2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（新高考1）：基本不等式

§1.4基本不等式

【考試要求】1.了解基本不等式的推導(dǎo)過程2會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問題.3.理解基

本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用.

■落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.基本不等式：

(1)基本不等式成立的條件：a>0,6>0.

⑵等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.

(3)其中等叫做正數(shù)m6的算術(shù)平均數(shù)，旃叫做正數(shù)a,6的幾何平均數(shù).

2.幾個(gè)重要的不等式

(1)〃2+左三2ab(a,Z?￡R).

(2)，+￡*2(a,b同號(hào)).

(3)Q"Wg,Z?eR).

cP+b2C

⑷汽丁?、萣^R).

以上不等式等號(hào)成立的條件均為a=b.

3.利用基本不等式求最值

⑴已知x,y都是正數(shù)，如果積孫等于定值P,那么當(dāng)x=y時(shí)，和尤+y有最小值2爐.

(2)已知x,>都是正數(shù)，如果和尤+y等于定值S,那么當(dāng)x=y時(shí)，積孫有最大值1仔.

注意：利用不等式求最值應(yīng)滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)不等式浦《(任，目2與等號(hào)成立的條件是相同的.(X)

(2)y=x+2的最小值是2.(X)

(3)若x>0,y>0Ax+y=xy,則孫的最小值為4.(V)

(4)函數(shù)尸sinx+[~p5的最小值為4.(X)

【教材改編題】

1.已知x>2,貝1Jx+占的最小值是()

A.1B.2C.2小D.4

答案D

解析Vx>2,

：.x+~^~:=x-2+-^+2^2-\/(X-2)-^T+2=4,

x~2x~2\lx~2

當(dāng)且僅當(dāng)X—2=」不即x=3時(shí)，等號(hào)成立.

x~2

2.(多選)若a,則下列不等式成立的是()

Aa-+Tb^2

/+按

B.abW-一

層+建

C.一一三

D?壬西

答案BC

h

解析當(dāng)5<0時(shí)，A不成立；

當(dāng)ab<0時(shí)，D不成立.

3.若把總長(zhǎng)為20m的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，則矩形場(chǎng)地的最大面積是n?.

答案25

解析設(shè)矩形的一邊為xm,面積為yin?,

則另一邊為：X(20—2x)=(10—x)m,

其中0<x<10,

x+(10—x)

??y=x(10—x)W--------------2—25,

當(dāng)且僅當(dāng)x=10—x,即％=5時(shí)，等號(hào)成立，

,,J^max-25,

即矩形場(chǎng)地的最大面積是25m，

■探究核心題型

題型一利用基本不等式求最值

命題點(diǎn)1配湊法

3

例1(1)(2022?長(zhǎng)沙模擬)設(shè)0<x<],則函數(shù)y=4x(3—2x)的最大值為()

9

B.4

9

C.]D.9

答案C

&—(2x+3—2G9

角牛析y=4x(3——2x)—2,2x,(3——2x)<y=2,

3

當(dāng)且僅當(dāng)2x=3—2x,即尤=^時(shí)取等號(hào)，

39

???當(dāng)x="時(shí)，ymax=,

29

⑵若xvj則危)=3x+1+晨二^有()

A.最大值0B.最小值9

C.最大值一3D.最小值一3

答案C

2

角星析***3x~2<0,

9

危)=3x—2+京三+3

-一

=-_(2-3x)+—9J+3

W—2y(2—3x).耳+3=—3.

91

當(dāng)且僅當(dāng)2—3%=武丁，即冗=一￡時(shí)取.

2—3%3

(3)(2022?天津模擬)函數(shù)尸。+當(dāng)+2%>_1)的最小值為.

答案9

解析因?yàn)閄>—1,貝!]x+l>0,

圻“[。+1)+4][。+D+1]

所以y=不

(冗+1)2+5(%+1)+4

%+1

4

=(x+1)+兀+]+5

Z(x+l)W+5=9,

4

當(dāng)且僅當(dāng)x+l=F，即％=1時(shí)等號(hào)成立，

所以函數(shù)的最小值為9.

命題點(diǎn)2常數(shù)代換法

21

例2（2022?重慶模擬）已知〃>0,b>0,且〃+匕=2,貝卜+元的最小值是（）

A2

B.

99

C-D-

42

答案C

解析因?yàn)椤?gt;0,b>0,且〃+Z?=2,

42

當(dāng)且僅當(dāng)。=],時(shí)，等號(hào)成立.

命題點(diǎn)3消元法

例3（2022?煙臺(tái)模擬）已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,貝1Jx+3y的最小值為.

答案6

解析方法一（換元消元法）

由已知得9—（x+3y）=g%3y<；-C["）2,當(dāng)且僅當(dāng)x=3y,即x=3,y=l時(shí)取等號(hào).

即（尤+3y）2+12（x+3y）-108?0,

令尤+3y=f,則。0且?+12/—10820,

得t^6,即x+3y的最小值為6.

方法二（代人消元法）

由x+3y+盯=9,得x=]+；‘

圻“1O9—3y9-3y+3j（l+y）

所以x+3y-]+y+3y-』

9+3儼3（l+y）2—6（l+y）+12

i+yi+y

=3(1+，)+干—6》2y3(l+y)?干—6

=12-6=6,

1?

當(dāng)且僅當(dāng)3(1+丁)=正，即y=l,x=3時(shí)取等號(hào)，

所以x+3y的最小值為6.

延伸探究本例條件不變，求孫的最大值.

解方法一9~xy=x+3y^2\l3xy9

9~xy2入)3xy,

令

???9一產(chǎn)22a

即a+2小t—9W0,

解得04W小，

.'.y[xy^：y[3,???孫W3,

當(dāng)且僅當(dāng)x=3y,即x=3,y=1時(shí)取等號(hào)，，孫的最大值為3.

方法二：X=七力，

i+y

9~3y9y~3y2

??.2=-.產(chǎn)FT

-3(y+l)2+15(y+l)—12

=y+T

=-3&+1)-苗+15W-2y3U+1)當(dāng)+15=3.

12

當(dāng)且僅當(dāng)3(y+l)=不，即y=l,尤=3時(shí)取等號(hào).

.?.孫的最大值為3.

【教師備選】

1.(2022?哈爾濱模擬)已知x>0,y>0,且2x+8y—盯=0,則當(dāng)尤+y取得最小值時(shí)，y等于()

A.16B.6C.18D.12

答案B

解析因?yàn)閤>0,y>0,2x+Sy=xy,

所以三+|=1,

yx

所以x+y=(x+y)停+|)=10+與+個(gè)

\y人/yA

210+2'/空?登=10+2X4=18,

7yX

2x8y

當(dāng)且僅當(dāng)｛y—x，x—12,

即時(shí)取等號(hào),

y=6

、2x+8y—孫=0,

所以當(dāng)x+y取得最小值時(shí)，y=6.

——

2.已知函數(shù)<刈=亦■(尤<—1),則()

A.危)有最小值4

B.五幻有最小值一4

C.火x)有最大值4

D.八龍)有最大值一4

答案A

因?yàn)閤<—1,所以x+l<0,—(x+l)>0,

所以黃尤)22#+2=4,

當(dāng)且僅當(dāng)一(x+l)=即x=-2時(shí)，等號(hào)成立.

一(Jx+,l…)

故式X)有最小值4.

思維升華(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.

(2)要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式.

(3)條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代

換的方法；三是消元法.

2

跟蹤訓(xùn)練1(1)已知函數(shù)兀i)=+x(2x>l),則1%)的最小值為

宏安—

口木2

解析2%>1,%—^>0,

x-2

113

當(dāng)且僅當(dāng)---j"=x—］，即時(shí)取"=

x~2

.7/（x）的最小值為楙.

(2)(2022?襄陽模擬)若實(shí)數(shù)x>l,y4且x+2y=3,則占+石匕的最小值為

答案4

解析令X—1=m92y—1=n,

貝Im>0,n>0且m-\-n=x—l+2y—1=1,

.11_1J

?%一]十2y-]一加十〃

=2+?22+2=4,

當(dāng)且僅封V）=》w即斡片51時(shí)取，，二”.

???」7+丁］的最小值為4.

x-12y—1

題型二基本不等式的常見變形應(yīng)用

例4（1）（2022?寧波模擬）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世

西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形

實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)尸在半圓。上，點(diǎn)C在直徑上,

MOFLAB,設(shè)AC=a,BC=b,則該圖形可以完成的無字證明為（）

F

ab1—

A.2ab(a>0,b>0)

B.+/?22y[ab(a>0,Z?>0)

C.^~^y[ab(a>0,Z?>0)

a~\~b.〃2+02

D,27-2—(a>0,b>0)

答案D

解析由圖形可知，。廠=了43=］（〃+b）,

OC=^（a+b）~b=2（a—b）,

在RtZkOC/中，由勾股定理可得，

A\/（陰+鋁I?=*（層+的,

■:CFNOF,

1；（/+b2）?+8）（。>。，匕>。）.

（2）（2022?廣州模擬）已知0v〃<l,b>\,則下列不等式中成立的是（）

.,4ab

A.a-\-b<―TV

a-rb

B"泮

C.yj2a2+2b2<2y[ab

D.a+[<<2〃2+2抉

答案D

解析對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)?<〃vl,b>l,

所以（a+bAnQZ+Zab+bZ%。。，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

2

>2ab1］、一工八山、口

對(duì)于選項(xiàng)B,117+b'故選項(xiàng)B錯(cuò)塊;

-十-

Qb

對(duì)于選項(xiàng)C,N2（層+b2）對(duì)2X2ab=2的,

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,2a2+24a1+2ab+b2=（a+b）2,

所以a+b<72,+2b2,故選項(xiàng)D正確.

【教師備選】

若a,bGR,且油>0,則下列不等式中，恒成立的是（）

A.a2-\~b2>2ab

112

-1

c+-

a^7G

a

D-A

Q+-PT

答案D

解析a^+b^ab,所以A錯(cuò)誤；

ab>0,只能說明兩實(shí)數(shù)同號(hào)，同為正數(shù)，或同為負(fù)數(shù),

所以當(dāng)a<0,反0時(shí)，B錯(cuò)誤；同時(shí)C錯(cuò)誤；

彳或￡都是正數(shù)，根據(jù)基本不等式求最值，

/TX-=2,故D正確.

ba\lba

思維升華基本不等式的常見變形

跟蹤訓(xùn)練2(1)(2022?浙南名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知命題p：a>b>0,命題q：則P

是9成立的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

角星析Va>b>0,貝!］層+按>2ab,

2(〃2+62)>〃2+匕2+2ab,

2(4+b2)>(a+b)2,

二由p可推出q,

當(dāng)a<0,b<0時(shí)，命題q成立，

如a=-1,6=—3時(shí)，a=5=4.

由q推不出p,

是q成立的充分不必要條件.

⑵(2022?漳州質(zhì)檢)已知°,匕為互不相等的正實(shí)數(shù)，則下列四個(gè)式子中最大的是()

A.喂B.-+^

a-rbab

2/2

c赤D.y幣

答案B

解析Va,b為互不相等的正實(shí)數(shù)，

.1,12

3+百而,

22__1___2_

a-\~b2y[aby[abyfab'

I2巨__1____2_

Va2+b2<\j2ab,

二最大的是5+與

題型三基本不等式的實(shí)際應(yīng)用

例5小王于年初用50萬元購(gòu)買了一輛大貨車，第一年因繳納各種費(fèi)用需支出6萬元，從第

二年起，每年都比上一年增加支出2萬元，假定該車每年的運(yùn)輸收入均為25萬元.小王在該

車運(yùn)輸累計(jì)收入超過總支出后，考慮將大貨車作為二手車出售，若該車在第x年年底出售，

其銷售價(jià)格為(25—?jiǎng)袢f元(國(guó)家規(guī)定大貨車的報(bào)廢年限為10年).

(1)大貨車運(yùn)輸?shù)降趲啄昴甑祝撥囘\(yùn)輸累計(jì)收入超過總支出？

(2)在第幾年年底將大貨車出售，能使小王獲得的年平均利潤(rùn)最大？(利潤(rùn)=累計(jì)收入+銷售收

入一總支出)

解(1)設(shè)大貨車運(yùn)輸?shù)降趚年年底，

該車運(yùn)輸累計(jì)收入與總支出的差為y萬元，

則y=25x-[6x+x(x-l)]-50=-x2+20x-50(0<x<10,xWN*),

由一N+20X—50>0,可得10—5陋<XW10.

因?yàn)?<10-5^2<3,

所以大貨車運(yùn)輸?shù)降?年年底，該車運(yùn)輸累計(jì)收入超過總支出.

(2)因?yàn)槔麧?rùn)=累計(jì)收入+銷售收入一總支出，

所以二手車出售后，

小王的年平均利潤(rùn)為*=19—Q+§)W19—2平=9,當(dāng)且僅當(dāng)x=§,即x=5時(shí),

等號(hào)成立，

所以小王應(yīng)當(dāng)在第5年年底將大貨車出售，能使小王獲得的年平均利潤(rùn)最大.

【教師備選】

某高級(jí)中學(xué)高二年級(jí)部為了更好的督促本年級(jí)學(xué)生養(yǎng)成節(jié)約用水、珍惜糧食、愛護(hù)公物的良

好習(xí)慣，現(xiàn)要設(shè)計(jì)如圖所示的一張矩形宣傳海報(bào)，該海報(bào)含有大小相等的左中右三個(gè)矩形欄

目，這三欄的面積之和為60000cm?,四周空白的寬度為10cm,欄與欄之間的中縫空白的

寬度為5cm.怎樣確定矩形欄目高與寬的尺寸，能使整個(gè)矩形海報(bào)面積最小，其最小值是

cm2.

答案72600

解析設(shè)矩形欄目的高為acm,寬為6cm,

由題意可得3a6=60000,

所以必=20000,即6="詈，

所以該海報(bào)的高為(a+20)cm,

寬為(3b+10X2+5X2)cm,即(3b+30)cm,

所以整個(gè)矩形海報(bào)面積

S=(a+20)(36+30)=3ab+30a+60b+600

,(,40000、,、/40000,

=303+26)+60600=30"+—―J+60600230X2、/o―-—+60600

=30X400+60600=72600,

當(dāng)且僅當(dāng)。=也詈，即a=200時(shí)等號(hào)成立，

所以當(dāng)廣告欄目的高為200cm,寬為100cm時(shí)，能使整個(gè)矩形海報(bào)面積最小，其最小值是

72600cm2.

思維升華利用基本不等式求解實(shí)際問題時(shí)，要根據(jù)實(shí)際問題，設(shè)出變量，注意變量應(yīng)滿足

實(shí)際意義，抽象出目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式，建立數(shù)學(xué)模型，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.

跟蹤訓(xùn)練3網(wǎng)店和實(shí)體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在未來一段時(shí)期內(nèi)，成為商業(yè)的一個(gè)主

要發(fā)展方向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2021年10月起開展網(wǎng)絡(luò)銷售與實(shí)體店體驗(yàn)

安裝結(jié)合的銷售模式.根據(jù)幾個(gè)月運(yùn)營(yíng)發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷量尤萬件與投入實(shí)體店體驗(yàn)安裝的

費(fèi)用t萬元之間滿足函數(shù)關(guān)系式x=3—后.已知網(wǎng)店每月固定的各種費(fèi)用支出為3萬元，產(chǎn)

品每1萬件進(jìn)貨價(jià)格為32萬元，若每件產(chǎn)品的售價(jià)定為“進(jìn)貨價(jià)的150%”與“平均每件產(chǎn)

品的實(shí)體店體驗(yàn)安裝費(fèi)用的一半”之和，則該公司最大月利潤(rùn)是______萬元.

答案37.5

解析由題意知/=￡—設(shè)該公司的月利潤(rùn)為y萬元，則y=(32X150%+(1

—32x—3—1=16x—2—3=16%—3_—3=45.5—16(3—x)~\~W45.5—2-\/16=37.5,

當(dāng)且僅當(dāng)x=#■時(shí)取等號(hào)，

即最大月利潤(rùn)為37.5萬元.

拓展視野

柯西不等式

柯西不等式是法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家柯西（Cauchy,1789—1857）發(fā)現(xiàn)的，

故命名為柯西不等式.柯西不等式是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的不等式，除了用柯西不等式來證

明一些不等式成立外，柯西不等式還常用于選擇、填空求最值的問題中，借助柯西不等式的

技巧可以達(dá)到事半功倍的效果.

1.（柯西不等式的代數(shù)形式）設(shè)a,b,c,d均為實(shí)數(shù)，貝|（蘇+62）（廿+/）》（℃+從/）2,

當(dāng)且僅當(dāng)a4=6c時(shí)，等號(hào)成立.

推廣一般情形：設(shè)的，。2,…，斯，bi,岳，…，

2

則（4+-I----F點(diǎn)）（濟(jì)+bi-\-----F隰）2（〃協(xié)1+〃2萬2H----Fanbn）

（當(dāng)且僅當(dāng)為=0（7=1,2,…,〃）或存在一個(gè)實(shí)數(shù)后,使得〃尸也（1=1,2,…，。時(shí),等號(hào)成立）.

2.（柯西不等式的向量形式）設(shè)“，夕為平面上的兩個(gè)向量，則|可叫2|〃/|,當(dāng)且僅當(dāng)少是零向

量，或存在實(shí)數(shù)上,使G=S時(shí)，等號(hào)成立.

3.（柯西不等式的三角不等式）設(shè)為，>1,X2,>2,X3,仍為任意實(shí)數(shù)，則：

7（%1-%2）2+。1—（X2-X3>+。2一>A

（為一元3）2+Qi一"產(chǎn)

一、利用柯西不等式求最值

例1已知羽y滿足x+3y=4,則4好+產(chǎn)的最小值為.

答案37

解析（x+3y）2W（4%2+y2）（；+9）,

、464

所以4x2+y2^16X—=—,

當(dāng)且僅當(dāng)y=12x時(shí)，等號(hào)成立，

64

所以4N+V的最小值為導(dǎo)

例2已知正實(shí)數(shù)X,y,Z滿足N+y2+z2=l,正實(shí)數(shù)〃，b,C滿足〃2+02+C2=9,則以+

by+cz的最大值為.

答案3

解析（Qx+Z?y+cZ）2W（〃2+b2+c2）.（x2+y2+z2）=9,

?\ax+by+cz^3,

當(dāng)且僅當(dāng)a=3x,b=3y,c=3z時(shí)取“=”，

*.ax-\~by-\~cz的最大值為3.

例3函數(shù)y=5市二1+，103石'的最大值為.

答案6小

解析y=(5y/x—1+^10-2鏟=(5y/x—1+也々5一鏟W(52+2)(x—1+5—X)=108,當(dāng)且僅

當(dāng)了=^^時(shí)等號(hào)成立，,yWsp.

二、利用柯西不等式證明不等式

像+能@+。2)2.

例4已知〃1，〃2,bl，歷為正實(shí)數(shù),求證：(防歷+。2岳)」

證明(。1d+。2b2)(胃+勻

=(〃1+〃2)2.

當(dāng)且僅當(dāng)仇=。2時(shí)，等號(hào)成立.

例5已知〃1，。2，…，斯都是實(shí)數(shù)，求證:

：(。1+〃2+…+斯yw山+G3H—?-忌.

證明根據(jù)柯西不等式，有(I2+I2H---bl2)(曷+龍+…+忌)2(1X〃i+lX〃2+~+lXan)2,

〃個(gè)

所以］(czi+a2H---Ha”)2W出+龍H---\-dji.

課時(shí)精練

過基礎(chǔ)保分練

1.下列函數(shù)中，最小值為2的是()

,2

A.y=x-\--

尤2+3

B-尸庫(kù)7

C.y=ex+e-x

D.logu+logx3(0<x<1)

答案C

2

解析當(dāng)x<0時(shí)，y=x+-<0,故A錯(cuò)誤;

尸曲=乒+春河

當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)瓦=42，

即N=—1時(shí)取等號(hào)，

■:丑豐—1,故B錯(cuò)誤；

尸e*+eF22擊斯^=2,

當(dāng)且僅當(dāng)ex=e~x,

即％=0時(shí)取等號(hào)，故C正確；

當(dāng)x￡（0,l）時(shí)，y=log3X<0,故D錯(cuò)誤.

22

2.（2021?新高考全國(guó)I）已知涇,巳是橢圓C：，+§=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則|加凡卜|回/2|

的最大值為（）

A.13B.12C.9D.6

答案C

解析由橢圓C：弓+?=1,

#|MFI|+|MF2|=2X3=6,

則昭所卜州尸2忘產(chǎn)也號(hào)嗎>=32=9,當(dāng)且僅當(dāng)|MFI|=|MBI=3時(shí)等號(hào)成立.

42〃2（〃+匕）2

3.（2022?蘇州模擬）若a,b是正常數(shù)，a不b,x,y￡（0,+°°）,則/+笠2,當(dāng)且僅

當(dāng)詈當(dāng)寸取等號(hào).利用以上結(jié)論,函數(shù)曲丁,xd（o,或取得最小值時(shí)X的值為（）

xyx1Lx\乙1

A|B|C.#D.j

答案A

2949

解析Ax）=-+—=^+—

"25

2

231

當(dāng)且僅當(dāng)（=三>即x=2時(shí)等號(hào)成立.

4.（2022?重慶模擬）已知x>2,y>l,（無一2）。-1）=4,貝Ux+y的最小值是（）

A.1B.4

C.7D.3+V17

答案C

解析Vx>2,y>l,（尤-2）&—1）=4,

.??x+y=a—2)+(y—1)+32

2^/(x-2)(y-l)+3=7,

當(dāng)且僅當(dāng)=3’時(shí)等號(hào)成立.

5.已知不等式（x+y）G+gj》9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為（）

5y/

A.2B.4C.6D.8

答案B

解析已知不等式。+）0@+：）29對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y恒成立，只要求（x+y）g+的最小值

大于或等于9,

（x+y）（：+3=1+a+^+~

'，，\xyjxy

當(dāng)且僅當(dāng)、=如時(shí)，等號(hào)成立，

129,

出22或也忘一4（舍去），；.aN4,

即正實(shí)數(shù)。的最小值為4.

6.（2022?湖南五市十校聯(lián)考）原油作為“工業(yè)血液”“黑色黃金”，其價(jià)格的波動(dòng)牽動(dòng)著整個(gè)

化工產(chǎn)業(yè)甚至世界經(jīng)濟(jì).小李在某段時(shí)間內(nèi)共加油兩次，這段時(shí)間燃油價(jià)格有升有降，現(xiàn)小

李有兩種加油方案：第一種方案是每次加油40升，第二種方案是每次加油200元，則下列說

法正確的是（）

A.第一種方案更劃算B.第二種方案更劃算

C.兩種方案一樣D.無法確定

答案B

解析設(shè)小李這兩次加油的油價(jià)分別為x元/升、y元/升（xWy）,貝U

方案一：兩次加油平均價(jià)格為

40x+40yx+y廠

-80-孫’

方案二：兩次加油平均價(jià)格為

400_____2孫I-

2001200=x+v<^%y,

xy

故無論油價(jià)如何起優(yōu)，方案二比方案一更劃算.

7.（多選）（2022?重慶渝中區(qū)模擬）已知正實(shí)數(shù)a,b滿足a>0,b>0,且a+b=l,則下列不等

式成立的有（）

A.2"+2*2仙B.?2+Z?2<l

C—4D.a+&2

a

答案AB

解析?：2—平^=2乖^=2用,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),AA正確;

*.*a2+抉<〃2+82+2ab=（〃+。>=1,

???B正確;

.A1。+，）?+0=2+b'得a

abab

*+2\/沁=4,

當(dāng)且僅當(dāng)。=b時(shí)取等號(hào)，???C錯(cuò)誤;

?Q>0,b>0,..Ovavl,

,+%2〃1=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=l時(shí)取等號(hào),

.,.a+5>2,D錯(cuò)誤.

8.（多選）設(shè)〃>0,。>0,則下列不等式中一定成立的是（）

吸2abI~~~

A.Q+Z?+^^22B.—->ylab

a+bv

〃2十。2

D.3+叱+原4

C.--F=^^a+b

7ab

答案ACD

解析因?yàn)椤?gt;O,Z?>0,

所以G+Z?+三》2位,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b且2d茄=

J2

即Q=Z?=勺時(shí)取等號(hào)，故A正確;

因?yàn)閍-\-b^2\[ab>0,

所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),

故B錯(cuò)誤;

labV2ab

因?yàn)?^ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào),

a~\~b^2y[ab

〃2+/2（〃+b）2-2R?

所以:=。+6—空》

a~\~ba~\~ba-rb

2\[ab—y[ab=y[ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，

宗-|-62〃2_|2

所以工〃益,即--Fy-^a+b,故C正確；

a-\~byjab

因?yàn)槲?b）9+g=2+”+注2+2\的吊=4,當(dāng)且僅當(dāng)〃=b時(shí)取等號(hào)，故D正確.

ex/D\/dD

9.若0<x<2,則村4-口的最大值為.

答案2

解析：0a<2,

,___,_____2+4—X2

x\/4—x2=^/x2（4—x2）WX-----2~~=2,

當(dāng)且僅當(dāng)x2=4—N,即彳=地時(shí)取.

10.（2022?百師聯(lián)盟聯(lián)考）已知a>0,b>0,且a+2b=2",則ab的最小值為,2a+

b的最小值為.

9

答案22

解析'：a+2b=2ab,

2詔2242曲即ab>2,

當(dāng)且僅當(dāng)a=26,即6=1,。=2時(shí)等號(hào)成立，

故ab的最小值為2.

'：a+2b=2ab,

2a+b=（2,a+舊

=蛇21+與b+”aj）

^1（5+2*V4）=|,

當(dāng)且僅當(dāng)工=§,即。=人=|時(shí)等號(hào)成立，

9

2a+b的最小值為不

11.（2022?郴州模擬）習(xí)近平同志提出：鄉(xiāng)村振興，人才是關(guān)鍵，要積極培養(yǎng)本土人才，鼓勵(lì)

外出能人返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè).為鼓勵(lì)返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，某鎮(zhèn)政府決定投入“創(chuàng)業(yè)資金”和開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培

訓(xùn)I”幫扶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員.預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府每年投入的“創(chuàng)業(yè)資金”構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列｛詼｝（單

位：萬元，"WN*）,每年開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”投入的資金為第一年創(chuàng)業(yè)資金ai的3倍，已

知解+鬲=72.則預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計(jì)總投入資金的最大值為萬元.

答案120

解析由題意得，五年累計(jì)總投入資金為

〃1+〃2+〃3+〃4+〃5+5X3〃1=5g+15。1

=5（俏