山東省濰坊市石家莊中學(xué)高三數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析

山東省濰坊市石家莊中學(xué)高三數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合A＝{x|x﹣2＜0}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，則A∩B＝（）A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，1） C．（﹣2，1） D．（﹣1，2）參考答案：D解：A＝{x|x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B＝（﹣1，2）．故選：D．2.若函數(shù)f（x）=，方程f[f（x）]=a只有四個不同的實根，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（2+ln2，e） B．（e，2+ln3） C．（2+ln2，3） D．（3，2+ln3）參考答案：D【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷；函數(shù)與方程的綜合運用．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用分段函數(shù)求出方程左側(cè)的表達式，畫出函數(shù)的圖象，利用兩個函數(shù)的圖形的交點個數(shù)，求出的范圍．【解答】解：f[f（x）]==，畫出函數(shù)y=f[f（x）]與y=a的圖象，因為方程f[f（x）]=a只有四個不同的實根，函數(shù)的圖象的交點有4個，可知a∈（3，2+ln3）．故選：D．【點評】本題考查函數(shù)的零點個數(shù)的判斷與求法，考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的解題的關(guān)鍵．3.小胖同學(xué)忘記了自己的QQ號，但記得QQ號是由一個1，一個2，兩個5和兩個8組成的六位數(shù)，于是用這六個數(shù)隨意排成一個六位數(shù)，輸入電腦嘗試，那么他找到自己的QQ號最多嘗試次數(shù)為．A．96

B．180 C．360

D．720參考答案：B4.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典名著，它在集合學(xué)中的研究比西方早1千年，在《九章算術(shù)》中，將四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑，已知某“鱉臑”的三視圖如圖所示，則該鱉臑的外接球的表面積為（）A．200π B．50π C．100π D．π參考答案：B【考點】球內(nèi)接多面體；簡單空間圖形的三視圖．【分析】幾何體復(fù)原為底面是直角三角形，一條側(cè)棱垂直底面直角頂點的三棱錐，擴展為長方體，長方體的對角線的長，就是外接球的直徑，然后求其的表面積．【解答】解：由三視圖復(fù)原幾何體，幾何體是底面是直角三角形，一條側(cè)棱垂直底面直角頂點的三棱錐；擴展為長方體，也外接與球，它的對角線的長為球的直徑：=5該三棱錐的外接球的表面積為：=50π，故選B．【點評】本題考查三視圖，幾何體的外接球的表面積，考查空間想象能力，計算能力，是基礎(chǔ)題．5.計算：等于

A．1+i

B．1—i

C．—1+i

D．—1—i參考答案：A6.已知數(shù)列{an}滿足：則a20=（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C7.按如圖所示的程序框圖運行程序后，輸出的結(jié)果是15，

則判斷框中的整數(shù)H=(

)．

A.3

B.4

C.5

D.6參考答案：A8.已知集合，則AB=

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A9.已知全集U=R，集合A={x|x＜1}，則?UA=（）A．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C．R D．（1，+∞）參考答案：B【考點】補集及其運算．【分析】根據(jù)補集的定義寫出集合A的補集即可．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x＜1}，則?UA={x|x≥1}=[1，+∞）．故選：B．10.如下圖①對應(yīng)于函數(shù)f(x)，則在下列給出的四個函數(shù)中，圖②對應(yīng)的函數(shù)只能是（

）A．y=f(|x|)

B．y=|f(x)|

C．y=f(－|x|)

D．參考答案：【答案解析】C

解析：由圖（2）知，圖象對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)，故B錯誤，且當x＞0時，對應(yīng)的函數(shù)圖象右側(cè)與左側(cè)關(guān)于y軸對稱，而y軸左側(cè)圖象與（1）中的圖象對應(yīng)的函數(shù)y=f

（x）的圖象相同，故當x＞0時，對應(yīng)的函數(shù)是y=f（-x），得出A、D不正確．故選C.【思路點撥】由題意可知，圖2函數(shù)是偶函數(shù)，與圖1對照，y軸左側(cè)圖象相同，右側(cè)與左側(cè)關(guān)于y軸對稱，對選項一一利用排除法分析可得答案．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知x和y是實數(shù)，且滿足約束條件的最小值是

.參考答案：做出不等式對應(yīng)的可行域如圖，由得，做直線，平移直線，由圖象可知當直線經(jīng)過C點時，直線的截距最小，此時最小，此為,代入目標函數(shù)得。12.雙曲線的頂點到其漸近線的距離為

．

參考答案：13.把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)表．設(shè)是位于這個三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第行、從左往右數(shù)第個數(shù)，如．則

．參考答案：3814.紅隊隊員甲、乙、丙分別與藍隊隊員A、B、C進行圍棋比賽，甲對A,乙對B,丙對C各一局，已知甲勝、乙勝B、丙勝C的概率分別為，若各局比賽結(jié)果相互獨立，用X表示紅隊隊員獲勝的總局數(shù)，則的數(shù)學(xué)期望

參考答案：15.（5分）（2015?欽州模擬）已知三棱錐P﹣ABC，PA⊥AB，PA⊥AC，∠BAC=120°，PA=AB=AC=2，則三棱錐的外接球體積為．參考答案：【考點】：球的體積和表面積．【專題】：計算題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】：求出△ABC的外接圓的半徑，三棱錐的外接球的半徑，即可求出三棱錐的外接球體積．解：設(shè)△ABC的外接圓的半徑為r，三棱錐的外接球的半徑為R，則∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴BC==2，∴2r==4，∴4R2=16+4，∴R=，∴三棱錐的外接球體積為=，故答案為：．【點評】：本題考查三棱錐的外接球體積，考查學(xué)生的計算能力，確定三棱錐的外接球的半徑是關(guān)鍵16.給出下列幾個命題：①若函數(shù)的定義域為，則一定是偶函數(shù)；②若函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，對于任意的都有，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；③已知是函數(shù)定義域內(nèi)的兩個值，當時，，則是減函數(shù)；④設(shè)函數(shù)的最大值和最小值分別為和，則；⑤若是定義域為的奇函數(shù)，且也為奇函數(shù)，則是以4為周期的周期函數(shù)．其中正確的命題序號是

．（寫出所有正確命題的序號）參考答案：①④⑤略17.將（n∈N+）的展開式中x﹣4的系數(shù)記為an，則=．參考答案：考點： 二項式定理的應(yīng)用．

專題： 二項式定理．分析： 由題意根據(jù)二項展開式的通項公式求得an==，再用裂項法求和求得=2[1﹣+﹣+…+﹣]的值．解答： 解：將（n∈N+）的展開式中x﹣4的系數(shù)記為an，則an==，∴=2[1﹣+﹣+…+﹣]=，故答案為：．點評： 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.（1）討論f(x)的單調(diào)性；（2）當x≥0時，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.參考答案：

19.（本小題滿分12分）已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，記A（n）=a1+a2+……+an，B（n）=a2+a3+……+an+1，C（n）=a3+a4+……+an+2，n=1,2，……[來^&源:中教網(wǎng)@~%]（1）

若a1=1，a2=5，且對任意n∈N﹡，三個數(shù)A（n），B（n），C（n）組成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式.（2）

證明：數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意，三個數(shù)A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數(shù)列.參考答案：解（１）對任意,三個數(shù)是等差數(shù)列，所以即亦即故數(shù)列是首項為１，公差為４的等差數(shù)列.于是（Ⅱ）（１）必要性：若數(shù)列是公比為ｑ的等比數(shù)列，則對任意，有由知，均大于０，于是即＝＝，所以三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.（２）充分性：若對于任意，三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列，則，于是得即由有即，從而.因為，所以，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，綜上所述，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意n∈N﹡，三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.【點評】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)及充要條件的證明.第一問由等差數(shù)列定義可得；第二問要從充分性、必要性兩方面來證明，利用等比數(shù)列的定義及性質(zhì)易得證.20.已知f（x）=|﹣x|﹣|+x|（Ⅰ）關(guān)于x的不等式f（x）≥a2﹣3a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）若f（m）+f（n）=4，且m＜n，求m+n的取值范圍．參考答案：【考點】絕對值不等式的解法；絕對值三角不等式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式．【分析】（Ⅰ）由條件利用函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的最小值為﹣2，再根據(jù)﹣2≥a2﹣3a，求得a的范圍．（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性f（m）≤2，f（n）≤2，結(jié)合f（m）+f（n）=4，可得m＜n≤﹣，由此求得m+n的范圍．【解答】解：（Ⅰ）關(guān)于x的不等式f（x）≥a2﹣3a恒成立，即|﹣x|﹣|+x|≥a2﹣3a恒成立．由于f（x）=|﹣x|﹣|+x|=，故f（x）的最小值為﹣2，∴﹣2≥a2﹣3a，求得1≤a≤2．（Ⅱ）由于f（x）的最大值為2，∴f（m）≤2，f（n）≤2，若f（m）+f（n）=4，∴m＜n≤﹣，∴m+n＜﹣5．【點評】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，求函數(shù)的最值，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．21.已知拋物線的焦點為，直線過點.（1）若點到直線的距離為，求直線的斜率；（4分）（2）設(shè)為拋物線上兩點，且不與軸垂直，若線段的垂直平分線恰過點，求證：線段中點的橫坐標為定值.（6分）參考答案：解：（1）由已知，不合題意.設(shè)直線的方程為，由已知，拋物線的焦點坐標為，

…1分因為點到直線的距離為，所以，

…2分解得，所以直線的斜率為.

…4分（2）設(shè)線段中點的坐標為，，因為不垂直于軸，則直線的斜率為，直線的斜率為，直線的方程為，

…5分聯(lián)立方程消去得，

…7分所以，

…8分因為為中點，所以，即，

…9分所以.即線段中點的橫坐標為定值.

…10分略22.一個截面為拋物線形的舊河道(如圖1)，河口寬米，河深2米，現(xiàn)要將其截面改造為等腰梯形(如圖2)，要求河道深度不變，而且施工時只能挖土，不準向河道填土．(Ⅰ)建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼挡⑶蟪鰭佄锞€弧的標準方程；(Ⅱ)試求當截面梯形的下底（較長的底邊）長為多少米時，才能使挖出的土最少？

參考答案：解：（1）如圖：以拋物線的頂點為原點，中垂線為軸建立直角坐標系------1分則

------2分設(shè)拋物線的方程為，將點代入得

-------3分所以拋物線弧AB方程為（）

------4分（2）解法一：設(shè)等腰梯形的腰與拋物線相切于

則過的切線的斜率為

所以切線的方程為：，即

令，得，

令，得，所以梯形面積

-----10分當僅當，即時，成立

此時下底邊長為

-----12分答：當梯形的下底邊長等于米時，挖出的土最少．

-----13分

解法二：設(shè)等腰梯形的腰與拋物線相切于

則過的切線的斜率為

所以切線的方程為：，即

運用定積分計算拋物線與等腰梯形間的面積：-----10分

當僅當，即時，成立，此時下底邊長為

---12分答：當梯形的下底邊長等于米時，挖出的土最少．

-----------13分

解法三：設(shè)等腰梯形上底（較短的邊）長為