工程力學簡明教程 課件 第12章 彎曲內(nèi)力

第12章彎曲內(nèi)力一、平面彎曲的概念和梁的計算簡圖132工程實例梁力學模型簡化對稱彎曲的概念1.工程實例1.工程實例1.工程實例1.工程實例1.工程實例彎曲變形基本特征受力特征變形特征外力作用線垂直于桿軸線原為直線的軸線變?yōu)榍€

以彎曲變形為主的桿件梁倫敦橋橋梁古建中國月梁廠房頂梁2.對稱彎曲的概念2.對稱彎曲的概念T型截面梁工字型截面梁AB對稱軸縱向?qū)ΨQ面梁的軸線等截面直梁模型2.對稱彎曲的概念Me---集中力偶q(x)---分布載荷F---集中力對稱彎曲作用于梁上的所有外力都在縱向?qū)ΨQ面內(nèi),彎曲變形后的軸線是一條在該縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的平面曲線，這種彎曲稱為對稱彎曲。2.對稱彎曲的概念3.梁的力學模型的簡化（2）載荷類型集中力集中力偶分布載荷（1）梁的簡化通常取梁的軸線來代替梁固定鉸支座固定端AAA（3）支座的類型

可動鉸支座AAA3.梁的力學模型的簡化靜定梁的基本形式懸臂梁外伸梁

簡支梁3.梁的力學模型的簡化3.梁的力學模型的簡化3.梁的力學模型的簡化第12章彎曲內(nèi)力二、彎曲時橫截面上的內(nèi)力——剪力和彎矩132彎曲時的內(nèi)力彎曲內(nèi)力計算規(guī)律彎曲內(nèi)力正負號規(guī)定1.彎曲時的內(nèi)力已知:如圖簡支梁，F(xiàn)，a，l.求距A端x處截面上內(nèi)力。解:(1)求支座反力BAalFABFFRBFRAxFRAy由靜力平衡方程，可求得：xMFRAyFRAxFRBABFmmxFQFRAyCFFRBCFQM豎直方向靜力平衡：力矩平衡：彎曲內(nèi)力彎矩M:

橫截面上垂直于截面的內(nèi)力偶矩。剪力FQ:

橫截面上平行于截面的內(nèi)力。MFQFRAyCFFRBCFQMFQMFQM’FQMFQM’2.彎曲內(nèi)力的符號規(guī)定dxFQFQ+剪力符號正值剪力規(guī)定：dxFQFQ-負值剪力規(guī)定：左上右下，順時針錯動左下右上，逆時針錯動正值彎矩規(guī)定：彎矩符號MM+MM-負值彎矩規(guī)定：

向下凸起向上凸起實用的正負約定：截面法，取左（右）側分析，剪力對梁左（右）端取矩，順時針為正。實用的正負約定：截面法，取左（右）側分析，剪力對梁左（右）端取矩，逆時針為負。實用的正負約定:截面法，取左（右）側分析，假設梁左（右）端固定，在彎矩作用下向下凸起，彎矩為正。反之為負。MMMMMM截面法計算時，通常假設剪力、彎矩為正。解：（1）求梁的支座反力FRA

和FRB例題

圖示梁的計算簡圖。已知F1、F2,且F2>F1

，尺寸a、b、c和l亦均為已知。試求梁在E

橫截面處的剪力和彎矩。BEDAabclCF1F2解得：FRBFRAFQEAEcFRAME（2）求梁E截面處的剪力FQE和彎矩MEFRBBEDAabclCF1F2FRA解得:

彎矩等于左側所有外力對截面的矩的代數(shù)和剪力等于左側所有外力的代數(shù)和。a-cb-cCDl-cBEFQEF1F2MEFRB解得:彎矩等于右側所有外力對截面的矩的代數(shù)和。剪力等于右側所有外力的代數(shù)和。若取左側梁段計算：向上的外力引起正值的剪力；向下的外力引起負值的剪力；若取右側梁段計算：向下的外力引起正值的剪力；向上的外力引起負值的剪力；3、彎曲內(nèi)力的計算規(guī)律(1)剪力的計算規(guī)律：左上右下；剪力為正。FQ=截面一側（左側或右側）所有外力的代數(shù)和(2)彎矩的計算規(guī)律若取左側梁段計算：

順時針轉(zhuǎn)向的外力（外力偶）矩引起正值的彎矩；逆時針轉(zhuǎn)向的外力（外力偶）矩引起負值的彎矩；若取右側梁段計算：逆時針轉(zhuǎn)向的外力（外力偶）引起正值的彎矩；順時針轉(zhuǎn)向的外力（外力偶）引起負值的彎矩；左順右逆；彎矩為正。M=截面一側（左側或右側）所有外力及外力偶對截面形心的矩的代數(shù)和例題

軸的計例算簡圖如圖所示，已知F1=F2=60kN，a=230mm，b=100mm

和c=1000mm。

求C、D點處橫截面上的剪力和彎矩。F2ACDBbacF1

解：（1）求支座反力FRAFRBF2ACDBbacF1FRAFRB（2）計算C橫截面上的剪力FQC

和彎矩MC取橫截面左側梁段計算:取橫截面左側梁段計算:（3）計算D橫截面上的剪力FQD

和彎矩MD

第12章彎曲內(nèi)力三、彎曲時橫截面上的內(nèi)力——剪力方程彎矩方程12基本概念方程法畫剪力圖、彎矩圖用函數(shù)關系表示沿梁軸線各橫截面上剪力和彎矩的變化規(guī)律，分別稱作剪力方程FQ(x)和彎矩方程M(x)。

剪力方程：FQ

=FQ(x)

彎矩方程：M=M(x)剪力方程和彎矩方程1.基本概念剪力圖和彎矩圖以平行于梁軸線的橫坐標x表示橫截面的位置，以縱坐標表示相應截面上的剪力和彎矩。這種圖線分別稱為剪力圖和彎矩圖。正值的剪力和彎矩畫在x軸上側,負值畫在x軸下側xFQ(x)FQ

圖的坐標系OM

圖的坐標系xOM(x)1.基本概念

剪力方程：FQ

=FQ(x)

彎矩方程：M=M(x)2.方程法做內(nèi)力圖繪出函數(shù)曲線剪力圖彎矩圖任意截面x的剪力和彎矩,采用截面法，按照總結的規(guī)律表示出來就是剪力方程、彎矩方程解:（1）求梁的支反力例題

圖示的簡支梁在C點處受集中荷載

F作用。試作此梁的剪力圖和彎矩圖。lFABCabFRAFRB

因為AC段和CB段的內(nèi)力方程不同，所以必須分段列剪力方程和彎矩方程。2.方程法畫剪力圖彎矩圖將坐標原點取在梁的左端

AC段CB段xxlFABCabFRAFRB由（1）,（3）兩式可知，AC、CB兩段梁的剪力圖各是一條平行于x

軸的直線.xxlFABCabFRAFRB++由（2），（4）式可知，AC、CB兩段梁的彎矩圖各是一條斜直線.xxlFABCabFRAFRB++ 集中力作用的地方剪力圖有突變集中力作用的地方彎矩圖存在一個尖點仔細觀察內(nèi)力圖的特點解：求梁的支反力例題

圖示的簡支梁在C點處受矩為M的集中力偶作用.試作此梁的剪力圖和彎矩圖.將坐標原點取在梁的左端.

因為梁上沒有橫向外力，所以全梁只有一個剪力方程lABCabFRAFRBM

由(1)式畫出整個梁的剪力圖是一條平行于x

軸的直線.+AC段CB段AC段和BC

段的彎矩方程不同xxlABCabFRAFRBMAC,CB

兩梁段的彎矩圖各是一條傾斜直線.

x=a,

x=0,AC段CB段x=a,x=l,M=0++仔細觀察內(nèi)力圖的特點xxlABCabFRAFRBM+集中力偶作用的地方剪力圖沒有任何變化集中力作用的地方彎矩有突變+

（1）.以集中力、集中力偶作用處、分布載荷開始或結束處,及支座截面處為界點將梁分段.分段寫出剪力方程和彎矩方程,然后繪出剪力圖和彎矩圖.

（2）.梁上集中力作用處左、右兩側橫截面上,剪力（圖）有突變,突變值等于集中力的數(shù)值.在此處彎矩圖則形成一個尖角.

（3）.梁上集中力偶作用處左、右兩側橫截面上的彎矩（圖）有突變,其突變值等于集中力偶矩的數(shù)值.但在此處剪力圖沒有變化.3.小結4mq=1kN/mF=2kNF=2kNM=10kN/m思考題第12章彎曲內(nèi)力四、微積分關系12微分關系積分關系設梁上作用有任意分布荷載，其集度為

q(x),向上為正方向。1.剪力、彎矩與分布荷載集度間的微分關系xyq(x)FMnxmmn

dxFQ(x)M(x)FQ(x)+dFQ(x)M(x)+dM(x)微梁段dx受力分析q(x)由微段梁的靜力平衡：可得：xyq(x)FMnxmmn

dxFQ(x)M(x)FQ(x)+dFQ(x)M(x)+dM(x)微梁段dx受力分析q(x)FQ(x)M(x)FQ(x)+dFQ(x)M(x)+dM(x)微梁段dx受力分析q(x)略去二階無窮小量即得：Cxyq(x)FMnxmmn

dx剪力圖上某點處的切線斜率等于該點處荷載集度的大小;彎矩圖上某點處的切線斜率等于該點處剪力的大小;根據(jù)q(x)＞0或q(x)＜0來判斷彎矩圖的凹凸性；荷載集度、剪力和彎矩之間的微分關系(1)(2)(3)圖形幾何意義M(x)圖為二次拋物線;FQ(x)圖為一傾斜的直線;xFQ(x)O2、載荷集度與剪力圖、彎距圖的關系（1）若梁段上作用均布載荷xOM(x)斜率為xFQ(x)OxOM(x)載荷向下()載荷向上()載荷向下()載荷向上()彎矩圖的凸起方向和載荷集度方向相反M(x)圖為一傾斜的直線;FQ(x)圖為一水平的直線;xFQ(x)O正剪力()負剪力()xFQ(x)O正剪力時()負剪力時()xMOxMO（2）若梁段上無載荷作用，即(3)、若在梁的某一截面上，剪力為0xFQ(x)OxOM(x)彎矩的極值發(fā)生于剪力為零的截面上極值點xFQ(x)OxOM(x)極值點(4)、在集中力作用處FCxFQ(x)OxOM(x)(5)、在集中力偶作用處CxFQ(x)OxOM(x)MFM剪力圖突變彎矩圖轉(zhuǎn)折剪力圖無變化彎矩圖突變無荷載集中力FC集中力偶mC向下傾斜的直線上凸的二次拋物線在FS=0的截面水平直線一般斜直線或在C處有轉(zhuǎn)折在剪力突變的截面在緊靠C的某一側截面一段梁上的外力情況剪力圖的特征彎矩圖的特0征Mmax所在截面的可能位置表4-1在幾種荷載下剪力圖與彎矩圖的特征q<0向下的均布荷載在C處有突變F在C處有突變m在C處無變化C例題

作梁的內(nèi)力圖.解：（1）支座反力為3m4mABCDE4m4mFRAFRBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kN3m4mABCDE4m4mFRAFRBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kN1kN7kN3kN3kN2kN++x=5m1666+20.520單位kN·m圖示是一梁的剪力圖，假設無集中力偶作用，試根據(jù)此圖求出