2024屆上海市數學高三第一學期期末教學質量檢測模擬試題含解析

2024屆上海市上海中學東校區(qū)數學高三第一學期期末教學質量檢測模擬試題

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

2

1.已知雙曲線C:一一==13>0）的一條漸近線方程為），=2缶，K，B分別是雙曲線C的左、右焦點，點尸

在雙曲線C上,且附=3,則陽=（）

A.9B.5C.2或9D.1或5

2

2.在AABC中，C=30°,cosA=--,=—2,則AC邊上的高為（）

A.立B.2C.75D.叵

22

3.已知函數/（x）=（"l）庇若對任意xeR,都有/（x）<l成立，則實數左的取值范圍是（）

A.（-oo,1—e）B.（1—C.（-e,0]D.（1-e,l]

生中，如果/geos/=fesmC-/gsiaB=-應2，貝!的形狀是（）

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

5.新聞出版業(yè)不斷推進供給側結構性改革，深入推動優(yōu)化升級和融合發(fā)展，持續(xù)提高優(yōu)質出口產品供給，實現了行業(yè)

的良性發(fā)展.下面是2012年至2016年我國新聞出版業(yè)和數字出版業(yè)營收增長情況，則下列說法錯誤的是（）

我國新聞出版產業(yè)和數字出版業(yè)營收增長情況

25000.0-23595.8

18-21655.9

182464l99AeL*ri

200000-

150000-

100000-

5000.0-1043387.744035"-4

nnH口「1

0.0-

2012年20”年2014年2015年2016年

□數字出版業(yè)營業(yè)收入（億元）

□新聞出版業(yè)營業(yè)收入（億元）

A.2012年至2016年我國新聞出版業(yè)和數字出版業(yè)營收均逐年增加

B.2016年我國數字出版業(yè)營收超過2012年我國數字出版業(yè)營收的2倍

C.2016年我國新聞出版業(yè)營收超過2012年我國新聞出版業(yè)營收的1.5倍

D.2016年我國數字出版營收占新聞出版營收的比例未超過三分之一

6.已知命題p：是"2">2"”的充要條件；qHxeR,|x+l區(qū)x,則（）

A.（T>）vq為真命題B.Pvq為真命題

C.，八4為真命題D.〃人（「4）為假命題

7.某幾何體的三視圖如圖所示，圖中圓的半徑為1,等腰三角形的腰長為3,則該幾何體表面積為（）

4A

;iEW百7一福郵嘲

Q>z

tavtm

A.7萬B.67rC.5萬D.4萬

8.已知M是函數f(x)=1nx圖象上的一點，過“作圓％2+,2-2)=0的兩條切線,切點分別為AB,則

的最小值為()

c/y

A.2A/2-3B--1C.0D.2--3

2

x+y-l>0

9.已知實數x，.V滿足不等式組(2x—y+4?0,則|3x+4y|的最小值為()

4x+y—4W0

A.2B.3C.4D.5

2Q

10.已知函數/(x)=-------j—,g(x)=-x+m+2,若對任意為e[1,3],總存在/e[1,3],使得/&)=g(%)

成立，則實數加的取值范圍為()

A.^,9B.1-?[9,+8)

-179](171,T9、

C.—D.-00,--,+oo

1.42」14jL2)

11.若直線2x+y+機=0與圓/+2%+/一23；-3=0相交所得弦長:為26，則"？=()

A.1B.2C.75D.3

x-2y-2<0

12.若x、>滿足約束條件y+120，則z=3x+2y的最大值為（）

A.5B.9C.6D.12

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

-x-y>0

13.若x，）‘滿足約束條件x+y-240,則z=3x—2y的最小值是,最大值是.

y>0

14.如圖，在正四棱柱ABC。一中，P是側棱CG上一點，且￡P=2PC.設三棱錐P—DQB的體積為匕，

正四棱柱ABC。-44G9的體積為V,則孑的值為.

15.如圖所示，在直角梯形3CDF中，NCBF=NBCE=90，A、O分別是8/、CE上的點，AD//BC,且

AB=DE=2BC=2AF（如圖①）.將四邊形ADE/沿AO折起，連接跖、BF、CE（如圖②）.在折起的過程中,

則下列表述：

圖①圖②

①AC//平面BEF;

②四點8、C、E、F可能共面；

③若￡F_LCE,則平面ADE/_L平面ABCD；

④平面BCE與平面BEF可能垂直.其中正確的是.

16.復數z=——(i為虛數單位)的虛部為.

1+z

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)某機構組織的家庭教育活動上有一個游戲，每次由一個小孩與其一位家長參與，測試家長對小孩飲食習

慣的了解程度.在每一輪游戲中，主持人給出A,B,C,。四種食物，要求小孩根據自己的喜愛程度對其排序，然后

由家長猜測小孩的排序結果.設小孩對四種食物排除的序號依次為XAXeXBD,家長猜測的序號依次為加了成40,其中

222

XAXBXCX”和NUpycyo都是1,2,3,4四個數字的一種排列.定義隨機變量X=(x/i-+(x?-JB)+(xc-jc)+

(切-yQ2,用X來衡量家長對小孩飲食習慣的了解程度.

(1)若參與游戲的家長對小孩的飲食習慣完全不了解.

(i)求他們在一輪游戲中，對四種食物排出的序號完全不同的概率；

(ii)求X的分布列(簡要說明方法，不用寫出詳細計算過程)；

(2)若有一組小孩和家長進行來三輪游戲，三輪的結果都滿足XV4,請判斷這位家長對小孩飲食習慣是否了解，說

明理由.

18.(12分)已知橢圓。:三+今=1(4>〃>0)的離心率為孝，且過點(1,手).

(I)求橢圓C的方程；

(H)設。是橢圓。上且不在x軸上的一個動點，。為坐標原點，過右焦點尸作。。的平行線交橢圓于“、N兩個

不同的點，求匕|M號N|的值.

IOQr

x=—+cosa

19.(12分)在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(々為參數).以原點。為極點，x軸

的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位，建立極坐標系.

7F

(1)設直線/的極坐標方程為夕=2,若直線/與曲線C交于兩點A.B,求A3的長；

12

7[

(2)設M、N是曲線C上的兩點，若NMON=—,求AOMN面積的最大值.

2

-12

20.(12分)已知矩陣加=-的一個特征值為3,求另一個特征值及其對應的一個特征向量.

21.(12分)已知函數/(幻=龍/一。02'(aeR)在定義域內有兩個不同的極值點.

(1)求實數。的取值范圍;

(2)若/(x)有兩個不同的極值點不，x2,且不<馬，若不等式玉+/1工2>0恒成立?求正實數X的取值范圍?

22.（10分）在多面體A6CO斡中，四邊形A8CO是正方形，CF1YWABCD,CFDE,AB=CF=2DE=2,

G為BE的中點.

(1)求證：CGJ_A尸；

(2)求平面86與平面AEE所成角的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解題分析】

根據漸近線方程求得人，再利用雙曲線定義即可求得月月.

【題目詳解】

由于9=20,所以。=2夜，

a

又歸周一出剛=2且|P司2c-a=2,

故選：B.

【題目點撥】

本題考查由漸近線方程求雙曲線方程，涉及雙曲線的定義，屬基礎題.

2、C

【解題分析】

結合正弦定理、三角形的內角和定理、兩角和的正弦公式，求得BC邊長，由此求得AC邊上的高.

【題目詳解】

過B作比）_LC4,交C4的延長線于。.由于cos4=—|,所以A為鈍角，且sinA=Jl—cos2A,所以

sinNCBA=sin（"一ZCS4）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=x---x—=~-.在三角形

32326

/BCV15-2

ABC中，由正弦定理得，一即不=而一2，所以8c=2指.在MA5c。中有

sinAsinB---------

36

BD=BCsinC=2后乂；=后,即AC邊上的高為石.

故選：C

R

【題目點撥】

本小題主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的內角和定理、兩角和的正弦公式，屬于中檔題.

3、D

【解題分析】

先將所求問題轉化為伏-1)X<《對任意X€R恒成立，即y=｝得圖象恒在函數

y=(左-l)x圖象的上方，再利用數形結合即可解決.

【題目詳解】

由/")<1得—由題意函數y=/得圖象恒在函數y=(A-I)x圖象的上方，

作出函數的圖象如圖所示

過原點作函數y=4的切線，設切點為（。,份，則-e"h1

,解得a=-l,所以切

eaae

線斜率為-e,所以一e<Z—1W0,解得1—e<A:Wl.

故選：D.

【題目點撥】

本題考查導數在不等式恒成立中的應用，考查了學生轉化與化歸思想以及數形結合的思想，是一道中檔題.

4、B

【解題分析】

化簡得，gcosA=/g辿￡=-1g2,.sineI,結合0</<兀，可求/_，，Wp,r，_sinC=JsinB,從而可求

京cosA-茄=54=3B+C-3；

C,B,進而可判斷.

【題目詳解】

由kcos/=feme-fesin5=-也2,可得lScosA=/磊=一蛇，,煩/=篝=:'

0<A<nfjR〃-烈???sinf=，sin5=4m（空,7.,.tanC=4i,C=^,B=^.

；in

v"“A-3B+C-32?MycosC+/mC762

故選：B

【題目點撥】

本題主要考查了對數的運算性質的應用，兩角差的正弦公式的應用，解題的關鍵是靈活利用基本公式，屬于基礎題.

5、C

【解題分析】

通過圖表所給數據，逐個選項驗證.

【題目詳解】

根據圖示數據可知選項A正確;對于選項B：1935.5x2=3871<5720.9,正確;對于選項C：16635.3x1.5>23595.8,

故C不正確；對于選項D：23595.8x1?7865>5720.9,正確.選C.

3

【題目點撥】

本題主要考查柱狀圖是識別和數據分析，題目較為簡單.

6、B

【解題分析】

由y=2'的單調性，可判斷p是真命題；分類討論打開絕對值，可得q是假命題，依次分析即得解

【題目詳解】

由函數y=2、是R上的增函數，知命題p是真命題.

對于命題q,當x+120,即xN—1時，|x+=x+1>x;

當x+l<0,即x<—1時，|x+l|=-x—1,

由一次—得光=一5,無解，

因此命題q是假命題.所以(「P)vq為假命題，A錯誤；

為真命題，B正確；

〃八夕為假命題，C錯誤；

“△(r)為真命題，D錯誤.

故選：B

【題目點撥】

本題考查了命題的邏輯連接詞，考查了學生邏輯推理，分類討論，數學運算的能力，屬于中檔題.

7、C

【解題分析】

幾何體是由一個圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1,圓錐的母線長為3,底面半徑為1,計算得到答案.

【題目詳解】

幾何體是由一個圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1,圓錐的母線長為3,底面半徑為1,故幾何體的表面積為

1,

—x3x2萬+2萬=5萬.

2

故選：C.

【題目點撥】

本題考查了根據三視圖求表面積，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.

8、C

【解題分析】

先畫出函數圖像和圓，可知若設NAMB=28,貝加加4卜囚5卜烹，所以

MA-MB=\MA^cos2^=2sin2^+—V--3,而要求的最小值，只要sin。取得最大值，若設圓

sm0

%2+9一2》=0的圓心為C,貝|sin?=而，所以只要|MC|取得最小值，若設M(x,lnx),則

|MC|2=x2+(lnx-l)2,然后構造函數g(x)=x2+(lnx-1%利用導數求其最小值即可.

【題目詳解】

記圓％2+y2-2y=0的圓心為C,設Z4MC=e,貝!||M川=|班=3，岡11。=而，設

M(x,Inx),\MC^=X2+(Inx-1)2,記g(無)=1+(in無一1尸，貝ij

g'(x)=2x+2(lnx-l)?一=一(一+lnx-l),令〃(x)=x2+lnx-1,

xx

因為〃(乃=1+111%-1在(0,+8)上單調遞增，且/z(l)=O,所以當O<X<1時，，2(x)</z(l)=0,g'(x)<0；當X>1

時，/7(x)>〃(l)=0,g'(x)>0,則g(x)在(0,1)上單調遞減，在(I,”)上單調遞增，所以g(x)1nhi=g(D=2,即

1,所以412cos26=2sin2e+一一一3>0(當sin6=立時等號成立).

|MC|?/2,0<sin6>

2sin'32

此題考查的是兩個向量的數量積的最小值，利用了導數求解，考查了轉化思想和運算能力，屬于難題.

9、B

【解題分析】

3

作出約束條件的可行域，在可行域內求z=3x+4.v的最小值即為|3x+4y|的最小值，作y=-1x,平移直線即可求解.

【題目詳解】

x+y-l>0

作出實數X，)'滿足不等式組《2x—y+4N0的可行域，如圖(陰影部分)

4x+y-440

故Zmin=3xl+0=3,

即|3x+4y|的最小值為3.

故選：B

【題目點撥】

本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，解題的關鍵是作出可行域、理解目標函數的意義，屬于基礎題.

10、C

【解題分析】

將函數/(x)解析式化簡,并求得尸(x)，根據當％e[1,3]時/'(x)>0可得/(占)的值域；由函數g(x)=r+加+2

在9e[1,3]上單調遞減可得g(w)的值域，結合存在性成立問題滿足的集合關系，即可求得的取值范圍.

【題目詳解】

依題意/(x)/+3，+3「2+x+2(x+l)+l

v7x+1x+1

=XH-----------F2

X4-19

貝M'(X)=1—L

(x+1)

當xe［l,3］時，_f(x)>(),故函數〃x)在［1,3］上單調遞增,

「「

當辦<1,3］時,〃西)€匕7,121

而函數8(%)=-％+加+2在［1,3］上單調遞減，

故g(X2)e［mT,m+l］，

"721~1

則只需+

24

故~；2解得1丁7《加《9

,、2142

Z72+1>——

I4

'179"

故實數/〃的取值范圍為—.

_42_

故選：C.

【題目點撥】

本題考查了導數在判斷函數單調性中的應用，恒成立與存在性成立問題的綜合應用，屬于中檔題.

11、A

【解題分析】

將圓的方程化簡成標準方程，再根據垂徑定理求解即可.

【題目詳解】

圓/+2x+/一2y-3=0的標準方程(x+1尸+(y-=5,圓心坐標為(-1,1)，半徑為小，因為直線2x+y+m=Q

與圓/+2%+/一2了-3=0相交所得弦長為2班,所以直線2%+丁+m=0過圓心,得2*(-1)+1+m=0,即加=1.

故選：A

【題目點撥】

本題考查了根據垂徑定理求解直線中參數的方法，屬于基礎題.

12、C

【解題分析】

作出不等式組所表示的可行域，平移直線z=3x+2y,找出直線在)，軸上的截距最大時對應的最優(yōu)解，代入目標函數

計算即可.

【題目詳解】

x—2y—2<0

作出滿足約束條件x-y+120的可行域如圖陰影部分（包括邊界）所示.

y<0

3z3z3z

由z=3x+2y,得y二一不彳+孑，平移直線y=—；x+5,當直線y=-;x+w經過點（2,0）時，該直線在），軸上

222222

的截距最大，此時z取最大值，

即Zmax=3x24-2x0=6.

故選：C.

【題目點撥】

本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，考查線性目標函數的最值，一般利用平移直線的方法找到最優(yōu)解，考查數形結合思想

的應用，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、06

【解題分析】

作不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數的幾何意義，即可求出結果.

【題目詳解】

31

求z=3x-2y的最值，即求直線y=在＞軸上的截距最小和最大時，

當直線2=3%一2），過點。（0,0）時，）’軸上截距最大，即z取最小值，

z.=3x0-2x0=0.

當直線z=3x-2），過點8（2,0）時，＞軸上截距最小，即z取最大值，

z“心=3X2-2X0=6?

故答案為：0;6.

【題目點撥】

本題主要考查了線性規(guī)劃中的最值問題，利用數形結合是解決問題的基本方法，屬于中檔題.

1

14、-

6

【解題分析】

設正四棱柱A8C。-48。。的底面邊長==高44=人，再根據柱體、錐體的體積公式計算可得.

【題目詳解】

解：設正四棱柱ABC?！?4C2的底面邊長AB=8C=a,=b,

o

則1Gl^ABCDX—Clb,

Vp-DQB=VB-D'DP~SADQP'BC=^x^aba=^a2b

-VpfDB_1匕_1

??一,即--——

匕BCD-A禺GD]6V6

故答案為：7

6

【題目點撥】

本題考查柱體、錐體的體積計算，屬于基礎題.

15、①（§）

【解題分析】

連接AC、BD交于點M,取8E的中點N,證明四邊形AKVM為平行四邊形，可判斷命題①的正誤；利用線面平

行的性質定理和空間平行線的傳遞性可判斷命題②的正誤；連接。尸，證明出WEF,結合線面垂直和面面垂直

的判定定理可判斷命題③的正誤；假設平面8CE與平面孤下垂直，利用面面垂直的性質定理可判斷命題④的正誤.

綜合可得出結論.

【題目詳解】

對于命題①，連接AC、BD交于點M，取BE的中點M、N,連接MN、FN,如下圖所示:

則且AF7/OE,四邊形A8CO是矩形，且ACB￡>=為8□的中點，

2

QN為BE的中點，；.MN//DE且MN=^DE,：.MN〃AF且MN=AF,

，四邊形AfTVW為平行四邊形，.?.A〃〃MV,即AC//FN,

ACZ平面3EF,FNu平面BEF,，AC”平面BEF，命題①正確；

對于命題②，QBC//AD,8。2平面4。所，的匚平面也后/?二8^^/平面人力所，

若四點8、C、E、F共面，則這四點可確定平面。，則BCua,平面。平面4）上尸=石尸，由線面平行的性

質定理可得BC//EF,

則瓦7/AO,但四邊形4DE戶為梯形且AD、EF為兩腰,AO與EF相交，矛盾.

所以，命題②錯誤；

對于命題③，連接。尸、CF,設AD=A尸=a,則O￡=2a,

7T

在必AA￡＞尸中，AD^AF^a,ZDAF=~,則A4QE為等腰直角三角形，

2

且ZAFD=ZADF=工,DF=后，："EDF=4,且?！?2a,

44

由余弦定理得EF2=DE2+DF2-1DEDFcosZEDF=2a2,：,DF2+EF2=DE2，

:.DFA.EF,又：EF上CF,DFCF=F,EF工平面CDF,

CDu平面CDF,:.CD上EF,

CDLAD,AD，族為平面ADEF內的兩條相交直線，所以，CD，平面ADEF,

?.?CDu平面ABC7),，平面AD石尸_L平面ABC。，命題③正確；

對于命題④，假設平面BCE與平面BEF垂直，過點尸在平面B所內作￡G_L6￡,

平面BCE_L平面BEP，平面8CE平面BEF=BE,FGYBE,RJu平面BEE,

.?.EG，平面BCE,

8。€:平面8。七，，3。_18，

ADYAB,ADA.AF,BC//AD,BC1AB,BC1.AF,

又QA5IAF=A,..8C_L平面ABb,所＜=平面43尸，，3。_13尸.

FGBF=F,;.BC上平面BEF,EFu平面BEF,：,BC上EF.

AD/IBC,,.EF±AD,顯然EF與AZ)不垂直，命題④錯誤.

故答案為：①③.

【題目點撥】

本題考查立體幾何綜合問題，涉及線面平行、面面垂直的證明、以及點共面的判斷，考查推理能力，屬于中等題.

16、1

【解題分析】

2i2i(\一力2；+2

試題分析：：=二=，一=二^=1一,即虛部為1,故填：1.

1+：I1-:11-;12

考點：復數的代數運算

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)(i)9(ii)分布表見解析；(2)理由見解析

8

【解題分析】

(1)(i)若家長對小孩子的飲食習慣完全不了解，則家長對小孩的排序是隨意猜測的，家長的排序有24種等可

能結果，利用列舉法求出其中滿足“家長的排序與對應位置的數字完全不同”的情況有9種，由此能求出他們在一輪游

戲中，對四種食物排出的序號完全不同的概率.

(ii)根據(D的分析，同樣只考慮小孩排序為1234的情況，家長的排序一共有24種情況，由此能求出X的分布列.

(2)假設家長對小孩的飲食習慣完全不了解，在一輪游戲中，P(X<4)=P(X=0)+P(X=2)=!，三輪游戲結果

都滿足“XV4”的概率為一二<工，這個結果發(fā)生的可能性很小，從而這位家長對小孩飲食習慣比較了解.

2161000

【題目詳解】

(1)(O若家長對小孩子的飲食習慣完全不了解，

則家長對小孩的排序是隨意猜測的，

先考慮小孩的排序為XA,XB,xc,XD為1234的情況，家長的排序有A：=24種等可能結果，

其中滿足“家長的排序與對應位置的數字完全不同”的情況有9種，分別為：

2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321,

93

家長的排序與對應位置的數字完全不同的概率尸=一=-.

248

基小孩對四種食物的排序是其他情況，

只需將角標A,B,C,。按照小孩的順序調整即可，

假設小孩的排序XA,XB,xc,XD為1423的情況，四種食物按1234的排列為ACOB,

再研究yAyBycyD的情況即可，其實這樣處理后與第一種情況的計算結果是一致的，

他們在一輪游戲中，對四種食物排出的序號完全不同的概率為：.

O

(?)根據⑴的分析，同樣只考慮小孩排序為1234的情況，家長的排序一共有24種情況,

列出所有情況，分別計算每種情況下的x的值，

X的分布列如下表：

X02468101214161820

1]_12111]_1]_1

P

24824612nn624824

(2)這位家長對小孩的飲食習慣比較了解.

理由如下：

假設家長對小孩的飲食習慣完全不了解，由(1)可知，在一輪游戲中,

P(X<4)=尸(X=0)+P(X=2)=-,

6

三輪游戲結果都滿足“XV4”的概率為(!)3=—!<士；，

62161000

這個結果發(fā)生的可能性很小，

.?.這位家長對小孩飲食習慣比較了解.

【題目點撥】

本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合、列舉法等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.

22

18、（I）—+^-=1（II）1

42

【解題分析】

(I)由題，得e=￡=①，二+==1,解方程組，即可得到本題答案;

a2a22b2

x=my

(II)設直線。。：*=陽，則直線MN:x=my+夜，聯立＜—

x-my+V2

4m24_4AW2+4

\OQ^=x^+y2，聯立x2y21，得

Qnv+2+/+2m2+2

、42

|MN1="^\/（必+%）2-4乂%=TTTG7J（竺竺）2+Y—=/a,由此即可得到本題答案.

v1--1-Vm2+2m2+2m2+2

【題目詳解】

(I)由題可得e=￡=也，即

a222

將點1,當代入方程得*+募=1,即5+.=1，解得/=4,

22

所以橢圓C的方程為：土+匕=1；

42

(U)由(I)知,F(x/2,0)

設直線OQ：x=my,則直線=+夜，

x=my

整理得工2=有4

聯立VV%2=

-----1------1+2nr+2

142

2

所以lOOk&/+yQZ4nf44m+4

-7-----+-n-----=—；-------

m~+2tn+2trr+2

x—my+V2

聯立《尤22整理得（根2+2）丁+2y/2my-2=0,

—+^-=1

I42

設MGQJNK，%）,則乂+%=一涕叱=一品，

所以|MN|=橫+病"（乂+%）2-4%%=VF+M/（2盧加—+81—‘彳+4

V機~+2m+2+2

4m2+4

\MN_\_〃廣+2_1

所以.9.11

\0Q\24m+4

m2+2

【題目點撥】

本題主要考查橢圓標準方程的求法以及直線與橢圓的綜合問題，考查學生的運算求解能力.

19、（1）V2;（2）1.

【解題分析】

（1）利用參數方程、普通方程、極坐標方程間的互化公式即可；

（2）M（g,e）,N（02，e+3,由（1）通過計算得到s=；月夕2sin^=sin（2e+m）,即最大值為1.

【題目詳解】

（1）將曲線c的參數方程化為普通方程為（x-g]+（丁—亭）=1,

即x2+y2-x-y/3y=0；

再將Y+y2=02,X=pcos09y=psin。代入上式,

得p1-pcos。一百夕sin。=0,

故曲線C的極坐標方程為夕=2sin1e+J

顯然直線/與曲線C相交的兩點中，

必有一個為原點O,不妨設。與A重合，

即|A同=|0卻"0=工=2sin],+/=0.

12\O12/

（2）不妨設M（g,e）,+

則—QWN面積為

1.兀1c-（c兀）C-（c兀兀）

Sc—一夕]夕2sin———,2sin0-\—,2sin04---1—

2226Jy26J

=2sin（e+^cos（6+V）=sin（2e+。）

當5山（26+與）=1,即取0=1時，S—l.

【題目點撥】

本題考查參數方程、普通方程、極坐標方程間的互化，三角形面積的最值問題，是一道容易題.

20、另一個特征值為1,對應的一個特征向量a=

—1

【解題分析】

根據特征多項式的一個零點為3,可得“=i,再回代到方程/（4=0即可解出另一個特征值為4=-1,最后利用求

特征向量的一般步驟，可求出其對應的一個特征向量.

【題目詳解】

矩陣”的特征多項式為：

/⑷=12幾:=（4-1）（4-+4,

4=3是方程/"）=0的一個根，

「12一

」.（3-1）（3-a）—4=0,解得a=l,即知=2]

，方程/（4=0即（％—1）（4-1）-4=0,42—22—3=0，

可得另一個特征值為：4=-1,

,「X

設4=T對應的一個特征向量為：a~

y.

f-2x-2y=0

則由4a=A/a,得〈-^x=-y,

--2x-2y=0

令x=l,則y=-l,

所以矩陣M另一個特征值為-1,

-1

對應的一個特征向量a=

-1

【題目點撥】

本題考查了矩陣的特征值以及特征向量，需掌握特征多項式的計算形式，屬于基礎題.

(n

21、(1)0,-；(2)A>1.

【解題分析】

Y4-1

(1)求導得到彳+1-2。爐=0有兩個不相等實根，令2a=「一=/z(x),計算函數單調區(qū)間得到值域，得到答案.

X+1故/?(X])</z]—