數(shù)學(xué)-2024年高考數(shù)學(xué)第一次模擬（新高考Ⅰ卷2全解全析）

2024年高考數(shù)學(xué)第一次模擬考試

數(shù)學(xué)（新高考I卷）?全解全析

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓

名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.寫在本試卷上無效.

3.回答第H卷時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

4.測試范圍：高考全部內(nèi)容

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合要求的。

1.已知復(fù)數(shù)z滿足（l-2iR=3+i,貝”2=（）

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算結(jié)合共輾復(fù)數(shù)的概念即可.

故選：C.

2.已知集合/={。,3},8=卜卜2-3尤+,若AcBW0,則°的取值范圍為（）

A.RB.C.（1,2）D.（2,+co）

【答案】C

【分析】首先求解集合3,再根據(jù)即可求解.

【詳解】因?yàn)?=,卜2一3x+2<o}=<x<2},4={a,3}且/cB,

因?yàn)?e{x[l<x<2}

所以ae{x[l<x<2}=(l,2).

故選：C

3.某戲曲學(xué)院圖書館藏有四部戲曲名著各10本，由于該戲曲學(xué)院的部分學(xué)生對《牡丹亭》這部戲

曲產(chǎn)生了濃厚的興趣，該戲曲學(xué)院圖書館決定購買一批《牡丹亭》戲曲書籍（其他三部數(shù)量保持不

變）若干本.若要保證購買后在該戲曲學(xué)院圖書館所藏有的這四大戲曲名著中任取一本，使得能取

到一本《牡丹亭》戲曲書籍的概率不小于0.6,則該戲曲學(xué)院圖書館需至少購買《牡丹亭》戲曲書

籍（）

A.25本B.30本C.35本D.40本

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，設(shè)需購買《牡丹亭》戲曲書籍x本，由古典概型公式可得尸=整±±20.6,解

出x得出答案.

【詳解】解：設(shè)需購買《牡丹亭》戲曲書籍x本，

則購買后該戲曲學(xué)院圖書館所藏有的這四大戲曲名著共（40+x）本，

從中任取1本有（40+x）種取法，《牡丹亭》戲曲書籍共（10+x）本，

從中任取1本有（10+尤）種取法，從該戲曲學(xué)院圖書館所藏有的這四大戲曲名著中任取一本，

能取到一本《牡丹亭》戲曲書籍的概率為尸=黑土，

根據(jù)題意可得尸=粵三20.6,解得x235,

40+x

即該戲曲學(xué)院圖書館需至少購買《牡丹亭》戲曲書籍35本.

故選：C

4.某工廠新購置并安裝了先進(jìn)的廢氣處理設(shè)備，使產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過該設(shè)備過濾后排放，以減少對

空氣的污染.已知過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量P（單位：mg/L）與過濾時間/（單位：h）的關(guān)

系為尸⑺=［片"（凡,女是正常數(shù)）.若經(jīng)過1Oh過濾后減少了20%的污染物，在此之后為了使得

污染物減少到原來的10%還需要的時長大約為（參考數(shù)據(jù)：log25"2.322）（）

A.103hB.93hC.83hD.63h

【答案】B

【分析】根據(jù)題中條件，可求得％=-喘，則當(dāng)尸⑺=1。%4時，可求得f的值，即可得到答案.

【詳解】因?yàn)榻?jīng)過10h過濾后減少了20%的污染物,

所以4e一儂=80%4，解得后=-吧.

,\U1U.O

當(dāng)尸")=10%6時，10%[=/^而'，

lOlnlO一10-10咋25

解得t=-?103

ln0.82-log25

故還需要大約93h.

故選：B.

JT____________>-----------1---------?

5.如圖，在“8C中，ZBAC=~,AD=3DB，P為CD上一點(diǎn),且滿足/尸=機(jī)42+^/8,若

因=3,同=4,則萬.無的值為（）

33

A.—3B.3C.—D.—

22

【答案】c

【分析】由已知可得后=%就+3五萬，由三點(diǎn)共線有加=：,再用就，方分別表示出方、CD

,最后應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求方?而即可.

—?4—?

【詳解】因?yàn)樗浴?丁，

所以萬=加元+；存=加就+；疝5,

12

因?yàn)镃,P,。三點(diǎn)共線，所以加+§=1,即加=§,

所以萬=一%+—次，XCD=AD-AC=-AB-AC，

344

所以萬.而=［芯+；而）g萬一就］

3--22--21—?—?321133

=—AB一一AC+—43?力。=—xl6——x9+-x3x4x-=3-6+-=一一.

16341634222

故選：C

6.法國數(shù)學(xué)家傅里葉用三角函數(shù)詮釋美妙音樂，代表任何周期性聲音和震動的函數(shù)表達(dá)式都是形

如>=/sins的簡單正弦型函數(shù)之和，這些正弦型函數(shù)各項(xiàng)的頻率是最低頻率的正整數(shù)倍（頻率

是指單位時間內(nèi)完成周期性變化的次數(shù)，是描述周期運(yùn)動頻繁程度的量），其中頻率最低的一項(xiàng)所

代表的聲音稱為第一泛音，第二泛音的頻率是第一泛音的2倍，第三泛音的頻率是第一泛音的3

倍.……例如，某小提琴演奏時發(fā)出聲音對應(yīng)的震動模型可以用如下函數(shù)表達(dá)：

y=O.O6sinlOOO7t?+0.02sin2000n?+0.0lsin3OOO7rZ,（其中自變量f表示時間），每一項(xiàng)從左至右依次

稱為第一泛音、第二泛音、第三泛音.若一個復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)/（x）=sinx+；sinox（xeR）

（從左至右依次為第一泛音、第二泛音），給出下列結(jié)論：

①〃x）的一個周期為3兀；

②〃無）的圖象關(guān)于直線x=2n對稱;

③的極小值為一手；

④〃x）在區(qū)間［0,2可上有2個零點(diǎn).

其中正確結(jié)論的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【分析】對于①，根據(jù)題意得到＞=:sinox的頻率為1,最小正周期為兀，從而得到/（x）的最小

正周期為2兀，①錯誤；對于②，計(jì)算出了（4兀-X）N/（X）,②錯誤；對于③，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性

和極值，得到在cosx=g處取得極小值，止匕時sinx4或sinx=1,分兩種情況，進(jìn)行求

解，比較后得到極小值；對于④，求出x=。,匹27t為函數(shù)零點(diǎn)，④錯誤.

【詳解】對于①，V=sinx的最小正周期為7=2兀，故頻率為二，

271

由題意得y=!sinox的頻率為JX2=L,故最小正周期為幾，

22兀兀

因?yàn)榇?sinx的最小正周期為T=2兀，y=；sin（yx的最小正周期為兀，

故〃x）的最小正周期為2兀，故①錯誤；

對于②，/（x）=sinx+—sin2x,

貝U/（4兀-x）=sin（4兀-x）+；sin（8兀-2x）=-sinx—；sin2x,

故〃4兀-故/（'）的圖象不關(guān)于直線x=2兀對稱，②錯誤;

對于③，/(x)=sim+；sin2x,(x)=cosx+cos2x=2cos2x+cosx-1,

又cosxe[-l,l],

令/,x)>。得，<cosx<1,故2而一]W2E+],左EZ

1T7T117T1

故/(%)=sinx+'SinZ%在區(qū)間2kTi--,2kTi+—上單調(diào)遞增,

33

令r(x)?0得，-l<cosx<-^-,故2癡+5WxW2E+g,左￡Z

1j7r15兀

故/(xhsinx+eSinZx在區(qū)間2kji+—,2kTi+—上單調(diào)遞減,

33

故〃尤）在x=2上"+等,后eZ處取得極小值，此時sinx=-迫

32

痂/、..V3V313A/3

PXfx=sinx+sinxcosx=-------------x—=--------

v72224

故〃X)的極小值為一等，③正確；

對于④，/(x)=sinx+sin2x=sinx(1+cosx),

因?yàn)閄E[0,2TI],所以當(dāng)x=0,兀,2兀時，sinx=0,故/(x)=0,

當(dāng)工=兀時，cosx=-l,/(x)=sinx(1+cosx)=0

“X）在區(qū)間［0,2可上有3個零點(diǎn)，④錯誤.

故選：A

7.已知正三棱柱4耳G的底面邊長為2g,高為3,截去該三棱柱的三個角（如圖1所

示，D,E,尸分別是△44G三邊的中點(diǎn)），得到幾何體如圖2所示，則所得幾何體外接球的表面

圖1圖2

A.20TIB.25兀C.29TID.32兀

【答案】A

【分析】設(shè)△￡>￡尸的外心為Q,A45c的外心為。2,設(shè)外接球的半徑為R,則

I2+OO；=7?2.22+(3-OO^2=R2,解方程即可得出答案.

【詳解】易知的外心即為△44G的外心，如圖，設(shè)△/)防的外心為A48c的外心為

。2，

則所得幾何體外接球的球心O在直線。。2上，

因?yàn)檎庵玫酌孢呴L為2k，所以DE=DF=EF=6,AB=BC=AC=2y/3,

)CF=6=石，

所以由正弦定理可得：//旃一無一，所以。也=1,

同理，02c=2,設(shè)外接球的半徑為凡貝也2+。。；=玄,22+(3一OOJ2=R2,

聯(lián)立解得：OQ=2,叱=5,所以外接球的表面積為S=4成2=20兀.

故選：A.

1711

8.設(shè)。=77，b=cos-,c=3sin-,則下列正確的是()

1833

A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

TT

【分析】先利用導(dǎo)數(shù)證明當(dāng)xe(0,9時，tanx>x>sinx,再分別利用作商，作差比較法可判斷。

,b,c大小.

TT

【詳解】先來證明當(dāng)xw(0,5)時，tanx>x>sinx.

令/(x)=tanx—x,x￡(0,g),貝！J=〉。，

2cosx

所以函數(shù)“X)在(0,9上單調(diào)遞增，可得〃x)>〃o)=o,即得tanx>x；

令g(%)=x—sinx,xe(0,—),貝|Jgr(x)=1-cosx>0,

所以函數(shù)g(x)在嗚)上單調(diào)遞增，可得g(x)>g(o)=o,即得x>sinx；

兀

所以當(dāng)工￡(0,萬)時，tanx>x>sinx.

因?yàn)閝>,b>O,c〉O,

。-1

3sm-][I]

由工=---r-=3tan-,因?yàn)椋篹(0,[),所以tan；>：,則3tan1>l,所以c>b,

bcos,332333

3

又”=j|一(l_2sin2》=2sir?W<2x(：y_焉=0,所以,

所以c>6>a.

故選：D.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.如圖，在棱長為1的正方體/BCD-44G。中，E為線段的中點(diǎn)，則下列說法正確的是

A.四面體的體積為，

B.向量刀在皮方向上的投影向量為次

C.直線4E與直線8A垂直

D.直線4E與平面所成角的正弦值為好

3

【答案】AB

【分析】以。為原點(diǎn)，所在的直線分別為x軸、了軸、z軸，建立空間坐標(biāo)系，利用

體積公式判斷A；利用空間向量法判斷BCD.

【詳解】以。為原點(diǎn)，所在的直線分別為x軸、了軸、z軸，建立空間坐標(biāo)系，如圖

所示:

則。（0,0,0）,c（o,i,o）,n,（0,0,1）,5（1,1,0）,4（i,o,i）,￡（o,o,|）,^（1,1,1）,

對于A,因?yàn)槠咭?用A=—?S“、BIDI■=正，故正確；

對于B,因?yàn)槿?（1,1,一1）,反=（0,1,0）,

所以皮?取=1,|比|=1,|取卜

所以用在反方向上的投影向量為：D<^'^-DC=DC,故正確；

對于C,因?yàn)殪?（-1,0,-；）,西布?西=；/0,

所以西與常不垂直，即直線4E與直線3,不垂直，故錯誤；

對于D,率=（-1,0,-；）,

在正方體/BCD-44。。］中，易知/C,平面得NCL平面88也，

即平面加避的法向量三就=（-1,1,0）,

.1_V10

設(shè)直線4E與平面砌山的夾角為/則$1皿=口麗=營^=可，故錯誤.

故選：AB

10.已知函數(shù)/（》）=3°"-葭。，，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則下列說法中正確的有（）

A.為周期函數(shù)

B.7（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱

C.仆）在區(qū)間（0總上是減函數(shù)

D.關(guān)于x的方程〃x）=e,有實(shí)數(shù)解

e

【答案】ABC

【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性、對稱性、導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性以及方程思想，可得答案.

【詳解】選項(xiàng)A：/5+2兀）=產(chǎn)（-—附（田）=€。?！割?〃耳，是周期函數(shù)，故A正確；

選項(xiàng)B：/6=eC"加-eS'nM=即，一e。。"=-/⑺，所以函數(shù)〃尤）關(guān)于點(diǎn)g，。）中心對

稱，故B正確；

選項(xiàng)C：［時，f（x）=-sinx-eC0SA-cosx-esinx=-（sinx-eC0SX+cosx-esinx）＜0,

所以函數(shù)〃X）在區(qū)間上為減函數(shù)，故C正確；

-11「111

選項(xiàng)D：ecosxG-,e,eS1^e-,e,當(dāng)且僅當(dāng)《8、苫=＞。加'=±時方程有解，即cosx=l,

_eJLeJe

sinx=-1同時成立時方程有解，

但x=2而（左eZ）和x=2E-/keZ）無法同時滿足，所以方程沒有實(shí)數(shù)解，故D錯誤.

故選：ABC.

II.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)/（-2,-1）在拋物線C:/=_2抄5＞0）上，過點(diǎn)2（0,1）的直線交拋物線

C于P,。兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.拋物線C的準(zhǔn)線方程為了=1B.直線與拋物線C相切

C.赤?麗為定值3D.忸尸|?忸0|＞忸

【答案】ABD

【分析】選項(xiàng)A,由點(diǎn)4-2,-1）在拋物線上，代入方程待定系數(shù)，求出拋物線C方程，則得到準(zhǔn)

線方程；選項(xiàng)B,利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，與直線43斜率相同即可說明相切；選項(xiàng)C,設(shè)出直線

方程，聯(lián)立拋物線方程，將麗?麗坐標(biāo)化韋達(dá)定理代入可證；選項(xiàng)D,利用弦長公式用

（1+/）上表示，再代入韋達(dá)定理，結(jié)合判別式△＞（）得出的公的范圍，即可判斷得出答案.

【詳解】對于A：因?yàn)辄c(diǎn)/（-2,-1）在拋物線C：小=-2期（p＞0）上，

貝lJ4=2p,解得。=2,

所以拋物線C：x2=-4y,

其準(zhǔn)線為N=l，故A正確;

對于B：令/(%)=—■—,

則r(x)=-1x,可得r(-2)=i,kAB=白甘=i,

即拋物線在/點(diǎn)處切線斜率與直線斜率相同，

所以直線與拋物線C相切，故B正確；

對于C：由題意可知，直線P。斜率存在，

設(shè)直線PQ的方程為歹=任+1,尸(西,凹),。(工2，%)，

I1;—/TY+]

聯(lián)立方程：一“，消去y得：/+4船+4=0,

[x=-4y

可得A=16左2—16＞0,得公＞1,

fx{+x2=-4k

.[玉]2=4

umiun(x2\/%2\

因?yàn)椤Ｊ?。0=工1工2+必歹2=再X2+|一"jII一"jI

22

=X1X2+'-=4+1=5,故C錯誤；

1216

對于D：由題意可知忸=(-2-0)2+(-1-1)2=8,

因?yàn)殁钜?忸。|=Jl+02|x]-0|.J1+產(chǎn)昆-0|=(1+左2禍引=4(1+后2),

則忸葉忸@=4(1+/)>8,

所以忸葉忸Q|＞忸4「,故D正確.

故選：ABD.

12.定義在R上的函數(shù)〃x)的導(dǎo)函數(shù)為/''(X)，對于任意實(shí)數(shù)x,都有〃f)+e2"(x)=0,且滿

足2/(x)+/'(x)=2,則()

A.函數(shù)/(x)=e"(x)為奇函數(shù)

B.不等式e"(x)-；O的解集為(0,ln2)

C.若方程-(x-a)2=0有兩個根Xj*2，則再+^>2。

D.在(OJ(O))處的切線方程為y=4x

【答案】AC

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可判定A,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可得e?"(x)-e2、=c,進(jìn)而可求解

Q2X-1

y(x)=F^,即可求解BD,根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，即可求解C.

【詳解】對于A,F(x)=eV(x),F(-x)=e-V(-x),由〃一切+j/卜)=0可得

e-V(-x)+eV(x)=O,所以尸(x)+尸(-x)=0,且定義域?yàn)镽,故尸(x)=e"(x)為奇函數(shù)，A正

確，

由于F"(x)-e?x]=2e2v/(x)+e2V(x)-2e2x=e2x[2/(x)+(x)-2]=0.所以

e2"(x)-e2-c,c為常數(shù)，則〃x)=?￡

又在〃r)+e2"(x)=0中，令x=0,則/(。)=0,故/⑼=要=0,故c=-l,

所以〃x)=U，

3Q2X_I

2l

對于B,e"(x)-《<0可得e2"(x)-3<0,又〃尤)==L,^e-4<0,則無<山2,故B錯

eQ

誤，

2x1I

對于C,/(x)=/L=l一W為單調(diào)遞增函數(shù)，而y=(x-a)2為開口向上，且對稱軸為x=a的二

次函數(shù)，再，入?且再<。<々是〃x)=(x-a)2的兩個交點(diǎn)，/(xj=(x-a『的兩個交點(diǎn)設(shè)為X1,X；,

則為+x；=2a，且多<a<x；,又/3=1-白為單調(diào)遞增函數(shù)，所以

f(Xl)=f^X2^<f(X2)^X2<X2>所以%+%2>20,C正確，

由2f(x)+f'(x)=2得2/0+/(0)=2n1(0)=2,所以/(無)在(0,0)處的切線方程為y=2x,D

錯誤，

故選：AC

第II卷(非選擇題)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知g+x)(l+"的展開式中一的系數(shù)為-9,則〃=.

【答案】-1

【分析】利用二項(xiàng)式定理得(1+尤)6的通項(xiàng)，進(jìn)而得出(a+X)(l+X)6的展開式中尤2的系數(shù)，列式計(jì)

算即可.

【詳解】由二項(xiàng)式定理可知(1+"的通項(xiàng)為Tk+l=C：X尸X"=C&Y左=0,1,…,6),

故(1+x)6展開式中含X,X2的項(xiàng)分別為c5=6x,C打=15/,

則(a+x)(l+x)6的展開式中含/的項(xiàng)為ax15—+x-6x=(15a+6)x2,

則15a+6=-9,解得a=-1.

故答案為：T.

14.已知/(TO),點(diǎn)尸在圓上，且陷|=2,則。的取值范圍為.

【答案】卜4,-2]U[0,2]

【分析】分析可知，圓(》+以+/=4與圓C有交點(diǎn)，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系可得出關(guān)于實(shí)數(shù)。的

不等式，即可解得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】由|尸聞=2,可知點(diǎn)P在以點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上，即點(diǎn)尸在圓

(x+1)2+j;2=4上，

所以問題等價于圓(無+廳+/=4與圓C有交點(diǎn)，所以2-lwJ(a+l)2+0W2+l,

所以1期+1|43,解得0WaV2或-4VaW-2.

故答案為：卜4,-2]U[0,2].

15.已知曲線=&與曲線g(x)=alnx(aeR)相交，且在交點(diǎn)處有相同的切線，則。=

【答案】j

【分析】可先設(shè)交點(diǎn)為尸(%,%)，利用利用兩函數(shù)在該點(diǎn)處的函數(shù)值和切線斜率相同列方程，可

求4的值.

【詳解】易知：必有Q〉0.

=a\nx0

設(shè)兩曲線的交點(diǎn)為P（x。,%）,/'（X）=:=,g<x）=@（x>o）,由題意：1_a,

x77==7

A7Aoo

兩式相除:2/=InXQ,?%>0,??In=2—e.

代入In/得：e=2〃

解得Q=:.

故答案為：I

16.已知拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為b，直線/與拋物線C交于48兩點(diǎn)，連接4尸并延長，交拋物

線C于點(diǎn)。，若N2中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為|/同-1,則當(dāng)44必最大時，|40|=.

【答案】16

【分析】由43中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為|）同-1,可知|//|+忸尸|=2|/同，又由余弦定理結(jié)合不等式可得

乙4尸3最大時，尸為等邊三角形，后將直線/尸方程與拋物線聯(lián)立，由拋物線定義結(jié)合韋達(dá)定

理可得答案.

【詳解】由題可得拋物線焦點(diǎn)為（04），準(zhǔn)線為>=T,

設(shè)力（國,%）,8（%,%）,

則由拋物線定義可得|//+|SF|=yl+y2+2,即；I附-1=,

由題意可得AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為工產(chǎn)=則\AF\+\BF\=2\AB\,

22

222|JF|+|RF|（MH+忸尸D

由余弦定理可得cos4FB=即『+叫'-/一=M+叫一4

2\AF\-\BF\I\AF\-\BF\

3（”「+阿「卜2|叫.阿|、6”卜忸尸|一2|/尸卜阿|1

-8M-|?忸尸|-8M司.忸司"2'

則cosNNFBN于且//用.。,兀），可得N/FBwg,當(dāng)且僅當(dāng)|4川=怛尸|取等號，

此時尸為等邊三角形，48〃無軸，直線AD斜率為百或-石，

如圖，設(shè)此時40方程為y=gx+l,

一一C1

將其與拋物線聯(lián)立有，消去p得--4后-4=0,

x=4y

可知A=(4@2+i6=64>0,

設(shè)。(%,%),由韋達(dá)定理有無|+退=46，

貝1「%+%=6(再+無3)+2=14，

所以由拋物線定義有|/。|=弘+%+2=16.

故答案為：16.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。

17.(10分)已知數(shù)列｛%｝滿足：弓=2,電=4,數(shù)列｛%-小為等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛g｝的通項(xiàng)公式;

(2)求和：S”=%+&+…+4,.

【答案】⑴〃+2"T

1,1

(2)-n2+-n+2"

',22

【分析】(1)首先求出q-1,出-2,即可求出等比數(shù)歹！]｛g-〃｝的通項(xiàng)公式，從而求出｛%｝的通

項(xiàng)公式；

(2)利用分組求和法計(jì)算可得.

【詳解】(1)因?yàn)椋?2,%=4,數(shù)列｛見-〃｝為等比數(shù)列，

Q—2

所以％-1=1,-2=2,則4=2,即｛%-〃｝是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,

。1一]r

所以%-"=2片，則a“=〃+2'T.

(2)Sn=a{+a2-\-----an

=1+2°+2+2i+3+2?+…+〃+2"1

(l+2+3+---+n)+(2°+21+22+---+2B-1

(1+〃)〃1—2〃11??

-----+=-n-+-2n+2"-1.

21-222

siib4c-b

18.(12分)已知DZ5c中，內(nèi)角4瓦。所對的邊分別為。也c,且滿足

sinB+sinCb

(1)若c=]冗,求8；

/74-f

(2)求陪的取值范圍.

b

【答案】⑴芻

0

⑵0,5)

【分析】(1)解法一：根據(jù)題意，由正弦定理得到,2=成+62,再由余弦定理得到/=/+從一仍

,聯(lián)立方程組得到eg,再由余弦定理求得儂人字，即可求解;

解法二：根據(jù)題意，由正弦定理化簡得到sin/sinB=sin，sin2B,進(jìn)而得到sin(23f=0,即可求

解;

2

(2)由(1)得到°2="+必，求得等=5+￡-1,結(jié)合三角形的邊的關(guān)系，得到6<c<26,

設(shè)x=((l,2),得出函數(shù)〃%)=尤2+》-1,結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】(1)解法一：因?yàn)?「=不,由正弦定理得ac-b

siiw+sinCbb+cb

可得ab=c?-/，BPc2=ab+b2

222

又因?yàn)閏=；，由余弦定理得/=/+〃-2仍cosg,gpC=a+b-ab,

c2=ab+b2口、

聯(lián)立方程組c2=a2+b2-ab，可得“2ab，即a=26,所以c=#>b

由余弦定理定理得c3y=高邛

因?yàn)锽e((U),所以8=9

6

sirU丁，由正弦定理得sinZsinC-sin5

解法二：因?yàn)?/p>

sinB+sinCsin5+sinCsin5

整理得sinAsinB=sin2C-sin2B，

又因?yàn)镃=女，可得sin(g+8]sin8=：-sin?8,所以^^cosBsinB+lin?8=3,

3k374224

即^^sin25+?(1-cos25)=:,可得^^15$11125-^^(：0$2,=0,即sin(28=0,

因?yàn)椤?lt;8<§,所以T<2B-f(兀，所以284=0,所以B=±

33336

c2-b2

(2)由(1)知02=〃+",可得d—且。>6，

b

a+c-b2+bc

所以=+-1,

bb2FI

\a+b>c

由三角形三邊關(guān)系，可得入，可得b<c<2b,

\b+c>a

令X=(￡(1,2),可得/(X)=/+X-1,其中1<X<2,

所以函數(shù)/(x)=(x+\-|e(l,5),

2

所以?141,5),所以誓的取值范圍是(1,5).

19.(12分)如圖，48co是四棱柱，側(cè)棱幺4,底面/BCD,底面/BCD是梯形,

AB=BC=CD=1,=44=2.

⑴求證：平面BDD.B,1平面ABBH；

(2)￡是底面44G2所在平面上一個動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)E使得?！昱c平面C.BD夾角的正弦值為

4

F?若存在，求點(diǎn)石到平面G5。距離的最小值；若不存在，請說明理由.

717

【答案】(1)見詳解;

4

，點(diǎn)到平面距離的最小值為g

(2)存在點(diǎn)E使得DE與平面C{BD夾角的正弦值為E

【分析】(1)取中點(diǎn)尸，連接3尸，根據(jù)各線段長度可得四邊形BCD尸是菱形，4/3尸是正三

角形，利用菱形性質(zhì)及三角形性質(zhì)即可得出乙48。=90°,即從而取52平面42月4,

于是平面BDD.B,1平面ABB,AX.

(2)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)E(x,y,2),求出。E和平面的法向量，令

|cos(",OE)|=不即可求出￡點(diǎn)坐標(biāo)，然后由點(diǎn)到平面的距離公式向量表示即可，根據(jù)

'/J17\n\

式子即可求點(diǎn)到平面的最小值.

【詳解】(1)取4D中點(diǎn)尸，連接B尸，貝I]AB=BC=CD=AF=DF=1,

所以四邊形8CDF是菱形，△/5F是正三角形，

所以AABF=NAFB=60°，ZFBD="DB,

因?yàn)镹FBD+ZFDB=NAFB=60°,所以NFBD=NFDB=30",

所以尸+/必。=90°,所以

因?yàn)?4]_L底面28cZ),8。u平面23cZ),

所以44J8。，又因?yàn)镹&U平面”44，A8u平面/即4，AAtnAB=A,

所以3。工平面4844，因?yàn)锳Du平面

所以平面BDD四1平面ABB、A

(2)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則8（0,0,0）,D（V3,0,0）,q^-,--,2,設(shè)E（x,%2）,

所以麗=（百,0,0）,西=4,-;,2,詼=1-百/,2卜

元?BD=0

設(shè)平面G5。的一個法向量為〃=(a,b,c),貝卜

亢BC、=0'

y/3a=0

所以G1,取z=l得：n=(0,4,1),

——a——b+2c=0

I22

n?DE_4y+2

r-rKI-—*.,cos(n,DE)

所以〃x￡)￡=4y+2,\/內(nèi)3「向卜_@2+丁+4,

4所以IcosG，方用=卡,

因?yàn)??！昱c平面C、BD夾角的正弦值為詬,

由點(diǎn)到平面的距離公式得：|密叫卜-3）+/2X14（X-V3）+17

a~----=---------------=---------

\n\"+FVn

所以當(dāng)X=G時，點(diǎn)￡到平面GAD距離的最小，最小值為d=&7

20（12分）.已知函數(shù)/（x）=

（1）試判斷函數(shù)/（無）的單調(diào)性;

（2）若〃x）>◎在（0,+8）上恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】（1）（-8,0）,（0,+8）上遞減

1

（2）”Z^

【分析】（1）求導(dǎo)，然后利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定原函數(shù)的單調(diào)性；

（2）將/（x）>"變形為構(gòu)造函數(shù)求:一：一1的最小值即可.

XX

【詳解】（1）由已知得（（X）二一」卜：-1）_4<0,

故函數(shù)〃x）在（-8,0）,（0,+功上單調(diào)遞減;

e'l>a在(0,+。)上恒成立,

(2)由/(x)>ox在(0,+功上恒成立,即

3

e_r_1

設(shè)g(x)=-—,x>0,

33

一工2-2x(e-x-1)_-2e+2

則g，(x)=x

4―3

XX

令g'(x)>0,得尤>2e'-2,令g'(x)<0,W0<x<2e3-2,

即g(x)在(0,2e3-2)上單調(diào)遞減，在(2e3-2,+動上單調(diào)遞增,

/°\e3—f2e3—2j—1?

所以g(xL=g(2e一*Qf=加印

1

所以

21.(12分)某中學(xué)在運(yùn)動會期間，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生參加繩子打結(jié)計(jì)時的趣味性比賽，并對

學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢的相關(guān)性進(jìn)行分析，得到數(shù)據(jù)如下表：

速度

性別合計(jì)

快慢

男生65

女生55

11

合計(jì)200

0

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢有關(guān)？

(2)現(xiàn)有〃(〃eN*)根繩子，共有2〃個繩頭，每個繩頭只打一次結(jié)，且每個結(jié)僅含兩個繩頭，所有

繩頭打結(jié)完畢視為結(jié)束.

(i)當(dāng)〃=3,記隨機(jī)變量X為繩子圍成的圈的個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(ii)求證：這“根繩子恰好能圍成一個圈的概率為

⑵)!

n(ad-bc)2

附：K2=7----77----77----77----1，幾=a+b7+C+d7.

(q+b)(c+d)(Q+c)(b+d)

【分析】(1)利用計(jì)算卡方進(jìn)行檢驗(yàn)即可;

(2)(i)依題意，先得到X的所有可能取值，再依次求得對應(yīng)的概率即可得解；(ii)利用分步計(jì)

數(shù)原理，結(jié)合數(shù)列的累乘法與古典概型的概率公式即可得解.

【詳解】(1)依題意，完善2x2列聯(lián)表如下,

速度

性別合計(jì)

快慢

男生6535100

女生4555100

11

合計(jì)90200

0

me叱2200x(65x55-35x45)2800

所以K-=--------------------=—x8o.08>6,635.

90x110x100x10099

故有99%的把握，認(rèn)為學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢有關(guān).

(2)(i)由題知，隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,

P(x=1)=?￥2=士尸(X=2)=2c3；2,62

"I?"5,

A；A；

f^=3^=cfcfcF=15,

A；

所以X的分布列為

X123

821

P

15515

Qoioa

所以E（X）=lx/+2x[+3x^=V.

（ii）不妨令繩頭編號為1,2,3,4,…,2〃，可以與繩頭1打結(jié)形成一個圓的繩頭除了1,2外有2〃-2

種可能，

假設(shè)繩頭1與繩頭3打結(jié)，那么相當(dāng)于對剩下n-1根繩子進(jìn)行打結(jié)，

令〃（"eN*）根繩子打結(jié)后可成圓的種數(shù)為a?,

那么經(jīng)過一次打結(jié)后，剩下n-1根繩子打結(jié)后可成圓的種數(shù)為,

由此可得，an=（2n-2）all_i,n>2,

所以一匚=2〃-2,-2tL=（2z?-4）,...,—=2,

a,Ia12%

所以4L=（2"_2）X（2"_4）X...X2=2I.（"1）!,

a\

顯然%=1,故%=2"士（〃-1）!；

另一方面，對2〃個繩頭進(jìn)行任意2個繩頭打結(jié)，總共有

N_=2〃.（21>（2"2）…2/_（2n）!

n\2n-n\2".加’

%產(chǎn)”1）!22f"!（1）!

所以一萬―一（2^）!一—（2n）\.

2"?加

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二小問第二步的解決關(guān)鍵是利用分步計(jì)數(shù)原理得到數(shù)列的遞推式，從而

利用數(shù)列的累乘法求得結(jié)果.

22.（12分）已知點(diǎn)G是圓T：（X+1）2+/=12上一動點(diǎn)（T為圓心），點(diǎn)H的坐標(biāo)為（1,0）,線段

GH的垂直平分線交線段7G于點(diǎn)R,動點(diǎn)R的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

⑵N是曲線C上的兩個動點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線ON的斜率分別為左和左2，且

2

左他=-1，則△MCW的面積是否為定值，若是，求出這個定值；若不是，請說明理由；

（3）設(shè)尸為曲