勾股定理-最短距離問題

...wd......wd......wd...螞蟻爬行的最短路徑正方體4．如圖，一只螞蟻從正方體的底面A點(diǎn)處沿著外表爬行到點(diǎn)上面的B點(diǎn)處，它爬行的最短路線是〔〕A．A?P?BB．A?Q?BC．A?R?BD．A?S?B解：根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知選A．

應(yīng)選A．2.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方體中，一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿著正方體的外外表爬到頂點(diǎn)B的最短距離是.第6題第6題解：如圖將正方體展開，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短〞知，線段AB即為最短路線．AB=．8.正方體盒子的棱長(zhǎng)為2，BC的中點(diǎn)為M，一只螞蟻從A點(diǎn)爬行到M點(diǎn)的最短距離為.第7題第7題解：將正方體展開，連接M、D1，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，MD=MC+CD=1+2=3，MD1=．5．如圖，點(diǎn)A的正方體左側(cè)面的中心，點(diǎn)B是正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，正方體的棱長(zhǎng)為2，一螞蟻從點(diǎn)A沿其外表爬到點(diǎn)B的最短路程是〔〕解：如圖，AB=．應(yīng)選C．9．如以以下列圖一棱長(zhǎng)為3cm的正方體，把所有的面均分成3×3個(gè)小正方形．其邊長(zhǎng)都為1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，那么它從下底面點(diǎn)A沿外表爬行至側(cè)面的B點(diǎn)，最少要用2.5秒鐘．解：因?yàn)榕佬新窂讲晃ㄒ?，故分情況分別計(jì)算，進(jìn)展大、小對(duì)比，再?gòu)母鱾€(gè)路線中確定最短的路線．

〔1〕展開前面右面由勾股定理得AB==cm；

〔2〕展開底面右面由勾股定理得AB==5cm；

所以最短路徑長(zhǎng)為5cm，用時(shí)最少：5÷2=2.5秒．長(zhǎng)方體10．〔2009?恩施州〕如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的外表從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是。解：將長(zhǎng)方體展開，連接A、B，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AB==25．11.如圖，一只螞蟻從實(shí)心長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的外表爬到對(duì)角頂點(diǎn)C1處〔三條棱長(zhǎng)如以以下列圖〕，問若何走路線最短最短路線長(zhǎng)為.解：正面和上面沿A1B1展開如圖，連接AC1，△ABC1是直角三角形，∴AC1=18．〔2011?荊州〕如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為2cm和4cm，高為5cm．假設(shè)一只螞蟻從P點(diǎn)開場(chǎng)經(jīng)過4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點(diǎn)，那么螞奴爬行的最短路徑長(zhǎng)為cm．解：∵PA=2×〔4+2〕=12，QA=5

∴PQ=13．

故答案為：13．19．如圖，一塊長(zhǎng)方體磚寬AN=5cm，長(zhǎng)ND=10cm，CD上的點(diǎn)B距地面的高BD=8cm，地面上A處的一只螞蟻到B處吃食，需要爬行的最短路徑是多少

解：如圖1，在磚的側(cè)面展開圖2上，連接AB，

那么AB的長(zhǎng)即為A處到B處的最短路程．

解：在Rt△ABD中，

因?yàn)锳D=AN+ND=5+10=15，BD=8，

所以AB2=AD2+BD2=152+82=289=172．

所以AB=17cm．

故螞蟻爬行的最短路徑為17cm．49、如圖，長(zhǎng)方體盒子〔無蓋〕的長(zhǎng)、寬、高分別12cm,8cm,30cm.(1)在AB中點(diǎn)C處有一滴蜜糖，一只小蟲從D處爬到C處去吃，有無數(shù)種走法，那么最短路程是多少(2)此長(zhǎng)方體盒子(有蓋)能放入木棒的最大長(zhǎng)度是多少?12．如以以下列圖：有一個(gè)長(zhǎng)、寬都是2米，高為3米的長(zhǎng)方體紙盒，一只小螞蟻從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，那么這只螞蟻爬行的最短路徑為米。解：由題意得，

路徑一：AB==；

路徑二：AB==5；

路徑三：AB==；

∵＞5，

∴5米為最短路徑．13．如圖，直四棱柱側(cè)棱長(zhǎng)為4cm，底面是長(zhǎng)為5cm寬為3cm的長(zhǎng)方形．一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿棱柱的外表爬到頂點(diǎn)B．求：

〔1〕螞蟻經(jīng)過的最短路程；

〔2〕螞蟻沿著棱爬行〔不能重復(fù)爬行同一條棱〕的最長(zhǎng)路程．解：〔1〕AB的長(zhǎng)就為最短路線．

然后根據(jù)假設(shè)螞蟻沿側(cè)面爬行，那么經(jīng)過的路程為〔cm〕；

假設(shè)螞蟻沿側(cè)面和底面爬行，那么經(jīng)過的路程為〔cm〕，

或〔cm〕所以螞蟻經(jīng)過的最短路程是cm．

〔2〕5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm，最長(zhǎng)路程是30cm．15．如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為6cm，8cm，4cm．一只螞蟻沿著長(zhǎng)方體的外表從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B．那么螞蟻爬行的最短路徑的長(zhǎng)是。解：第一種情況：把我們所看到的前面和上面組成一個(gè)平面，

那么這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是12cm和6cm，

那么所走的最短線段是=6cm；

第二種情況：把我們看到的左面與上面組成一個(gè)長(zhǎng)方形，

那么這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是10cm和8cm，

所以走的最短線段是=cm；

第三種情況：把我們所看到的前面和右面組成一個(gè)長(zhǎng)方形，

那么這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是14cm和4cm，

所以走的最短線段是=2cm；

三種情況對(duì)比而言，第二種情況最短．51．圓柱形坡璃容器，高18cm，底面周長(zhǎng)為60cm，在外側(cè)距下底1cm點(diǎn)S處有一蜘蛛，與蜘蛛相對(duì)的圓柱形容器的上口外側(cè)距開口處1cm的點(diǎn)F處有一蒼蠅，試求急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路線的長(zhǎng)度。16．如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20cm、3cm、2cm．A和B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，那么螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為cm解：三級(jí)臺(tái)階平面展開圖為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為20cm，寬為〔2+3〕×3cm，

那么螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)．

可設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程為xcm，

由勾股定理得：x2=202+[〔2+3〕×3]2=252，

解得x=25．

故答案為25．17．如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別等于5cm，3cm和1cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物.請(qǐng)你想一想，這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)，最短線路是cm。解：將臺(tái)階展開，如以以下列圖，因?yàn)锳C=3×3+1×3=12，BC=5，所以AB2=AC2+BC2=169，所以AB=13〔cm〕，所以螞蟻爬行的最短線路為13cm．答：螞蟻爬行的最短線路為13cm．圓柱21．有一圓柱體如圖，高4cm，底面半徑5cm，A處有一螞蟻，假設(shè)螞蟻欲爬行到C處，求螞蟻爬行的最短距離.第2題第2題解：AC的長(zhǎng)就是螞蟻爬行的最短距離．C，D分別是BE，AF的中點(diǎn)．AF=2π?5=10π．AD=5π．AC=≈16cm．故答案為：16cm．22．有一圓形油罐底面圓的周長(zhǎng)為24m，高為6m，一只老鼠從距底面1m的A處爬行到對(duì)角B處吃食物，它爬行的最短路線長(zhǎng)為.第3題第3題解：AB=m23．如圖，一只螞蟻沿著圖示的路線從圓柱高AA1的端點(diǎn)A到達(dá)A1，假設(shè)圓柱底面半徑為，高為5，那么螞蟻爬行的最短距離為．解：因?yàn)閳A柱底面圓的周長(zhǎng)為2π×=12，高為5，

所以將側(cè)面展開為一長(zhǎng)為12，寬為5的矩形，

根據(jù)勾股定理，對(duì)角線長(zhǎng)為=13．

故螞蟻爬行的最短距離為13．24．如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為24cm，高AB為9cm，BC是上底面的直徑．一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，那么螞蟻爬行的最短路程是解：如以以下列圖：

由于圓柱體的底面周長(zhǎng)為24cm，那么AD=24×=12cm．

又因?yàn)镃D=AB=9cm，所以AC==15cm．

故螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱體的外表爬行到點(diǎn)C的最短路程是15cm．

故答案為：15．25．〔2006?荊州〕有一圓柱體高為10cm，底面圓的半徑為4cm，AA1，BB1為相對(duì)的兩條母線．在AA1上有一個(gè)蜘蛛Q，QA=3cm；在BB1上有一只蒼蠅P，PB1=2cm，蜘蛛沿圓柱體側(cè)面爬到P點(diǎn)吃蒼蠅，最短的路徑是cm．〔結(jié)果用帶π和根號(hào)的式子表示〕解：QA=3，PB1=2，

即可把PQ放到一個(gè)直角邊是4π和5的直角三角形中，

根據(jù)勾股定理得：

QP=最短路線問題通常是以“平面內(nèi)連結(jié)兩點(diǎn)的線中,線段最短〞為原那么引申出來的.人們?cè)谏a(chǎn)、生活實(shí)踐中,常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問題.下面簡(jiǎn)單談一下初中數(shù)學(xué)中遇到的最短路線問題。對(duì)于數(shù)學(xué)中的最短路線問題可以分為兩大類：第一類為在同一平面內(nèi)；第二類為空間幾何體中的最短路線問題，對(duì)于平面內(nèi)的最短路線問題可先畫出方案圖，然后確定最短距離及路徑圖。Ⅰ.求三點(diǎn)距離相等時(shí)，一點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離最短設(shè)計(jì)方案例1．為改善白銀市民吃水質(zhì)量，市政府決定從新建的A水廠向B、C供水站供水。A、B、C之間的距離相等，為了節(jié)約成本降低造價(jià)，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種最優(yōu)方案，使鋪設(shè)的輸水管道最短，在圖中用實(shí)線畫出你所設(shè)計(jì)方案的線路圖。解析：可根據(jù)三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形形狀及三線合一的性質(zhì)，可求最短路線及設(shè)計(jì)圖?！?〕可設(shè)計(jì)AB+AC路徑；〔2〕可設(shè)計(jì)AD+BD+CD路徑；〔3〕可設(shè)計(jì)AE+EB+EC路徑。通過計(jì)算對(duì)比驗(yàn)證等確定最優(yōu)化的設(shè)計(jì)方案為〔3〕Ⅱ。求一點(diǎn)，使它與其余兩點(diǎn)之和最小的方案設(shè)計(jì)例2．為了改善農(nóng)民生活水平，提高生產(chǎn)，如圖，A、B是兩個(gè)農(nóng)場(chǎng)，直線m是一條小河，現(xiàn)準(zhǔn)備在河岸某處修建一提灌點(diǎn)，準(zhǔn)備給兩農(nóng)場(chǎng)澆水，若何修建，使得提灌點(diǎn)與兩農(nóng)場(chǎng)的距離之和最小，請(qǐng)你在圖中畫出設(shè)計(jì)方案圖。解析：兩點(diǎn)之間線段最短，可利用軸對(duì)稱性質(zhì)，從而可將求兩條線段之和的最小值問題轉(zhuǎn)化為求一條線段長(zhǎng)的問題。應(yīng)用：三角形ABC中，∠A＝20度，AB＝AC＝20cm，M、N分別為AB、AC上兩點(diǎn)，求BN＋MN＋MC的最小值。Ⅲ。求圓上點(diǎn)，使這點(diǎn)與圓外點(diǎn)的距離最小的方案設(shè)計(jì)例3．圓形花壇以及花壇外一居民區(qū)，要在花壇與居民區(qū)之間修建一條小道在圓形花壇上選擇一點(diǎn)，使其與居民區(qū)之間的距離最小。解析：在此問題中可根據(jù)圓上最遠(yuǎn)點(diǎn)與最近點(diǎn)和點(diǎn)的關(guān)系可得最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。應(yīng)用:一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最大距離為9，最短距離為1，那么圓的半徑為多少關(guān)于立體圖形外表的最短路徑問題,又稱“繞線問題〞是幾何中很富趣味性的一類向題.它牽涉的知識(shí)面廣,溝通了平面幾何、立體幾何以及平面三角的聯(lián)系,能訓(xùn)練學(xué)生的空間想象能力。而且,也很富有技巧性.在此討論幾個(gè)問題,僅供參考。Ⅰ。在圓柱中，可將其側(cè)面展開求出最短路程Ⅱ。在長(zhǎng)方體〔正方體〕中，求最短路程例5．在長(zhǎng)方體盒子的A點(diǎn)有一昆蟲，在B點(diǎn)有它最喜歡吃的食物，沿盒子外表爬行，若何爬行使得所爬路程最短，如果長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c.那么最短路程為多少.解析：將其中含有一點(diǎn)的面展開，與含另一點(diǎn)的面在同一平面內(nèi)即可，主要可以分為三種情形：〔1〕將右側(cè)面展開與下底面在同一平面內(nèi)，可得其路程為：s1=〔2〕將前外表展開與上外表在同一平面內(nèi)，可得其路程為：s2=〔3〕將上外表展開與左側(cè)面在同一平面內(nèi)，可得其路程為：s3=然后對(duì)比s1、s2、s3的大小，即可得到最短路程.應(yīng)用：一只蜘蛛在一塊長(zhǎng)方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)A處，一只蒼蠅在這個(gè)長(zhǎng)方體和蜘蛛相對(duì)的頂點(diǎn)C1處。蜘蛛急于捉住蒼蠅，沿著長(zhǎng)方體的外表向上爬，它要從A點(diǎn)爬到C1點(diǎn)，它應(yīng)沿著若何的路線爬行，才能在最短的時(shí)間內(nèi)捉住蒼蠅Ⅲ。在圓錐中，求最短路徑問題例6．在某雜技表演中，有一形似圓錐的道具，雜技演員從A點(diǎn)出發(fā)，在其外表繞一周又回到A點(diǎn)，如果繞行所走的路程最短，畫出設(shè)計(jì)方案圖。解析：將圓錐側(cè)面展開，根據(jù)同一平面內(nèi)的問題可求出最優(yōu)設(shè)計(jì)方案應(yīng)用：如圖，一直圓錐的母線長(zhǎng)為QA=8，底面圓的半徑r=2