左的圖象，通過平移直線找到符合題意的人的范圍即可得解.

【詳解】因?yàn)楫?dāng)x?0,l)時，f(x)=/,所以當(dāng)x=o時，有/(無)一日=0,

若方程f(x)-丘=0(左＞0)恰有3個不同的實(shí)數(shù)解，則當(dāng)-0時，左恰有兩個不同的

X

實(shí)數(shù)解，

令尸(力=*1,其定義域顯然關(guān)于原點(diǎn)對稱，

因?yàn)?(無)為定義在R上的偶函數(shù)，

所以/(-x)=/(x),尸(-)=上。=一止1=一尸?),即尸3=止1是奇函數(shù)，

—XXX

當(dāng)xe(O,l)時，f(x)=x2,所以尸(x)=/M=x,

當(dāng)xe[l,2)時，/(x)=-1/(x-l)=-1(x-l)2,所以73=一/(”一1)一口彳+工一21

[2

當(dāng)xe[2,3)時，/(x)=-1/(x-l)=|(x-2)2,所以)⑴=](＞？)二牙-t4]，

'，x4＜x)

若當(dāng)x￡+1),(〃22,〃￡N*)時，

有=(x-n)2,

答案第4頁，共17頁

所以當(dāng)xe[〃+l,〃+2)時,

有/口)=一；/卜一1)=

"+1)27、

X+——12(〃+1)

所以X￡+21/￡N*),

x—n

有/。)=n2

F("=xH-------2n

x

此時忙(%)=x+------31<——〃+1+

X2"n+1

這也就意味著當(dāng)x的絕對值越大且xe+1),(〃>l,neN*)時，|尸(x)|的圖象的最高點(diǎn)越來

越低，

則由圖可知當(dāng)且僅當(dāng)左<；,即左的取值范圍是

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是當(dāng)尤20時，后=也恰有兩個不同的實(shí)數(shù)解，由此通

過數(shù)形結(jié)合法即可順利得解.

9.BC

【分析】

答案第5頁，共17頁

根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算方法計(jì)算，從而得到答案.

【詳解】根據(jù)題意可知第一次抽取和第二次抽取是相互獨(dú)立的，故/與3相互獨(dú)立，故C

正確；

C事件結(jié)果有｛(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)｝,其中｛(2,4),(4,2)｝也滿足2事件，故8與。不

是相互獨(dú)立的，故D錯誤；

a?51

易知尸⑷二,P(B)=I，p(c)==

JDDXD。

19

39,故A錯誤;

5525

2123213

P(BuC)=P(B)+-P(=-一，故B正確.

525

故選：BC.

10.ACD

【分析】

根據(jù)圓心到直線的距離即可求解圓上的點(diǎn)到直線的距離的取值范圍，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公

式即可判斷AB,根據(jù)直線與圓相切，結(jié)合和差角公式即可求解CD.

【詳解】由"(-2,0),8(0,2)可得直線/5方程為＞='+2,

3

故圓心(1,0)到直線的距離為4=不，

故圓上任意的一點(diǎn)到直線48的距離de[4)-r/o+“，即de

S.ABP=-\AB\d

由于3-收＞1,3+收＞4,故A正確，B錯誤，

要使NPA4取到最值，則此時P8與圓相切，

TT

故當(dāng)P3無斜率時，此時點(diǎn)尸與坐標(biāo)原點(diǎn)。重合，故此時NPB4取到最小值，且/尸氏4=二,

所以sin4A4=注，C正確,

2

\k+2\3

當(dāng)直線尸8有斜率，設(shè)直線方程為＞=丘+2,故^^=1,解得上=一:，

J1+/4

設(shè)直線PB的傾斜角為兀)，貝！|tane=—j進(jìn)而可的sinO=]cosO=-;,

答案第6頁，共17頁

jr

且N尸A4=e——,

4

故sin/尸A4=sin9-cos9”,故D正確,

故選：ACD

11.BCD

【分析】

建立坐標(biāo)系，利用向量的夾角即可求解線線角以及線面角，可判斷AB,根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)距離公式即

可判斷C,根據(jù)余弦定理求解夾角，即可利用三角形面積公式求解D.

【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

。（0,0,0）,4（4,0,0）,C（0,3,0）,2（0,0,5）,片（4,3,5）,

所以函=（4,3,5）,方=（4,0,0）,皮=我3,0）西=（）,0,5）,

（4,3,5）-（4,0,0）2V2

由于cos。月,=

554~5

cos兩反一（4,3⑸他工。）.30

練一^5—-行

（4,3,5）（0,0,5）V2

cosDB[,DDi

572x5"r

因此線DB\與長方體十二條棱所在的直線所成的最大的角的余弦值是逑，A錯誤，

10

方3=（4,0,0）,皮=（0,3,0）,萬萬產(chǎn)0,0,5）分別為長方體的前后、左右、以及上下兩個平面的

一個法向量，

由于線面角的正弦值等于。片的方向向量與法向量夾角余弦值的絕對值，

由選項(xiàng)A可知，直線期與長方體六個面所成的最大的角的正弦值是當(dāng)B正確,

答案第7頁，共17頁

設(shè)DQ-mDB1=(4m,3m,5m),AQ-DQ-DA=(4加一4,3辦5力，加wR

8272272

=A/50/M2-32/M+16=50

2525V25

因此。點(diǎn)必在以A點(diǎn)為球心，半徑為3的球外，C正確,

由于|西卜V32+42+52=5y[2,\DB\=V32+42=5=忸四|,

所以.。以與為等腰三角形，故當(dāng)5。，。與時，。為。用的中點(diǎn)，即。為長方體的中心,

取4A的中點(diǎn)為N,連接NG，NA,MG，AM，則四邊形即為截面,

由于WW=打+22=瓜CM=占+2?=M,

13+29-50419

故cos/NA/C]=sinZAMC=--f=——T=,

2V13xV29-713x729"V13xV29

故截面面積為19

2s“g=AMMC[-sinAAMCX=JTxx=19,故D正確,

713x^29'

12.一

3

【分析】

利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式聯(lián)立方程組即可求解.

【詳解】

由題意可知：4片1,

%(1_q3ax(l-/

$6=

根據(jù)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)公式可得：S3==27①,=35②,

i-qi-q

45?

聯(lián)立①②可得1+/=力，解得

故答案為：!2

答案第8頁，共17頁

13.-4+3z73z-46

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則即可求解.

【詳解】Q2=1+2，，卬=一3-i,

.-.w-z=(-3-i)-(l+2i)=-4-3i,

則w-z--4+3i；

w—3—i(-3-i)(l-2i)—5+5i1十.

z-l+2i-(l+2i)(l-2i)-5一乙

z

故答案為：-4+3i；V2

14.嶼

2

【分析】

根據(jù)三角形外心和雙曲線的定義可得\AFX|=忸用，再結(jié)合已知條件可得A4BF1為等邊三角形,

利用三角形外心的性質(zhì)即可列式求出離心率.

【詳解】如圖，

連接/瑞，?.?點(diǎn)耳恰好為的外心，閶=|用閭=2c,

由卜耳|一|4月|=2〃,得M=2a+2c,同理忸［=2a+2c,

又忸a=|明耳］=|納卜忸N|=2a+2c,明是等邊三角形,

|^47^I=J'+2c)?~~?-^-(2a+2c)=2c,解得e=也；］.

故答案為：叵出

2

15.(1)分布列見解析；數(shù)學(xué)期望為1；

答案第9頁，共17頁

17

⑵M

【分析】

(1)分別求甲、乙兩個小組獲得決賽資格的概率，再求X的所有可能取值及相應(yīng)概率，從而

可列出分布列并求出數(shù)學(xué)期望;

(2)設(shè)事件并求出各事件的概率，然后根據(jù)條件概率和全概率計(jì)算公式即可求解.

343

【詳解】(1)由題意可知，甲組獲得決賽資格的概率=

322

乙組獲得決賽資格的概率^2=-X-=y.

X的所有可能取值為0,1,2,

則尸(X=0)=(lf)(1一㈤=]1卦(1總喂

P=11x

(^)=(-A)-JP2+A-(l-JP2)=fl-|]xj+|[l-|]=1|

326

尸(X=2)=n_V_—__

R=55-25

的分布列為:

X012

6136

P

252525

A￡(X)=0x—+lx—+2x—=1

v,252525

(2)設(shè)B表示事件“某小組對最后一道題回答正確”，4表示事件“甲小組搶到最后一道題”,

4表示事件“乙小組搶到最后一道題”，

Q4a?

則尸(4)=亍,尸(4)=子尸(必4)=:,產(chǎn)出A2)=-.

334?17

根據(jù)全概率公式，可得尸(即=尸(4)尸(省4)+尸(4)尸(面4)==xq+/XM=瓦,

__17

故該題被搶答正確的概率為—.

16.(1)證明見解析

答案第10頁，共17頁

【分析】（1）由已知條件證明Cits,⑦兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求得

AERD=Q>從而證明ZE與AD垂直；

7T

（2）根據(jù)平面N3C與平面尸夾角為:，求出肝的長，從而求得三棱椎E-4D尸的體積,

即為三棱錐A-DEF的體積.

【詳解】（1）?..四邊形BCDE為正方形，.?.DCL3C,

,?平面ABC1平面BCDE,平面ABCc平面BCDE=BC,DCu平面BCDE,

.?.DC_L平面NBC,又：/Cu平面NBC,DC1AC.

在中，根據(jù)余弦定理得Re?=AgZ+BC?—ZAS/C-cosN/BCuS,

+BC1=AB2,AACIBC.

故可以。為原點(diǎn)，分別以。，CB,CD為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則/（百,0,0）,￡（0,1,1）,5（0,1,0）,D0,0,1）,

.?.荏=卜百,1,1）,5D=（O,-l,l）,

福麗=-1+1=0，AELBD；

（2）在正方形8cDE中，'JBE//CD,8EU平面/BE,CD<Z平面48E,

CD〃平面/BE,

又,平面NBEc平面"CO=/尸，CZ>u平面/CD,

:.AF//CD,即〃〃z軸，

設(shè)尸（班,0,〃7）,m>0,

則而=（百,0,機(jī)一1）,方=（0,1,0）,

設(shè)平面DEb法向量為M=（X）,2）,

ii-DF=4-（m-1）z=0,（\

_I）'，令z=J^，則元=r,

元-DE=y=Q\7

答案第11頁，共17頁

又平面NBC法向量而=(0,0,1),

TtI___?\m-n\也

611Ml?|[(1_短+3'

解得加=2或〃?=0(舍)，即/尸=2.

又3c1平面4CDF,DE//BC,；.DE1平面/CDF,即。E是三棱錐E-40廠的高,

:.V.DEF=VEADP=-SADF-DE=-JxAFxACxDE^.

A-LJitr25-AUr3AA.L)f323

17.(1)極小值是2-21n2,無極大值；

(2)2

【分析】

(1)求導(dǎo)，即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解極值點(diǎn)，

(2)分類討論x>0和x<0上的導(dǎo)數(shù)正負(fù)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可求解.

【詳解】⑴

???函數(shù)/(x)=e*-2x,

"'(x)=e-2；

令/'(無)=。，即e*-2=0,解得x=ln2,

當(dāng)x>ln2時，/(x)>0J(無)單調(diào)遞增，

當(dāng)x<ln2時,/'(x)<0J(x)單調(diào)遞減，

故當(dāng)x=ln2時，/(無)取極小值，

=6^-21n2=2-21n2,無極大值；

(2)g(x)=/(x)-sinx=ex-2x-sinx,貝[jg'(x)=——2—cosx,

令相(x)=e*-2-cosx,貝Umr(x)=ex+sinx,

由于x>0時，mz(x)=ex+sinx>1+sinx>0,因此函數(shù)冽(x)=g'(x)在x>0上單調(diào)遞增，

由于g'(0)=>2-l<0,g'(l)=e-2-cosl>0,

因此存在唯一的(0,1),使得存(%)=0,

故當(dāng)xe(0,x()),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)xe(x(),+8),g'(x)>0,g(x)單調(diào)的遞增，

答案第12頁，共17頁

x<0時，g'(x)=eA-2-cosx<e0-2-cosx=-1-cosx<0,止匕時g(無)單調(diào)遞減，

綜上可知g(無)在xe(-oo,%)單調(diào)遞減，在xeE,+oo)單調(diào)遞增，

Xg(1)=e-2-sin1<0,g(-7r)=e^+27t>0,當(dāng)x->+co時，g(x)—>+<x>,

因此g(x)與X軸有兩個不同的交點(diǎn)，故g(x)=y(x)-sinx在R上的零點(diǎn)個數(shù)為2.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷函數(shù)了=/(》)零點(diǎn)個數(shù)的常用方法：(1)直接法：令/(力=0,則

方程實(shí)根的個數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個；(2)零點(diǎn)存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間句上是連續(xù)

不斷的曲線，且/(。>/伍)<0,再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱

性)可確定函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)；(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題，畫

出兩個函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)，在一個區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間

內(nèi)至多只有一個零點(diǎn)，在確定函數(shù)零點(diǎn)的唯一性時往往要利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)零點(diǎn)

所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，有時可結(jié)合函數(shù)的圖象輔助解題.

18.(1)^+/=1,最大面積為逑；

24

3

(2)定值，-］；

(3)恒過定點(diǎn)［。，-：］,證明見詳解.

【分析】(1)根據(jù)題意，可得橢圓下頂點(diǎn)為(0,-1)，則6=1,結(jié)合離心率求得“，求得橢圓

3

方程，\AB\=~,當(dāng)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)絕對值最大時，的面積最大；

(2)設(shè)〃(匹,乃)，過點(diǎn)A的直線為〉=h-3，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理

和直線的斜率公式，化簡整理，即可得到定值.

(3)設(shè)直線9的方程為〉=才儼+1,直線8N的方程為》=后產(chǎn)+1，分別與圓x2+/=i聯(lián)立

求得尸,0坐標(biāo)，先證明當(dāng)直線MN的斜率為0時，直線P。過點(diǎn)“(0,-g1,再驗(yàn)證當(dāng)直線"N

的斜率不為0時，kPH=kQH,即直線恒過定點(diǎn)-

【詳解】(1)根據(jù)題意可得，b=l,又6=也，貝也-與=!，解得力=2,

2a22

答案第13頁，共17頁

丫2

所以橢圓方程為土+y=1,

2

因?yàn)閨/同=|,當(dāng)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)絕對值最大時，”8N的面積最大，又“歸8,

。，13大3也

^NABN-~X2X蟲=

（2）設(shè)過點(diǎn)A的直線為〉=日-；，河（西,必），N（%2，%）,易知8（0,1）,

’71

y=kx——

聯(lián)立22，消去V整理得2（1+242卜2-4丘-3=0,易得A>0,

%一2Y

2k3

則再+%=用F'網(wǎng)"一2（1+2/），

左芭％2一不上（王+工2）+：3/、3

-----------2----------------1=左2+2左2—上0+2k2\_2

7

xxx22'2

3

所以直線BM與直線BN的斜率之積為定值-].

3

（3）設(shè)直線9的斜率為自，直線2N的斜率為左2，尸（%，%），。（匕，乂），且發(fā)4=-5,

則直線BM的方程為y=kxx+\,直線BN的方程為y=k2x+l,

I；1：Il，消去V整理得0+懺卜?+2k、x=0,

聯(lián)立

解得當(dāng)=舒為仁

_,—2k1—

同理‘可侍匕=正2后'%=不，

答案第14頁，共17頁

當(dāng)直線初V的斜率為0時，易知止匕時尢=一月=一告解得%=”=-1,直線P。過點(diǎn)

〃0，T

當(dāng)直線AW的斜率不為0時，k=

PH-2k]5k]

1+奸

所以kpH=k@H,

所以直線尸0過點(diǎn)”[o,-0

綜上，直線P。恒過定點(diǎn)

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題第二問，設(shè)過點(diǎn)A的直線為〉=依-；，與橢圓方程聯(lián)立得韋達(dá)定

理，代入?心N運(yùn)算得解；第三問，設(shè)出直線由/,8N的方程分別于圓的方程聯(lián)立求出

點(diǎn)尸,0的坐標(biāo)，先證明當(dāng)直線的斜率為0時，直線P。過定點(diǎn)〃，，-￡|,再驗(yàn)證當(dāng)直線

九W的斜率不為0時，kPH=kQH,即直線P。恒過定點(diǎn)40，T；

19.(1)1,4,7,10,10,7,4,1

(2)當(dāng)上=8時S?*取得最大值，且(邑股=128

(3)答案見解析

【分析】(