2024年蘇州市高二年級下冊期中考試數(shù)學試卷含答案

2024年蘇州市高二下學期期中考

試數(shù)學試卷+答案

高二期中調(diào)研試卷

數(shù)學2024.04

注意事項

學生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求：

1.本卷共6頁，包含單項選擇題（第1題~第8題）、多項選擇題（第9題~第11題）、填空

題（第12題~第14題）、解答題（第15題~第19題）.本卷滿分150分，答題時間為120分

鐘.答題結(jié)束后，請將答題卡交回，

2.答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、調(diào)研序列號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡

的規(guī)定位置.

3.請在答題卡上按照順序在對應的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無效.作答必須

用0.5毫米黑色墨水的簽字筆.請注意字體工整，筆跡清楚

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.（1-力9展開式中d的系數(shù)為（）

A.504B.84C.-84D.-504

〃丫2-I-bx

2.已知x=l是函數(shù)=\—+1。00）的極值點，則實數(shù)a的值為（）

A.-1B.0C.1D.無數(shù)多個

3.一只螞蟻從點A出發(fā)沿著水平面的網(wǎng)格線爬行到點3,再由點3沿著長方體的棱爬行至頂點C處，則

它可以爬行的不同最短路徑條數(shù)有（）

D.120

4.若隨機變量X滿足P（X=c）=l,其中c為常數(shù)，則。（X）=

5.如圖，圓C與直角三角形的兩直角邊相切，射線OP繞點。由。4逆時針勻速旋轉(zhuǎn)到05的過程

中，所掃過的圓內(nèi)陰影部分而積S關(guān)于時間/的函數(shù)的大致圖象為（）

B.

6.小明和小華進行乒乓球比賽，比賽規(guī)則是：若其中一人連續(xù)贏兩局，則比賽結(jié)束，已知每局比賽結(jié)果

相互獨立，且每局小明贏的概率為0.6（沒有平局），則在已知比賽是第三局結(jié)束條件下，小明獲勝的概率

為（)

A.0.6B.0.4C.0.36D.0.144

7.記加力(x)=t(x),力(%)=力'(%),…/+i(x)=￡：(x),則

了2024（。）=（）

A.2508B.-2507C.0D.2507

8.將1,2,3…，9這九個正整數(shù)，填在如圖所示的九宮格里，九宮格的中間填5,四個角填偶數(shù)，其余

位置填奇數(shù)，則每一橫行、每一堅列以及兩條對角線上3個數(shù)字的和都等于15的概率為（

11

C.—D.

72144

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.已知根，4￡N*,加〈〃下列等式中正確的是（

A.nC；^mC：：lB.A：=碉二;C.A；=C；f-m!D-MY+e

10.函數(shù)/(%)=6工+。1皿定義域為。，下列命題正確的是()

A.對于任意正實數(shù)a,函數(shù)/(x)在。上是單調(diào)遞減函數(shù)

B.對于任意負實數(shù)a,函數(shù)/(x)存在最小值

C.存在正實數(shù)。，使得對于任意的xe。，都有/(x)〉0恒成立

D.存在負實數(shù)。，使得函數(shù)/(x)在。上有兩個零點

Hn

11.E^(1+X)+(1+X)2H-----F(1+x)=a0+aYx+a2x~H—anx,且存在正整數(shù)〃，滿足

%+2a2+…+〃%=321,則下列結(jié)論正確的是()

A.n=6

B.%++…+%=119

C.(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n展開式中所有項系數(shù)和為126

D.(1+2x)n展開式中二項式系數(shù)最大的項為第三項和第四項

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，兩個空的題目，第一空2分，第二空3

分。

12.用含4：(〃〉機,“eN*,/neN")的式子表示：9x8x7x3=.

4

13.若x+(%+1)，=+%(x+2)+tz2(x+2)2H—+tz7(x+2)7,則的="

14.已知函數(shù)=的導函數(shù)為尸(x)=6/,點2&/⑺)為函數(shù)“X)上任意一點，則在點尸

處函數(shù)“X)的切線的一般式方程為*,該切線在X、_y軸上截距之和的極大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)

在[ax++](aeR)的展開式中，前三項的二項式系數(shù)之和為79.

(1)求”的值；

(2)若展開式中的常數(shù)項為更，試求展開式中系數(shù)最大的項.

2

16.(15分)

甲，乙兩小朋友參加“歡樂六一”游戲比賽，記分規(guī)則如下：在一輪比賽中，如果甲贏而乙輸，則甲得1

分；如果甲輸乙贏，則甲得-1分；如果甲和乙同時贏或同時輸，則甲得。分，設(shè)一輪比賽中甲贏的概率

為60%,乙贏的概率為50%,求：

（1）在一輪比賽中，甲的得分X的概率分布列（列表表示）；

（2）在兩輪比賽中，甲的得分y的均值與方差.

17.（15分）

如圖，AB是半圓AC3的直徑，。為AB中點，創(chuàng)=2,直線點尸為以。上一

動點（包括3,C兩點），。與P關(guān)于直線OC對稱，記/尸。3=6,尸尸，3。,尸為垂足，PE工AB,E為

垂足.

（1）記即的長度為小線段PR長度為小試將L=4+/2表示為。的函數(shù)，并判斷其單調(diào)性；

（2）記扇形P。。的面積為R,四邊形PE3E面積為S2,求5=51+$2的值域.

18.（17分）

某工廠有三個車間生產(chǎn)同一種通訊器材，第1個車間生產(chǎn)該通訊器材的優(yōu)等品率為6%,第2和第3個車

間生產(chǎn)該通訊器材的優(yōu)等品率均為5%,生產(chǎn)出來的產(chǎn)品混放在同一個倉庫里.已知第1,2,3車間生產(chǎn)

的通訊器材數(shù)量分別占總數(shù)的25%,30%,45%.

（1）現(xiàn)從倉庫中任取一個該通訊器材，試問它是優(yōu)等品的概率是多少？

（2）如果取到的通訊器材是優(yōu)等品，計算它是第，（，=1,2,3）個車間生產(chǎn)的概率.

19.（17分）

2

已知函數(shù)f(x)=-^x+ax-[ax+1)1wc.

（1）求函數(shù)的導函數(shù)尸（x）；

（2）求函數(shù)尸（x）單調(diào)區(qū)間；

（3）若函數(shù)/'（x）有兩個不同的極值點七,斗，記過4（七"'?））,3（々,/（々））兩點的直線斜率為左，

是否存在實數(shù)a,使得左=2-a,若存在，求實數(shù)a的值；若不存在，試說明理由.

蘇州市2023—2024學年第二學期期中陽光質(zhì)量檢測

高二數(shù)學

2024.4.15

一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.(1一”)9展開式中二的系數(shù)為()

A.504B.84C.-84D.-504

【答案】C

.~??????%r>V-^V?^r*%*???

［儕析，工=Cg(—n?)3=—Cgi3=—b4rc3,所以rr，系數(shù)為—84，故選C

■*V*^~*>r*X*^?^**^?*X/*V?????*>?*>?—?、??、?????》X?^??????、???'

2.已知z=l是函數(shù)/(c)="孚文+l(bW0)的極值點，則實數(shù)a的值為()

e

A.-1B.0C.1D.無數(shù)多個

【答案】B

JXz^z^.?V???■?、^r-Xr??、?、~???>%^V>V^*V?、??

f(c)=Q.+(5b)W+b,由題意得f(i)=一三±23一2+a=0-a=o,-故選B?

3.一只螞蟻從點A出發(fā)沿著水平面的網(wǎng)格線爬行到點B,再由點B沿著長方體的棱爬行至頂點。處，則它可以

爬行的不同最短路徑條數(shù)有()

A.40B.60C.80D.120

【答案】B

【解析,從A到B共力C?=10種走法,從B到C有A；種走法，共有1。⑷=6()種走出，故選B；

~?、?^>>T?、*X^*A、??V^??*~A~??'?W??'?一

4.若隨機變量X滿足P(X=c)=l,其中。為常數(shù)，則O(X)=()

A.0B.-LD.1

4C=2

【答案】A

>^、?~^V^%r-v

E(X)=c,則。(*)=(?！?(*))2乂1=0,故選人

5.如圖，陰。與直角三加形AO8的兩口角邊相切，射線OP繞點O由04逆時針勻速旋轉(zhuǎn)到Ob的過程中，所

11過的圓內(nèi)陰影部分而枳S關(guān)于時間t的函數(shù)的大致圖象為)

【■機】由圓的對稱性可知AB均錯誤，'1|OP在未經(jīng)過圓心之前,陰影部分面枳增加越來越快，即S⑴在遞/

增，即S(t)的切線斜率在遞增，顯然D符合{

故選D；

、■、、、、■、、、■、、、、、、、'、、、、、、、、、、、、、、、、、、V、、、、、、、、、、、、、、、、、'、、、、、、、、、、、、、、、*VVV、、、、、、、'、、、、、、?~、、、、、、、、、、、

6.小明和小華進行丘乓球比賽，比賽規(guī)則是:若其中一人連續(xù)旅兩局，則比賽結(jié)束，已知每局比賽結(jié)果相互獨立,

且每局小明贏的概率為0.6(沒有平局)，則在已知比賽是笫三局結(jié)束條件下，小明獲勝的概率為()

A.0.6B.0.4C.0.36D.0.144

【答案】A

【解析】設(shè)事件A：比賽三局結(jié)束，事件B：小明獲勝

則P[A}=d(0.6)-(l-O,G),P(AB)=—(0.6)2，(1-0.6)

P(AB)C^O.G)2-(1-0.6)八山川入

所rruI'(?)=P(A)=C：(0.6)?>-0.6)=°*，故選

、??、?Q、?*V?~~~??、?~??、、?、?W?~~W???~~~~~~W??、、??~?、、?~、■????W?^~~、?

7.記…Jn+1Q)=/13)，九6N,則/2021(0)=()

A.2508B.—2.C.0D,2507

【答案】C

*VVr-V~~~、?、~~~~~?W、、W~~?、?~???％~???~、*V^~?\z*V*V^V>V??~~~?

xxxI

；不祈，力(c)=e(sinrr-bcosx)tf2(x)=2ecosx,f：t(x)=2e(cosx—sinx),f^x)=-4esinrr

xcxx

人(①)=—4e(sinx+cosc)式(n)=—8ecosxJ7(x)=—8e(oosT—sinc)/(。)=lGesinx

因為2024=506X」,所以可得力叨㈤=(一4嚴eHsimr,所以/.KO)=0

故選C

8.將1,2,3,…，9這九個正整數(shù)，填在如圖所示的九宮格里，九宮格的中間填5,四個

角填偶數(shù)，其余位置填奇數(shù)，則每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上3個數(shù)字的5

和都等于15的概率為)

1-

【答案】c

，????????W??、?????????????*??????、???????，

四個角填偶數(shù)，其余填奇數(shù)，共有=57G,

每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上3個數(shù)字的和都等于15;①⑧⑦

必須滿足1和9對著即占④?或②@,2和8對角對著即占①?或③⑦，

4和6對角對著即占①⑤或③⑦，②5

3和7對著即占④@或②(⑥；

先讓1去挑位置,有②④⑥⑧4種選擇，9隨之確定；③④⑤

然后讓8去挑位置，比如1挑⑧，則8只能占①或⑦，有2種選擇，其余隨之確定;

故符合條件的共有：4x2=8種；故所求概率為:熹=擊

07072

故選c.

二、選擇題沐題共3小題,每小題6分洪18分,在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,

部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知n%726NlmVri下列等式中正確的是)

A.nC：=mGB.A;=九心】C.理=。二館!D.，x=c：+cr]

【答案】BCD

1().函數(shù)/3)=^+。111。定義城為。，下列命題正確的是()

A.對于任意正實數(shù)4函數(shù)/(外在。上是單調(diào)遞減函數(shù)

B.對于任意負實數(shù)a,函數(shù),3)存在最小值

C.存在正實數(shù)Q,使得對于任意的都有/3)>0恒成立

D.存在負實數(shù)Q,使得函數(shù)/3)在。上有兩個零點

【答案】BD

1??、?、?、?????、???^-<V?????、~?、??~???????、~?、????~???~?、?、??、?y

L二析;if(t)=GX+—(rrX)),若a>(),則/'(力>0在(0,+8)上恒成立，所以/(%)在在(0,+8)上單增,A；

/X/

*錯誤，顯然對任意正實數(shù)a,當GT0時J@)T-8,C錯誤；

：故選BD\

I、?、?、、、?~??~、???、??~?、、?????、??、??????、、??、??~?、~?、、、??、??????~~、~~、、??、?~、、>V^>~~~~~~-W-V、?、?*v~

2n2n=

11.己知(1+6)+(1+x)+…+(1+x)=a<)+o,\X+a^x+,?,+anxi且存在正整數(shù)TI,滿足a1+2a<>+,,,4*?izin

321,則下列結(jié)論正確的是()

A.n=6

B.Qi+生+…+冊=119

C.(1+re)+(1+X)24----F(1+c)”展開式中所有項系數(shù)和為126

D.(1+九)”展開式中二項式系數(shù)最大的項為第三項和第四項

【答案】AC

k~??????~~????~??、??~~~~~???~~、?????~~~?、?~?、?、??1

2

\]評析:對等式兩邊求尋得1+2(。+1)+3(x+l)4--+n(x+l)i=a.i+2生立+…+九0nHl/

令rr=l,則1+2?2+3?2?+…+%2nT=Q]+2%+…+叫=Sn①\

①X2得2+2"+3"+…+22"=2Sn②；

0

\①一②得一5'|1=1+2+22+23+―+2"-1—11?2=。一九)2"—1=5==(72—1)2"+1=321=h=6,人正確；，

①=1時，2+2-+2,4F2G=a()+s+3H----—=12G,C正確；

31-2S

當勺=0時,%=6,，

所以a1+a?-1---FG-6=126—6=120,B錯誤；

對工P，①28)6展開式得通項為7^=砥攵)「=2’第疔；

”中「怖7%息士皿-2「以》21?二(6-r)!r!(7-r)!(r-l)!_7^7=7

若第「十]項余數(shù)最大，則6!,2,6!=],2

(6—r)!r!(5—r)!(r+l)!\G-rr+1

n孕Wr4號因為rGN,所以r=3或4,所以系數(shù)最大的項為第4項或第5項,D錯誤

JJ

故選AC

■??????????~^\z-V~~~~~、????????????~~??????????*???~~???、?*v**v-??

三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分，兩個空的題目，第一空2分，第二空3分.

12,用含H(九〉m,nGAT.mGAT)的式子表示:9X8X7x3=

【答案】34

13.若04+3+I)』4+Q13+2)+q[3+2尸H--Pa7(x+2)\則&=

【答案】27

,??~?W??~~~~~??????、>、~?????????~~~??~~~~~~????-?、—~?????~~、W~~~*%.

【解析】04+3+1)'=[-2-r(c+2)r+[―1+(x+2)]7

[-2+(c+2)]」展開式中(3+2)3項為c?(-2)(rr+2)3,

[-1+3+2)了展開式中g(shù)+21項為C；(T)」(『+2>

所以Qj=C*j(-2)十CT(—I)4=—8+35=27

,??~?????~~???~??~~~????????????~~~??????~~~~??~~???~~~?????1

14.已知函數(shù)/3)=ga+b的導函數(shù)為/3)=6/,點P(1J⑶)為函數(shù)六⑼上任意一點，則點P處函數(shù)的切線

的一般式方程為,該切線在。、g軸上截距之和的極大值為

【答案】61C—V—獷=0;警

\析驢㈤=(謁+)=a(Q+b)a+i=6X2=>:Un所以/⑸=2式所以=2p

；/⑴=6伐所以點P處函數(shù)的切線斜率R=6嚴,切線方程為？/-2「=6%8—￡),

f化為一般式:6產(chǎn)1—1/—4t3=0

?當1=0時，勺=-4吐當g=0時,工=空

fJ

\所以該切線在工、”軸上被距之和為當一4戶,令g(￡)=等一⑴=12￡?=()=￡=士率

；OOOU

\當tW(—co,￥)和咯+8)時,或￡)V0,g(t)單調(diào)遞減.

；當2c(-率，率儲⑴>(),g⑴單調(diào)遞增.

：所以對:…倍)皆《一」(制=婆

5所以笫一空答案為6氏-4^=();笫二空答案為嚕.

1W、、?~~~*V~、、~、、、~~??、~~、~~.—~~~????、?~~~、~~????~~~?

四、解答題:本題共6小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

在(QS+走)”(QWR)的展開式中，前三項的二項式系數(shù)之和為79.

(1)求九的值；

(2)若展開式中的常數(shù)項為粵，試求展開式中系數(shù)最大的項.

L~??????????~~~~、、????????????~~???~??~~?、

?I排行7(1)由題意得&+。：+。2=79=1+九十辿1也=79=7?+71-156=0=5+13)(71—12)=0

\解得n=12,舍負

'\(2)九=12,(3+走廣展開式得通項為r+】=5(g)A(,T)r=aJ.&./-亨

:當J2—當■=()時，7=9,所以展開式常數(shù)項為a'=^=n=[*

J2o2

所以展開式通項為廣二小-

設(shè)展開式中系數(shù)最大的項為第「+1項，則

'2?12!>12!

(2>1

(12-r)!r!一(13-r)!(r-1)!r113—Tn*蔬=7谷Y號因為所以-8；

nj12!>2T2!|]>2

.(12-r)!r!(11-r)!(r+1)!112—r=r+1

所以展開式中系數(shù)最大的項為笫9項得=(；丫&)?/=整/

4Xu

16.(15分)

甲，乙兩小朋友參加“歡樂六一”游戲比賽,記分規(guī)則如下:在一輪比賽中，如果甲贏而乙輸，則甲得1分;如果甲

輸乙贏,則甲得一1分;如果甲和乙同時贏或同時輸，則甲得。分.設(shè)一輪比賽中甲贏的概率為60%,乙贏的概率

為50%,求：

(1)在一輪比賽中，甲的得分X的概率分布列(列表表示)；

(2)在兩輪比賽中，甲的得分y的均值與方差.

（1）一輪比賽中中，甲得分X的可能取值為-1;0;1,

P(X=-1)=(1-60%)?50%=占

O

P(X=0)=60%-50%+(1-60%)-(1-50%)=4"

F(X=1)=(1-50%).60%=-^-

X-101

113

pL

O2,Io

(2)甲在二輪比賽中的得分Y可能取值為-2,—1,0,1,2

P(y=2)=P(X=l).P(X=l)=焉

P(y=l)=*-P(X=1)-P(X=0)=告

P(y=0)=C^P(X=-1)?P(X=1)+P(X=0)?P(X=0)=齋

P(y=-1)=cl-P(X=-l)?P(X=o)=4-

p（y=-2）=p（x=-i）.p（x=-i）=擊

NJ

所以甲的得分￥的均值為石（丫）=2、襦+1乂條+0*需+（—164~+（—2）乂上=占

10010100707255

甲的得分y的方差為。(y)=(2-E(y))Lp(y=2)+o-E(y))2?p(y=i)

+(0-E(Y))2-P(y=O)+(-l-E(y))2?P(Y=-l)4-(-2-E(y))?-P(Y=-2)

9+（剪x條+（剪X37+6i2x4-+2-x—1=—49

1001005af)2550

17.（15分）

如圖,AB是半圓ACB的直徑,O為AB中點，OCJ_ABMH=2,直線BDJ_AB,點P為數(shù)上一動點（包

括BC兩點）,Q與P關(guān)于直線OC對稱.記/?06=0,打'_1.瓦＞1為垂足，m_1.46,E為垂足.

（1）記合的長度為線段PF長度為b試將2=。+^表示為。的函數(shù)，并判斷其單調(diào)性；

（2）記扇形POQ的面積為S”四邊形PEBF面積為Sa,求S=$+S2的值域.

W】因NPOB=0,則由題意知06(0號)

(1)由題意可得，Z.COP=f-0,圓半徑為1,所以，尸爰一0,

又k=|PF|=\OB\-\OE\=1-cos。，

所以L=li+12=-^―0+1-cosO,()V0＜年,，=-1+sin0V0,

所以L=L+L=^-0+l-cos。在(0寫)上單調(diào)遞減.

⑵5尸2?十倍一0)T=￡_0,

因為尸F(xiàn)_LBDPE_LAB,所以四邊形PEB尸為矩形，

于是S2=\PE\'\BE\=sin。?(1—cosO)

所以S=S1+S2=￡-O+sin0?(l-cosO),其中0V0V與，

求導得S=-1+cos。-cos2。=cosO(l—2cos0),令S'=0得cosO=J,。=左

（三匹）7T

00（04）t萬

S——0+

遞減極小遞增

S~21

由上表可知當0=余時,S仔）鎮(zhèn)小=5+乎,S的值域為"+乎，專］

18.（17分）

某工廠有三個車間生產(chǎn)同一種通訊器材，第1個車間生產(chǎn)該通訊器材的優(yōu)等品率為6%,第2和第3個車間生產(chǎn)

該通訊器材的優(yōu)等品率均為5%,生產(chǎn)出來的產(chǎn)品混放在同一個倉庫里.已知第1,2,3車間生產(chǎn)的通訊器材數(shù)

量分別占總數(shù)的25%,30%,45%.

(1)現(xiàn)從倉庫中任取一個該通訊器材，試問它是優(yōu)等品的概率是多少？

(2)如果取到的通訊器材是優(yōu)等品，計算它是第i(i=1,2,3)個車間生產(chǎn)的概率.

；【解析】設(shè)事件4="通訊器材為第i個車間生產(chǎn)"(i=L2,3),

1、事住B="-任取一個通訊器材為優(yōu)等品"，則Q=4U4U4,且4、4、4兩兩互斥,

由題意得:P(4)=0.25,P(4)=。,3,。(4)=0.45,

P(BI4)=0.06,F(BIA2)=P(BI4)=0.05.

(1)由全概率公式,得P(B)=P(AJP(BIAt)+P(4)P率IA2)+P(A3)P(J314)

=0.25x0.06+0.3x0.05+0.45x0.05=0.0525

答:現(xiàn)從倉庫中任取一個該通訊器材,它是優(yōu)等品的概率是0.0525

(2)“如果取到的通訊器材是優(yōu)等品，計算它是第i(i=l,2,3)個車間生產(chǎn)的概率”，

就是計算在口發(fā)生條件下，事件4?發(fā)生的概率.

p(A?⑶_。(/⑸_P(AI)P(BIA)_0.25x0.06_2

k1P?_P⑻,_0.0525-71

同理有回4IB)=,,P(4IB)=-1.

答:如果取到的通訊器材是優(yōu)等品，它是第1個車間生產(chǎn)的概率為率它是第2個車間生產(chǎn)的概率為-1,

它是第3個車間生產(chǎn)的概率為y.

19.(17分)

已的函數(shù)f(H)=-^x2+ax—(ax+l)lnx.

(1)求函數(shù)/(工)的導函數(shù)/(4)；

（2）求函數(shù)八工）單調(diào)區(qū)間;

（3）若函數(shù)八工）有兩個不同的極值點處,孫記過4（%f3））,8（工」（勾）兩點的直線斜率為E,是否存在實

數(shù)Q,使得上=2一%若存在，求實數(shù)a的值;若不存在，試說明理由.

i??>^V?~~*V^~?V^?、>|

\【解析】（1）1f（工）=工—L—alna:\

;x,

（2）記g（x）=--L-alnx,則g'3）=1+乙一*=工一尊十］（工>0）；

X工X*xX*；

①當a￡（-s,0］時，因為工>0,所以g'3）=尤二華士1?>（）,所以/Q）在（0,+oo）上單調(diào)遞增；

f

f《丁?**-