專項訓(xùn)練－方程思想解題技巧課件2023-2024學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)下冊

方程思想解題技巧薈萃八年級數(shù)學(xué)（下）專項訓(xùn)練

所謂方程思想，就是從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，通過設(shè)定未知數(shù)，把問題中的已知量與未知量的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程或方程組等數(shù)學(xué)模型，然后利用方程的理論或方法，使問題得到解決.

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?如圖，AB比AC長2cm，BC的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E，△ACD的周長是14cm，求AB和AC的長.?

方法：此題用代數(shù)方法解較好.可設(shè)AB，AC的長分別為xcm，ycm，已知AB比AC長2cm，只需再找到AB與AC的另一個等量關(guān)系即可列出二元一次方程組.

應(yīng)用1：方程思想在證三角形形狀中的應(yīng)用1.如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，DE是BC的垂直平分線，交BC于點D，交AB于點E，AF⊥BC于點F.(1)若∠BAC＝90°，求AE的長；

(2)若DF＝0.7，求證：△ABC為直角三角形.【證明】∵DE是BC的垂直平分線，∴BD＝CD.設(shè)BD＝y(tǒng)，則CD＝y(tǒng).∵DF＝0.7，∴BF＝y(tǒng)＋0.7，CF＝y(tǒng)－0.7.∵AF⊥BC，∴AB2－BF2＝AF2，AC2－CF2＝AF2.∴AB2－BF2＝AC2－CF2，即42－(y＋0.7)2＝32－(y－0.7)2，解得y＝2.5，即BD＝CD＝2.5.∴BC＝5.∵32＋42＝52，∴AC2＋AB2＝BC2.∴△ABC為直角三角形.應(yīng)用2：方程思想在求陰影部分的面積中的應(yīng)用2.如圖，將矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上的點F處.已知CE＝3cm，AB＝8cm，求圖中陰影部分的面積.【解】∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠ECF＝∠ABF＝90°.由折疊可知，AF＝AD，EF＝DE＝CD－CE＝AB－CE＝8－3＝5(cm).∵在Rt△CEF中，EF2＝CE2＋CF2，∴CF＝4cm.設(shè)BF＝xcm，則AF＝AD＝BC＝BF＋CF＝(x＋4)cm.

應(yīng)用3：方程思想在探究線段相等的條件中的應(yīng)用3.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm.點P從點A沿AB方向以1cm/s的速度運動至點B，點Q從點B沿BC方向以6cm/s的速度運動至點C，P，Q兩點同時出發(fā).(1)求BC的長；

(2)當(dāng)運動2s時，求P，Q兩點之間的距離；【解】如圖，連接PQ.當(dāng)運動2s時，AP＝1×2＝2(cm)，BQ＝6×2＝12(cm).∴BP＝AB－AP＝7－2＝5(cm).在Rt△BPQ中，由勾股定理得PQ2＝BP2＋BQ2＝52＋122＝132，∴PQ＝13cm.即P，Q兩點之間的距離為13cm.(3)當(dāng)P，Q兩點運動幾秒時，AP＝CQ？

應(yīng)用4：方程思想在求線段長中的應(yīng)用4.[2023·隨州]如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點D為AC上一點，若BD是∠ABC的角平分線，則AD＝

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【點撥】如圖，過點D作DE⊥AB于點E.∵∠C＝90°，∴CD⊥BC.∵BD是∠ABC的角平分線，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE.

∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL).∴BE＝BC＝6.在Rt△ABC中，∵AC＝8，

∴AE＝AB－BE＝10－6＝4.設(shè)CD＝DE＝x，則AD＝AC－CD＝8－x.在Rt△ADE中，AE2＋DE2＝AD2，∴42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3.∴AD＝8－x＝5.應(yīng)用5：方程思想在求幾何中函數(shù)解析式的應(yīng)用5.如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，設(shè)CD的長為x，四邊形ABCD的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式.

【解】如圖，過點D作DE⊥AC于點E，設(shè)BC＝a，則AC＝4a.由∠BAD＝90°，∠DEA＝90°，易得∠2＝∠1.∵∠ACB＝90°，∴∠DEA＝∠ACB.又∵DA＝AB，∴△DAE≌△ABC(AAS).∴AE＝BC＝a，DE＝AC＝4a.∴EC＝AC－AE＝4a－a＝3a.∴在Rt△DEC中，CD2＝EC2＋DE2.

應(yīng)用6：方程思想在解銷售問題中的應(yīng)用6.[2023·邵陽]低碳生活已是如今社會的一種潮流形式，人們的環(huán)保觀念也在逐漸加深.“低碳環(huán)保，綠色出行”成為大家的生活理念，不少人選擇自行車出行.某公司銷售甲、乙兩種型號的自行車，其中甲型自行車進貨價格為每臺500元，乙型自行車進貨價格為每臺800元.該公司銷售3臺甲型自行車和2臺乙型自行車，可獲利650元，銷售1臺甲型自行車和2臺乙型自行車，可獲利350元.(1)該公司銷售一臺甲型、一臺乙型自行車的利潤各是多少元？

(2)為滿足大眾需求，該公司準(zhǔn)備加購甲、乙兩種型號的自行車共20臺，且資金不超過13000元，最少需要購買甲型自行車多少臺？【解】設(shè)需要購買甲型自行車m臺，則需要購買乙型自行車(20－m)臺，由題意得500m＋800(20－m)≤13000，解得m≥10.答：最少需要購買甲型自行車10臺.應(yīng)用7：方程思想在解實際等距問題中的應(yīng)用7.如圖，某校(點M)距公路(直線l)的距離(MA的長)為1km，在公路上距該校2km處有一個車站(點N)，該校擬在公路上建一個公交車?？空?點P)，以便于該校職工乘車上下班，要求停靠站到該校與車站的距離相等，請問：停靠站應(yīng)建在什么位置？并計算停靠站到車

站的距離.

應(yīng)用8：方程思想在求平面直角坐標(biāo)系中函數(shù)解析式的應(yīng)用8.節(jié)約用水是我們的美德，水龍頭關(guān)閉不嚴(yán)會造成滴水，容器內(nèi)盛水量w(L)與滴水時間t(h)的函數(shù)關(guān)系可

以用顯示水量的容器如

圖①的試驗，并根據(jù)試

驗數(shù)據(jù)繪制出如圖②的

函數(shù)圖象，結(jié)合圖象解答下列問題：(1)求w與t之間的函數(shù)解析式；

(2)計算在這種滴水狀態(tài)下，一天(24h)容器內(nèi)的盛水量是多少升.【解】由解析式可知，當(dāng)t＝24時，一天容器內(nèi)的盛水量w＝0.4×24＋0.3＝9.9，即在這種滴水狀態(tài)下一天容器內(nèi)的盛水量是9.9L.應(yīng)用9：方程思想在求實際問題中最值的應(yīng)用9.[2023·遂寧]端午節(jié)是我國入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗，某超市為了滿足人們的需求，計劃在端午節(jié)前購進甲、乙兩種粽子進行銷售，經(jīng)了解，每個乙種粽子的進價比每個甲種粽子的進價多2元，用1000元購進甲種粽子的個數(shù)與用1200元購進乙種粽子的個數(shù)相同.(1)甲、乙兩種粽子每個的進價分別是多少元？

(2)該超市計劃購進這兩種粽子共200個(兩種都有)，其中甲種粽子的個數(shù)不低于乙種粽子個數(shù)的2倍，若甲、乙兩種粽子的售價分別為12元/個，15元/個，設(shè)購進甲種粽子m個，兩種粽子全部售完時獲得的利潤為W元.

①求W與m的函數(shù)關(guān)系式，并求出m的取值范圍；

②超市應(yīng)如何進貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少元？

應(yīng)用10：方程思想在求統(tǒng)計中“三數(shù)”的應(yīng)用10.[2023·德陽]在一次數(shù)學(xué)測試中，張