2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷3（新題型地區(qū)專用）

2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新題型地區(qū)專用）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符

合題目要求的.

1.數(shù)據(jù)6.0,7.4,8.0,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的50百分位數(shù)為（）

A.8.4B.8.5C.8.6D.8.7

【答案】B

【解析】依題意，一組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)即為該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，

o4+S6

所以數(shù)據(jù)6.0,7.4,8.0,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的第50百分位數(shù)為二——二=8.5.故選：B

2

2.若拋物線爐=2py（p>0）上一點到焦點的距離是4p,則。的值為（）

「7

1276

【答案】A

【解析】因為拋物線V=2py（p>0）的準線為>=-勺

由題意可得：6欄=4p,解得p=T?故選：A.

3.若數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，貝-生21”是"1+。5±2"的（）

A.充要條件B.既不充分也不必要條件

C.充分不必要條件D.必要不充分條件

【答案】C

【解析】若數(shù)列｛4｝的公比為0,

由生=。421,故4>0,則%=可爐>。，

所以4+。5z2doic=羽22,當且僅當4=%，即q2=l時取等號，故充分性成立；

由q+為22,故—+若q2=（，則故必要性不成立；故選：C

4.已知a、”是空間中兩個不重合的平面，相、〃是空間中兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（）

A.若加〃〃，〃ua,則〃z〃czB.若機_L〃，〃ua,則機

C.若7〃u<z,nu/3,mHn,則a〃尸D.若nL/3,m±n,則1_L/?

【答案】D

【解析】A：若根〃"，"ua,則m〃a或mua,錯；

B：若根_L〃，nua,則優(yōu)與a相交或“zue,不一定有錯；

C：若mua,nu/3,miln,則a,6平行或相交，錯；

D：若相，a,則直線的方向向量分別為a,力的法向量，

又山」”,即平面法向量垂直，所以對.故選：D

5.將5本不同的書(2本文學(xué)書、2本科學(xué)書和1本體育書)分給甲、乙、丙三人，每人至少分得1本書,

每本書只能分給一人，其中體育書只能分給甲、乙中的一人，則不同的分配方法數(shù)為()

A.78B.92C.100D.122

【答案】C

【解析】若將體育書分給甲，當剩余4本書恰好分給乙、丙時，

「202

此時的分配方法有c；?C；?A；+當/?A；=14種，

當剩余4本書恰好分給甲、乙、丙三人時，此時的分配方法有C[A；=36種.

綜上，將體育書分給甲，不同的分配方法數(shù)是14+36=50.

同理，將體育書分給乙，不同的分配方法數(shù)也是50.

故不同的分配方法數(shù)是50+50=100.故選：C

6.正一ABC邊長為2,點P是一AfiC所在平面內(nèi)一點，且滿足BP：#,若AP=2AB+〃AC,則幾+〃的

最小值是()

A.|B.更C.2D.氈

【答案】A

【解析】正..ABC邊長為2,點P是一/1BC所在平面內(nèi)一點，且滿足8尸=走，

2

建立平面直角坐標系，如圖所示：

則4(0,?5(-1,0),C(l,0),

由于點尸在以(-1,0)為圓心，正為半徑的圓上，

2

所以P點的坐標為1-I+孝cosd^sinJ],

所以AB=(-1,-若)，AC=(1,-V3),AP=(T+*cos。,咚sin。-石)，

由于AP=AAB+juAC,

:(―1H—^-cosa5-sin6-5/^)=4(-1,-+〃(1,-,

當6=270。時，sin6=-l,即（4+〃）皿=-；+「；.故選：A.

則sin3a=()

7.已知tana=2,

sina+cosa

2_2_

A.-B.—C.二D.

9159-15

【答案】D

［解析］.s1113a_sinacos2a+cosasin2a_tanacos2a+sin2a

sincr+coscrsina+cosatana+1

2cos2。+sin2a2（cos2cr-sin26Z）+2sinacosa2（1-tan2。）+2tan。2

=------；------=------------------------=——7N—x-=一.故選：D

33^sin2cr+cos2crj3（tan2cif+lj15

22

8.已知雙曲線C：1r-}=1Q>O,"O）的左頂點為AP（c,0）是雙曲線C的右焦點，點P在直線x=2c上，且

tan—AP尸的最大值是逅，則雙曲線C的離心率是（）

6

A.273B.2+A/7C.2痣D.4+2用

【答案】B

【解析】如圖，直線尤=2c與x軸交于點〃，設(shè)|尸刊=加，則tan/Pm=',tan/PA"="-.

11ca+2c

因為NAPb=N7小H—,

tanZPFH-tanZPAH

所以tanZAPF=tan(NPFH-ZPAH)=

1+tanZPFHtanZPAH

mm

=+2c=，"（a+c）=a+c

加mac+2c2+m1ac+2c2'

n-----------mH------------

ca+2cm

因為“0+2L爾收+2c2,當且僅當〃z=J及+2c2時,等號成立，

m

所以tanZAPF<廣十°,=￡,整理得c之一4ac—3/=0,

2Jac+2c26

則e2-4e-3=0,解得e=2+J7.故選：B

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求,

全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.在復(fù)平面內(nèi)，下列說法正確的是（）

A.若復(fù)數(shù)z滿足z「=0，則z=0

B.若復(fù)數(shù)4、Z2滿足區(qū)+馬|=卜1-品|,則乎2=。

C.若復(fù)數(shù)4、Z2滿足㈤=㈤，則z；=z；

D.若|z|=l,則|?+l+i|的最大值為0+1

【答案】AD

【解析】對于A,設(shè)2=。+歷,a,6wR,則z-z=(a+bi)(a-bi)=/+/=0,于是。=6=0,z=0,A正確;

對于B,令復(fù)數(shù)4=1、z2=i,顯然[z]+Z2]=|l+i|=0JZ]-Z2|=|l-i|=拒，

滿足上+&|=%一22],而Z[Z2=i*0,B錯誤；

對于C,復(fù)數(shù)4=1、z?=i,滿足㈤="|,而z；=l,z；=-l,顯然z"z；,C錯誤;

對于D,因為忖=1,則在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z的點尸在以原點。為圓心的單位圓上,

|z+l+i|=|z—（T—i）|表示點p到復(fù)數(shù)—l—i對應(yīng)點A（T-l）的距離，

因此|以|1mx。49|+1=拒+1,即|z+l+i|的最大值為0+1，D正確.故選：AD

10.己知函數(shù)/（x）=Asin（azx+。）（其中A>O,0>O,-]<e<]）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確

的是（）

A.f（x）=2sin（2x+

B.要想得到y(tǒng)=2cos2x的圖象，只需將的圖象向左平移三個單位

C.函數(shù)y=〃x）在區(qū)間,-*加+。（旌2）上單調(diào)遞增

D.函數(shù)y=/（x）在區(qū)間g兀上的取值范圍是卜6,1]

【答案】AC

【解析】由圖得A=2,：T=巖一￡=彳，所以7=§=無，。=2,所以/（x）=2sin（2x+0）,

因為點已2）在圖象上，所以2=2sin（2x>",sinf|+J=l,

TTTT弓，可得/(x)=2sin[2x+[J,故A正確;

因為一5<。<]，所以9=

6

對于B,將/■（》）的圖象向左平移三個單位，

得到y(tǒng)=2sin2卜+鼻+已=2si“2x+g+胃=2si“2x+爸的圖象，故B錯誤;

對于C,由一^+2E<2x+~<^+2kn^kGZ）得一三十EWXW6+E（左GZ）,

所以函數(shù)y=〃x）在區(qū)間（也一夕也+為左陽上單調(diào)遞增，故c正確；

_LF「7兀時，2x+3仁子所以疝,+「一I,

對于D,--,71

函數(shù)y=在區(qū)間—,7t上的取值范圍是［-2』，故D錯誤.故選：AC.

11.已知定義域為R的函數(shù)〃x)滿足/(%+丁)=/(%)+/3+盯(％+丫),尸(了)為/(力的導(dǎo)函數(shù)，且

r(i)=2,貝u()

A.〃尤)為奇函數(shù)B.在x=-2處的切線斜率為7

C.f(3)=12D.對\/占,％e(0,+co),X［.彳2，/［一；々］</(一)；/(%)

【答案】ACD

【解析】由題意定義域為R的函數(shù)〃x)滿足/(x+y)=〃x)+〃y)+移(x+y)

令x=y=O,則〃0)=〃0)+〃0),二〃0)=0,

令產(chǎn)T,則/(O)=/(x)+/(—x),即O=〃x)+y(-x),，〃f)=-f(x),

故/'(X)為奇函數(shù)，A正確；

由于/(f)=-f(x),故__f(r)T(x),即「(T)=「(X),

則尸(X)為偶函數(shù)，由/'⑴=2可得r(—l)=2,

由/(尤+y)=/(x)+/(y)+孫(尤+y)，令y=i得了(左+1)=/(元)+/(1)+彳(％+1),

故/'(x+l)=/'(x)+2x+l,令x=-2,則/(-!)=1/''(—2)—3,，/'(—2)=5,B錯誤;

又/(x+y)=/(x)+/(y)+召(x+y)，

則/(尤+y)_(X［y)

令g(x)=/(x)—、，貝Ug(x+y)=g(x)+g(y),

由柯西方程知，g(元)=g6,尤，故/(xAgOO+'n'+g⑴-X,

貝Ijr(x)=x2+g(l),由于尸(1)=2,故l+g(l)=2,，g⑴=1,

即〃x)=：+x,則"3)=12,c正確；

%+尤2)3

11+2

對V%,%e(0,+oo),Xj^x2,f\^2,

%十%2

2

32

=~(~X1~X2+4兀2+演寫)=--(Xl~X2^2(X1+工2)<0,

故）—""）；"%）,D正確，故選：ACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設(shè)集合A=卜9_2尤_3<0,xeR},8={尤料>a,a>0},則A8=R,則實數(shù)a的取值范圍為.

【答案】（0,1）

【解析】由題意4=①，一2X一3<0"€叫="|-1<尤<3},8=卜卜|>>0}={%]%”或%（—a,a〉0},

若滿足AB=R,則

-1<-a

又因為"3={%|-,所以<Q<3,解得0<a<l.

a>0

13.已知正四棱臺ABC。-ABC"中，A8=2A4=4,若該四棱臺的體積為空電，則這個四棱臺的表面

3

積為.

【答案】44

【解析】如圖所示：設(shè)分別為底面的中心，M,K分別為3C,4G的中點，且有KNLML,〃，地，

設(shè)正四棱臺ABCD-A與GR的上底面面積、下底面面積、側(cè)面積分別為用、邑、4s3,

2

由A8=24用=4,即得A5=4,4月=2,所以岳=（4旦了=4,S2=AB=16,

又丫=；[岳+$2+7^?1/2及V=

33

所以有:（4+16+44x16〉JL=為3,解得JL=KN=6.

由勾股定理可得斜高KM=y/KN2+MN2=J陰2+F=2,

所以$3=：（用G+8C）-XM=6,從而S表面積=3+顯+453=4+16+4X6=44.

14.若。+￡-sin7=O,則而+4-Jcosy的最大值為.

【答案】72

【解析】由題意得：0<a+^=sinZ<l,a>0,020,

則（口+=a+（3+l^aP<a+/3+a+[3=2[a+/3^,

當且僅當。=6時等號成立，

即4a+用<小2（a+0）=12sin.,

即口+曲-Jcosy?J2siny-Jcosy,

10Ksin/?1兀

則有八/八'則+keZ,

[0<cos/<12

TTTT

有sin/在2k7t,—+2kji單調(diào)遞增，cos/在2kitf—+2k7t上單調(diào)遞減，

故JZsiny-Jcosy在2fai,1+2E上單調(diào)遞增，

則當7=^+2?時，即sin/=l、cos7=0時，J2siny-Jcosy有最大值0,

即4a+曲-Jcosy的最大值為a.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

已知函數(shù)〃了)=1112%-依.

(1)a=—2e,求函數(shù)〃無)的最小值；

(2)若在(0,+動上單調(diào)遞減，求。的取值范圍.

【答案】(1)3；(2)|,+^

0]nx

【解析】(1)因為a=—2e,所以〃%)=1!12%+2同=尸(%)=——+2e,

x

令g(x)=&吧+2e,則有g(shù)，(x)=2(l-：nx),

XX

當x>e時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,當0<x<e時，g[x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

因此當0<x<：時，則有g(shù)(x)<g]J=0,

因此當:〈KVe時，貝I]有。=g[j<g(x),

當x>e時，顯然g(x)>0,

于是有當。<x<L時，函數(shù)單調(diào)遞減，

e

當X>：時，函數(shù)/(X)單調(diào)遞增，

所以-=?=啖]/3；

(2)由/(%)=In2%_狽=>='(%)=21n%,

x

因為/(%)在(0,+。)上單調(diào)遞減，

所以:(%)=誓-。工0在(0,+8)上恒成立，

,21nx‘八、21nx

由------QW0nQ2-------,

XX

設(shè)/z(x)=&吧，則有〃⑴=2(l[nx),

尤X

當x>e時，”（x）vO,/z（無）單調(diào)遞減,

當0<x<e時，/zr(x)>O,g(x)單調(diào)遞增,

2Ine_2

所以M元）max

ee

要想/（力=羿-。40在（0,+功上恒成立,

2

只需4，因此。的取值范圍為j+f.

e

16.(15分)

某地政府為推動旅游業(yè)高質(zhì)量發(fā)展、加快旅游產(chǎn)業(yè)化建設(shè)，提出要優(yōu)化傳統(tǒng)業(yè)態(tài)，創(chuàng)新產(chǎn)品和服務(wù)方式，

培育新業(yè)態(tài)新產(chǎn)品、新模式，促進康養(yǎng)旅游快速發(fā)展.某景區(qū)為了進一步優(yōu)化旅游服務(wù)環(huán)境，強化服務(wù)意識，

全面提升景區(qū)服務(wù)質(zhì)量，準備從m個跟團游團隊和6個私家游團隊中隨機抽取幾個團隊展開滿意度調(diào)查.若

一次抽取2個團隊，全是私家游團隊的概率為希.

91

（1）若一次抽取3個團隊，在抽取的3個團隊是同類型團隊的條件下，求這3個團隊全是跟團游團隊的概

率；

（2）若一次抽取4個團隊，設(shè)這4個團隊中私家游團隊的個數(shù)為求J的分布列和數(shù)學(xué)期望.

1412

【答案】⑴⑵分布列見解析，y

【解析】（1）由題意知共有（加+6）個團隊，

一次抽取2個團隊的情況有C；+6種，其中全是私家游團隊的情況有C1種,

故一次抽取2個團隊，全是私家游團隊的概率是廿=7—37~zv=—

C；+6（7W+6）（777+5）91

整理得+11租-152=0,解得=8或m=-19（舍去），

若一次抽取的3個團隊全是私家游團隊，則共有C：=20種情況，

若一次抽取的3個團隊全是跟團游團隊，則共有C；=56種情況,

所以在抽取的3個團隊是同類型團隊的條件下，

這3個團隊全是跟團游團隊的概率為女工=《；

（2）由題意知，隨機變量J的所有可能取值為0,1,2,3,4,

33648

-。）中瑞以S是106i-143?

「（1）=管天■尸（"）=詈常,

故J的分布列為

如圖，在四棱錐M-ABCD中，AB±AD,AB=AM=AD=2,MB=2血,MD=2-^3.

(1)證明：AB工平面MM；

2

(2)^DC=-AB,BE=2EM，求直線CE與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）|

【解析】⑴為AB=RW=2,MB=2心,

所以AA^+ABZ,所以ABJ_AM.

又AB_LAD,且AMAD=A,AMu平面7ID似，ADu平面AZ）暇,

所以ABI平面MAf.

（2）因為W=AD=2,MD=2B

4+4-121

貝Ijcos/M40=------------=——,且00vNM4Dvl80。，可知ZMW=120。，

2x2x22

在平面ATM/內(nèi)過點A作x軸垂直于AM,

又由(1)知431平面4ZM1,

分別以AAf,AB所在直線為＞,z軸建立如圖所示空間直角坐標系A(chǔ)-型.

則。(石,-1,0),("-I1}5(0,0,2),M(0,2,0).

因為助=2EM,則

可得EC=(石,BM=(0,2,-2),BD=(V3,-l,-2),

設(shè)平面BDM的一個法向量為〃=(%y,z),

BMn=2y-2z=0

則取z=l得〃=回,1）,

BDn=yfix-y-2z=0

jr

設(shè)直線EC與平面雙加所成角為0,-

1

則sin0=cosEC,n\

5

所以直線EC與平面3ZW所成角的正弦值為g.

18.（17分）

22

已知點N在曲線C：—+—=1±,O為坐標原點，若點M滿足ON=2OM，記動點M的軌跡為

1612

（1）求:T的方程;

11

（2）設(shè)c,。是上r的兩個動點，且以co為直徑的圓經(jīng)過點。，證明:|oc|2+|OD|2為定值,

22

【答案】（1）土+工=1；（2）證明見解析

43

【解析】（1）（1）設(shè)M（x,y）,N（%N，yN），

因為點N在曲線C:二+2=1上，所以自+或=1,

16121612

xN=2x

因為ON=2OM=＞（/，％）=2（x,y），所以

yN=2y'

代入可得整+整=1,

f—丫2

即三+二=1,即r的方程為工+=1;

4341

（2）因為以8為直徑的圓經(jīng)過點O,所以。CLOD,

11117

當、。為橢圓頂點時,----7-----T=——I——二——

C|oc|卬4312

當C、。不是橢圓頂點時，可得直線OC的斜率存在且不等于零,

可設(shè)直線OC的方程為y=6（左片0）,則直線OD的方程為y=-^-x,

k

12

匚匚1

3+4左2（1212H

由，43，得,C

12k2、3+4公’3+442

y=kxy2

3+4左2

所以lOClW+,212（二+1）

3+4/

12(^2+1)

同理可得,,|<W=

3r+4

所以」-+」-=3+4/+(3/+4)=上7七=工

|OC「|OD|212(^+1)12(/+1)12'

117

綜上，|OC「+|OD『為定值五.

19.(17分)

如果無窮數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，且滿足：①Vi、jeN*,.eN*,使得“臼=4；②VLeN*,引、jeN*,

使得%%=ak,則稱數(shù)列｛q｝是“H數(shù)列”.

(1)下列無窮等差數(shù)列中，是數(shù)列”的為;(直接寫出結(jié)論)

{??}：1>3、5、

｛么｝：0、2、4、

｛c.｝：0、0、0、?

｛""｝：-1、。、1、

(2)證明：若數(shù)列｛%｝是數(shù)列”，則％wZ且公差de