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...wd......wd......wd...螞蟻爬行的最短路徑正方體4.如圖,一只螞蟻從正方體的底面A點(diǎn)處沿著外表爬行到點(diǎn)上面的B點(diǎn)處,它爬行的最短路線(xiàn)是〔〕A.A?P?BB.A?Q?BC.A?R?BD.A?S?B解:根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知選A.
應(yīng)選A.2.如圖,邊長(zhǎng)為1的正方體中,一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿著正方體的外外表爬到頂點(diǎn)B的最短距離是.第6題第6題解:如圖將正方體展開(kāi),根據(jù)“兩點(diǎn)之間,線(xiàn)段最短〞知,線(xiàn)段AB即為最短路線(xiàn).AB=.8.正方體盒子的棱長(zhǎng)為2,BC的中點(diǎn)為M,一只螞蟻從A點(diǎn)爬行到M點(diǎn)的最短距離為.第7題第7題解:將正方體展開(kāi),連接M、D1,根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短,MD=MC+CD=1+2=3,MD1=.5.如圖,點(diǎn)A的正方體左側(cè)面的中心,點(diǎn)B是正方體的一個(gè)頂點(diǎn),正方體的棱長(zhǎng)為2,一螞蟻從點(diǎn)A沿其外表爬到點(diǎn)B的最短路程是〔〕解:如圖,AB=.應(yīng)選C.9.如以以下列圖一棱長(zhǎng)為3cm的正方體,把所有的面均分成3×3個(gè)小正方形.其邊長(zhǎng)都為1cm,假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm,那么它從下底面點(diǎn)A沿外表爬行至側(cè)面的B點(diǎn),最少要用2.5秒鐘.解:因?yàn)榕佬新窂讲晃ㄒ唬史智闆r分別計(jì)算,進(jìn)展大、小對(duì)比,再?gòu)母鱾€(gè)路線(xiàn)中確定最短的路線(xiàn).
〔1〕展開(kāi)前面右面由勾股定理得AB==cm;
〔2〕展開(kāi)底面右面由勾股定理得AB==5cm;
所以最短路徑長(zhǎng)為5cm,用時(shí)最少:5÷2=2.5秒.長(zhǎng)方體10.〔2009?恩施州〕如圖,長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15,寬為10,高為20,點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5,一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的外表從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B,需要爬行的最短距離是。解:將長(zhǎng)方體展開(kāi),連接A、B,根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短,AB==25.11.如圖,一只螞蟻從實(shí)心長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)A出發(fā),沿長(zhǎng)方體的外表爬到對(duì)角頂點(diǎn)C1處〔三條棱長(zhǎng)如以以下列圖〕,問(wèn)若何走路線(xiàn)最短最短路線(xiàn)長(zhǎng)為.解:正面和上面沿A1B1展開(kāi)如圖,連接AC1,△ABC1是直角三角形,∴AC1=18.〔2011?荊州〕如圖,長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為2cm和4cm,高為5cm.假設(shè)一只螞蟻從P點(diǎn)開(kāi)場(chǎng)經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點(diǎn),那么螞奴爬行的最短路徑長(zhǎng)為cm.解:∵PA=2×〔4+2〕=12,QA=5
∴PQ=13.
故答案為:13.19.如圖,一塊長(zhǎng)方體磚寬AN=5cm,長(zhǎng)ND=10cm,CD上的點(diǎn)B距地面的高BD=8cm,地面上A處的一只螞蟻到B處吃食,需要爬行的最短路徑是多少
解:如圖1,在磚的側(cè)面展開(kāi)圖2上,連接AB,
那么AB的長(zhǎng)即為A處到B處的最短路程.
解:在Rt△ABD中,
因?yàn)锳D=AN+ND=5+10=15,BD=8,
所以AB2=AD2+BD2=152+82=289=172.
所以AB=17cm.
故螞蟻爬行的最短路徑為17cm.49、如圖,長(zhǎng)方體盒子〔無(wú)蓋〕的長(zhǎng)、寬、高分別12cm,8cm,30cm.(1)在AB中點(diǎn)C處有一滴蜜糖,一只小蟲(chóng)從D處爬到C處去吃,有無(wú)數(shù)種走法,那么最短路程是多少(2)此長(zhǎng)方體盒子(有蓋)能放入木棒的最大長(zhǎng)度是多少?12.如以以下列圖:有一個(gè)長(zhǎng)、寬都是2米,高為3米的長(zhǎng)方體紙盒,一只小螞蟻從A點(diǎn)爬到B點(diǎn),那么這只螞蟻爬行的最短路徑為米。解:由題意得,
路徑一:AB==;
路徑二:AB==5;
路徑三:AB==;
∵>5,
∴5米為最短路徑.13.如圖,直四棱柱側(cè)棱長(zhǎng)為4cm,底面是長(zhǎng)為5cm寬為3cm的長(zhǎng)方形.一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿棱柱的外表爬到頂點(diǎn)B.求:
〔1〕螞蟻經(jīng)過(guò)的最短路程;
〔2〕螞蟻沿著棱爬行〔不能重復(fù)爬行同一條棱〕的最長(zhǎng)路程.解:〔1〕AB的長(zhǎng)就為最短路線(xiàn).
然后根據(jù)假設(shè)螞蟻沿側(cè)面爬行,那么經(jīng)過(guò)的路程為〔cm〕;
假設(shè)螞蟻沿側(cè)面和底面爬行,那么經(jīng)過(guò)的路程為〔cm〕,
或〔cm〕所以螞蟻經(jīng)過(guò)的最短路程是cm.
〔2〕5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm,最長(zhǎng)路程是30cm.15.如圖,長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為6cm,8cm,4cm.一只螞蟻沿著長(zhǎng)方體的外表從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B.那么螞蟻爬行的最短路徑的長(zhǎng)是。解:第一種情況:把我們所看到的前面和上面組成一個(gè)平面,
那么這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是12cm和6cm,
那么所走的最短線(xiàn)段是=6cm;
第二種情況:把我們看到的左面與上面組成一個(gè)長(zhǎng)方形,
那么這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是10cm和8cm,
所以走的最短線(xiàn)段是=cm;
第三種情況:把我們所看到的前面和右面組成一個(gè)長(zhǎng)方形,
那么這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是14cm和4cm,
所以走的最短線(xiàn)段是=2cm;
三種情況對(duì)比而言,第二種情況最短.51.圓柱形坡璃容器,高18cm,底面周長(zhǎng)為60cm,在外側(cè)距下底1cm點(diǎn)S處有一蜘蛛,與蜘蛛相對(duì)的圓柱形容器的上口外側(cè)距開(kāi)口處1cm的點(diǎn)F處有一蒼蠅,試求急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路線(xiàn)的長(zhǎng)度。16.如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階,它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20cm、3cm、2cm.A和B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn),點(diǎn)A處有一只螞蟻,想到點(diǎn)B處去吃可口的食物,那么螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為cm解:三級(jí)臺(tái)階平面展開(kāi)圖為長(zhǎng)方形,長(zhǎng)為20cm,寬為〔2+3〕×3cm,
那么螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng).
可設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程為xcm,
由勾股定理得:x2=202+[〔2+3〕×3]2=252,
解得x=25.
故答案為25.17.如圖,是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階,它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別等于5cm,3cm和1cm,A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn),A點(diǎn)上有一只螞蟻,想到B點(diǎn)去吃可口的食物.請(qǐng)你想一想,這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā),沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn),最短線(xiàn)路是cm。解:將臺(tái)階展開(kāi),如以以下列圖,因?yàn)锳C=3×3+1×3=12,BC=5,所以AB2=AC2+BC2=169,所以AB=13〔cm〕,所以螞蟻爬行的最短線(xiàn)路為13cm.答:螞蟻爬行的最短線(xiàn)路為13cm.圓柱21.有一圓柱體如圖,高4cm,底面半徑5cm,A處有一螞蟻,假設(shè)螞蟻欲爬行到C處,求螞蟻爬行的最短距離.第2題第2題解:AC的長(zhǎng)就是螞蟻爬行的最短距離.C,D分別是BE,AF的中點(diǎn).AF=2π?5=10π.AD=5π.AC=≈16cm.故答案為:16cm.22.有一圓形油罐底面圓的周長(zhǎng)為24m,高為6m,一只老鼠從距底面1m的A處爬行到對(duì)角B處吃食物,它爬行的最短路線(xiàn)長(zhǎng)為.第3題第3題解:AB=m23.如圖,一只螞蟻沿著圖示的路線(xiàn)從圓柱高AA1的端點(diǎn)A到達(dá)A1,假設(shè)圓柱底面半徑為,高為5,那么螞蟻爬行的最短距離為.解:因?yàn)閳A柱底面圓的周長(zhǎng)為2π×=12,高為5,
所以將側(cè)面展開(kāi)為一長(zhǎng)為12,寬為5的矩形,
根據(jù)勾股定理,對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為=13.
故螞蟻爬行的最短距離為13.24.如圖,一圓柱體的底面周長(zhǎng)為24cm,高AB為9cm,BC是上底面的直徑.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā),沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C,那么螞蟻爬行的最短路程是解:如以以下列圖:
由于圓柱體的底面周長(zhǎng)為24cm,那么AD=24×=12cm.
又因?yàn)镃D=AB=9cm,所以AC==15cm.
故螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱體的外表爬行到點(diǎn)C的最短路程是15cm.
故答案為:15.25.〔2006?荊州〕有一圓柱體高為10cm,底面圓的半徑為4cm,AA1,BB1為相對(duì)的兩條母線(xiàn).在AA1上有一個(gè)蜘蛛Q,QA=3cm;在BB1上有一只蒼蠅P,PB1=2cm,蜘蛛沿圓柱體側(cè)面爬到P點(diǎn)吃蒼蠅,最短的路徑是cm.〔結(jié)果用帶π和根號(hào)的式子表示〕解:QA=3,PB1=2,
即可把PQ放到一個(gè)直角邊是4π和5的直角三角形中,
根據(jù)勾股定理得:
QP=最短路線(xiàn)問(wèn)題通常是以“平面內(nèi)連結(jié)兩點(diǎn)的線(xiàn)中,線(xiàn)段最短〞為原那么引申出來(lái)的.人們?cè)谏a(chǎn)、生活實(shí)踐中,常常遇到帶有某種限制條件的最近路線(xiàn)即最短路線(xiàn)問(wèn)題.下面簡(jiǎn)單談一下初中數(shù)學(xué)中遇到的最短路線(xiàn)問(wèn)題。對(duì)于數(shù)學(xué)中的最短路線(xiàn)問(wèn)題可以分為兩大類(lèi):第一類(lèi)為在同一平面內(nèi);第二類(lèi)為空間幾何體中的最短路線(xiàn)問(wèn)題,對(duì)于平面內(nèi)的最短路線(xiàn)問(wèn)題可先畫(huà)出方案圖,然后確定最短距離及路徑圖。Ⅰ.求三點(diǎn)距離相等時(shí),一點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離最短設(shè)計(jì)方案例1.為改善白銀市民吃水質(zhì)量,市政府決定從新建的A水廠(chǎng)向B、C供水站供水。A、B、C之間的距離相等,為了節(jié)約成本降低造價(jià),請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種最優(yōu)方案,使鋪設(shè)的輸水管道最短,在圖中用實(shí)線(xiàn)畫(huà)出你所設(shè)計(jì)方案的線(xiàn)路圖。解析:可根據(jù)三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形形狀及三線(xiàn)合一的性質(zhì),可求最短路線(xiàn)及設(shè)計(jì)圖?!?〕可設(shè)計(jì)AB+AC路徑;〔2〕可設(shè)計(jì)AD+BD+CD路徑;〔3〕可設(shè)計(jì)AE+EB+EC路徑。通過(guò)計(jì)算對(duì)比驗(yàn)證等確定最優(yōu)化的設(shè)計(jì)方案為〔3〕Ⅱ。求一點(diǎn),使它與其余兩點(diǎn)之和最小的方案設(shè)計(jì)例2.為了改善農(nóng)民生活水平,提高生產(chǎn),如圖,A、B是兩個(gè)農(nóng)場(chǎng),直線(xiàn)m是一條小河,現(xiàn)準(zhǔn)備在河岸某處修建一提灌點(diǎn),準(zhǔn)備給兩農(nóng)場(chǎng)澆水,若何修建,使得提灌點(diǎn)與兩農(nóng)場(chǎng)的距離之和最小,請(qǐng)你在圖中畫(huà)出設(shè)計(jì)方案圖。解析:兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短,可利用軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì),從而可將求兩條線(xiàn)段之和的最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一條線(xiàn)段長(zhǎng)的問(wèn)題。應(yīng)用:三角形ABC中,∠A=20度,AB=AC=20cm,M、N分別為AB、AC上兩點(diǎn),求BN+MN+MC的最小值。Ⅲ。求圓上點(diǎn),使這點(diǎn)與圓外點(diǎn)的距離最小的方案設(shè)計(jì)例3.圓形花壇以及花壇外一居民區(qū),要在花壇與居民區(qū)之間修建一條小道在圓形花壇上選擇一點(diǎn),使其與居民區(qū)之間的距離最小。解析:在此問(wèn)題中可根據(jù)圓上最遠(yuǎn)點(diǎn)與最近點(diǎn)和點(diǎn)的關(guān)系可得最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。應(yīng)用:一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最大距離為9,最短距離為1,那么圓的半徑為多少關(guān)于立體圖形外表的最短路徑問(wèn)題,又稱(chēng)“繞線(xiàn)問(wèn)題〞是幾何中很富趣味性的一類(lèi)向題.它牽涉的知識(shí)面廣,溝通了平面幾何、立體幾何以及平面三角的聯(lián)系,能訓(xùn)練學(xué)生的空間想象能力。而且,也很富有技巧性.在此討論幾個(gè)問(wèn)題,僅供參考。Ⅰ。在圓柱中,可將其側(cè)面展開(kāi)求出最短路程Ⅱ。在長(zhǎng)方體〔正方體〕中,求最短路程例5.在長(zhǎng)方體盒子的A點(diǎn)有一昆蟲(chóng),在B點(diǎn)有它最喜歡吃的食物,沿盒子外表爬行,若何爬行使得所爬路程最短,如果長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c.那么最短路程為多少.解析:將其中含有一點(diǎn)的面展開(kāi),與含另一點(diǎn)的面在同一平面內(nèi)即可,主要可以分為三種情形:〔1〕將右側(cè)面展開(kāi)與下底面在同一平面內(nèi),可得其路程為:s1=〔2〕將前外表展開(kāi)與上外表在同一平面內(nèi),可得其路程為:s2=〔3〕將上外表展開(kāi)與左側(cè)面在同一平面內(nèi),可得其路程為:s3=然后對(duì)比s1、s2、s3的大小,即可得到最短路程.應(yīng)用:一只蜘蛛在一塊長(zhǎng)方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)A處,一只蒼蠅在這個(gè)長(zhǎng)方體和蜘蛛相對(duì)的頂點(diǎn)C1處。蜘蛛急于捉住蒼蠅,沿著長(zhǎng)方體的外表向上爬,它要從A點(diǎn)爬到C1點(diǎn),它應(yīng)沿著若何的路線(xiàn)爬行,才能在最短的時(shí)間內(nèi)捉住蒼蠅Ⅲ。在圓錐中,求最短路徑問(wèn)題例6.在某雜技表演中,有一形似圓錐的道具,雜技演員從A點(diǎn)出發(fā),在其外表繞一周又回到A點(diǎn),如果繞行所走的路程最短,畫(huà)出設(shè)計(jì)方案圖。解析:將圓錐側(cè)面展開(kāi),根據(jù)同一平面內(nèi)的問(wèn)題可求出最優(yōu)設(shè)計(jì)方案應(yīng)用:如圖,一直圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為QA=8,底面圓的半徑r=2
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